弹性力学课程学习指南
第一章绪论
弹性力学是研究载荷作用下弹性体中内力状态与变形规律的一门科学，弹性体是指在卸载后能完全恢复其初始形状和尺寸的物体。
事实上，各门力学之间有着深刻的联系，正确认识它们之间的相同与不同之处，这样在学习弹性力学的过程中便能达到事半功倍的效果。
各个学科的研究对象与适用范围如下表所示：
力学学科研究对象适用范围
理论力学刚体非变形体
材料力学弹性杆件线弹性、小变形等
弹性力学弹性体线弹性、小变形等
结构力学弹性杆件系统小变形等
流体力学流体
………………
理论力学：理论力学和材料力学是我们学习弹性力学的基础。平衡方程和应力边界条件这些基本控制方程的简单性体现在理论力学，而它们的丰富内涵则体现在弹性力学。而动力学部分，弹性力学的运动微分方程根理论力学的达朗贝尔原理有着相通之处。弹性力学以弹性体应力和变形作为研究对象，对理论力学来说是一个非常大的跨越；而工程中结构的破坏大多是由于内部的应力或应变超过了所能承受的限度，弹性力学更能指导工程建设。
材料力学：材料力学从简单的拉压变形开始一直到复杂的组合变形，为我们建立了应力和应变、应力状态和应变状态的概念，这些也是我们学习弹性力学的基础。材料力学主要研究杆状结构在拉、压、剪切、弯、扭作用下力学分析；而弹性力学所研究的问题则非常广泛，包括杆系、板壳、实体等结构的力学分析，能解决非常复杂的工程实际问题。
材料力学中最重要的平截面假定是非常强的，而弹性力学中摒弃这一假定，
其基本假定为：连续性假定（即连续介质）、均匀性假定（即认为物体由同一类型材料均匀组成）、各向同性假定（采用各向同性的本构关系）、线弹性假定（外力与变形线性变化）、小变形假定、无初应力假定。弹性力学解要更准确，但同时求解也更加复杂。例如，以均布压力作用下梁的弯曲问题为例，材料力学给出的梁的弯曲应力为
,0x y M y I
σσ= = 其中M 为弯矩，I 为截面惯性矩；而弹性力学的解答为 ,2224321152x y M y y q y y y q I h h h h σσ??????=++ =-+- ? ???????
?? 其中q 为均布力大小，h 为截面高度；可见弹力的解能满足应力边界条件，是精确的解，而材力给出的为近似解。
流体力学：流体力学跟弹性力学也有着非常密切的关系，二者的研究对象流体和弹性体都是宏观意义上的连续介质，可以认为它们都是连续介质力学的分支。当然流体与固体内在属性是不同的，流体不能承受拉力，在静止状态下也是不能承受剪力的，由于这些原因，这两个学科处理问题的出发点和方式也是不同的，关于这方面更详细的了解可以参考连续介质力学类教材。
第二章 张量分析
张量分析是研究张量和以张量为自变量的函数的性质和运算规则的数学工具。而张量是不依赖与坐标系的选择而改变的不变量。已知物理量的大多数都可以表示未张量；如时间、长度、温度、质量等基本物理量，是0阶张量，也称为标量；位移、速度、加速度、力等物理量则是1阶张量，也称矢量；而我们弹性力学中的应力、应变等量则是2阶张量；描述一种材料弹性性质的弹性张量则为4阶张量。
总之张量普遍存在，而且在各个学科，特别是连续介质力学，有着广泛的应用。张量凭借其严密的理论基础，非常简洁的表达形式，现在已经成为大多数现代应用力学文献的基本语言。因此掌握张量不光对我们弹性力学的学习非常有帮助，而且也会使我们阅读文献变得更加容易。
张量的简洁性毋庸置疑，如笛卡尔坐标系下的平衡微分方程可以表示为：
000xy x xz x yx y yz y zy zx z z f x y z
f x y z
f x y z
τσττστττσ???+++=??????+++=??????+++=??? 而用张量指标符号可表示为
,0ji j i f σ+=
在张量的学习过程中，首先要掌握张量的基本概念、爱因斯坦求和约定。如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和（即爱因斯坦求和约定）。重复的指标称为哑标，在书写张量方程时要注意，某项中某个指标最多只能出现两次，如,0ii i σ=便不是一个正确的张量方程；另外只出现一次的指标为自由指标，要注意的是一个方程中各项的自由指标必须相同，否则就是一个错误的张量方程。可以通过做题加深对张量的理解。
另外有两个非常重要的张量ij δ（单位张量）和rst e （置换张量）是需要我们掌握和理解的；ij δ和rst e 分别于矢量代数中的点积和叉积有关，即
[,,]()i j ij
ijk i j k e a b c δ?==??=e e a b c a b c
其中i e 为单位矢量，,,a b c 为任意矢量。
同样还可以用置换张量来表示三阶行列式的值
111213
212223112233213213311223312213211233113223313233
123123ijk i j k ijk i j k
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a e a a a e a a a =++--- == ~e δ恒等式为
ijk ist js kt ks jt e e δδδδ=-
退化形式为
26ijk rjk ir
ijk ijk e e e e δ==
另外一个非常重要的知识点是坐标与坐标转换，实际问题中我们可能知道一个坐标系下的应力或者应变分量，需要求其在其他坐标系下应力应变分量，用张量进行处理则会非常简单，而且也比较方便得到应力应变的主值。通过坐标转换也可以比较容易得多柱坐标或者球坐标系的平衡方程、几何方程。关于坐标转换的详细内容可参考课本或者课件。
第三章 应力理论
本章要掌握外力、内力与应力的基本概念。应力有名义应力与真实应力之分，但是弹性力学主要研究小变形问题，因此二者并无差别。
本章介绍了应力分量转换、主应力、应力不变量等内容，需要具有一定的张量知识。另外通过对微元体的平衡分析可以得到弹性力学的平衡微分方程
,0ji j i f σ+=
有一点需要注意的是，在对微元体列平衡方程时参与平衡的量一定是力而不能是应力。
柯西公式（即面力边界条件）是本章非常重要的一个知识点，其公式如下
=?p v σ
其中p 为面力矢量，v 为法向单位矢量，σ为应力张量。在实际问题中要求我们能够快速、正确写出系统的边界条件。
第三章 应变理论
本章用运动学观点研究物体的变形。
在连续介质力学中有两种描述位移的方法：
拉格朗日描述法：以物体变形前的初始构型B 为参考构型，质点变形前的坐标(),,123i a a a a =为基本未知量。将变形后物体的位置x 表示为,,123a a a 的函数
(),(,,)123i i x x a a a = =x x a
欧拉描述法：以物体变形后的新构型'B 为参考构型，质点变形后的坐标(,,)123i x x x x =为基本未知量。将变形前物体的位置a 表示为,,123x x x 的函数
(),(,,)123i i a a x x x = =a a x
变形梯度为
?=?x F a
变形梯度是非常重要的一个物理量。借助于变形梯度，我们可以写成格林应变张量
()12
T =
-E F F I 变形梯度的表达式也可写为 d d =?x F a
该式是非常重要的一个公式，即包含大小又有方向的变化
()()()()()()
0022200d d 'd d ,',d d d d d =? =
=?=???=???x a v F v v v F v F v v F F v T T S S S S S S S 认清这一点，可以很方便的求解伸长比与变形后线元的方向。
第四章 本构关系
本章中比较重要的两个知识点是广义胡克定律和应变能密度。
广义胡克定律：
,12ij ij kk ij ij ij kk ij G E E
ν
νεσσδσελεδ+=- =+ 在本构关系的应用中要注意平面应变与平面应力的区别，没有应力不代表该方向没有应变，反之也是如此。
弹性力学中研究的是线弹性体，因此总可以找到一个应变能密度函数()ij W ε使
(),0d ij ij ij ij ij ij
W W εεσεσε?= =?? 在线弹性小变形情况下，可以将应变能密度展开为
12
ijkl ij kl W C εε=
其中ijkl C 为4阶弹性张量。
借助于应变能密度表达式和应力应变张量的对称性，我们可以很容易得到弹性张量的对称性
,ijkl jikl ijlk ijkl klij C C C C C == =
第六弹性理论的微分提法、解法及一般原理
本部分内容首先给出弹性理论的微分提法，把弹性力学问题归结为偏微分方程的边值问题。学好本章的内容后，再学习平面问题，必然会比较容易。
控制方程是弹性力学的基石．
首先，给出笛卡尔坐标系下的弹性力学控制方程
Ⅰ 平衡方程
,0ij i j f σ+=
或
2,()0i i i G u G f λθ?+++=
Ⅱ 物理方程
,12ij ij kk ij
ij ij kk ij G E E ν
νεσσδσελεδ+=-
=+ 其中，剪切弹性模量2(1)ν=+E G ，梅拉常数(1)(12)νλνν=+-E 。 Ⅲ 几何方程 ,,1()2
ij i j j i u u ε=+
Ⅳ 边界条件 ()ij s j i n f σ= ()i s i u u =
其中应力边界S σ与位移u S 满足u S S σ=?I ．
以上各式共同组成了弹性力学的基本体系．
一些讨论：
1）一般地，,1,2,3i j =，即为空间问题，共15个未知量，15个控制方程，方程组封闭．若0,0z zx zy σττ===，则问题蜕化为平面应力问题，若0,0z zx zy εττ===，问题转化为平面应变问题．
此外，弹性力学问题总是超静定问题，因此需要联立平衡方程、物理方程、几何方程方能求解。
2）对于平面问题，借助直角坐标和极坐标的转换关系（也可仿照直角坐标
下推导控制方程的方法推导），可得极坐标下的控制方程：
Ⅰ 平衡方程
10210f f ρρ?ρ?ρ?ρ?ρ??στσσρρ?ρσττρ?ρρ??-?+
++=????????+++=???? Ⅱ 物理方程
2σνεδσ=
-ij ij ij kk G E
Ⅲ 几何方程 11u u u u u u ρ
ρρ??ρ??ρ?ερερρ?γρ?ρρ??=??????=+???
???=+-????? 物理方程对各类问题均是适用的，因为不管是直角坐标、极坐标、球坐标、柱坐标，它们的共同点都是正交的坐标系．
需要指出的是，在不同坐标系下，控制方程形式上有所不同，但推导基本原理一致，基本内涵也一致．比如平衡微分方程是根据静力学平衡原理推导的，物理方程反应了研究对象的物性，几何方程则紧扣应变的定义。
3）由平面应力问题到平面应变问题转换，只需将E 替换为21ν
-E ，ν替换为1ν
ν-即可；由平面应变问题解答转换为平面应力问题解答将E 替换为()()2121νν++E ，μ替换为1ν
ν+．
4）上述任何一个方程只要作适当修改，便可推广到塑性、温度应力、波动等问题．如波动问题，与静力问题相比，物理方程、几何方程一致，运动微分方程增加一惯性力项，形式如下
,0ij i j j f u σρ+-=&&
类似地，对于温度应力问题，假设温度变化仅引起线应变，并且膨胀系数α各向同性，那么物理方程成为
2σνεδσαδ=
-+?ij ij ij kk ij T G E
相应地，应力分量表达 2(32)ij ij ij kk ij G G T σελδελαδ=+++?
由此可见，我们可以根据适当的条件，引入相应的假设，对弹性力学的基本控制方程作合理修改，即可得到更加符合实际情况的控制方程．也就是说，弹性力学基本方程为整个固体力学控制方程构建提供了基本框架．
求解思路
在整个弹性力学体系中，控制方程求解占据着重要位置．如果说控制方程是弹性力学大厦的基础，那么对控制方程求解则构成了这座大厦的主体．主要求解方法可分为解析法和近似法．
用解析法求解，有两大思想贯穿始终，即：“尽可能减少方程中未知数的数目”，“将边界条件人为放松”．前者诞生了各种应力函数、位移函数，后者则诞生了圣维南原理．可以说，这两种思想为整个弹性力学求解体系的完善和发展注入了强大活力．
根据选取的基本未知量的不同，基本方程求解方法大体上分为三种：按应力求解，按位移求解以及混合求解．
位移解法是以位移分量i u 为基本未知量，利用位移表示的平衡方程解出i u ，再代回几何方程和本构方程，求出应变和应力分量,ij ij εσ。当全部边界给定位移时，用位移法较简单。
应力解法则是以应力分量为基本未知量。对于全部边界给定外力的边值问题，应力解法可以直接解出工程中关心得应力分量，但是应力解法处理位移边界条件非常困难。
在应力解法中可以引进某些自动满足平衡方程的函数，即应力函数，合理利用应力函数可以有效减少未知量个数（但方程阶数会相应升高），给求解带来简便，特别是针对平面问题，通过引入Airy 应力函数，可以将三个应力分量减少为只用求一个未知量——应力函数，而只用求解一个双协调方程。
由于弹性力学的线弹性小变形假设，我们可以利用迭加原理求解复杂载荷作用下力学分析；另外还有解的唯一性原理、圣维南原理，理解这些一般原理对我们更深入地理解弹性力学非常有帮助。
本章建立了弹性力学解题的一般思路，因此也是非常重要的，需要多做练习，加深理解。另外要说明的，在实际问题中能得到解析解的问题非常少，大部分问题我们都无法得到解析解，这时候就需要用数值方法（近似法）来求解。
第七章柱形杆问题
柱形杆问题是最早应用圣维南原理的典型例子。通过本章的学习可以看到，对于均匀拉压（杆结构）、纯弯和圆轴扭转问题，材料力学解是精确的。但是对于一般弯曲和非圆截面扭转问题，弹性力学可以提供更通用的解法和更精确的结果。
本章要掌握什么是柱形杆问题、柱形杆自由扭转的位移解法和应力函数解法。更详细的内容可以参加教材。
第八章平面问题
平面问题是空间问题的特殊情况。弹性力学解题的基本思路在第六章已经说明。这一章首先要明确平面应力和平面应变的概念。
本章重点介绍了平面问题的应力函数解法。需要我们根据应力函数的性质，利用边界载荷估计应力函数的分布规律，从而给出应力函数的一个合理假设，这对解题非常重要。
第九章能量原理
在第六章中我们建立了弹性力学的微分提法，是从微元入手，建立基本微分方程，在给定边界条件下求解微分方程的边值问题。而本章介绍弹性力学的另一个提法——变分提法（又称能量原理），变分方法考虑整个系统的能量关系，建立泛函变分方程，为在给定约束条件下，求泛函极值的变分问题。
能量原理在弹性力学体系中是非常重要的一环。实际问题中大部分问题都不可能得到解析解，需要寻求数值解，而能量原理为数值解的获得创造了可能性。
变分问题有欧拉法和直接法两种解法。该章中有很多基本概念需要掌握和理
解，比如弹性力学的三类基本关系：变形关系、静力关系、本构关系；真实状态、静力可能状态、变形可能状态，变形功、可能功与虚功，应变能、应变余能、势能；这些基本概念的理解非常重要。
可能功原理：可能外力（体力和面力）在可能位移上所做的功等于可能应力在相应可能应变上所做的功。可能功原理推导中与本构关系无关，适用于任何连续介质力学，但是用到了小变形的几何方程，因此只适用于小变形。在可能功原理用于线弹性体就可以导出功的互等定理，即线弹性体受两组不同的力作用，则第一组力在第二章力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。功互等定理的优点是可以避免求解物体内应力、应变和位移场的复杂过程，直接从整体变形的角度来处理问题。
最小势能原理：在一切变形可能的状态中，真实状态的总势能最小。目前大部分有限元软件，如ABAQUS等，都是以最小势能原理为基础来求解弹性力学问题。理解最小势能原理也能帮助我们更好的理解和应用有限元。
最小余能原理是指在一切应力可能的状态中，真实状态的总余能最小。
最小势能原理通过假设位移模式求解，因此系统偏刚硬，求出的位移解总体偏小；而最小余能原理通过假设应力模式求解，系统偏柔软，求出的应力解总体偏大。
能量原理是弹性力学中非常重要的一个方法。更详细的内容可以参考课本或者课件。
第十章热应力
通常的材料都具有热胀冷缩的性质，当温度改变时，弹性体各部分就会因膨胀或收缩而变形。当物体受外部约束或者内部变形不协调时，物体内就会产生附加的应力（热应力）。在前面各章中，我们学习了在外载作用下弹性体的力学分析，本章内容就相对简单。本章主要考虑线性热弹性问题，由于所有基本方程和边界条件都是线性的，因此当温度变化与载荷作用同时存在时，可以利用迭加原理进行解题。
由于热的存在，材料的本构关系发生变化，即应变由热变形和应力所致变形两部分组成，即
2σν
εδσαδ=-+?ij
ij ij kk ij T G E
结束语
弹性力学是一门理论性非常强的一门课程，因此要学好弹性力学，必须投入一定的时间与精力，做好课前预习，上课时要认真听讲，做好笔记，以理解为主，有问题时一定要及时跟老师沟通或者跟同学讨论，共同促进本课程的学习。
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 1、试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 1.2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性, 各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和 岩质地基不可以作为理想弹性体。 1.3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理 量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的 平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时，它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分
航空发动机结构与强度课程设计思考 一、航空发动机构造与强度课程设计的作用 对于飞行器动力工程的学生，航空发动机构造与强度的课程设计显得尤为重要。课程设计的重要性主要体现在航空发动机构造和强度课程的特点。实践性是航空发动机构造与强度课程最显著的特点。本课程研究的是实际发动机的结构及其强度，从表面上看，内容简单、易懂，理论性、系统性不强。但是要学生自己分析，则往往无从下手，特别是碰到实际的结构分析、结构设计更是束手无策。因此，通过课程设计这个教学环节，完成航空发动机某一结构的设计，起到加深对课堂教学内容的理解，实现理论向实践的转化，巩固理论知识的重要作用。航空发动机构造与强度课程的第二个重要特点是多学科综合的特点。实际的航空发动机结构是一个容纳多学科的、相互渗透的、具体的统一体，一个发动机具体结构的诞生是多学科综合的结果。即使一个简单的叶片结构设计都涉及到气体动力学、传热学、弹性力学、疲劳与断裂力学、有限元分析方法等等。因此本课程的教材涉及的内容多，知识面广，几乎包括了所学过的所有课程。总体上看显得内容繁杂，没有系统性和规律性。这给学生的学习带来了困难。而在完成课程设计的过程中，学生需要综合运用《航空发动机构造》、《航空发动机强度计算》等专业课程以及《弹性力学》、《有限元分析方法》、《机械制图》等专业基础课程的知识，需要查阅国家标准、材料手册等相关资料。因此，航空发动机构造与强度课程设计作为航空发动机构造与强度课程的后续教学环节，起到了提高学生综合运用相关专业课程的能力、加深对航空发动机构造的与强度认识和理解的重
要作用。综上所述可知，课程设计作为大学实践教学环节的组成部分，是实现理论与实践相结合的重要环节。而航空发动机构造与强度课程设计，由于航空发动机构造与强度课程的实践性和多学科性的特点，其课程设计对于提高学生的综合运用学科的能力以及加深对课程的认识和理解尤为重要。 二、工科相关课程设计的研究进展 美国麻省理工学院提出了高等工科教育要“回归工程实践”的教育理念。在《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》中，明确提出以培养学生的创新精神和实践能力为实施素质教育的重点。清华大学老教授容文盛指出课程设计作为大学某一课程的综合性教学实践环节，它不仅仅是理论教学的辅助环节，而是全面培养学生必不可少的组成部分。因此，如何更好地开展课程设计实现培养高素质人才的目标成为各大高校教师积极探索和思考的问题。西南交通大学的鲁汉清教授提出要发挥课程设计的优势提高学生的综合素质和能力，在课程设计中要注意处理好以下几个关系： （1）人文素质和工程素质的关系。工程素质是工科学生课程设计培养的主要目标，鲁教授提出工程素质是与人文素质不可分割的，借助课程设计，树立起学生老实做人、严谨治学的思想，为工程素质的培养打下良好的基础。 （2）知识、能力与素质教育的关系。鲁教授提出在课程设计的过程中可以通过以下两个途径促进学生的知识、能力与素质教育的协调发展：第一，设计题目的设置向产品设计的方向靠拢，让学生接受真实产品设计的完整过程的训练和熏陶。第二，计算机模拟和实物讲解相结合，计算机模拟的最大优点是可以进行设计结果的快速仿真分析，实物讲解可以直观地提供设计结果。课程设计可以充分
【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
弹性力学学习心得 孙敬龙S4 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编着的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。 弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17
世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从 1822～1828年间，在?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表
读《UH模型系列研究》及结课有感 在弹性力学的学习过程中，对比与三大力学的不同之处，弹性力学作为固体力学的一个分支，回顾了位移法在弹性力学平面里的应用。在阅读《UH模型系列研究》的同时，也对本学期弹性力学做一个简单的总结，也是本次阅读后感受的重要部分。 弹性力学是一门研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移的科学，主要研究任务是解决弹性体的强度、刚度和稳定性问题。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。结合弹性力学，此篇《UH模型系列研究》的作者从合理的本构结构入手，展示了三项成果:①在修正剑桥模型的基础上，通过引入统一硬化（unified hardening，UH）参数，建立UH模型，该本构模型能够反映饱和超固结土的剪缩、剪胀、硬化、软化和应力路径相关性等特性，模型所用土性参数与修正剑桥模型完全相同；②扩展UH模型，使其考虑多种外部因素（温度、时间和基质吸力）、复杂特性（各向异性、结构性和小应变特性）和复杂加载条件（循环荷载、部分排水即渐近状态）等的影响；③提出广义非线性强度准则和满足热力学定律的变换应力三维化方法，从而实现了本构模型的合理三维化。初读文章，晦涩难懂之处实在太多，不断查阅资料，不断百度，也只是略懂一二，甚至是只知其一不知其二，所以学生在此也不想故做贤人、不懂装懂，只能大部分在弹性力学基础上，坚持读完文章，记住关键字，写写自己的一些感悟。 论文初，首先阐述了UH模型。土具有三种性质，摩擦性、剪胀行、压硬性，随后从土所具有的每种性质进行了细致的陈述，分别写出三个公式，并进行了模
《弹性力学》教学大纲 课程代码：101000151a 课程英文名称：Theory of Elasticity 课程性质：专业选修课 适用专业：土木工程专业 总学时数：30 其中：讲课学时：30 实验学时：0 总学分数：2 编写人：审定人： 一、课程简介 （一）课程教学目的与任务 本课程是土木工程专业限定选修的一门专业基础课。本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法，了解弹性体简单的计算方法和有关解答，提高分析与计算的能力，为学习有关专业课程打下初步的弹性力学基础。 （二）课程教学的总体要求 1、理解弹性力学的基本假定，进一步理解体力、面力、应力、应变和位移的基本概念，熟悉记号和符号的有关规定。 2、掌握平面应力问题和平面应变问题的特点，熟悉平面问题的基本方程，了解按应力求解平面问题的基本思路和步骤。 3、能正确写出边界条件，能正确理解和应用圣维南原理。 4、通过实例，了解平面问题逆解法和半逆解法的基本思路。 5、通过实例，掌握弹性力学平面问题的极坐标解答。 6、通过实例，理解位移单值条件和孔边应力集中等概念。 7、了解差分法在弹性力学平面问题中的应用。 8、理解有限单元法的基本概念及原理，通过平面问题常应变三角形单元的应用，了解有限单元法的计算步骤。 （三）课程的基本内容 1、绪论 2、平面问题的基本理论 3、平面问题的直角坐标解答 4、平面问题的极坐标解答 5、用差分法解平面问题 6、用有限单元法解平面问题 （四）先修课程及后续课程 先修课程:高等数学、理论力学、材料力学、结构力学
二、课程教学总体安排 （一）学时分配建议表 （二）推荐教材及参考书目 1、教材 徐芝纶.《弹性力学简明教程》（第四版），高等教育出版社，2013年6月。 2、参考书目 （1）王润富.弹性力学简明教程学习指导【M】.北京：高等教育出版社，2004. （2）卓家寿. 弹性力学中的有限元法【M】.北京：高等教育出版社，1987 （3）吴家龙. 弹性力学【M】.北京：高等教育出版社，2001 （4）杨桂通. 弹性力学【M】.北京：高等教育出版社，1998 （5）王建学，徐秉业.弹性力学【M】.北京：清华大学出版社，2007. （6）王敏中, 王炜, 武际可. 弹性力学教程【M】. 北京：北京大学出版社, 2002 （7）陆明万, 罗学富. 弹性理论基础【M】. 北京：清华大学出版社，1990 （三）课程考核方式 1、考核方式 考查 2、成绩构成 考试成绩占80%，平时作业占10%，平时考勤占10%。 三、课程教学内容及基本要求 （一）绪论（1 学时） 1、教学目的 （1）熟练掌握弹性力学的基本假定、体力、面力、应力、应变和位移的基本概念；（2）掌握记号和符号的有关规定。 2、教学重点与难点
花艺学习心得与体会 精品文档 花艺学习心得与体会 一、意义 从XX年开始，中国插花已被正式列入非物质文化遗产，这是中国插花界的盛事。而科学是不分地区与国界的，由于历史的原因，在台湾以黄永川董事长为首的中华花艺文教基金会在研究和推广中国传统插花方面的深度和广度都独树一格，并在中国和海外取得令人瞩目的成就。他与同行编与了一套十分完整的、有系统性、科学性、严格谨性的培训教科书共十五本，其价值可与日本池坊教科书媲美。 二、心得与体会 掌握好的学习方法 1、首先要了解中国插花的特色，为今后创作打下良好的基础 2、按照讲义的教导，为期事半功倍，在学习过程中要循序渐进细读每一章节的内容，并注意细节说明。 明确理论与实操的关系 只有扎实的实操技能，而没有厚实的理论基础，学习高研课程时会感到很吃力。但只有理论，而没有扎实的实操枝能，很难把自已的创作理念表现出来。本人在这方面吃了不少苦头。 贵在坚持，克服困难，打好长久战的准备 1 / 2 精品文档
中华花艺教科书共15本，以最快的速度学习，也要7至8年，在这漫长的岁月里，要坚持下来，我们的体会:真不是一件容易的事，除了有坚定的信心外，还需要有金钱作为后盾及身体的支持。但我们相信，坚持就是胜利。 雄关漫道真如铁，如今起步重头越 经过八年的悠悠岁月，我们终于闯过了中华花艺如铁的雄关，取得了教授的资格证书，但不要忘记中华花艺文教基金会董事长黄永川先生的教诲:取得中华花艺教授资格证书，代表着一个结束，另一个的开始。本人自知之明，取得中华花艺教授资格证书对本人而言，只是初结的幼果，如今起步重头越，还需继续努力学习，增加知识营养和不断提高操作技能。争取达到结中果的目标，结大果是我的努力方向。 推广中华花艺是我们义不容辞的责任 以上是我学习中华花艺肤浅的体会与心得，拿出来和大家分享，请多指教及多包涵。 第二xx届中华花艺学员中国深圳曾绮玲 XX年11月中旬 2 / 2
对 两 端 固 支 梁 的 弹 性 力系别：土木工程学专业：道路与桥梁应姓名：..... 力学号：........... 解班级：.......
对两端固支梁的弹性力学应力解摘要: 根据弹性力学平面问题的基本理论,采用半逆解法,求出了两端固支的单跨超静定梁在集中荷载作用下的应力和位移多项式解,并与材料力学解进行了比较,说明了材料力学解的精度和适用范围。 关键词:超静定梁;应力;位移;集中荷载;弹性力学 1 两端固支梁的弹性力学应力解 如图 1 所示:两端固支的单跨超静定矩形截面梁(为了简便,不妨取厚度为1 ,不计体力) , x = a 处受到集中荷载P 作用(可设此问题为平面应力问题) ,上、下两个边界的正应 力边界条件为（1） 先考虑x = 0～a 段的应力分布. 根据式(1) 所示的应力边界条件[6],可假设应力函数φ 为将应力函数φ 代入相容方程: ,即可求得待定函数f1, f2 故应力函数 因函数中常数项和中的线性项对应力分量没有影响,故未列出. 根据应
力函数可求出应力分量 由上、下两个边界的剪应力边界条件0,可求出待定常数 应力分量为 同理可得x = a～l 段的应力分布为 x = a 处平衡条件为 由此可得
可见,应力分量中还包含 3 个独立的待定常数这 3 个常数必须由位移边界条件确定，为此考虑物理方程 和几何方程 当0 ≤x ≤a 时,将应力分量式(5) , (2) , (6) 和几何方程代入物理方程,可得 由式(11)得 由式(12)得 （15） 将式(14) , (15)代入式(13) ,整理得 由于该式左边是x 的函数,右边是y 的函数,所以左 右两边应等于同一常数,设此常数为ω1,则
第二章 平面问题的基本理论 【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F ghb M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
《弹性力学》课程教学大纲 课程英文名称：Theory of Elasticity 课程编号：193990360 课程类别：专业课 课程性质：必修课 学分： 3 学时： 48（其中：讲课学时48：实验学时：0 上机学时： 0） 适用专业：工程力学本科专业 开课部门：土木工程与建筑学院 一、课程教学目的和课程性质 本课程属于工程力学专业必修课。该课程是在理论力学和材料力学的基础上，进一步学习弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法，了解线弹性体简单经典问题的计算方法和基本解答，分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法，提高分析与计算能力，为学习有关专业课程打好初步的弹性力学基础。 本课程教学目的主要目的：培养学生的逻辑思维能力；培养学生估计和评价弹性固体中应力和应变的分布规律及计算结果的能力；培养学生用弹性力学方法研究和解决实际工程中力学问题的能力；使学生掌握分析一般工程结构在外力作用下的变形、内力分布与承载能力的方法，以及为进一步研究工程结构的强度、刚度、稳定性等力学问题打下基础，并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。 二、本课程与相关课程的关系 先修课程：《高等数学》、《理论力学》、《材料力学》 后续课程：《土力学》、《岩石力学》、《塑性力学》等 三、课程的主要内容及基本要求 第1单元绪论（ 2 学时） [知识点] 弹性力学的研究内容和研究方法；弹性力学中的一些基本概念；弹性力学中的基本假设条件；弹性力学与其它学科的关系；弹性力学的学习方法。 [重点] 弹性力学的研究内容和研究方法；弹性力学的基本假设；弹性体、弹性变形、应力、应变、位移与变形、面力、体力的概念。
悬臂梁在均布荷载下的应力状况 摘要：悬臂梁在现实生活中很常见，对于悬臂梁的分析采用弹性力学里的应力边界条件和平微分方程和相容方程进行求解计算分析，再结合材料力学的知识进行分析，深入系统的了解悬臂梁的手里特点。 关键词：静定梁、悬臂梁、弹性力学、材料力学、受力特点 现实生活中的房屋建筑中，存在很多的悬臂梁结构，身边的例子很多，例如 体育场的看台，城市里房屋的阳台，农村房屋中很多都有屋檐，而其都是靠悬臂梁的支撑才能结合上面的附属物件构成。现在我们就对悬臂梁的应力情况分别采用弹性力学和材料力学的相关知识进行分析 如图所示梁受荷载作用，求解其应力 1、弹性力学求解 解：本题是按应力求解的。 基本公式 x C xy h q C y C y h q y y x h q xy y x 123213332362)46(+=+--=--=τσσ 1、在应力法中，应力分量在单连体中必须满足： （1）平衡微分方程；00=+??+??=+??+??y xy y x yx x f x y f y x τστσ （2）相容方程 ()02=+?y x σσ； y ql x ??? ? ??-20222qh ql l 202qh q o h /2 h /2 （l ＞＞h ，δ＝1）
（3）应力边界条件（在σs s =上）。 将应力分量代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。 2、校核边界条件 （1）在主要边界上 04602123=??? ? ??+?=±=C h h q x h y xy ，即时，τ,由此得 h q C 231-= q C h C h h q q h y y -=++??? ? ??--=-=2133282,2即－时，σ，由此得 2 2q C -= 0==y h h y σ时，，将C 1、C 2代入后满足。 将C 1、C 2代入式（a ），得到应力公式： () ??? ? ??-=???? ??+--=--=14232232123222 23223h y h qx h y h y q y x h qy xy y x τσσ （b ） （2）再将式（b ）代入次要边界条件 00==xy x τ时， 33 4h y q x =σ，其主矢量为 0) (02 2==-?dy x h h x σ 而主矩为20 )(22 20qh ydy h h x x =?-=σ x =l 时，，其主矢量为； （2分） )46(323y y l h q x --=σql dy h h x xy -=?-=2 20)(τ)14(2322-=h y h ql xy τ，其主矢量为0， （1分） 而主矩为)202()(222 2qh ql ydy l x h h x --==-?σ 由此可见，在次要边界上的积分条件均能满足。因此，式（b ）是图示问题之解。
《桥梁工程》课程设计 姓名：粟峰 班级：交建12-1班 学号： 02120482 中国矿业大学力学与建筑工程学院 二О一五年一月
中国矿业大学桥梁工程课程设计简支梁桥课程设计 装配式钢筋混凝土T型梁桥设计 设计说明书 课程编号：021141 《桥梁工程》课程设计大纲 2周2学分 一、课程设计性质、目的及任务 桥梁工程课程设计是土木工程专业交通土建专业方向重要的实践性教学环节，是学生修完《桥梁工程》课程后对梁式桥设计理论的一次综合性演练。其目的是使学生深入理解梁式桥的设计计算理论，为今后独立完成桥梁工程设计打下初步基础。其任务是通过本次课程设计，要求熟练掌握以下内容： 1．梁式桥纵断面、横断面的布置，上部结构构件主要尺寸的拟定。 2．梁式桥内力计算的原理，包括永久作用的计算、可变作用的计算（尤其是各种荷载横向分布系数的计算）、作用效应的组合。 3．梁式桥纵向受力主筋的配置、弯起钢筋和箍筋的配置，以及正截面抗弯、斜截面抗剪、斜截面抗弯和挠度的验算，预拱度的设置。 4．板式橡胶支座的设计计算。 二、适用专业 交通土建专业 三、先修课程 材料力学、弹性力学、结构力学、结构设计原理、地基与基础工程、交通规划与道路勘测设计、道路工程、桥涵水力水文 四、课程设计的基本要求 本设计为装配式钢筋混凝土简支T型梁桥设计（上部结构），其下部结构为重力式桥墩和U型桥台，支座拟采用板式橡胶支座。学生在教师的指导下，在两周设计时间内，综合应用所学理论知识和桥梁工程实习所积累的工程实践经验，贯彻理论联系实际的原则，独立、认真地完成装配式钢筋混凝土T型梁桥的设计。 基本要求为：计算书应内容完整，计算正确，格式规范，叙述简洁，字迹清楚、端正，图文并茂；插图应内容齐全，尺寸无误，标注规范，布置合理。
弹性力学简明教程（第四版） 习题解答 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形
弹性力学论文 篇一：弹性力学弹性力学的发展以及在实际当中的应用关键字：弹性力学发展过程应用摘要：文章简述了弹性力学的发展历程，介绍了弹性力学在各个领域当中的应用，并且在文章最后提到了弹性力学在未来可能的发展趋势。弹性力学是研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，只是简单地利用弹性原理，并没有完整的理论体系，比如弓箭的使用。而人们建立系统的弹性力学研究体系是从17世纪开始的。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论存在着很多缺陷，有的甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。弹性力学在各个领域当中有着广泛的应用。堤坝的整体强度、发电厂的发电机组临界转速、高层建筑顶端的晃动控制等土木工程问题都离不开弹性力学的帮助。弹性力学在地震预测方面也有重要应用，如地震有无确定前兆，如果有确定前兆，那么在原理上是否可探测，都是目前弹性
重庆大学本科学生课程设计任务书 课程设计题目有限元程序设计 学院资源及环境科学学院专业工程力学年级2010级 已知参数和设计要求： 1.独立完成有限元程序设计。 2.独立选择计算算例，并能通过算例判断程序的正确性。 3.独立完成程序设计报告，报告内容包括理论公式、程序框图、程序本 体、计算算例，算例结果分析、结论等。 学生应完成的工作： 1.复习掌握有限单元法的基本原理。 2.掌握弹性力学平面问题3节点三角形单元或4节点等参单元有限元方法 的计算流程，以及单元刚度矩阵、等效节点载荷、节点应变、节点应力 和高斯积分等的计算公式。 3.用Fortran语言编写弹性力学平面问题3节点三角形单元或4节点等参 单元的有限元程序。 4.在Visual Fortran 程序集成开发环境中完成有限元程序的编辑和调试 工作。 5.利用编写的有限元程序，计算算例，分析计算结果。 6.撰写课程设计报告。 目前资料收集情况（含指定参考资料）： 1.王勖成，有限单元法，北京：高等教育出版社，2002。 2.O.C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, Finite Element Method, 5th Eition, McGraw-Hall Book Company Limited, 2000。 3.张汝清，董明，结构计算程序设计，重庆：重庆大学出版社，1988。 课程设计的工作计划： 1.第1周星期一上午：教师讲解程序设计方法，程序设计要求和任务安 排。 2.第1周星期一至星期二完成程序框图设计。 3.第1周星期三至第2周星期四完成程序设计。 4.第2周星期五完成课程设计报告。 任务下达日期 2013 年 6 月 6 日完成日期 2013 年 07 月 03 日 指导教师（签名） 学生（签名）
【2-9】【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：() () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板 厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-= 由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力
弹性力学 结 课 论 文 班级：道桥1201 姓名：刘元功 学号120580115
弹性力学在土木工程中的应用 摘要：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产的应力、弹性力学，应变和位移，从而解决结构或设计中所提生出的强度和刚度问题。在土木工程方面，建筑物能够通过有效的弹性可以抵消部分晃动，从而减少在地震中房屋倒塌的现象；对于水坝结构来说，弹性变化同样具有曲线性，适合不断变化的水坝内部的压力，还有大型跨顶建筑、斜拉桥等等。弹性力学在土木工程中还有一些重要应用实例，如：地基应力与沉降计算原理、混凝土板的计算方法、混凝土材料受拉劈裂试验的力学原理、混凝土结构温度裂缝分析、工程应变分析、结构中的剪力滞问题等。 关键词：弹性力学、力学、弹性变形、土木工程 正文： 弹性力学是人们在长期生产实践与科学试验的丰富成果上发展起来的。它的发展与社会生产发展有着特别密切的关系，它来源于生产实践反过来又为生产实践服务，弹性力学作为固体力学的一个独立的分支已经与一百多年的历史。 弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性力学弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。 对于物体弹性变形，变形的机理，应从材料内部原子间里的作用来分析。实际上，固体材料之所以能好吃其内部结构的稳定性是由于组成该固体材料（如金属）的原子间存在着相互平衡的力，吸力使原子间密切联系在一起，而短程排斥力则使各原子间保持一定的距离在正常情况下，这两种力保持平衡，原子间的相对位置处于规则排列的稳定状态。受外力作用时，这种平衡被打破，为了恢复平衡，原子便需产生移动和调整，使得吸力、斥力和外力之间取得平衡。因此，如果知道了原子之间的力相互之间的定律，原则上就能算出晶体在一定弹性力作用下的反应。实际上，固体结构的内部是多样的、复杂的。例如：夹杂、微孔、晶界等，都是影响变形发展的因素。目前的一些学说仍不能尚不能解释全部固体材料的微观机理。主要是由于所有的工程材料都不可避免的有缺陷存在。对于工程问题来说不必具体分析每一个材料对于材料性态的影响，而只需宏观的研究其统计特性，即可解决工程力学中的力学分析问题。仅宏观的弹性体在受外部作用时应力场和位移场的分布，主要是梁、板、壳这一类结构及其它形式的结构物和构筑物的弹性力学问题。弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。
【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？ 【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。 【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。 【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。 【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？ 【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m 个；在n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n 个。 【3-4】试考察应力函数3 ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3 ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.