圆锥曲线习题——双曲线
1. 如果双曲线
2
4
2
2y
x -
=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是
( ) (A)
3
64 (B)
3
62 (C)62 (D)32
2. 以双曲线
2
2
19
16
x
y
-
=的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )
A .221090x y x +-+=
B .2210160x y x +-+=
C .2210160x y x +++=
D .221090x y x +++=
3. 过双曲线
2
2
19
16
x
y
-
=的右顶点为A ,
右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则△AFB 的面积为_______ 4. 已知双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若双曲
线上存在一点P 使
1221
sin sin PF F a PF F c
=,则该双曲线的离心率的取值范围是 .
5. 过双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于
,M N 两点,以M N 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为______
6. 已知P 是双曲线
222
2
1x y a
b
-
=上除顶点外任意一点,12,F F 为左右焦点,c 为半焦距,
21F PF ?内切圆与12F F 切于点M ,则12||||F M F M ?的值为__________
7. 已知双曲线22
2x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交
于A B ,两点.
(I )若动点M 满足1111F M F A F B F O =++
(其中O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程; (II )在x 轴上是否存在定点C ,使C A ·C B
为常数?若存在,求出点C 的坐标;若不存
在,请说明理由.
8. 已知双曲线C 的方程为
222
2
1(0,0)y x a b a
b
-
=>>,
离心率2
e =,顶点到渐近线的距
5
(1)求双曲线C 的方程;
(2)如图,P 是双曲线C 上一点,A ,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若
1
,[
,2]3
A P P
B λλ=∈ ,求
A O
B ?面积的取值范围
双曲线习题解答题详细答案
选择题:
1. A
2. B
3. A
4. B
5. B
6. D
7. C
8. C 填空题:
9.
3215
10. (1,1+ 11. 2
12. 645
-
13. 16
14.
2
2
1(3)9
27
x
y
x -
=<-
15. ||||3
F P F Q ?=
16. 2
12||||F M F M b ?=
17. 如图,在以点O 为圆心,||4AB =为直径的半圆AD B
中,O D AB ⊥,P 是半圆弧上一点,30P O B ∠=?,曲线
C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹,且曲线C 过点P .
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程; (Ⅱ)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△O EF 的面积不小于
...,求直线l 斜率的取值范围.
解:(Ⅰ)以O 为原点,AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则A (-2,0),B (2,0),D (0,2),P (1,3),依题意得 |MA |-|MB |=|P A |-|PB |=221321)32(2
22
2
=)(+-
-++
<|AB |=4.
∴曲线C 是以原点为中心,A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ,虚半轴长为b ,半焦距为c , 则c =2,2a =22,∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.
∴曲线C 的方程为
12
2
2
2
=-
y
x
.
解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA |-|MB |=|PA |-|PB |< |AB |=4.
∴曲线C 是以原点为中心,A 、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为
a b
y a
x (12
22
2=-
>0,b >0).
则由 ??
???=+=-411
3222
22
b a b
a )(解得a 2=
b 2=2, ∴曲线C 的方程为
.12
2
2
2
=-
y
x
(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理得(1-K 2)x 2
-4kx-6=0.
∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,
∴ ?????-?+-=?≠0
)1(64)4(012
22
k k k -?
1k k ≠±???
<?
∴k ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). 设E (x ,y ),F (x 2,y 2),则由①式得x 1+x 2=k
x x k
k --
=-16,14212
,于是
|EF |=2
212221221))(1()()(x x k x y x x -+=
++-
=.132214)(12
2
2
212
212
k
k
k
x x x x k
--?
+=
-+?
+
而原点O 到直线l 的距离d =
2
12k
+,
∴S △DEF =
.132213221122
12
12
2
2
2
2
2
k
k k
k
k
k
EF d --=
--?
+?+?
=
?
若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥,则有
解得.22,0222132
22
4
2
2
≤≤-≤--?≥--k k
k
k
k
③
综合②、③知,直线l 的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).
解法2:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1-K 2)x 2-4kx -6=0.
∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,
∴ 222
10(4)46(1)0
k k k ?≠???=-+?->??-?
1k k ≠±???
<?
.∴k ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 |x 1-x 2|=.132214)(2
2
2
212
21k
k
k
x x x x --=
-?=
-+ ③
当E 、F 在同一去上时(如图1所示), S △OEF =;2
12
12121x x OD x x OD S S ODE ODF -?=
-?=
-??
当E 、F 在不同支上时(如图2所示).
+=??ODF OEF S S S △ODE =
.2
1)(2
12121x x OD x x OD -?=
+?
综上得S △OEF =
,2
121x x OD -?于是
由|OD |=2及③式,得S △OEF =
.13222
2
k
k
--
若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥?OEF S
.22,022132
22
4
2
2
≤≤-≤-?≥--k k
k
k
k
解得 ④
综合②、④知,直线l 的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(-1,1)∪(1,2).
18. (Ⅰ)设O A m d =-,AB m =,O B m d =+
由勾股定理可得:2
2
2
()()m d m m d -+=+ 得:14
d m =
,tan b A O F a
∠=
,4tan tan 23
A B A O B A O F O A
∠=∠=
=
由倍角公式∴2
2
43
1b a
b a =
??- ?
??
,解得
12
b a
=
,
则离心率2
e =
.
(Ⅱ)过F 直线方程为()a y x c b
=-
-,与双曲线方程
222
2
1x y a
b
-
=联立
将2a b =
,c =
代入,化简有
2
2
152104x x b
b
-
+=
124x =
-=
将数值代入,有4=
解得3b = 故所求的双曲线方程为2
2
136
9
x
y
-
=。
19. 解:由条件知1
(20)F -,
,2
(20)F ,,设11()A x y ,,22()B x y ,.
(I )解法一:(I )设()M x y ,,则则1(2)F M x y =+ ,,111(2)F A x y =+
,, 1221(2)(20)F B x y F O =+= ,,,,由1111F M F A F B F O =++ 得 121226x x x y y y +=++??
=+?,即12124x x x y y y
+=-??+=?,
于是A B 的中点坐标为42
2x y -??
???,. 当A B 不与x 轴垂直时,
1212
2
48
2
2
y
y y y x x x x -=
=----,即1212()8
y y y x x x -=
--.
又因为A B ,两点在双曲线上,所以22112x y -=,22
222x y -=,两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-.
将1212()8
y y y x x x -=
--代入上式,化简得22
(6)4x y --=.
当A B 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=. 解法二:同解法一的(I )有12124x x x y y y
+=-??+=?,
当A B 不与x 轴垂直时,设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±. 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=.
则12x x ,是上述方程的两个实根,所以2
122
41
k
x x k +=
-.
21212244(4)411k k
y y k x x k k k ??+=+-=-= ?--??
.
由①②③得2
2
441
k
x k -=
-.…………………………………………………④
2
41
k y k =-.……………………………………………………………………⑤
当0k ≠时,0y ≠,由④⑤得,4x k y
-=,将其代入⑤有
22
2
2
444(4)(4)(4)1
x y x y
y x x y
y
-?-=
=----.整理得22
(6)4x y --=.
当0k =时,点M 的坐标为(40),,满足上述方程.
当A B 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程. 故点M 的轨迹方程是2
2
(6)4x y --=.
(II )假设在x 轴上存在定点(0)C m ,,使C A C B
为常数.
当A B 不与x 轴垂直时,设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±. 代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=.
则12x x ,是上述方程的两个实根,所以2
122
41
k
x x k +=
-,2
122
421
k x x k +=
-,
于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--
2
2
2
2
1212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++
22
22
22
2
2
(1)(42)
4(2)
411
k k k k m k m k k +++=
-
++--
2
2
2
2
2
2(12)2
442(12)1
1
m k m m m m k k -+-=+=-+
+--.
因为C A C B 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时C A C B
=1-.
当A B 与x 轴垂直时,点A B ,
的坐标可分别设为(2
,(2-
,,
此时(1(11C A C B =-
=-
,.
故在x 轴上存在定点(10)C ,,使C A C B 为常数.
20.(Ⅰ)由题意知,双曲线C 的顶点(0,a
)到渐近线05
ax by -=的距离为
,
所以
5
=
5
ab c
=
由22252
12ab c a c
b a
c c a b ?=?
??=???=
=????=??=+???
得 所以曲线C 的方程是
2
y
4
2
1x -=
(Ⅱ)设直线AB 的方程为,y kx m =+ 由题意知2,0k m <>
由2,),222y kx m m m
A y x
k k =+??
=--?得点的坐标为(
由2,
),222y kx m m
m
B y x
k k
=+?-?
=-++?得点的坐标为(
121,(),()122122m m A P P B P k k k k
λλλλλ=-++-++-+得点的坐标为(uu u r uur
将P 点的坐标代入
2
1x -=2
y
4
得
22
2
4(1)
4m
k
λλ
+=
-
设Q 为直线AB 与y 轴的交点,则Q 点的坐标为(0,m )
AOB S ?=AO Q BO Q S S ??+
22
111()
22
2
114(
)2222411
()1
2
A B A B O Q x O Q x m x x m m m
m k k
k
λλ
=+=-=+
=
-+-=
+
+g g g
三、典型例题选讲 (一)考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点.若3||1=PF ,则=||2PF ( ) A .1或5 B .6 C .7 D .9 分析:根据标准方程写出渐近线方程,两个方程对比求出a 的值,利用双曲线的定义求出 2||PF 的值. 解:Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3 ±,由已知渐近线为023=-y x , 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=,||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ,7||2=∴PF . 故选C . 归纳小结:本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法. (二)基本量求解 例2(2009山东理)设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线2 1y x =+只有一个公共点, 则双曲线的离心率为( ) A . 4 5 B .5 C .25 D .5 解析:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ? =? ??=+?,消去y ,得 210b x x a - +=有唯一解,所以△=2()40b a -=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a +===+=,故选D .
归纳小结:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能. 例3(2009全国Ⅰ理)设双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2 +1相 切,则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析:设切点00(,)P x y ,则切线的斜率为 0'0|2x x y x ==.由题意有 00 2y x x =.又有2001y x =+,联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴ ==+=. 因此选C . 例4(2009江西)设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点,若12F F ,, (0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A . 32 B .2 C .5 2 D .3 解析:由3tan 6 2c b π = =2222 344()c b c a ==-,则2c e a ==,故选B . 归纳小结:注意等边三角形及双曲线的几何特征,从而得出3 tan 6 2c b π = =体现数形结合思想的应用. (三)求曲线的方程
双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 ) 1. 命题甲:动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|?|PB|│=2a(a ?0);命题乙; P 点轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的 [ ] A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x 2 sin ??y 2cos ?=1表示焦点在y 轴上的双曲线,那么角?的终边在 [ ] A .第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限 6. 7. 若a ·b ?0,则ax 2 ?ay 2 =b 所表示的曲线是 [ ] A .双曲线且焦点在x 轴上 B .双曲线且焦点在y 轴上 C .双曲线且焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上 D .椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab ?0,方程y=?2x ?b 和bx 2 ?ay 2 =ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1.平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A .双曲线 B .一条直线 C .一条线段 D .两条射线 2.已知方程x 21+k -y 2 1-k =1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) A .-1
双曲线专题 一、学习目标: 1.理解双曲线的定义; 2.熟悉双曲线的简单几何性质; 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长(小于 2 1F F )的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e (>1)的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤,R y ∈ R x ∈,a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴: 坐标轴 ;对称中心: 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -,()0,2a A ()b B -,01,()b B ,02 ()a A -,01,()a A ,02()0,1b B -,()0,2b B 焦点 ()0,1c F -,()0,2c F ()c F -,01,()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ,其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习
1.椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a -y 2 2=1有相同的焦点,则a 的值是( ) A.1 2 B .1或-2 C .1或1 2 D .1 2.已知F 是双曲线x 24-y 2 12=1的左焦点,点A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________. 3.已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1||PF 2|=( ) A .2 B .4 C .6 D .8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(-10,0),F 2(10,0),M 是此双曲线上的一点,且MF 1→·MF 2→=0,|MF 1→|·|MF 2→|=2,则该双曲线的方程是( ) A.x 29-y 2 =1 B .x 2-y 29=1 C.x 23-y 2 7=1 D.x 27-y 2 3=1 5.若F 1,F 2是双曲线8x 2-y 2=8的两焦点,点P 在该双曲线上,且△PF 1F 2是等腰三角形,则△PF 1F 2的周长为________. 6.已知双曲线x 26-y 2 3=1的焦点为F 1,F 2,点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴,则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56
高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1.已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x﹣4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是() A.x=0 B. C.D. 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为; (2)顶点间的距离为6,渐近线方程为. 3、与双曲线有相同的焦点,且过点的双曲线的标准方程是
4、求焦点在坐标轴上,且经过点A(,﹣2)和B(﹣2,)两点的双曲线的标准方程. 5、已知P是双曲线=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为. 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为. 2、设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为. 3、双曲线的焦距为2c,直线l过点(a,0) 和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(﹣1,0)到直线l 的距离之和.则双曲线的离心率e的取值范围是() A. B.C.D. 3、焦点三角形
1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点,F为双曲线的右焦点,已知A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为. 2、.已知F1,F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积. 3、已知双曲线焦点在y轴上,F1,F2为其焦点,焦距为10,焦距是实轴长的2倍.求: (1)双曲线的渐近线方程; (2)若P为双曲线上一点,且满足∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积. 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P(1,1)的直线L与双曲线只有一个公共点,则直线L的斜率k= ____ 5、综合题型
x y o x y o x y o x y o 高二数学双曲线同步练习 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 ( ) A .椭圆 B .线段 C .双曲线 D .两条射线 2.方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线,则k 的取值范围是 ( ) A .11<<-k B .0>k C .0≥k D .1>k 或1- 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 一、选择题 1.平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A .双曲线 B .一条直线 C .一条线段 D .两条射线 2.已知方程x 21+k -y 2 1-k =1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) A .-1 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例1:已知椭圆的焦点是F 1(0,-1)、F 2(0,1),P 是椭圆上一点,并且PF 1+PF 2=2F 1F 2,求椭圆的标准方程。 2.已知椭圆的两个焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),且2a =10,求椭圆的标准方程. 二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例:1. 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。 例.求过点(-3,2)且与椭圆x 29+y 24 =1有相同焦点的椭圆的标准方程. 四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。 例: 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. . 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ,求k 的值. 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例:1.若△ABC 的两个顶点坐标A (-4,0),B (4,0),△ABC 的周长为18,求顶点C 的轨迹方程。 2.已知椭圆的标准方程是x 2a 2+y 225=1(a >5),它的两焦点分别是F 1,F 2,且F 1F 2=8,弦AB 过点F 1,求△ABF 2的周长. 3.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24 =1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且PF 1∶PF 2=2∶1,求△PF 1F 2的面积. 七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆1222=+y x ,求过点?? ? ??2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程. 一、选择题(每小题只有一个正确答案,每题6分共36分) 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 ( ) A . 5 B. 3 C. 4 D 8 2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为 ( ) A . 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3.双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 ( ) A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3,则P 到y 轴的距离为 ( ) A . 1 B. 2 C. 3 D 4 5.双曲线的渐进线方程为230x y ±=,(0,5)F -为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程为。 ( ) A . 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6.设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 ( ) A . 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 =ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A .y 2 =±4 B .y 2 =±8x C .y 2 =4x D .y 2 =8x 8.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2 =4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A .2 B .3 9.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2 =4x 上一动点P 到直线 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 分析:由于9≠k ,25≠k ,则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的. (2)∵焦点在x 轴上,6=c , ∴设所求双曲线方程为:162 2 =-- λ λy x (其中60<<λ) ∵双曲线经过点(-5,2),∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ(舍去) ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉. (3)设所求双曲线方程为: ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223, ,∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ(舍) ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明:(1)注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后,便有了以上巧妙的设法. (2)寻找一种简捷的方法,须有牢固的基础和一定的变通能力,这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面. 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ,求21PF F ∠的大小.(出题+答案)双曲线标准方程--离心率练习题
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