3．4 基本不等式ab ≤a ＋b
2
第1课时 算术平均数与几何平均数------答案 （郑伟峰）
例1、[答案] C 变式1、[答案] B
[解析] ∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>2ab ， ∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2＝4， ∴a 2＋b 22
>1，
又由a 2＋b 2>2ab ，得(a ＋b )2>4ab ， ∴ab <1，∴ab <1 2 . 例2、[解析] ∵0＜x ＜1 3 ，∴1－3x ＞0. ∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13????3x ＋1－3x 22＝1 12，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝1 6时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取最大值1 12. 变式2、[答案] C [解析] 1a ＋1b ＝12??? ? 1a ＋1b (a ＋b ) ＝1＋12???? b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 例3、[解析] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知： 4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 方法1：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272 ， 即S ≤27 2 ，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由????? 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得????? x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大． 方法2：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－3 2y . ∵x ＞0，∴9－3 2y >0，∴0＜y ＜6， S ＝xy ＝????9－32y y ＝3 2 (6－y )·y . ∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0， ∴S ≤32·????6－y ＋y 22＝27 2 . 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5m ，宽3m 时，可使面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24. 设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 方法1：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由????? 2x ＝3y ，xy ＝24，解得????? x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6m ，宽4m 时，可使钢筋网总长最小． 方法2：由xy ＝24得x ＝24y . ∴l ＝4x ＋6y ＝96 y ＋6y ＝6????16y ＋y ≥6×2 16 y · y ＝48.当且仅当16 y ＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6. 故每间虎笼长6m ，宽4m 时，可使钢筋网总长最小． 变式3、[解析] 设使用x 年平均费用最少． 由条件知：汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列． 因此，汽车使用x 年总的维修费用为 0.2＋0.2x ·x 2 万元． 设汽车的年平均费用为y 万元，则有 y ＝ 10＋0.9x ＋0.2＋0.2x ·x 2x ＝10＋x ＋0.1x 2 x ＝1＋10x ＋x 10 ≥1＋2 10x ·x 10 ＝3. 当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时，y 取最小值． 答：汽车使用10年平均费用最少． 课后作业答案 1．[答案] B[解析] ∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜12 又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， ∵1＝a ＋b ＞2ab ，∴ab ＜1 4 ， ∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝1 2， 即a 2＋b 2＞1 2 .故选B. 解法2：特值检验法：取a ＝13，b ＝2 3，则 2ab ＝49，a 2＋b 2＝5 9 ， ∵59＞12＞49＞1 3 ，∴a 2＋b 2最大． 2．[答案] C[解析] ∵x ＜5 4，∴4x －5＜0，y ＝4x －2 ＋1 4x －5 ＝4x －5＋1 4x －5＋3＝3－????5－4x ＋15－4x ≤3－2＝1， 等号在5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时成立，故选C. 3．[答案] C[解析] ∵a ＞0，b ＞0，∴A ＞0，B ＞0， A 2 －B 2 ＝(a ＋b ＋2ab )－(a ＋b ) ＝2ab ＞0，∴A 2＞B 2， ∵A >0，B >0，∴A ＞B . [点评] 可取特值检验． 4．[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x ∴A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0. ∴1＋x ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2 ＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2 ， 等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．∴选B. 5．[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝1 2 时“＝”成立．故选B. 6．[答案] D[解析] 解法1：∵02ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2， ∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D. 解法2：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝6 3， 2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然5 6最大． 7． [答案] 1 4 [解析] ∵0 ∴所求最大值为1 4 . 8． [答案] x >z >y [解析] ∵a >0，∴2a ∴12a >1a ＋a ＋1>12a ＋1，即x >z >y . 9． [答案] 1 2log a t ≤log a t ＋12 [解析] ∵a 2＋a －2>0，∴a <－2或a >1， 又a >0，∴a >1， ∵t >0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝1 2log a t . 10． 显然函数y ＝x ＋1 x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当x >0时，y ＝x ＋1 x ≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号)， ∴当x >0时，y ＝x ＋1 x 有最小值2. 当x <0时，y ＝x ＋1x ＝－(－x －1 x )≤－2 －x ·－1x ＝－ 2(当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时取等号)．∴当x <0 时，y ＝x ＋1x 有最大值－2. ∴函数y ＝x ＋1 x 的值域为(－ ∞，－2]∪[2，＋∞)． 11、分析：在运用定理：ab b a ≥+2时，注意条件 a 、 b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形 答案：∵x ，y 都是正数，∴y x ＞0，x y ＞0，x 2＞0， y 2＞0，x 3＞0，y 3 ＞0(1)x y y x x y y x ?≥+2＝2即x y y x +≥2 (2)x ＋y ≥2xy ＞0；x 2＋y 2 ≥2 2 2y x ＞0；x 3＋y 3 ≥ 2 3 3y x ＞0 ∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2 xy 22 2 2y x 22 3 3y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3 12、证明：∵a ，b ，c ∈R ＋ ，且a ＋b ＋c ＝1 ∴2＝（a ＋b ）＋（b ＋c ）＋（c ＋a ） ∴［（a ＋b ）＋（b ＋c ）＋（c ＋ a ）］2（a c c b b a ++ +++1 11） ≥ 3 2 ) )()((a c c b b a +++3 323111a c c b b a +? +?+＝９ 故29 111≥ +++++a c c b b a 13、证明：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根x 1＞0 ∴ax 12＋bx 1＋c ＝0,∴a ＋211 x c x b +＝0 ∴c （11 x ）2＋b 211x ＋a ＝0(方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根11x ＞0) ∴x 1＋x 2＝x 1＋11 x ≥2 故方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根x 2，使得x 1＋x 2≥2 14、[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600 x ×400＋k (2 000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%， 故有y ＝ 1440000 x ＋100x ≥2 1440000 x ·100x ＝24 000(元)． 当且仅当1440000 x ＝100x ，即x ＝120时取等号． 所以只需每批购入120台，可使资金够用． 3.4.2基本不等式的应用----最值问题（答案） 乔更云 例1 [解析] ∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1. ∴1x ＋1y ＝(x ＋2y )(1x ＋1y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－2 2 时等号成立． ∴1x ＋1 y 的最小值为3＋2 2. 例2 [解析] 利用a ＞3的条件及结构式中一为分式，一为整式的特点配凑： a ＋ 4a －3＝(a －3)＋4 a －3 ＋3≥2(a －3)·4 a －3 ＋3 ＝7，等号在a －3＝4 a －3 即a ＝5时成立． 例3 [解析] 令t ＝x 2＋1，则t ≥1，且x 2＝t －1. ∴y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝(t －1)2＋3(t －1)＋3t ＝t 2＋t ＋1t ＝t ＋1 t ＋1. ∵t ≥1，∴t ＋1t ≥2 t ·1t ＝2，当且仅当t ＝1 t ，即t ＝1时，等号成立．∴当x ＝0时，函数取得最小值3. 例4[解析] 由1－x 2≥0知－1≤x ≤1，当0＜x ≤1时，x 1－x 2 ＝x 2 (1－x 2 )≤x 2＋(1－x 2)2＝12 ， 等号在x 2＝1－x 2即x ＝ 2 2 时成立；当x ＝0时，x 1－x 2＝0，当－1≤x ＜0时，x 1－x 2＜0， ∴x 1－x 2的最大值为1 2 . 变式4[解析] ∵0＜x ＜π2，∴0＜sin x ＜1，但sin x ＝ 2 sin x 时sin x ＝2，不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条件． 令u ＝sin x ，可利用y ＝u ＋2 u 在(0,1)上是减函数得 出y ＞3. ∴此函数值域为(3，＋∞)． 例5[解析] 设扇形中心角为θ，半径r ，面积s ，弧长l ，则s ＝12lr ＝1 2 θr 2，l ＝rθ. ①s 为定值，则θ＝2s r 2，∴扇形周长p ＝2r ＋l ＝2r ＋rθ＝2r ＋2s r ≥4s .等号在r ＝s r 即r ＝s 时成立， ∴半径是s 时扇形周长最小． ②周长p ＝2r ＋rθ一定，∴θ＝p r －2，面积s ＝1 2θr 2 ＝12r (p －2r )＝r (p 2－r )≤[r ＋(p 2－r ) 2]2 ＝p 216，等号在r ＝p 2－r 即r ＝p 4时成立，∴半径r ＝p 4时，面积最大． 变式5[解析] 如图，因为AB ＝x ，所以AD ＝12－x . 又DP ＝PB ′，AP ＝AB ′－PB ′＝AB －DP ＝x －DP . 由勾股定理得 (12－x )2＋DP 2＝(x －DP )2， 整理得 因此△ADP 的面积 S ＝1 2AD ·DP ＝12(12－x )·????12－72x ＝108－????6x ＋432 x . ∵x ＞0， ∴6x ＋432 x ≥2 6x ·432 x ＝72 2. ∴S ＝108－? ???6x ＋432 x ≤108－72 2. 当且仅当6x ＝432 x 时，即当x ＝62时，S 有最大 值108－72 2. 答：当x ＝62时，△ADP 的面积有最大值108－72 2. 例6[解析] 解法1：(1的代换)∵1x ＋9 y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·????1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . ∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9x y ≥2 y x ·9x y ＝6. 当且仅当y x ＝9x y ，即y ＝3x 时，取等号． 又1x ＋9 y ＝1，∴x ＝4，y ＝12，∴x ＋y ≥16. ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16. 解法2：(消元法)由1x ＋9y ＝1，得x ＝y y －9. ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9. x ＋y ＝ y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9 y －9 ＋1＝(y －9)＋9 y －9 ＋10. ∵y ＞9，∴y －9＞0， ∴y －9＋9 y －9 ≥2 (y －9)·9 y －9 ＝6. 当且仅当y －9＝9 y －9，即y ＝12时取等号，此时， x ＝4，∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16. 解法3：(配凑法)由1x ＋9 y ＝1得，y ＋9x ＝xy ，∴(x －1)(y －9)＝9.∴x ＋y ＝10＋(x －1)＋(y －9)≥10＋2(x －1)(y －9)＝16. 当且仅当x －1＝y －9时取等号． 又∵1x ＋9 y ＝1，∴x ＝4，y ＝12. ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16. 合作探究[分析]解法1 由a ＞b ＞c 知：a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.因此，不等式等价于 a －c a － b ＋a －c b －c ≥m ，要使原不等式恒成立，只需a －c a －b ＋a －c b －c 的最小值 不小于m 即可．[解析] ∵ a －c a － b ＋a －c b － c ＝ (a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c ) b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2 b － c a －b ·a －b b －c ＝4. 当且仅当b －c a －b ＝a －b b － c ，即2b ＝a ＋c 时，等号成立． ∴m ≤4，即m ∈(－∞，4]． 解法2注意到a ＞b ＞c .及式子1a －b ＋1b －c ≥ m a －c 中分母都是多项式略嫌复杂，可换元简化． 令x ＝a －b ＞0，y ＝b －c ＞0. 则a －c ＝x ＋y . ∴ 1a －b ＋1b －c ≥m a －c 恒成立， 即：1x ＋1y ≥m x ＋y 恒成立． 即：m ≤(x ＋y )(1x ＋1 y )恒成立． ∵(x ＋y )(1x ＋1y )＝2＋y x ＋x y ≥2＋2 y x ·x y ＝4等号在x ＝y 即a －b ＝b －c 也就是b ＝a ＋c 2时成立． ∴m ≤4时原表达式恒成立． 3.4.2课后作业 一、选择题 1 [答案] B [解析] 取x ＝1，y ＝2满足x ＋y ≤4排除A 、C 、D 选B. 具体比较如下：∵0 4故A 不 对； ∵4≥x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，∴C 不对；又0＜xy ≤4，∴1xy ≥14，∴D 不对；1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2 xy ， ∵ 1xy ≥12 ，∴1x ＋1y ≥1. 2[答案] C [解析] ∵x ，y ∈R ＋ ，∴1＝4x ＋9y ≥2 36xy ＝12 1xy ∴xy ≥144. 等号在4x ＝9y ＝1 2，即x ＝8，y ＝18时成立． 3[答案] D [解析] ∵x ，y ∈R ＋ ，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ∴xy ≤100. ∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 100＝2.等号在x ＝4y ＝20，即x ＝20，y ＝5时成立． 4[答案] A [解析] ∵x ＋2y ＝4，∴3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y ＝234＝18， 等号在3x ＝32y 即x ＝2y 时成立． ∵x ＋2y ＝4，∴x ＝2，y ＝1时取到最小值18. 5[答案] D [解析] ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴ab ≤14，等号在a ＝b ＝1 2 时成立． ∴????1a 2－1????1b 2－1＝1－a 2a 2·1－b 2b 2 ＝(1＋a )·b a 2 ·(1＋b )a b 2＝(1＋a )(1＋b )ab ＝2＋ab ab ＝2ab ＋1≥21 4＋1＝9，故选D. 6[答案] D [解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝????1a ＋1b (a ＋b )＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2 b a 3a b ＝4 (等号在a ＝b ＝1 2 时成立)． 故所求最小值为4，选D. 7[答案] C [解析] ∵a x ＝b y ＝3，∴x ＝log a 3，y ＝log b 3， 又a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤(a ＋b 2 )2 ＝3. ∴1x ＋1 y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤1.故选C. 8[答案] D [解析] ∵a >0，b >0，a ＋b ＝4，∴ab ≤a ＋b 2＝2， ∴ab ≤4，∴1ab ≥1 4 ， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，故A 、B 、C 均错，选D. 9答案 B 二、填空题 10[答案] 32 4 [解析] 解法1：∵x 2 ＋y 2 2＝1，∴y 2＝2－2x 2. 又x ，y ∈R ＋ ， ∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝x 2(3－2x 2) ＝ 12(2x 2)(3－2x 2)≤22·2x 2 ＋(3－2x 2 )2＝324 ， 等号在2x 2＝3－2x 2，即x ＝ 32，y ＝2 2 时成立． 解法2 ：∵x ＞0，∴x 1＋y 2 ＝2·x 2 (12＋y 2 2 ) 又x 2 ＋(12＋y 22)＝(x 2＋y 2 2)＋12＝32 x 2(12＋y 2 2)≤x 2 ＋(12＋y 2 2)2＝34 ∴x 1＋y 2≤32 4 . 等号在x 2＝12＋y 2 2，即y ＝22，x ＝3 2时成立． 即(x 1＋y 2)max ＝32 4. 11[答案] 8 [解析] 物资全部运到灾区需t ＝400＋163(v 20 )2 v ＝400v ＋v 25≥8小时，等号成立时，400v ＝v 25，即v ＝100. 故最少要用8小时 12[答案] 1 2 (a －b )2 [分析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x －a )＋(b －x )为定值，则用变形不等式a 2＋b 22≥(a ＋b 2 )2 更简捷． [解析] y ＝(x －a )2＋(x －b )2≥ 2[(x －a )＋(b －x )2]2＝(a －b )22 . 当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b 2时，上式等号 成立． ∴当x ＝a ＋b 2时，y min ＝(a －b )2 2. 13【答案】①，③，⑤． 【解析】对于命题①由22a b ab =+≥，得1ab ≤， 命题①正确； 对于命题②令1a b ==时，不成立，所以命题②错误； 对于命题③2 2 2 ()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确； 对于命题④令1a b ==时，不成立，所以命题④错误； 对于命题⑤ 112 2a b a b ab ab ++==≥，命题⑤正确． 所以正确的结论为①，③，⑤． 三、解答题 14[解析] ∵x ，y ∈R ＋时，x ＋y ≤k x ＋y 恒成立，即k ≥ x ＋y x ＋y 恒成立，令p ＝ x ＋y x ＋y ，只要k ≥p max 即可，下面求p max ， ∵p 2＝x ＋y ＋2xy x ＋y ≤2(等号在x ＝y 时成立) ∴p ≤2，从而k ≥ 2.∴k 的最小值为 2. 15[解析] x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋b y ) ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2 等号在ay x ＝bx y 即y x ＝ b a 时成立 ∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18 又a ＋b ＝10 ∴ab ＝16. ∴a ，b 是方程x 2 －10x ＋16＝0的两根 ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 16[解析] 如图，tan α＝a x ，tan β＝b x . ∴tan θ＝tan(β－α)＝tan β－tan α 1＋tan αtan β ＝b x － a x 1＋a b x 2＝b －a x ＋ ab x ， ∵x ＋ab x ≥2 x ·ab x ＝2ab (x >0，a >0，b >0)． ∴tan θ≤b －a 2ab ， 当且仅当x ＝ab x 即x ＝ab 时取“＝”． 又∵θ∈(0，π 2)时，y ＝tan θ是增函数， ∴x ＝ab 时，θ有最大值． 3.4.3基本不等式的应用（证明问题）答案（罗军伟） 例1[解析] 先证a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2， ∵a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )， ∴a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2， ∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2c 2a 2， ∴a 4＋b 4＋c 2≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2， 再证a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )， ∵a 2b 2 ＋b 2c 2 ＝b 2 (a 2 ＋c 2 )≥2ab 2 c (等号在a ＝c 时成立)． 同理a 2b 2＋a 2c 2≥2a 2bc ，(等号在b ＝c 时成立)． b 2c 2＋a 2c 2≥2abc 2，(等号在a ＝b 时成立)． 三式相加得：a 2b 2 ＋b 2c 2 ＋c 2a 2 ≥abc (a ＋b ＋c ) (等号在a ＝b ＝c 时成立) 练习1[解析] 我们先证a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2，① ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a ) ＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )≥0， ∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2， 同理可得 b 3＋ c 3≥b 2c ＋bc 2，② a 3＋c 3≥a 2c ＋ac 2.③ 将①②③式两边分别相加，得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋a 2c ＋ac 2 ＝(a 2b ＋bc 2)＋(ab 2＋ac 2)＋(b 2c ＋a 2c ) ＝b (a 2＋c 2)＋a (b 2＋c 2)＋c (a 2＋b 2) ≥b ·2ac ＋a ·2bc ＋c ·2ab ＝6abc ， ∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc . 显然，当且仅当a ＝b ＝c 时， a 3＋b 3＋c 3＝3abc . 例2[证明] ∵ab ＋4a ＋b ＋4＝(a ＋1)(b ＋4)， 又∵a >0，b >0， ∴a ＋1≥2a >0，b ＋4≥4b >0， 当且仅当a ＝1，b ＝4时取等号． ∴(a ＋1)(b ＋4)≥8ab ， 当且仅当a ＝1，b ＝4时取等号． 练习2【解析】 (1)我们已知a ＋b 2≤ a 2＋ b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b 2 ＝ 2 2 (a ＋b )(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)． 同理b 2＋c 2≥2 2 (b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥ 2 2 (a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2 ≥ 22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋2 2 (a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立)．．(2)∵a 、b 、c 是△ABC 的三边， 不妨设a ≥b ≥c >0，则a >b －c ≥0， b >a －c ≥0，c >a －b ≥0，平方得： a 2> b 2＋ c 2－2bc ，b 2>a 2＋c 2－2ac ，c 2>a 2＋b 2－2ab ， 三式相加得：0>a 2＋b 2＋c 2－2bc －2ac －2ab ， ∴2ab ＋2bc ＋2ac >a 2＋b 2＋c 2. 课后作业答案 1[答案] C [解析] 取a ＝2，b ＝8，则a ＋b 2＝5，ab ＝4， 2ab a ＋ b ＝3.2∴选C. 比较如下：已知 a ＋ b 2≥ab ，又ab －2ab a ＋b ＝ab (a ＋b －2ab )a ＋b ＝ab (a －b )2a ＋b ≥0 ∴ab ≥2ab a ＋b .也可作商比较ab 2ab a ＋b ＝a ＋b 2ab ≥1. 2[答案] C [解析] 本题考查了均值不等式的应用． 由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋ 12y 5x ＋95＋4 5 ≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋13 5 ＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x 时，得到最小值5. [点评] 均值不等式的应用一定要注意成立的条件“一正，二定，三相等”．否则很容易这样解造成错误，∵x ＋3y ＝5xy ≥2x ·3y ，∴xy ≥12 25 ， ∴3x ＋4y ≥212xy ≥212·1225＝24 5 ，错因是两次等号不能同时取得． 3[答案] D [解析] 设等比数列的公比为x (x ≠0)，则有 S 3＝x ＋1＋1x (x ≠0)∵当x >0时，x ＋1x ≥2；x <0时，x ＋1 x ≤－2， ∴S 3＝x ＋1＋1 x 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 4[答案] B [解析] ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)>0不恒成立；(a 2＋b 2)－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋b 2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a >2或a b ＋b a <－2，故选B. 5[答案] D [解析] ∵a n >0，b n >0，a 1＝b 1，a 21＝b 21， ∴a 11＝ a 1＋a 212＝ b 1＋b 212 ≥b 1b 21＝b 11，等号成立时，b 1＝b 21，即此时{a n }，{b n }均为常数列，故选D. 6[答案] D [解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b ≥2ab ，∴ 2ab a ＋b ≤1， ∴2ab a ＋b ≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2 ab ≥22>2恒成立，故选D. 7[答案] 1760[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4 x m ，则总造价为： y ＝480＋803()2x ＋234x 32＝480＋320() x ＋4 x ≥480＋32032 x 34 x ＝1 760. 当且仅当x ＝4 x 即x ＝2时，y 取最小值1 760. 所以水池的最低总造价为1 760元．8[答案] 6 [分析] 此类题一般利用基本不等式转化为xy 的不等式 求解． [解析] 2x ＋3 y ≥2 6 xy ，∴26 xy ≤2，∴xy ≥6. 9[答案] 3[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P (x ，y )，则AB 方程为x 3＋y 4＝1， ∵x ，y ∈R ＋，∴1＝x 3＋y 4 ≥2 xy 12 ，∴xy ≤3. 10[解析] 左边＝1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝1＋b a ＋c a ＋1＋a b ＋c b ＋1＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )＋3， ∵a ＋b ＋c ＝1且a 、b 、c 同号．∴a >0，b >0，c >0， ∴b a ，a b ，c a ，a c ，c b ，b c 均大于0，又a ，b ，c 互不相等，由基本不等式得a b ＋b a >2，a c ＋c a >2，c b ＋b c >2于是，左边>2＋2＋2 ＋3＝9， ∴1a ＋1b ＋1 c >9. 11[答案] D [解析] 解法1：∵a 、b 都是正实数，且1a ＋9 b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )·() 1a ＋9 b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋2 b a ·9a b ＝16， 当且仅当b a ＝9a b 即b ＝3a 时等号成立， 此时a ＝4，b ＝12，∴(a ＋b )min ＝16. ∵a ＋b ≥c 恒成立，∴0 b ＝1得b ＋9a ＝ab ， ∴(a －1)(b －9)＝9， 又∵1a ＋9 b ＝1，a >0，b >0， ∴a >1，b >9， ∴(a －1)(b －9)≤?? ??(a －1)＋(b －9)22 ∴a ＋b ≥16，等号在a －1＝b －9＝3时成立， ∴要使a ＋b ≥c 恒成立，应有0 R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2 R 1＋R 2 ， R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝(R 1＋R 2)2－4R 1R 2 2(R 1＋R 2) ＝(R 1－R 2)2 2(R 1＋R 2) >0，所以R A >R B . 13[答案] B [解析] ∵a 、b 、c 成等差数列，∴b ＝ a ＋c 2 . ∵cos B ＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ＝a 2＋c 2－?? ? ?a ＋c 222ac ＝ 3a 2 ＋3c 2 －2ac 8ac ≥23a 2·3c 2－2ac 8ac ＝6ac －2ac 8ac ＝12(等号在a ＝c 时成立)． 又∵y ＝cos x 在(0，π)内是减函数，∴0 3. 14[答案] D [解析] AB ＝(a 2＋b 2)sin 2x cos 2x ＋ab (sin 4x ＋cos 4x ) ＝ab ＋(a －b )2sin 2x cos 2x ≥ab ，∴m ≥n ， p ＝A 2＋B 2＝(A ＋B )2－2AB ＝(a ＋b )2－2AB ， z ＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，∴p ≤z ， ∴m ＋z ≥p ＋n . 15[答案] 8[解析] ∵y ＝log a (x ＋3)－1，恒过点(－2，－1)， ∴A (－2，－1)，又点A 在直线上， ∴－2m －n ＋1＝0.即2m ＋n ＝1. 又mn >0，∴m >0，n >0. 而1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋2＋4m n ≥4＋24＝8. 当n ＝12，m ＝14时取“＝”．∴1m ＋2 n 的最小值为8. 16[解析] ∵a ，b ，c ∈R ＋ ，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0， 又a 2 b ＋b ≥2a 2 b ·b ＝2a ， b 2 c ＋c ≥2b 2c ·c ＝2b ， c 2 a ＋a ≥2c 2a ·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2 a ＋a ≥2a ＋2 b ＋2 c ， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥a ＋b ＋c . 17[解析] (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意知，面粉的保管等其它费用为 3[6x ＋6(x －1)＋…＋632＋631]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝1 x [9x (x ＋1)＋900]＋631800 ＝ 900 x ＋9x ＋10809 ≥2 900 x ·9x ＋10809＝10989. 当且仅当9x ＝ 900 x ，即x ＝10时取等号． 即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉． 设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则 y 2＝1 x [9x (x ＋1)＋900]＋63180030.90 ＝ 900 x ＋9x ＋9729(x ≥35)， 令f (x )＝x ＋ 100 x (x ≥35)，x 2>x 1≥35，则 f (x 1)－f (x 2)＝()x 1＋100x 1－() x 2＋100 x 2 ＝ (x 2－x 1)(100－x 1x 2) x 1x 2 ， ∵x 2>x 1≥35. ∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0,100－x 1x 2<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1) 100 x ，当x ≥35时为增函数． ∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2<10989， ∴该厂应该接受此优惠条件． 第三章章末总结答案（张信乾） 例1：[解析] 因为a <0，b <0，故ab >0，故|a |＋|b |＝|a ＋b |.故选B [点评] 可取特值检验． 例2：[解析] q 2＝(ma ＋nc )(b m ＋d n ) ＝ab ＋cd ＋nbc m ＋mad n ≥ab ＋cd ＋2abcd ＝(ab ＋cd )2＝p 2 等号在n 2bc ＝m 2ad 时成立． ∵p >0，q >0，∴p ≤q . 例3：[解析] 当x >0时，不等式化为x ＋2>2x －1， ∴0 当x ＝0时，不等式即0＋2>(－1)0显然成立， ∴x ＝0. 当x <0时，不等式化为x ＋2>1 2x －1， ∴ －3－334 4 ? x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0得所表示的平面区域M 为图中阴影 部分． 交点为A (1,9)，B (3,8)，C (2,10)． 当y ＝a x 过点B 时，a ＝2；当y ＝a x 过点A 时，a ＝9， ∴使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围为[2,9]．故选C. 例5：[解析] 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，设其图象如图所示，由图可知，要使原方程的两根都大于2，则有 ????? Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0 f (2)＝m ＋5>0－(m －2)2>2 ， 即???? ? m ≥4或m ≤－4m >－5m <－2， ∴－5 故所求的m 的取值范围为－5 例6：[解析] (1)设DN 的长为x (x >0)米，则AN 长＝(x ＋2)米， ∵DN AN ＝DC AM ，∴AM ＝3(x ＋2)x . ∴矩形花坛AMPN 的面积y ＝AN ·AM ＝3(x ＋2)2x . 由y >32得3(x ＋2)2 x >32， 又x >0得3x 2－20x ＋12>0， 解得：0 3 或x >6， 即DN 长的取值范围是????0，2 3∪(6，＋∞)． (2)由(1)知矩形花坛AMPN 的面积为 y ＝3(x ＋2)2x ＝3x 2＋12x ＋12x ＝3x ＋12 x ＋12 ≥23x ·12 x ＋12＝24. 第三章综合素质能力检测一解答 命题人：王国平 审题人：李海军 1、[答案] C[解析] 由不等式的可乘方性质知a ＞|b|≥0?a 2＞b 2. 2、[答案] A[解析] M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋3 4 ＞0，∴M ＞N. 3、[答案] B[解析] 不等式化为x 2－4x －5＞0，∴(x －5)(x ＋1)＞0，∴x ＜－1或x ＞5. 4、[答案] A[解析] ∵a>b>0，∴b 2 ?U A ＝{x|x ≤ab 或x ≥a}，B ＝{x|b ＜x ＜a ＋b 2 }，∴(? U A)∩B ＝{x|b ＜x ≤ab} 5、[答案] C[解析] 根据B 值判断法知，a －1的符号与不等号一致时，表示直线的上方，故a>1时，表示直线上方，因此选C ；也可以取特值检验，a ＝2时，x ＋y ＋3>0表示直线x ＋y ＋3＝0上方区域(或a ＝0时，x －y ＋3>0表示直线x －y ＋3 ＝ 下方区域)，故排除A 、 B 、D ，选C. 6、[答案] B[解析] △1＝4－8a ，△2＝4(a －2)2－16， 由题设条件知，????? △1＞0△2≤0或? ???? △1≤0△2＞0，∴0≤a ＜12或a ＞4. 7、[答案] A[解析] 取a ＝1，b ＝4，检验，m ＝4.5，n ＝3，p ＝5，∴m ＞n ＞p 排除C ，D ；又n 2－p 2＝a ＋b ＋2ab －(a ＋b)＝2ab ＞0，∴n ＞p ，∴选A. 8、[答案] C[解析] 由题意知f(－1)f(1)＜0，∴(－5a ＋1)(a ＋1)＜0，∴a ＜－1或a ＞1 5 . 9、[答案] D[解析] 解法1：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B ，C ；∴选D.解法2：直接求解化为：2x 2＋7x －9≤0，即(x －1)(2x ＋9)≤0 ∴－9 2 ≤x ≤1. 10、[答案] A[解析] ∵a ＞b ＞0，∴m ＞0，n ＞0，且b ＜ab.m 2－n 2＝(a ＋b －2ab)－(a －b)＝2(b －ab)＜0∴m 2＜n 2，∴m ＜n. 11、[答案] A[解析] 作出可行域如下图，当直线y ＝2x ＋z 平移到经过可行域上点A(1，－1)时，z 取最大值，∴z max ＝1. 12、[答案] A[解析] ∵a ，b ∈R ＋∴a ＋b 2≥ab ，∴ ab a ＋b 2 ≤1，即2ab a ＋b ≤1，两边同乘以ab ，则2ab a ＋b ≤ab ，∴ a ＋ b 2≥ab ≥2ab a ＋b >0.又∵f(x)＝(1 2)x 是减函数，∴f(a ＋b 2)≤f(ab)≤f(2ab a ＋b ) 即：A ≤G ≤H. 13、[答案] ??? ???x|－12＜x ＜－13[解析] 由条件知，2和 3是方程x 2 －px －q ＝0的根，∴p ＝5，q ＝－6，∴不等式qx 2－px －1＞0化为6x 2＋5x ＋1＜0∴(2x ＋1)(3x ＋1)＜0∴－12＜x ＜－1 3 . 14、[答案] 1[解析] 由题意x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴u ＝log 32 x ＋log 32 y ＝log 32 (x·y)＝log 32 [ 1 6 (2x·3y)]≤log 32 [16(2x ＋3y 2)2 ]＝1，等号在2x ＝3y ＝3， 即x ＝3 2 ，y ＝1时成立．[点评] 也可以消元，用二次 函数最值求解． 15、[答案] [－1,1)∪(1,3)[解析] m ＋1＝0时，m ＝－1，不等式化为：4＞0恒成立；m ＋1≠0时，要使不 等式恒成立须? ??? ? m ＋1＞0△<0，即 ? ???? m ＋1＞0 (m 2－2m －3)2－4(m ＋1)(－m ＋3)＜0 ，∴－1＜m ＜3且m ≠1.综上得－1≤m ＜3且m ≠1. 16、[答案] 13[解析 ] 可行域如图，A(2,2.5)，B(4,2)．由于x ，y ∈N 故可行域内整点有：(1,1)，(2,2)，(3,2) .可见经过(3,2)点时z 取最大值，z max ＝13. 17、[解析] ∵x ＜－1，∴x ＋1＜0.∴f(x)＝ (x ＋5)(x ＋2) x ＋1 ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2 ＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1 ＋ 5＝－????(－x －1)＋4 －x －1＋5≤－ 2(－x －1)·4 －x －1 ＋5＝－4＋5＝1.当且仅当－x －1 ＝4－x －1 ，即x ＝－3时取等号．所以当且仅当x ＝－3时，f(x)＝(x ＋5)(x ＋2) x ＋1 最大，最大值为1. 18、[解析] a ＝0时，x ∈R 且x ≠2；a ≠0时， ax x －2＜1?(a －1)x ＋2x －2 ＞0?[(a －1)x ＋2](x －2)＞0.∵a ＜1，∴a －1＜0.∴化为(x －2 1－a )(x －2)＜0，当 0 1－a ；当a<0 时，1－a>1，∴21－a <2，∴不等式解为2 1－a 当0＜a ＜1时，不等式解集为??? ? ??x|2＜x ＜21－a ；当a ＜0 时，不等式解集为???? ?? x|21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集 为{x ∈R|x ≠2}． 19、[解析] 设二次函数为y ＝a(x －6)2＋11(a ＜0)．又x ＝4时，y ＝7，∴a ＝－1.∴二次函数为y ＝－x 2＋12x －25.设年平均利润为z ，则z ＝y x ＝－(x ＋25 x )＋12≤－ 2 x·25x ＋12＝2.当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取等号．故每辆客车营运5年，年平均利润最大． 20、[解析] 解法1：∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥22·xy 又x ＋2y ＋xy ＝30，令xy ＝t ，则22t ＋t 2≤30，∵t ＞0∴0＜t ≤32，∴0 解法2：由x ＋2y ＋xy ＝30得y ＝30－x x ＋2 ，∵y ＞0，x ＞ 0，∴0＜x ＜30∴xy ＝(30－x )x x ＋2＝－x 2－30x x ＋2 ＝－ x (x ＋2)－32(x ＋2)＋64x ＋2＝－(x －32)－64 x ＋2＝－[(x ＋2) ＋64x ＋2]＋34≤－264＋34＝18，等号在x ＋2＝64x ＋2 即x ＝6时成立，此时y ＝30－6 6＋2 ＝3.故当x ＝6，y ＝3时， xy 取最大值18. 21、[解析] ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca)，∵ab ＋bc ＋ca ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2 ≥1. 22、[解析] (1)作出可行域(如图A 阴影部分)．令z ＝0，作直线l ：2x ＋3y ＝0.当把直线l 向下平移时，所对应的z ＝2x ＋3y 的值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B 时，z ＝2x ＋3y 取得最小值．从图中可以看出，顶点B 是直线x ＝－3与直线y ＝－4的交点，其坐标为(－3，－4)；当把l 向上平移时，所对应的z ＝2x ＋3y 的值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D 时，z ＝2x ＋3y 取得最大值．顶点 D 是直线－4x ＋3y ＝12与直线4x ＋3y ＝36的交点，解方程组? ???? －4x ＋3y ＝12，4x ＋3y ＝36.可以求得顶点D 的坐标为(3,8)．所以z min ＝23(－3)＋33(－4)＝－18，z max ＝233＋438＝38. (2)可行域同(1)(如图B 阴影部分)．作直线l 0：－4x ＋3y ＝0，把直线l 0向下平移时，所对应的z ＝－4x ＋3y 的值随之减小，即z ＝－4x ＋3y －24的值随之减小，从图B 可以看出，直线经过可行域顶点C 时，z ＝－4x ＋3y －24取得最小值．顶点C 是直线4x ＋3y ＝36与直线y ＝－4的交点，解方程组 ? ???? y ＝－4，4x ＋3y ＝36，得到顶点C 的坐标(12，－4)，代入目标函数z ＝－4x ＋3y －24，得z min ＝－4312＋33(－4)－24＝－84. 由于直线l 0平行于直线－4x ＋3y ＝12，因此当把直线l 0向上平移到l 1时，l 1与可行域的交点不止一个，而是线段AD 上的所有点．此时z max ＝12－24＝－12. 附加练习： 1、[答案] B[解析] M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2 －a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)．又a 1，a 2∈(0,1)，则 a 1－1<0，a 2－1<0，则(a 1－1)(a 2－1)>0，则M>N. 2、[答案] B[解析] 画出可行域，如图中的阴影部分所示， 由图知，z 是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(1,0)时，z 取最大值，此时x ＝1，y ＝0，则z 的最大值是2x ＋y ＝2＋0＝2. 3、[答案] C[解析] k ＝0时满足排除A 、D ；k ＝4时，不等为4x 2－4x ＋1>0，即(2x －1)2>0，显然当x ＝1 2时不成立．排除B ，选C.[点评] 也可以分k ＝0与??? k>0Δ<0 讨论． 4、[答案] B[解析] a ＝1c ＋1＋c ，b ＝1 c ＋c －1 ， ∵c>1，∴c ＋1＋c>c ＋c －1>1，∴a 5、[答案] A[解析] 由根与系数的关系知， ? ?? －12＋13＝－b a ，(－12)313＝2a ，∴????? a ＝－12 b ＝－2，∴a －b ＝－10. 6、[答案] C[解析] 解法1：由图象变换知函数f(x)图象如图，且f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，∴f(a)>f(－a)化为f(a)>0，∴当a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，f(a)>f(－a)，故选C. 解法2：当a>0时，由f(a)>f(－a)得，log 2a>log 1 2 a ，∴ a>1；当a<0时，由f(a)>f(－a)得，log 1 2 (－a)>log 2(－a)， ∴－1 7、[答案] B[解析] 可行域为图中阴影部分，y x －1 的 几何意义是区域内点与点A(1,0)连线的斜率．当过点A 的直线与l 平行时，斜率k ＝1；当直线过点A 和B(0,1)时，斜率k ＝－1，故欲使过点A 的直线与可行域有公 共点，应有k>1或k<－1，故y x －1>1或y x －1 <－1. 8、[答案] 12[解析] 由题意知x ＝2是方程ax x －1＝1的 根，∴a ＝1 2 . 9、[答案] 18[解析] 由2x ＋8y －xy ＝0得2x ＋8y ＝ xy ，∴2y ＋8x ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y)????8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2????4y x ＋x y ≥10＋23234y x ·x y ＝18.当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6.∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.[点评] 可以消元，消去y ＝2x x －8 再用基本不等式求解． 10、[证明] 若a ＝b ＝c ＝0原结论成立；否则至少有两个不为0，则必至少一正，至少一负，不妨设a>0，c<0由于b ＝－(a ＋c)，∴ab ＋bc ＋ac ＝b(a ＋c)＋ac ＝－ (a ＋c)2 ＋ac<0.综上可知ab ＋bc ＋ac ≤0成立．ax 2＜1， ∴x 0＜ax 12a ＝x 1 2. 第三章综合素质能力检测二解答 命题人：王国平 审题人：李海军 1、[答案] C[解析] 若? ???? x ＞a y ＞b ，由同向可加性得x ＋ y ＞a ＋b ，又x －a ＞0，y －b ＞0，∴(x －a)(y －b)＞0； 若(x －a)(y －b)＞0，则x －a 与y －b 同号，又x ＋y ＞a ＋b 即(x －a)＋(y －b)＞0，∴????? x －a ＞0y －b ＞0，∴????? x ＞a y ＞b . 2、[答案] C[解析] N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋ y 2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y ＝M. 3、[答案] D[解析] (1＋x)(1－|x|)＞0?????? x ≥0 1－x 2 >0或? ??? ? x<0(1＋x )2>0?x ＜1且x ≠－1.[点评] 也可以用检验的方法：令x ＝0满足排除B ；令x ＝－2满足排除A ，C. 4、[答案] D[解析] ∵a ＞0，b ＞0，∴a 2＋1≥2a ＞a ， ∴①正确；(a ＋1a )(b ＋1b )＝(ab ＋1ab )＋(b a ＋a b )≥2＋2＝4， 等号在a ＝b 时成立，∴②正确；(a ＋b)(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ a b ≥4.等号在a ＝b 时成立，∴③正确；∵a 2＋9－6a ＝(a －3)2≥0，∴a 2＋9≥6a.等号在a ＝3时成立，∴④错误； a 2＋1＋1 a 2＋1≥2.等号在a ＝0时成立，但a ＞0，∴a 2 ＋1＋1 a 2＋1 ＞2，∴⑤正确．故正确的不等式有4个． 5、[答案] C[解析] 取平面区域内的点(－1 2 ，0)检验 知，满足y ≥－1，和2x －y ＋2≥0，又x ≤0，排除A 、B 、D ，∴选C. 6、[答案] C[解析] ∵x ∈(0，1 2]，∴a ≥－x 2－1x ＝－ x －1x .由于函数y ＝x ＋1x 在(0，1 2]上单调递减，∴在x ＝12处取得最小值52.∴－(x ＋1x )≤－52.∴a ≥－52 . 7、[答案] A[解析] ∵2 1 a －2 ＝a －2＋1a －2 ＋2＞4，N ＝log 0.5(x 2＋116)≤log 0.51 16＝4， ∴M ＞N. 8、[答案] A[解析] 由题设知f(0)＝－1，f(3)＝1，不等式|f(x ＋1)|＜1化为－1＜f(x ＋1)＜1， 即f(0)＜f(x ＋1)＜f(3)∵f(x)在R 上单调递增，∴0＜x ＋1＜3，∴－1＜x ＜2. 9、[答案] B[解析] 不等式xf(x)－x ≤2化为： Ⅰ.???? ? x>1x 2－x ≤2或Ⅱ.? ???? x ≤1－x －x ≤2由(Ⅰ)得1 10、[答案] D[解析] 由题设log 2(x ＋y)＝log 2(xy)， ∴x ＋y ＝xy 且x ＞0，y ＞0，∴y ＝x x －1 ＞0，∴x ＞1， ∴x ＋y ＝x ＋x x －1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥4，等号在x －1 ＝1x －1 即x ＝2时成立． 11、[答案] D[解析] OM →＝(2,1)，ON → ＝(x ，y)，z ＝OM →·ON →＝2x ＋y.画出可行域如图，当直线2x ＋y －z ＝0与直线2x ＋y －12＝ 0重合时，z 取最大值，此时N 点有无数个． 12、[答案] C[解析] 当x ＜0时，y ＝x ＋4 x ≤－4，排 除A ；∵0＜x ＜π，∴0＜sinx ＜1.y ＝sinx ＋ 4 sinx ≥4.但sinx ＝4sinx 无解，排除B ；e x ＞0，y ＝e x ＋4e － x ≥4.等号 在e x ＝4 e x 即e x ＝2时成立．∴x ＝ln2，D 中，x ＞0且x ≠1， 若0＜x ＜1，则log 3x ＜0，log x 81＜0，∴排除D. 13、[答案] 2[解析] 由题意知a>0且1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，∴a ＝2，∴不等式为2x 2－6x ＋4<0，即x 2－3x ＋2<0，∴1 14、[答案] 2[解析] 本题考查了绝对值不等式的解法．由|kx －4|≤2可得－2≤kx －4≤2，即2≤kx ≤6，而1≤x ≤3，所以k ＝2.掌握好绝对值不等式的常见解法．[点评] 也可把不等式转化为方程来解决，如由题意可知x ＝1，x ＝3是方程|kx －4|＝2的两根，则? ???? |k －4|＝2|3k －4|＝2，解得k ＝2. 15、[答案] 当第二次购物费超过300元时，应付316元；当第二次购物费不超过300元时，应付288元．[解析] 该人一次性购物付款80元，据条件(1)、(2)知他没有享受优惠，故实际购物款为80元；另一次购物付款252元，有两种可能，其一购物超过300元按八折 计，则实际购物款为252 0.8 ＝315元．其二购物超过100 元但不超过300元按九折计算，则实际购物款为252 0.9 ＝ 280元．故该人两次购物总价值为395元或360元，若一次性购买这些商品应付款316元或288元． 16、[答案] (－1，－1)[解析] 作出不等式组表示的平面区域如下图，可见整点只有(－1，－1)． 17、[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1＝(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2 ＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac)≤3(a 2＋b 2＋c 2)，∴a 2＋b 2＋c 2≥1 3 . 18、[分析] 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，因此，分别求解两个不等式，就其交集中只有整数－2，求k.[解析] 由x 2－x －2＞0，得x ＜－1或x ＞2.方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k.(1)当－52＞－k ，即k ＞5 2 时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k<0的解为－k ＜x ＜－5 2 ，显然－2? ????－k ，－52.(2)当－k ＝－52 时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0解集为?.(3)当－52＜－k ，即k ＜5 2 时，不等式 2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k<0的解为－5 2＜x ＜－k.∴不等式组 的解集由???? ? x ＜－1，－5 2＜x ＜－k ， 或????? x ＞2，－52＜x ＜－k 确 定．∵原不等式组只有整数解－2，∴????? k ＜5 2， －k ＞－2， －k ≤3. ∴－3≤k ＜2.故所求k 的取值范围是{k|－3≤k ＜2}．[点评] －k>－2保证不等式组???? ? x<－1－52 集中只含有整数－2；－k ≤3保证???? ? x>2－52 集中不含有整数，才能实现原不等式解集中只有整数 －2. 19、[解析] (1)依题意得y ＝[1.23(1＋0.75x)－13(1＋x)]310003(1＋0.6x)(0 y ＝－60x 2＋20x ＋200(0 (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当????? y －(1.2－1)31000>00 即? ???? －60x 2 ＋20x>00 度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0 3 . 20、[解析] ∵3sin 2B ＋3sin 2C －2sinBsinC ＝3sin 2A ，由正弦定理得3b 2＋3c 2－2bc ＝3a 2，即3b 2＋3c 2－3a 2 ＝2bc ，再由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1 3 .∵a ＝ 3，∴3b 2＋3c 2－2bc ＝9≥6bc －2bc ＝4bc ，∴bc ≤9 4 ， 当且仅当b ＝c 时等号成立．∴AB →·AC → ＝c·b·cosA ＝ bc 3 ≤34，故AB →·AC →的最大值为34 . 21、[解析] 满足条件???? ? x －4y ≤－33x ＋5y ≤25 x ≥1 的可行域如图， 将目标函数z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，直线y ＝－ 2x ＋z 是斜率k ＝－2的平行线系，z 是它们的纵截距．作平行直线过平面区域内的点A 、B 时直线的纵截距取最值． 由????? x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0得A(5,2)，由? ???? x ＝1x －4y ＋3＝0得B(1,1)，将A 、B 点坐标代入z ＝2x ＋y 中得，过A 点时z max ＝12，过B 点时z min ＝3. 22、[证明] (1)令F(x)＝f(x)－x.∵x 1，x 2是方程f(x)－x ＝0的根，∴F(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)． 当x ∈(0，x 1)时，由于x 1＜x 2，得(x －x 1)(x －x 2)＞0.又a ＞0，得F(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)＞0，即x ＜f(x)．x 1－f(x)＝x 1－[x ＋F(x)]＝x 1－x ＋a(x 1－x)(x －x 2)＝(x 1－x)[1＋a(x －x 2)]． ∵0＜x ＜x 1＜x 2＜1 a ，∴x 1－x ＞0,1＋a(x －x 2)＝1＋ax －ax 2＞1－ax 2＞0.得x 1－f(x)＞0.由此得f(x)＜x 1.∴x ＜f(x)＜x 1. (2)依题意知x 0＝－b 2a .∵x 1、x 2是方程f(x)－x ＝0 的根，即x 1、x 2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的根，∴ x 1＋x 2＝1－b a ，x 0＝－b 2a ＝a (x 1＋x 2)－12a ＝ax 1＋ax 2－1 2a . ∵ax 2＜1，∴x 0＜ax 12a ＝x 1 2 . 必修五综合测试二答案 命题人：郭晨亮 一、选择题 1．[答案] C[解析] ∵a33＋a82＋2a3a8＝9，∴a3＋a8＝±3；∵{an}各项均为负数．∴a3＋a8＝－3，∴S10＝10a1＋a102 ＝5(a3＋a8)＝－15. 2．[答案] C[解析] ∵S15＝15a8＝0，∴a8＝0，又a1>0，∴d<0，∴a7>0，a9<0，故在数列{Sn}中，S1 3．[答案] B[解析] 设公差为d ，∵d≠0， ∴a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d) ＝－12d2<0，∴a1a8 4．[答案] A[解析] A ＝{t|－2≤t≤2}，设f(t)＝(x －1)t ＋x2－2x ＋1，由条件知f(t)在[－2,2]上恒为正值．∴??? f －2>0 f 2>0，∴?? ? x2－4x ＋3>0 x2－1>0 ，∴x>3或x<－1. [点评] 数列是特殊的函数，如果数列{an}对任意n ∈N ，满 足an ＋T ＝an(T ∈N*)，则T 为{an}的周期． 5.[答案] D[解析] f(n ＋1)－f(n) ＝(1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋1 2n ＋2) －( 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n ) ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2 . [点评] 准确弄清f(n)的表达式是解题的关键，f(n)的表达式是一列数的和，每一个数分子都是1，分母从n ＋1开始，每项递增1至2n 结束，从而f(n ＋1)应是分母从(n ＋1)＋1＝n ＋2开始，每项递增1至2(n ＋1)＝2n ＋2结束． 6．[答案] B[解析] 根据题意作出满足不等式组的可行域，OA →2OB → 如图阴影部分所示．∵＝(1,1)2(x，y)＝x ＋y ，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，z 的几何意义是斜率为－1的直线l 在y 轴上的截距，由可行域可知，当直线l 过点(1,2)或点(2,1)时，z 最小，从而所 求的点B 有两个． 7．[答案] A[解析] 由条件知a3＝a1＋8，S3＝3a1＋12，∴a1＋8＋2 2 ＝23a1＋12，解得a1＝2.∴a10＝2＋934＝38. 8．[答案] B[解析] 作出可行域如图中△OAB ，其面积S ＝123434k＝8k. ∴ kS k －1＝8k2k －1＝8k2－8＋8 k －1 ＝8(k ＋1)＋ 8k －1，＝8(k －1)＋8 k －1 ＋16≥32， 等号在8(k －1)＝8 k －1，即k ＝2时成立． ∴k ＝2时，取最小值32. 9．[答案] D[解析] 由条件知圆心(－1,2)在直线上，∴a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝ 4a ＋b a ＋a ＋b b ＝5＋4b a ＋a b ≥5＋24b a 2a b ＝9，等号在 4b a ＝a b ，即a ＝2b 时成立． ∵a ＋b ＝1，∴a ＝23，b ＝13，故在a ＝23，b ＝13时，4a ＋1 b 取到最 小值9. 10．[答案] D[解析] 由a ＋b ＝1＋c 得，a2＋b2＋2ab ＝c2＋2c ＋1 ∵a2＋b2>2ab ，a2＋b2＋c2＝1， ∴2(1－c2)>c2＋2c ＋1 ∴－1 c>0 ，∴0 3 . 11． [分析] 解含函数符号“f ”的不等式，一般是用单调性求解．观察函数f(x)的表达式不难发现x≥0时，x2＋1≥1，且f(x)＝x2＋1在[0，＋∞)上单调增，又x<0时，f(x)＝1，∴f(x)在R 上单调递增．[答案] A[解析] ∵f(x)＝?? ? x2＋1 x≥01 x<0∴对任意x1，x2∈R ，当x1 f(x1)≤f(x2)．∴当f(x1)>f(x2)时，应有x1>x2.(否则，若x1＝x2，则f(x1)＝f(x2)，若x1 ∵f(1－x2)>f(2x)，∴1－x2>2x ， ∴x2＋2x －1<0，∴－1－2 ∴f(1－x2)＝1，f(2x)＝1，不满足f(1－x2)>f(2x)． 当x ＝－1时同理可验证不满足不等式， ∴－1 [点评] 可以令1－x2＝0，找出分界点x ＝±1，然后按x ＝0,1，－1分段进行讨论． 12．[答案] A[解析] 作出可行域如图(其中不包括线段OC)． 将原式化简可得： OA →2OP →|OP →|＝ 错误!＝3cos ∠AOP. 由图知 π4≤∠AOP<π，所以－1 ， 故－3 |OP →|≤32 2. 13． [答案] n ＋1 2n (不惟一)． [解析] 将数列中的项作适当调整为：22，34，46，58，610，712，8 14，… 显然分子分母都是等差数列，分子bn ＝n ＋1，分母cn ＝2n ，∴通项an ＝n ＋1 2n . 14． [答案] 150 m [解析] 设∠BAC ＝α，则tan α＝BC AB ＝3060＝1 2 ，tan A ＝tan(45°＋α)＝1＋tan α 1－tan α＝1＋ 1 21－ 1 2＝3， ∴BD ＝AB tanA ＝6033＝180，∴CD ＝BD －BC ＝150. 15． [答案] (3,8) [解析] 如图，作 直线l0： 2x －3y ＝0，平移l0可知，当平移到经过点A 、B 时， z 分别取最小、最大值， ∵A 点是(3,1)，B 点是(1，－2)，∴3 π 6[解析] 由m ⊥n 得，3cosA －sinA ＝0，∴tanA ＝3，∴A ＝ π3 ， 由正弦定理acosB ＋bcosA ＝csinC 可变形为 sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin2C. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋B)＝sinC ，∴sinC ＝sin2C ，∴sinC ＝1，∴C ＝π 2， ∴B ＝π－ π3－π2＝π6 . 17．[解析] (1)AB →2BC →＝|A B →|2|B C →|2cos 〈AB →2BC →〉＝|A B → |2|B C → |2cos(π－B) ＝－35|A B → |2|B C →|＝－21，∴|A B →|2|B C →|＝35， 又∵sinB ＝45，∴S △ABC ＝12 |A B → |2|B C →|2sinB ＝1233534 5 ＝14. (2)由(1)知ac ＝35，又a ＝7，∴c ＝5又b2＝a2＋c2－2accosB ＝49＋25－23735335＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理得b sinB ＝ c sinC ，即4245＝5sinC ，∴sinC ＝22，又∵a>c ，∴C ∈(0，π 2 )，∴C ＝ π4 . 18．[解析] 把表中的各数按下列方式分组： (1)，(2,3,4)，(5,6,7,8,9)，…， (1)由于第n 组含有2n －1个数，所以第n 组的最后一个数是1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n2. 因为不等式n2≥200的最小整数解为n ＝15，这就是说，200在第15组中，由于142＝196，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数．所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上． (2)设表中主对角线上的数列为{an}，即1,3,7,13,21，…，则易知an ＋1＝(an ＋2n)即an ＋1－an ＝2n. ∴an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝[2(n －1)＋2(n －2)＋…＋231]＋1 ＝23 n n －12 ＋1＝n2－n ＋1. 19．[解析] (1)f(x) x －a 化为(ax ＋3)(x －a)<0. 当a>0时，????x ＋3a (x －a)<0，－3 a 当a<0时，????x ＋3a (x －a)>0，x>－3 a 或x (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a(t>0)， ∴f(x)＝t ＋a 2＋3t ＝t ＋a2＋3 t ＋2a ≥2 t2a2＋3 t ＋2a ＝2a2＋3＋2a ， 当且仅当t ＝a2＋3 t ，即t ＝a2＋3时，f(x)有最小值2a2＋3 ＋2a ，依题意2a2＋3＋2a ＝6，解得a ＝1. 20． [解析] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q≠1， 则a q ＋a ＋aq ＝114① 令这个等差数列的公差为d ，则a ＝a q ＋(4－1)2d. 则d ＝13(a －a q )， 又有aq ＝a q ＋2431 33????a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98. 21．[解析] (1)由正弦定理 a sinA ＝ b sinB ＝c sinC ＝2R 知cosA －2cosC cosB ＝222RsinC－2RsinA 2RsinB ， 即cosAsinB －2cosCsinB ＝2cosBsinC －cosBsinA ， 即sin(A ＋B)＝2sin(B ＋C)， 由A ＋B ＋C ＝π知，sinC ＝2sinA ，所以sinC sinA ＝2. (2)由(1)知sinC sinA ＝2，∴c ＝2a ， 则由余弦定理得b2＝a2＋(2a)2－22a22acosB＝4a2∴b ＝2a ，∴a ＋2a ＋2a ＝5，∴a ＝1，∴b ＝2. 22．[解析] 设桌、椅分别买x 、y 张，由题意得 ? ?? x≥0，y≥0，x≤y，y≤1.5x，50x ＋20y≤2000. (x ，y ∈N*)，即 ? ?? x≥0y≥0x≤y y≤1.5x 5x ＋2y≤200 目标函数为z ＝x ＋y. 满足以上不等式组所表示的可行区域是右图中以A 、B 、O 为顶点的三角形区域E(包括边界和内部)． 由?? ? x ＝y 5x ＋2y ＝200 得， x ＝y ＝ 2007，即A(2007，200 7)．由??? y ＝1.5x 5x ＋2y ＝200 得， ? ??? ? x ＝25，y ＝752，即B(25，75 2 )． 将z ＝x ＋y 变形为y ＝－x ＋z ，这表示斜率为－1、y 轴上的截距为z 的平行直线系． 当直线x ＋y ＝z 经过可行域内点B(25，75 2)时，z 取最大值，但 x ∈Z ，y ∈Z ，故y ＝37. ∴买桌子25张，椅子37张是最优选择． 高一数学月考试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知数列{a n }中，21=a ，*11()2 n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 211，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．12 3．在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 4．在⊿ABC 中，B C b c cos cos =，则此三角形为 （ ） A ． 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．在各项均为正数的等比数列 {}n b 中，若783b b ?=， 则31 32log log b b ++……314log b +等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知b a ρρ,满足：a ρ=3，b ρ=2，b a ρρ+=4，则b a ρρ-=( ) A B C ．3 D 10 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 10．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列． 3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列； 教学资料范本 【2020最新】人教版高中数学必修三学案：1 编辑：__________________ 时间：__________________ 【学习目标】 ①知识目标：理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法。 ②能力目标：通过算法的Scilab 程序，使学生初步具备编程能力的思想。 ③情感目标：通过阅读教材和了解算法思想，体验中国古代数学的伟大，培养学生的爱国之情。 【自主学习】 1、 求两个数的最大公约数的方法有两种，分别是_________________和_______________。 2、 所谓“割圆术”，是用____________________去无限逼近圆周并以此求___________的方法。 3、 阅读教材p36页《我国古代数学家秦九韶》，理解秦九韶算法的步骤。 【典例分析】 例1 求132与143的最大公约数。 跟踪练习 求下列两个数的最大公约数：（1）8251，6105 （2）1480，480 例 2 用秦九韶算法求多项式在x=2时的函数值。 143)(2367+-+-=x x x x x f 【快乐体验】 一、选择题 1.用秦九韶算法求多项式在=－1.3的值时，令；； …；时，的值 为（ ） 654322.5666.38.135.02)(x x x x x x x f +-+-++=x 60a v =501a x v v +=056a x v v +=5v A.－9.8205 B.14.25 C.－22.445 D.30.9785 2.数4557、1953、5115的最大公约数是（ ） A.31 B.93 C.217 D.651 二、解答题 3.用等值算法求下列各数的最大公约数. （1）63，84； （2）351，513. 4.用辗转相除法求下列各数的最大公约数. （1）5207，8323； （2）5671， 10759. 5.求三个数779，209，589的最大公约数. 6.用秦九韶算法求多项式在时的值. 5365127)(2345-+--+=x x x x x x f 7=x 【反思回顾】 总结今天这节课的内容，你收获了哪些思想方法？ 高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则 高中数学必修五综合测 试题 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 高中数学必修五综合测试题 1、已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1-a n +1=0，(n ∈N)，则此数列的通项a n 等于 ( ) A ．n 2+1 B ．n+1 C ．1-n D ．3-n 2、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为( ) A ．b-a=c-b B ．b 2=ac C ．a=b=c D ．a=b=c ≠0 3、若b<0 C ．a +c 数学必修5试题 (满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 （ ） A ．12-=n a n B.)21()1(n a n n --= C ．)12()1(--=n a n n D.)12()1(+-=n a n n 2．已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则公比q =（ ） A ．2 1- B ．2- C ．2 D ．2 1 3．已知ABC ?中，?=∠==60,3,4BAC AC AB ，则=BC ( ) A. 13 B. 13 C.5 D.10 4．在△ABC 中，若 2sin b B a =，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 5. 在ABC ?中，若cos cos a B b A =，则ABC ?的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 6．若?ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =（ ） A. 14 - B. 14 C. 23 - D. 23 7．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2 C ．2± D ．4 8．等差数列}{n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且 1 32+= n n T S n n ， 则 5 5 b a =（ ） A 32 B 149 C 3120 D 9 7 9．已知{}n a 为公比q ＞1的等比数列，若20052006a a 和是方程24830x x -+=的两根， 【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理 一、1、基础知识 设?ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是?ABC 的外接圆半径。 （1）正弦定理： = = =2R 。 （2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。 ②== B R a A sin ,2sin ，=C sin 。 ③=c b a :: 。 （3）三角形中常见结论： ①A+B+C= 。②a B sin ，则有（ ） A 、a b D 、a ，b 的大小无法确定 （2）在ABC ?中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 （3）已知ABC ?的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ?是 三角形。 二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ?： （1）已知 30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。 例2、在ABC ?中，C B C B A cos cos sin sin sin ++= ，试判断ABC ?的形状。 三、练习 1、在ABC ?中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ?是等腰三角形或直角三角形。 2、在ABC ?中，5:3:1::=c b a ，求 C B A sin sin sin 2-的值。 四、课后练习 1、在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin = D 、A c C a sin sin = 2、在ABC ?中， 120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ） A 、 35 B 、53 C 、73 D 、7 5 3、在ABC ?中，已知 60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ） A 、24 B 、34 C 、64 D 、3 32 4、在ABC ?中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） §3.3 几何概型 课前预习案 教材助读 预习教材P135-P136，完成以下问题。 几何概型的两个特点：（1）________________性，（2）_________________性. 课内探究案 一、新课导学 1.模拟方法：通常借助____________来估计某些随机事件发生的概率。用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验，对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值。 2.几何概型： （1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在的概率与G1的成正比，而与G的、无关，即P(点M落在G1) = ,则称这种模型为几何概型。 （2）几何概型中G也可以是或的有限区域，相应的概率是或 。 二、合作探究 探究1：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。 问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？ 问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。几何概型的两个特点：（1）_______________性，（2）_________________性. 几何概型概率计算公式： P(A)=____________________________________ ※ 典型例题 例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 例2 如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为 ___________，__________. 例2、（选讲）在区间[-1,1]上任取两个数，则 （1）求这两个数的平方和不大于1的概率； （2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。 例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______. 三、当堂检测 1、平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为)(a r r 的硬币任意掷在这平面上 《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+= （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 绝密★启用前 高中数学必修五综合考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1．数列的一个通项公式是（） A．B． C．D． 2．不等式的解集是（） A．B．C．D． 3．若变量满足，则的最小值是（） A．B．C．D．4 4．在实数等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8B．－8C．±8D．以上都不对 5．己知数列为正项等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4 6．数列 1111 1,2,3,4, 24816 L前n项的和为（） A． 2 1 22 n n n + +B． 2 1 1 22 n n n + -++C． 2 1 22 n n n + -+D． 2 1 1 22 n n n + - -+ 7．若的三边长成公差为的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知,则B等于( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A．a＞b?ac2＞bc2B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3D．a2＞b2?a＞b 10．满足条件，的的个数是( ) A．1个B．2个C．无数个D．不存在 11．已知函数满足：则应满足（）A．B．C．D． 12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．-2B．-3C．2D．3 13．等差数列的前10项和，则等于（） A．3 B．6 C．9 D．10 14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A．B．C．D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差= 16．在中，，，面积为，则边长=_________. 17．已知中，，，，则面积为_________. 18．若数列的前n项和，则的通项公式____________ 19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________． 20．函数的最小值是_____________． 21．已知，且，则的最小值是______． 三、解答题 22．解一元二次不等式 （1）（2） 23．△的角、、的对边分别是、、。 （1）求边上的中线的长； 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n 必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列. (II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+. 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 朝阳教育暑期辅导中心数学必修5测试题（B 卷） 考试时间：90分钟 满分：100分 出卷人：毛老师 考生姓名： 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．在等比数列{n a }中,已知11 = 9 a ,5=9a ，则3=a （ ） A 、1 B 、3 C 、±1 D 、±3 2．在△ABC 中，若=2sin b a B ，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 3.在△ABC 中，若SinA ：SinB ：SinC=5:7:8，则B 大小为（ ） A 、30° B 、60° C 、90° D 、120° 4．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x -2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7的解集是11 (,)23 -，则a b +的值是（ ）。 A. 10 B. 10- C. 14 D. 14- 8 1 1，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ． 12 9．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． 11a b < B ．11 a b > C ．2a b > D ．22a b > 10.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 二、填空题（每小题4分，共20分） 11、在△ABC 中，=2,=a c B 150°，则b ＝ 12．等差数列{}n a 中, 259,33,a a ==则{}n a 的公差为______________。 13．等差数列{}n a 中, 26=5,=33,a a 则35a a +=_________。 2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174)高中数学必修五测试题含答案
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