③若d >0，且S 3＝S 8，则S 5与S 6都是数列{S n }中的最小项；
④点????1，S 11，????2，S 22，????3，S 33，…，????n ，S n
n (n ∈N *)，…，在同一条直线上． 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
【课堂小结】
1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．
2．a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量表示，五个量a 1，d ，n ，a n 和S n 中知三可求二．通常的做法是利用公式联立方程(组)求解．这是解决数列运算的最基本方法，具体求解时应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
§2.4 等比数列（一）
【学习要求】
1．通过实例，理解等比数列的概念并会应用． 2．掌握等比中项的概念并会应用． 3．理解等比数列的通项公式及推导．
【学法指导】
1．要善于通过实例的观察、分析、归纳，提炼等比数列的概念．
2．学习等比数列时，要注意与等差数列进行类比，掌握两个数列的联系与区别．
3．由等差中项类比得到等比中项时，要注意等比中项的存在前提是a ，b 必须同号，而且同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，这点与等差中项不同．
【知识要点】
1．如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示(q ≠0)． 2．{a n }成等比数列?a n ＋1
a n
＝q (n ∈N *，q ≠0)．
3．等比中项的定义
如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的 ，且G ＝ . 4．等比数列的通项公式： .
【问题探究】
探究点一 等比数列的概念 观察下面几个数列： ①1,2,4,8,16，… ②1，12，14，18，1
16，…
③1，－1,1，－1,1，… ④1
2
，－1,2，－4,8，… 上面这几组数列的共同点是： ____．像这样的数列，就叫做等比数列．这个非零常数叫做等比数列的
问题 下列所给数列中，等比数列的序号是________． ①1,1,1,1,1，…. ②0,1,2,4,8，….
③2－3，－1,2＋3，…. ④1
2
，2,4,8,16，…. 探究点二 等比中项
问题 请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念． 探究 下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.
探究点三 等比数列的通项公式
问题 如果等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，你能用归纳的方法给出数列{a n }的通项公式吗？ 探究 除了利用归纳法，你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗？
【典型例题】
例1 在等比数列{a n }中，
（1）已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； （2）已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .
小结 等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －
1中有四个量a 1，q ，n ，a n .已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．
跟踪训练1 已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝20
3
，求{a n }的通项公式．
例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数．
小结 利用等比数列的通项公式求各项时，要注意选取的首项a 1与项数n 的对应关系，计算各项时注意防止序号出错．
跟踪训练2 在83和27
2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
小结 合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键．一般地，三个数成等比数列，可设为a
q
，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .
跟踪训练3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
【当堂检测】
1．在等比数列{a n }中，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3等于( ) A ．4 B ．8 C ．－4或4 D ．－8或8
2．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为 ( ) A ．1
3
B ．3
C ．±13
D ．±3
3．45和80的等比中项为___________．
4．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为_____________
【课堂小结】
1．由等比数列的概念可知，要判定一个数列是否为等比数列，只需看a n ＋1
a n 的比值是否为不为零的常数即可，
也就是看a n ＋1
a n
＝q (q ≠0)是否对任意的正整数n 都成立．
2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －
1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
【拓展提高】
§2.4 等比数列（二）
【学习要求】
1．灵活应用等比数列的定义及通项公式． 2．熟悉等比数列的有关性质．
3．系统了解判断是否成等比数列的方法．
【学法指导】
1．等差数列与等比数列联系十分紧密，既有诸多相似之处，又有不同的地方，充分准确地把握它们之间的联系，会为我们解题带来诸多便利．
2．等比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在．
【知识要点】
1．等比数列的通项公式：a n ＝ ，推广形式：a n ＝a m · (n ，m ∈N *)．
2．如果一个数列{a n }的通项公式为a n ＝aq n ，其中a ，q 都是不为0的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 ，公比为 .
3．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有_______，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝ . 4．若{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，即a 1·a n ＝a 2· ＝…＝a k · .
【问题探究】
探究点一 等比数列的单调性
探究 观察下面几个等比数列中项的变化趋势： ①1,2,4,8,16，…
②－1，－12，－14，－18，－1
16，…
③9,3,1，13，1
9
，…
④－1，－2，－4，－8，－16，… ⑤1，－12，14，－18，1
16
，…
通过上面的例子，可以得出下列结论：
当q ＜0时，等比数列既不是递增数列，也不是递减数列，而是_____数列； 当a 1＞0，q ＞1时，等比数列是 数列； 当a 1＞0,0＜q ＜1时，等比数列是 数列； 当a 1＜0，q ＞1时，等比数列是 数列； 当a 1＜0,0＜q ＜1时，等比数列是 数列．
综上所述，等比数列单调递增? ； 等比数列单调递减? . 探究点二 等比数列的性质
探究1 在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝s ＋t ，证明a m ·a n ＝a s ·a t (m ，n ，s ，t ∈N *)．
探究2 在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝2k ，证明a m ·a n ＝a 2k (m ，n ，k ∈N *
)．
问题 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝_____. 探究点三 等比数列的判断方法
探究1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？ 探究2 如何判断或证明一个数列不是等比数列？
问题1 若数列{a n }为等差数列，公差为d ，b n ＝c (c >0且c ≠1)，试问数列{b n }是什么数列？并证明你的结论． 问题2 若数列{a n }为等比数列，公比为q ，且a n >0，b n ＝lg a n ，试问数列{b n }是什么数列？并证明你的结论． 问题3 已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是否是等比数列？
【典型例题】
例1 已知{a n }为等比数列．
（1）若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；
（2）若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值． 跟踪训练1 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝215，求a 2·a 5·a 8·…·a 29的值． 例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1， （1）求证：数列{a n ＋1}是等比数列； （2）求{a n }的通项公式．
小结 利用等比数列的定义a n ＋1
a n ＝q (q ≠0)是判定一个数列是等比数列的基本方法．要判断一个数列不是等比数
列，举一组反例即可，例如a 22≠a 1a 3.
跟踪训练2 设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．
例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)
小结 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a 1，项数n 所对应的实际含义．
跟踪训练3 在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的第一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染到多少万台计算机？
【当堂检测】
1．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为 ( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 000
2．某种产品平均每两年降低价格1
3，目前售价为8 100元，则6年后此产品的价格为 ( )
A ．2 700元
B ．3 600元
C ．4 800元
D ．5 400元 3．一直角三角形的三边边长成等比数列，则 ( ) A ．三边边长之比为3∶4∶5 B ．三边边长之比为1∶3∶3 C ．较小锐角正弦值为
5－12 D ．较大锐角正弦值为5－1
2
4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
【课堂小结】
1．等比数列的判断或证明
（1）利用定义：a n ＋1
a n
＝q (与n 无关的常数)．
（2）利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N *
)．
2．解等比数列的问题的基本方法是基本量法，但利用等比数列的性质会大大提高解题速度，这些性质在课本中没有提出，但在习题中却时有出现，所以有必要总结一些，并会推证，但不必过多、过细．
3．解与等比数列有关的应用题，要抓住其中带有等比数列特征的关键性语言，如“每年平均增长P %”“每次是上次的几分之几”等，建立等比数列的模型，再用数列的相关知识解之．
【拓展提高】
§2.5等比数列前n 项和（一）
【学习要求】
1．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法．
2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．
【学法指导】
1．推导等比数列前n 项和公式的关键在于准确把握“错位相减，消除差别”的内涵． 2．运用等比数列前n 项和公式时，一定要注意“q ＝1”与“q ≠1”时必须使用不同的公式．
3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．
【知识要点】
1．等比数列前n 项和公式：
（1）公式：S n
＝??
?
＝ q
q
＝
.
（2）注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 1
1－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝ . 3．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为
( )
A ．1－x n
1－x
B ．1－x n －11－x
C ．????? 1－x n
1－x ，x ≠1n ，x ＝1 D ．?????
1－x n －1
1－x ，x ≠1n ，x ＝1
【问题探究】
国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，
分涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩．高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢？数学家开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．”“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求．国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢？”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子？”这个玩具也随着这个故事
传遍全世界，这就是今日的国际象棋．假定一千粒麦的质量为40 g ，那么，数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢？(将超过7 000亿吨)这实际上是求数列1,2,4，…，263的和．据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，显然国王无法满足数学家的要求．
这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题，那么等比数列的求和公式是怎样的呢？怎样的等比数列才能应用这个公式呢？这一节我们就来学习等比数列的求和公式． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导
探究1 阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．
设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，由等比数列的通项公式可
将S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －
1. ① 则qS n ＝ . ② 由①－②得：(1－q )S n ＝ . 当q ≠1时，S n ＝ .
当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝ . 综上所述，S n
＝?????
，q ＝1
， q ≠1
当q ≠1时，因为a n ＝a 1q n －
1.
所以S n 可以用a 1，q ，a n 表示为S n ＝????
?
na 1，q ＝1 ，q ≠1
探究2 下面提供了两种推导等比数列前n 项和公式的方法．请你补充完整． 方法一 由等比数列的定义知：a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n
a n －1
＝q .
当q ≠1时，由等比性质得：a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n
a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即 ＝q .
故S n ＝ ＝a 1－q n
1－q
.
当q ＝1时，易知S n ＝ .
方法二 由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 得： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q · ＝a 1＋q · 从而得(1－q )·S n ＝ . 当q ≠1时，S n ＝ ； 当q ＝1时，S n ＝na 1.
探究点二 错位相减法求和
问题 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{n
2n }前n 项和的步骤和过程，请你补充完整．
设S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，∴1
2
S n ＝ ，
∴S n －1
2S n ＝ ，
即1
2S n ＝ ＝ . ∴S n ＝ ＝ .
【典型例题】
例1 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝63
2
，求a n .
小结 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错．
跟踪训练1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .
例2 已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．
小结 本题利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧．
跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .
例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．
小结 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．
跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －
1的前n 项和
【当堂检测】
1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于
( )
A ． []
2
1)1(--n n
B ．21)1(1+-+n
C ．21)1(+-n
D ．2
1
)1(--n
2．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是 ( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 3．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝9
2，则a 1＝______.
4．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ＝_____________
【课堂小结】
1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基
本量，且“知三求二”．
2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．
3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．
【拓展提高】
§2.5等比数列前n 项和（二）
【学习要求】
1．熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题． 2．能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．
【学法指导】
1．解决与等比数列前n 项和有关问题的关键在于“基本量”以及方程思想方法的灵活运用． 2．运用等比数列前n 项和解题时要注意“整体思想”方法的灵活运用．
3．利用等比数列的知识解决实际问题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型，明确首项a 1，公比q ，以及项数n 的实际含义，切忌含糊不清．
【知识要点】
1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ,当公比q ≠1时,S n ＝ ＝ ；当q ＝1时，S n ＝ .
2．等比数列前n 项和的性质：
（1）连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成 数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)
（2）S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．
3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9
S 6等于( )
A ．2
B ．7
3
C ．8
3
D ．3
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且a ≠1的常数)，则数列{a n } ( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列 C ．或者是等差数列，或者是等比数列 D ．既非等差数列，也非等比数列
【问题探究】
一件家用电器，现价20 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，一个月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期付款多少元？要解决上述问题，需要了解复利的计算方法，这正是这一节的主要内容之一． 探究点一 等比数列前n 项和S n 与函数的关系
探究 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．
当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q (1－q n )＝a 1q －1(q n －1)．设A ＝a 1
q －1，则上式可以写为S n
＝A (q n －1)．由此可见，q ≠1时，由等比数列前n 项和S n 构成的点列(1，S 1)，(2，S 2)，(3，S 3)，…，(n ，S n )
位于函数y ＝A (q x －1)的图象上．
问题1 若{a n }是等比数列，它的前n 项和为S n ＝3n ＋t ，则t ＝_____.
问题2 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －
1＋t ，则t ＝______ 探究点二 等比数列前n 项和的性质
问题1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，求证：S m ＋n ＝S m ＋q m S n . 问题2 在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列． 请你证明上述结论．
探究点三 分期付款问题
问题 在分期付款问题中，贷款a 元，分m 个月付清，月利率为r ，每月还x 元，想一想，每月付款金额x 元应如何计算？
下面给出了两种推导方法，请你补充完整：
方法一：每个月还款x 元后的剩余欠款按月份构成一个数列，记作{a n }，则有： 经过1个月，还款x 元后，剩余欠款为a 1＝ ；
经过2个月，还款x 元后，剩余欠款为a 2＝a 1(1＋r )－x ＝______________； 经过3个月，还款x 元后，剩余欠款为a 3＝a 2(1＋r )－x ＝______________； … …
经过m 个月，还款x 元后，剩余欠款为a m ＝a m －1(1＋r )－x ＝ .
由于经过m 个月后，欠款还清，故a m ＝0，从而有a (1＋r )m ＝ ．即x = . 方法二：我们可以把该问题分开来看：
一方面，每月付款
从而到期后(m 个月后)，银行共收到付款及利息为：________________＝＋r －1]
r x ；
另一方面贷款a 元，m 个月后应偿还本息和为 ；
由于m 个月后，贷款全部付清，所以有＋r m －1]
r
x ＝ ，故x ＝ .
【典型例题】
例1 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 2
2n ＝S n (S 2n ＋S 3n )． 小结 运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
跟踪训练1 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列．
例2 设{a n }是等差数列，b n ＝????12 ，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3
＝1
8
，求等差数列的通项a n . 小结 等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也会降低解
题的运算量，从而减少差错．
跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n
n
最大时，求n 的值．
例3 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，
当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
（1）以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；
（2）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910≈0.35.
小结 本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度．
跟踪训练3 某家用电器一件现价20 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)
【当堂检测】
1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于 ( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1
2．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为 ( ) A ．180 B ．108 C ．75 D ．63
3．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n －
2＋k ，则实数k 的值为 ( ) A ．1
3
B ．－13
C ．1
9
D ．－19
4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为 ( ) A ．1.14a B ．1.15a C ．10a (1.15－1) D ．11a (1.15－1)
【课堂小结】
1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．
2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．
3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a 1与项数n 的实际含义，同时要搞清是求a n 还是求S n 的问题．
【拓展提高】
习题课 数列求和
【学习要求】
1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式． 2．掌握数列求和的几种基本方法．
【学法指导】
1．数列的前n 项和常用方法：(1)公式求和法；(2)错位相减法；(3)拆项相消法；(4)奇偶并项法等．
2．求数列的前n 项和时，应先考查其通项公式，根据通项公式的特点，再来确定选用何种方法．数列求和的实质就是一个代数式的化简问题．
【知识要点】
1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ . 2．等比数列前n 项和公式： （1）当q ＝1时，S n ＝ ；
（2）当q ≠1时，S n ＝ ＝ .
3．数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝
4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：
（1）1nn ＋＝ ；（2）)
12)(12(1+-n n ＝ ；（3）1
n ＋n ＋1＝
【基础自测】
1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1nn ＋，则S 5等于( )
A ．1
B ．5
6
C ．1
6
D ．130
2．数列112，214，318，41
16，…的前n 项和为
( )
A ．12(n 2＋n ＋2)－12n
B ．12n (n ＋1)＋1－1
2n －1
C ．12(n 2－n ＋2)－12
n
D ．12n (n ＋1)＋2(1－12n )
3．数列{a n }的通项公式a n ＝
1n ＋n ＋1
，若前n 项的和为10，则项数为 ( )
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121 4．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为 ( )
A ．－2 013
B ．－1 007
C ．2 013
D ．1 007
【题型解法】
题型一 分组分解求和
例1 求和：S n ＝????x ＋1x 2＋????x 2＋1x 22＋…＋?
???x n ＋1
x n 2. 小结 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的
求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
跟踪训练1 求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －
1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．
题型二 拆项相消求和 例2 求和：
122
－1＋132－1＋142－1＋…＋1
n 2－1
，n ≥2. 小结 如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用拆项求和法． 跟踪训练2 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋1
1＋2＋3＋…＋n
.
题型三 奇偶并项求和
例3 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)． 跟踪训练3 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n .
【课堂小结】
求数列前n 项和，一般有下列几种方法． 1．错位相减
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和
把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．拆项相消
有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 4．奇偶并项
当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋
1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论． 5．倒序相加
例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．
【拓展提高】
章末复习课
【学习要求】
【双基检测】
1．一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将报纸对折(即沿对边中点的连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积
分别为( ) A ．8a ，1
8
b
B ．64a ，164b
C ．128a ，1128b
D ．256a ，1
256
b
2．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制“逢二进一”．如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数转换成十进制数的形式是( ) A ．217－2 B ．216－1 C ．216－2 D ．215－1
3．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100等于 ( ) A ．1 300 B ．2 600 C ．0 D ．2 602 4．观察下面的数阵： 1
2 3
4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 … … … … … … …
根据此数阵的规律，则第20行所有数的和是________
【题型解法】
题型一 方程(组)的思想解数列问题
例1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .
小结 在等差数列{a n }中，通常把首项a 1和公差d 作为基本量，在等比数列{b n }中，通常把首项b 1和公比q 作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法．
跟踪训练1 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知13S 3与14S 4的等比中项为15S 5，13S 3与1
4S 4的等差中项为1，
求等差数列{a n }的通项a n .
题型二 转化与化归思想求数列通项
例2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． （1）求a 2，a 3的值；
（2）是否存在实数λ，使得数列????
??
a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
（3）求通项公式a n .
小结 根据数列递推公式求通项公式，基本思路是构造等差数列或等比数列，转化为基本数列后再采用公式求解．
跟踪训练2 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋
1·a n
a n ＋2n ＋1，a 1
＝2.求a n .
题型三 函数思想求解数列问题
例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝
)
3(1+n a n (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t
36总成立？若存
在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．
小结 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集，这一特殊性对问题结果可能造成影响． 跟踪训练3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *. （1）证明：{a n －1}是等比数列；
（2）求数列{S n }的通项公式，并求出n 为何值时，S n 取得最小值？并说明理由．
【课堂小结】
等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题，一般为基础题，多以选择题或填空题的形式出现，属于中低档问题．在解题时，应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，巧用性质，减少运算量，又快又准地解决问题．
【拓展提高】
北师大版高中数学必修五教学案
数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．
3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；
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（人教版）高中化学必修一（全册）精品配 套学案汇总 第一节化学实验基本方法 第1课时实验安全及意外事故的处理 课前预习
一. 预习目标 结合初中的化学实验常识了解实验室规则及意外事故的处理办法 二. 预习内容 （一）实验室规则 1、进实验室前, 应先预习实验, 明确实验、、 , 严禁不预习进实验室. 2、进实验室后, 应先检查是否齐全. 3、实验过程中, 应严格遵守各项实验操作规程, 严禁随便地进行无关的实验, 不得大声喧 哗. 4、有意外事故, 应及时向老师报告. 5、实验完毕后, 应将仪器 , 整理清洁实验台. （二）了解安全措施 2、一些药品的保存： （1）金属钠、钾放在 （2）白磷放在中；溴用封；碘易升华, 封存 （3）氯酸钾、硝酸铵不要同可燃物混放, 防爆炸； （4）酒精等易燃物应密封且远离火源； （5）浓硝酸、硝酸银见光易分解物放瓶中阴冷处 （6）酸放在玻璃瓶中, 碱放在带的试剂瓶中. 3、安全常识-----“六防” 防爆炸：点燃可燃性气体之前要 . 如：H2,CO,CH4,C2H4,C2H2等 防暴沸：加热液体混合物应加 防失火：可燃物质要远离 防中毒：制取有毒气体应在中进行, 要注意吸收 防倒吸：加热法制取并用排水法收集时, 或吸收溶解度较大的气体时, 要安装装置防污染:制取有毒物质是要有装置 （三）掌握正确的基本操作方法. 1、药品的取用 （1）固体的取用要注意什么？ ①取用固体药品一般用 . 块状的用 . 用后及时擦干净药匙或镊子. ②固体粉末时, 先试管, 把盛有药品的药匙或纸槽小心地送入试管的 , 然后使试管直立起来, 让药品全部落到底部. ③块状药品或金属颗粒放入玻璃容器时,先把容器 , 把药品放到容器口, 再把容器 慢慢竖立起来, 使药品缓缓地滑到容器的底部, 以免打破容器. （2）固体药品取用的几个原则： ①三不:不能用手直接取用或接触药品;不要把鼻孔凑到容器口去闻药品(特别是气体)的
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1.1.1正弦定理 教学目标： 1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题. 2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力. 3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣. 4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学重点与难点 教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用. 教学难点：正弦定理的猜想提出过程. 教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器. 教学过程： （一）结合实例，激发动机 师生活动： 每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？那大家知道科技楼有多高吗？给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？ 学生思考片刻，教师引导. 生1：在楼的旁边取一个观测点C ，再用一个标杆，利用三角形相似. 师：方法可行吗？ 生2：B 点位置在楼内不确定，故BC 长度无法测量，一次测量不行. 师：你有什么想法？ 生2：可以再取一个观测点D . 师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D 点取在什么位置？ 生2：向前或向后 师：好，模型如图（2）：我们设60∠=?ACB ，45∠=?ADB ,CD =10m,那么我们能计算出AB 吗？ 生3：由tan45tan3010AB AB ο ο -=求出AB . 师：很好，我们可否换个角度，在Rt ABD ?中，能求出AD ,也就求出了AB .在?ACD 中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD ，就需要我们来研究三角形中的边角关系.
高中数学必修五导学案 解三角形答案
必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.
(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.
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阅读教材5步曲 读：课前阅读教材，思考本节所讲的核心内容，如果阅读后印象不深，再阅读一遍。然后独立思考，完成学案。 划：阅读教材和学案，划出理解该概论要点与细节，以及不懂的地方，并适当做以标记。 写：带着阅读教材的体会，深入课堂，静心听讲，把教师对概念的理解，快速以简要的文字，标写在书上该概念旁，不可把黑板上所有东西茫茫碌碌照抄照写、以免影响听课的质量。 思：听课后要认真思考，把握核心概念理解的要点，形成自己理解的思路。记：用自己的语言和方式，结合老师的讲解，把所学内容的内涵记在笔记本上，并用不同颜色加以标注，以便课后复习。
导学案NO.1 年级：高一科目：化学主备：审核： 课题：过滤与结晶课型：复习课时 : 1 【考纲解读】 过滤和结晶使用的仪器及其应用 【自学与归纳】 分离和提纯的区别： 分离：是通过适当的方法，把混合物中的几种物质分开，每一组分都要保留下来，如原来是固体，最后还是固体 提纯：指保留混合物中的某一主要组分，把其佘杂质通过一定方法都除去 初中阶段我们学习过的物质的分离方法有：、、。 1、 原理：利用物质的差异，将液体和分离开来。 实验用品：、、、、。 注意事项： 过滤操作实验小结：斗架烧杯玻璃棒，滤纸漏斗角一样。过滤之前要静置，三靠两低不要忘。
2、和结晶 原理：利用的方法，使溶液中不断挥发而析出（晶体）的过程。 实验用品：、、、。 操作注意事项： １）蒸发皿中的液体不能超过其容积 的。 ２）蒸发过程中必须用不断搅拌，防止局部温度过高而使。 ３）当出现时，应停止加热用蒸干。 ４）不能把热的蒸发皿直接放在实验台上，应垫上。 结晶：（冷却热饱和溶液法） 结晶（冷却热饱和溶液法）是分离和提纯混合物的一种方法。它适用于物质的混合物，且混合物中一种物质的溶解度受温度影响变化，而另一种物质溶解度受温度影响变化的混合物的分离和提纯。 【交流与展示】粗盐的提纯 1．粗盐中含有泥沙、氯化钙、氯化镁、硫酸盐等杂质，要通过________、________、________进行提纯。以上操作都要用到玻璃棒，它们的作用依次是： (1)________溶解。 (2)引流。 (3)________________________。 2．粗盐中可溶性杂质的去除方法 杂质加入的试剂发生反应的化学方程式硫酸盐如Na2SO4 MgCl2 CaCl2 多余的__________、 适量____________ ____________ 4 1．试剂：____________； 2．步骤
高中数学必修五全套教案(非常好的)
（第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系
2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案
2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174)
1.1.1正弦定理导学案(必修五)
§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 一、课前准备 试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==． 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =， 同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . s i n s i n a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．
高中数学必修五基本不等式学案
高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最
小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]
2020新教材化学 1.1.1 物质的分类学案(1)-人教版高中化学必修第一册
2020新教材化学人教版高中化学必修第一册全册学案 高 中 化 学 学 案
第一章物质及其变化 第1节物质的分类及转化-分类（学案） 1、了解分类的基本概念和意义，能对事物进行简单的分类 2、能运用学习过的化学知识对化学物质进行分类 3、了解分散系的概念及其分类 4、了解胶体的概念及其性质 1、氧化物的分类； 2、胶体的概念及其性质 复习初中化学的基本知识，对下面的分类框图填空 一、物质的分类 1、分类是根据研究对象的，将其区分为不同种类和层次的科学方法。科学的分类能够反映，有利于深入研究。 【想一想】怎样才能保证分类的科学性？ 【练一练】如果对班级的同学进行分类，最科学的标准是什么？ 【比一比】请同学们互相交流一下上面【课前复习】的结果 （1）同素异形体：； 例如： 【练一练】下列每组中的两种物质之间的关系为同素异形体的一组是（）
A．CaO和CaS B．和 C．C60和C70D．HCNO和HOCN 【练一练】请同学们按照分类进行连线： Na2CO3钠盐 Na2SO4钾盐 K2SO4硫酸盐 K2CO3碳酸盐 （2）氧化物的分类：我们可以按照氧化物的组成将氧化物分为；也可以按照氧化物的性质将其分为。 【练一练】判断如下说法是否正确： （1）金属氧化物都是碱性氧化物（）（2）非金属氧化物都是酸性氧化物（）（3）碱性氧化物都是金属氧化物（）（4）酸性氧化物都是非金属氧化物（）2、分散系及其分类： （1）概念：一种（或多种）物质以形式到另一种（或多种）物质中形成的混合物叫做。分散系中的叫分散质，另一种物质叫。我们可以这样理解分散系：。 分散系的分类：根据将分散系分为 （2）胶体：胶体是的分散系。根据分散剂的状态可以将胶体分为三种：（例如：）、（例如：）、（例如：） 【实验】氢氧化铁胶体的制备： 取100mL烧杯，加入40mL蒸馏水，。 实验1 滴加至。 实验2取100mL烧杯，加入40mL硫酸铜溶液 【实验】用激光笔分别照射上述实验1和实验2分别得到的液体，观察实验现象。 操作现象 用激光笔照射实验1得到的氢氧化铁胶体 用激光笔照射实验2得到的硫酸铜溶液 丁达尔效应：。丁达尔效应是一种区别的有效方法。
高中数学 必修五数列导学案 加课后作业及答案
必修五数列导学案 §2.1 数列的概念及简单表示（一） 【学习要求】 1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 【学法指导】 1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法． 3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】 1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ． 3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列． 4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式． 【问题探究】 探究点一 数列的概念 问题 先看下面的几组例子： （1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； （2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，1 5 ； （3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； （4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…； （5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义． 探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法 问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？ 探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． （1）数列：1,3,5,7,9，… ①用公式法表示：a n ＝ ； ②用列表法表示： （2）数列：1，12，13，14，1 5，… ①用公式法表示：a n ＝ . ②用列表法表示： ③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式 问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？ 探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要 数列 通项公式 －1,1，－1,1，… a n ＝ 1,2,3,4，… a n ＝ 1,3,5,7，… a n ＝ 2,4,6,8，… a n ＝ 1,2,4,8，… a n ＝ 1,4,9,16，… a n ＝ 1，12，13，1 4 ，… a n ＝ 【典型例题】 例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． （1）a n ＝cos n π2 ； （2）b n ＝11×2＋12×3＋1 3×4＋…＋ 1 n n ＋1 . 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考 虑运算化简后再求值． 跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项． （1）a n ＝2n ＋1；（2）b n ＝2 ) 1(1n -+ 例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）1，－3,5，－7,9，…； （2）12，2，92，8，25 2 ，…； （3）9,99,999,9 999，…； （4）0,1,0,1，…. 小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： （1）212，414，618，81 16，…； （2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； （3）－12，16，－112，1 20，….
【新人教版】高中化学必修一学案全集(含答案)
【目标导航】1、树立安全意识,初步形成良好的实验习惯,并能识别一些化学品安全标示。 2、懂得发生实验事故时的一些简单处理方法，能正确使用一些基本仪器并进行一些 简单的实验操作。 3、通过粗盐提纯实验,进一步掌握溶解、过滤、蒸发等基本操作，在此基础上练习蒸 馏、萃取等分离方法。并通过实验中杂质离子的检验与除杂质方法的讨论，加深 对提纯操作原理和方法的理解。 【学习重点】混合物的分离与离子的检验。 【学习难点】物质检验试剂的选择，蒸馏、萃取的操作，分离与提纯过程的简单设计。 第一课时:实验基础知识 【问题导学】 1、如何保证实验安全？（课本第4页） 2、课本第4页，常用危险化学品标志，试给下列几类物品举例。 易燃气体 易燃液体 自燃物品 爆炸品 剧毒品 腐蚀品 氧化剂 3、你听过实验中的“六防”吗？试着查查资料，了解一下，把你不熟悉的地方标记一下。 5、你认识下列仪器吗？是否知道他们的作用?
上面仪器中哪些可用作反应容器？ 哪些可以直接加热？ 哪些可以间接加热？ 强调：胶头滴管 【练习】1、化学实验中的安全意识是一种重要的科学素养，下列实验操作或事故处理操作中正确的是（） A、酒精灯不慎碰到起火时可用水扑灭 B、将一氧化碳中毒者移至通风处抢救 C、不慎将酸溅到眼中，应立即用水清洗，边洗边眨眼睛 D、配制硫酸溶液时，可先在量筒中加入一定量的水，再在搅拌的条件下加入浓硫酸 E、做氢气还原氧化铜的实验时，先加热再通氢气 F、拿燃着的酒精灯引燃另一只酒精灯 G、在通风橱中制备有毒气体不会对环境造成污染 【练习】2、加热固体试剂时，不能使用的仪器是（） A. 试管 B. 烧杯 C. 蒸发皿 D. 坩埚 【问题导学】6、初中你一定学过很多基本实验操作，一起来复习一下。 （1）药品取用： 原则
高中数学必修五 第一章教案
高中数学必修五第一章教案 1．1.1 正弦定理 1．1.2 余弦定理 1．角度问题 1．三角形中的几何计算 1．正弦定理和余弦定理-章末归纳提升 1．2应用举例距离和高度问题 1．1.1 正弦定理 高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日
【问题导思】 正弦定理 1．如图在Rt △ABC 中，C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，∠A 、∠B 与∠C 的正弦值有怎样的关系？ 【提示】 ∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ， ∴ a sin A ＝b sin B ＝c . 又∵sin C ＝sin 90°＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C . 2．对于锐角三角形中，问题1中的关系是否成立？ 【提示】 成立． 3．钝角三角形中呢？ 【提示】 成立． 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： a sin A ＝ b sin B ＝c sin C . 2．三角形中的元素与解三角形 (1)三角形的元素 把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(对应学生用书第3页)知识运用 已知两角及一边解三角形 例1在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝1 2 ，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小． 【思路探究】 (1)由sin B ＝1 2能解出∠B 的大小吗？∠B 唯一吗？ (2)能用正弦定理求出边b 吗？ (3)怎样求其他边与角的大小？ 【自主解答】 ∵sin B ＝1 2， ∴B ＝30°或150°，
新人教B版必修五2.1.1《数列》word学案
学案（1）数列 1. 理解数列及其有关概念 ； 2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项; 3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式 丄 复习引入 1. 函数的定义 2. 在学习函数的基础上，今天我们来学习数列的有关知识，首先我们来看一些例子: 4，5，6，7, 8，9，10. ① 1, 1 1 1 1 … , , . 2 3 4 5 1, 0.1 , 0.01 0.001 , 0.0001 , 1, 1.4 , 1.41 1.414 ,… —1，1,— 1，1，— 1，1,…. ⑤ 2, 2, 2, 2， 2, 观察这些例子，看它们有何共同特点? 1 .数列： ________________________________________________________ 2 .数列的项： ____________________________________________________ 3 .数列的一般表示： __________________________________________________ 4 .数列的通项公式： ______________________________________________ 5.有穷数列： _____________________________________________________ 6 .无穷数列： ____________________________________________________ 例1根据下面数列 Q n ［的通项公式，写出前 5项： 例2写出下面数列的一个通项公式 ，使它的前4项分别是下列各数: (1) 1, 3, 5, 7(1) a n n 2 -1 2n -1 n n a n 二 sin 2 (2) 0,2,02
人教版高一化学必修一导学案全册
高一化学导学案 （必修1）
阅读教材5步曲 读：课前阅读教材，思考本节所讲的核心内容，如果阅读后印象不深，再阅读一遍。然后独立思考，完成学案。 划：阅读教材和学案，划出理解该概论要点与细节，以及不懂的地方，并适当做以标记。 写：带着阅读教材的体会，深入课堂，静心听讲，把教师对概念的理解，快速以简要的文字，标写在书上该概念旁，不可把黑板上所有东西茫茫碌碌照抄照写、以免影响听课的质量。 思：听课后要认真思考，把握核心概念理解的要点，形成自己理解的思路。记：用自己的语言和方式，结合老师的讲解，把所学内容的内涵记在笔记本上，并用不同颜色加以标注，以便课后复习。
导学案NO.1 年级：高一科目：化学主备：审核： 课题：过滤与结晶课型：复习课时 : 1 【考纲解读】 过滤和结晶使用的仪器及其应用 【自学与归纳】 分离和提纯的区别： 分离：是通过适当的方法，把混合物中的几种物质分开，每一组分都要保留下来，如原来是固体，最后还是固体 提纯：指保留混合物中的某一主要组分，把其佘杂质通过一定方法都除去 初中阶段我们学习过的物质的分离方法有：、、。 1、 原理：利用物质的差异，将液体和分离开来。 实验用品：、、、、。 注意事项： 过滤操作实验小结：斗架烧杯玻璃棒，滤纸漏斗角一样。过滤之前要静置，三靠两低不要忘。 2、和结晶 原理：利用的方法，使溶液中不断挥发而析出（晶体）的过程。 实验用品：、、、。 操作注意事项： １）蒸发皿中的液体不能超过其容积的。 ２）蒸发过程中必须用不断搅拌，防止局 部温度过高而使。
３）当出现 时，应停止加热用 蒸干。 ４）不能把热的蒸发皿直接放在实验台上，应垫上 。 结晶：（冷却热饱和溶液法） 结晶（冷却热饱和溶液法）是分离和提纯混合物的一种方法。它适用于 物质的混合物，且混合物中一种物质的溶解度受温度影响变化 ，而另一种物质溶解度受温度影响变化 的混合物的分离和提纯。 【交流与展示】 粗盐的提纯 1．粗盐中含有泥沙、氯化钙、氯化镁、硫酸盐等杂质，要通过________、________、________进行提纯。以上操作都要用到玻璃棒，它们的作用依次是： (1)________溶解。 (2)引流。 (3)________________________。 2．粗盐中可溶性杂质的去除方法 41．试剂：____________； 2．步骤 某溶液 ――→滴加稀盐酸酸化 无沉淀――→加BaCl 2溶液 ________沉淀，证明原溶液中有SO 2－ 4。 作业： 1.粗食盐中除含有钙离子、镁离子、硫酸根离子等可溶性杂质外，还含有泥砂等不溶性杂质。我们食用的精盐是用粗食盐提纯而得到的。通过教材中“粗盐的提纯”及你做过的该实验回答下列问题。 （1）实验室进行NaCl 溶液蒸发时，一般有以下操作过程 ①放置酒精灯 ；②固定铁圈位置 ；③放上蒸发皿（蒸发皿中盛有NaCl 溶液）；④加热搅拌； ⑤停止加热。其正确的操作顺序为 。 （2）如何运用最简方法检验溶液中有无SO 2－ 4离子？ 。如果有，应该如何除去SO 2－ 4离子？ 。 （3）在粗盐经过溶解→过滤后的溶液中滴加饱和Na 2CO 3溶液，直至不再产生沉淀为止。请问这步
