参数方程化普通方程
1．参数方程?
????x ＝cos 2
θ
y ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段
D ．射线
解析：选C.x ＝cos 2
θ∈[0，1]，y ＝sin 2
θ∈[0，1]，∴x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．
2．(1)参数方程?????x ＝2t
y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．
(2)参数方程?
????x ＝1＋cos θ
y ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．
解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝1
2
x .
(2)参数方程变形为?????x －1＝cos θ，
y －1＝－sin θ，
两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1.
答案：(1)y ＝1
2
x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝1
3．曲线C ：?????x ＝12t
y ＝t
2，(t 为参数)的形状为____________．
解析：因为t ＝2x ，代入y ＝t 2，得y ＝4x 2，即x 2＝1
4y ，所以曲线C 为抛物线．
答案：抛物线
4.将下列参数方程化为普通方程：
(1)???x ＝t ＋1
y ＝1－2t
，(t 为参数)； (2)?
????x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)； (3)???x ＝1＋32t
y ＝2－1
2t ，(t 为参数)；
(4)?????x ＝2t
1＋t 2y ＝1－t 21＋t
2
，(t 为参数)．
[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．
(2)由?
????x ＝5cos θ
y ＝4sin θ－1得
???cos θ＝
x
5
sin θ＝y ＋14
， ①
②
①2
＋②2
得x 225＋（y ＋1）
2
16＝1.
(3)由???x ＝1＋32t y ＝2－12t 得???x －1＝32t y －2＝－12t
， ① ②
②÷①得y －2x －1＝－33，∴y －2＝－3
3(x －1)(x ≠1)
∴3x ＋3y －6－3＝0，
又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由????
?x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2得?
???
?x 2
＝4t 2（1＋t 2）2y 2＝1＋t 4－2t 2（1＋t 2）2
， ①
②
①＋②得x 2＋y 2＝1.
5.参数方程?
????x ＝2＋sin 2
θ
y ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )
A ．2x －y ＋4＝0
B ．2x ＋y －4＝0
C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]
D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]
解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．
6.把参数方程?
????x ＝sin θ－cos θ
y ＝sin 2θ，(θ为参数)化成普通方程是____________．
解析：将x ＝sin θ－cos θ两边平方得x 2＝1－sin 2θ， 即sin 2θ＝1－x 2
，代入y ＝sin 2θ，得y ＝－x 2
＋1. 又x ＝sin θ－cos θ＝2sin ????θ－π
4，∴－2≤x ≤2， 故普通方程为y ＝－x 2＋1(－2≤x ≤2)． 答案：y ＝－x 2＋1(－2≤x ≤2)
7.已知曲线C 1：?????x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，C 2：?
????x ＝8cos θ
y ＝3sin θ.，(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？
(2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π
2
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
C 3：?
????x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值及此时Q 点坐标．
[解] (1)由C 1：?????x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，
则?
????cos t ＝x ＋4，
sin t ＝y －3， 由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆.2分
由C 2：?
????x ＝8cos θ，
y ＝3sin θ.(θ为参数)，
则???cos θ＝x
8，
sin θ＝y
3，
由cos 2
θ＋sin 2
θ＝1得x 2
64＋y
2
9＝1，即曲线C 2
的普通方程．C 2
表示的
是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆.5分
(2)当t ＝π
2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，
故M ????－2＋4cos θ，2＋3
2sin θ，6分 C 3为直线x －2y －7＝0.7分 则点M 到直线C 3的距离d ＝
55|4cos θ－3sin θ－13|＝5
5
|5cos(θ＋φ)－13|，9分 从而当cos φ＝45，sin φ＝35时，d 取得最小值85
5.
11分
此时，Q 点的坐标为????325
，－9
5.12分 8.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?
??
x ＝3＋1
2
t ，
y ＝32
t
(t 为参
数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ????3＋12t ，3
2t ，又C (0，3)，
则|PC |＝
????3＋12t 2＋???
?32t －32
＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，
此时，点P 的直角坐标为(3，0)．
9．已知曲线C 1的参数方程为?
????x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．
解：(1)将?
????x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即
C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.
将?
????x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
由?????x 2＋y 2
－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得?
????x ＝1y ＝1或?????x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2
)．
10.化参数方程?
??x ＝t ＋
1
t
y ＝t －
1t
(t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x
＋1的距离为最小，并求此最小距离．
解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.
设P (t ＋1t ，t －1
t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离
d ＝|t ＋3t
＋1|
5
.
(1)当t >0时，d ≥23＋1
5
.
(2)当t <0时，∵－t －3
t ≥23，
∴t ＋3
t
＋1≤－23＋1.
∴|t ＋3
t ＋1|≥23－1，∴d ≥23－15.
∵
23＋15>23－1
5
， ∴d 的最小值为23－15，即215－5
5，
此时点P 的坐标为(－433，－2
3
3)．
参数方程单元测试题 一、选择题 1．将参数方程? ? ?α α cos ＝－1 － cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋2y ＋1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1) D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1) 2．双曲线xy ＝1的参数方程是( )． A ． ?? ?????21 －21＝＝t y t x B ． ?? ???t y t x sin 1＝ sin ＝ C ． ?? ???t y t x tan 1＝ tan ＝ D ． ??? ??? ?t t t t y x －－e ＋e 2＝ 2 ＋e ＝e 3．对于参数方程和? ?? 30sin ＋2 ＝ 30 cos －1 ＝ t y t x ????? 30sin 2＝ 30 cos ＋ 1 ＝ t －y t x 的曲线，正确的结论是( )． A ．是倾斜角为30o的平行线 B ．是倾斜角为30o的同一直线 C ．是倾斜角为150o的同一直线 D ．是过点(1，2)的相交直线 4．参数方程??? ??? ?)(θθθ sin ＋121＝2 sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)的曲线( )． A ．抛物线的一部分，且过点(－1，21) B ．抛物线的一部分，且过点(1，21 ) C ．双曲线的一支，且过点(－1，21) D ．双曲线的一支，且过点(1，2 1 ) 5．直线? ??t y t x ＋ 3＝－－ 2＝(t 为参数)上与点A (2，－3)的距离等于1的点的坐标是( )． A ．(1，－2)或(3，－4) B ．(2－2，－3＋2)或(2＋2，－3－2) C ．(2－ 22，－3＋22)或(2＋22，－3－2 2) D ．(0，－1)或(4，－5) 6．直线x cos α＋y sin α＝2与圆? ??θθ ＝ ＝2sin 2cos y x (θ 为参数)的位置关系是( )． A ．相交不过圆心 B ．相交且过圆心 C ．相切 D ．相离 7．若点P (4，a )在曲线??? ??t y t x 2＝2＝(t 为参数)上，点F (2，0)，则|PF |等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8． 已知点(m ，n )在曲线???? ?α αsin 6＝ cos 6 ＝ y x (α为参数)上，点(x ，y )在曲线???ββsin 24＝ cos 24＝y x (β为参数)上，则mx ＋ny 的最大值为( )． Ａ．12 B ．15 C ．24 D ．30 9．直线y ＝kx ＋2与曲线?? ? ??αα sin 3＝ 2cos y x ＝至多一个交点的充要条件是( )．
高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．曲线与坐标轴的交点是（）． A． B． C． D． 2．把方程化为以参数的参数方程是（）． A． B． C． D． 3．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A． B． C． D． 4．点在圆的（）． A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关 5．参数方程为表示的曲线是（）． A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线 6．两圆与的位置关系是（）． A．内切 B．外切 C．相离 D．内含 7．与参数方程为等价的普通方程为（）． A． B．
C． D． 8．曲线的长度是（）． A． B． C． D． 9．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（）．A． B． C． D． 10．直线和圆交于两点， 则的中点坐标为（）． A． B． C． D． 11．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）．A． B． C． D． 12．直线被圆所截得的弦长为（）． A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．参数方程的普通方程为__________________． 14．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______．15．直线与圆相切，则_______________． 16．设，则圆的参数方程为____________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离． 18．（本小题满分12分） 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点， 求的值及相应的的值． 19．（本小题满分12分） 已知中，(为变数)， 求面积的最大值． 20．（本小题满分12分）已知直线经过点,倾斜角， （1）写出直线的参数方程． （2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．21．（本小题满分12分） 分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程： （1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数． 22．（本小题满分12分） 已知直线过定点与圆：相交于、两点．求：（1）若，求直线的方程； （2）若点为弦的中点，求弦的方程． 答案与解析：
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
【参数方程和普通方程的互化】 例1求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点． 解：把代入 得：两式平方相加可得 ∴（舍去） 于是即所求二曲线的交点是（，－）． 说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方 程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－，）是增解． 例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且 ） 解法一：因，，故 ∴ 设。取为参数，则得所求参数方程 解法二：如图，（）为直线上的定点，为直线上的动点．因动点M与 的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时，；当M在的下 方或正左方时，；当M与重合时，），故取为参数．
过点M作y轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有 ∴ 即为所求的参数方程。 说明：①在解法二中，不必限定，，即不必限定，．由 此可知，无论中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”． ②要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便． ③如果取为参数，则得直线参数方程 一般地，直线的参数方程的一般形式是 （，为参数） 但只有当且仅当，且时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义． 例3求椭圆的参数方程． 分析一：把与对比，不难发现，可设，也可设
解法一：设（为参数），则 ∴ 故 因此，所得参数方程是 （Ⅰ）或（Ⅱ） 由于曲线（Ⅱ）上的点（，），就是曲线（Ⅰ）上的点（， ），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点． 显然．椭圆的参数方程是 分析二：借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义． 解法二：以原点O为圆心，为半径作圆，如图．设以轴正半轴为始边，以动半径OA为 终边的变角为，过点A作轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（）的横坐标（以下同解法一）． 由解法二知，参数是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称为椭圆 的离角．（如果以O为圆心，为半径作圆，过M作，交圆于B，由可知 也是半径OB的转角）． 例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆化为参数方程。 分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。 解：如图所示，圆方程化为，设圆与x轴正半轴交于A，为圆上 任一点，过P作轴于B，OP与x轴正半轴所成角为，，则：
极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3 l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标 系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角 坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方 程为θρcos 4=.
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极 点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方 程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 )4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线???==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变 为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方 程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ????=+-=. 21, 233t y t x （t 为参数）。求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1
三直线的参数方程 （课前部分） 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？ 2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？ 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？ 【自主学习】 大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？ 已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？ 设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0（x0,y0）、M （x,y） 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？ 通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？ 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？ 通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点，做好标注！ 有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手 画出图形，写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力，时间自会主持公道1
参数方程化普通方程 [重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。 [例题分析] 1．把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R，θ为参数) 解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴y=3-2x2, 又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3) (2)(θ∈R，θ为参数） 解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。 又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+)y=sinθcosθ=sin2θ ∴|x|≤，|y|≤。∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤) 小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。 (3)(t≠1, t为参数) 法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。 x+y==1,又x=-1≠-1，y=≠2, ∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。 法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=, ∴x+xt=1-t, ∴(x+1)t=1-x，即t=代入y==1-x，∴x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。
直线的参数方程 1.设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5 6π，则直线l 的参数方程是____________． 解析：直线l 的参数方程为? ?? x ＝2＋t cos 5 6 π， y ＝－4＋t sin 5 6 π (t 为参数)， 即???x ＝2－32t y ＝－4＋1 2t ，(t 为参数)． 答案：???x ＝2－32t y ＝－4＋1 2t ，(t 为参数) 2.设直线l 过点(1，－1)，倾斜角为5π 6 ，则直线l 的参数方程为____________． 解析：直线l 的参数方程为??? x ＝1＋t cos 5π 6 y ＝－1＋t sin 5π 6，(t 为参数)， 即???x ＝1－32t y ＝－1＋1 2t ，(t 为参数) 答案：???x ＝1－32t y ＝－1＋1 2t ，(t 为参数) 3.已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π 6 . 写出直线l 的参数方程； 解：①直线l 的参数方程为?????x ＝1＋3 2t y ＝1＋12t ，(t 是参数)． 4.已知直线l 经过点P ????12，1，倾斜角α＝π 6 ， 写出直线l 的参数方程. [解] (1)直线l 的参数方程为???x ＝12＋t cos π 6 y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即???x ＝12＋3 2 t y ＝1＋1 2t ，(t 为参 数).2分 5.已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，则直线l 的参数方程为____________． 解析：∵直线的斜率为－1， ∴直线的倾斜角α＝135°. ∴cos α＝－ 22，sin α＝2 2 . ∴直线l 的参数方程为???x ＝2－22t y ＝－1＋2 2t ，(t 为参数)． 答案：???x ＝2－22t y ＝－1＋2 2 t ，(t 为参数) 6.已知直线l ：???x ＝－3＋32t y ＝2＋1 2t ，(t 为参数) , 求直线l 的倾斜角； 解：(1)由于直线l ：? ??x ＝－3＋t cos π 6 ， y ＝2＋t sin π 6 (t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
参数方程单元测试题 一、选择题 1．将参数方程? ? ?αα cos ＝－1 － cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋2y ＋1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1) D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1) 2．双曲线xy ＝1的参数方程是( )． A ．?? ?????21－21＝＝t y t x B ．?? ???t y t x sin 1＝ sin ＝ C ．?? ???t y t x tan 1＝ tan ＝ D ．??? ????t t t t y x －－e ＋e 2＝ 2＋e ＝e 3．对于参数方程和???οο 30 sin ＋2 ＝ 30 cos －1 ＝ t y t x ????? ο ο 30sin 2＝ 30 cos ＋ 1 ＝ t －y t x 的曲线，正确的结论是( )． A ．是倾斜角为30o的平行线 B ．是倾斜角为30o的同一直线 C ．是倾斜角为150o的同一直线 D ．是过点(1，2)的相交直线 4．参数方程??? ??? ?)(θθθ sin ＋121＝2 sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)的曲线( )． A ．抛物线的一部分，且过点(－1，21) B ．抛物线的一部分，且过点(1，21 ) C ．双曲线的一支，且过点(－1，21) D ．双曲线的一支，且过点(1，2 1 ) 5．直线? ??t y t x ＋ 3＝－－ 2＝(t 为参数)上与点A (2，－3)的距离等于1的点的坐标是( )． A ．(1，－2)或(3，－4) B ．(2－2，－3＋2)或(2＋2，－3－2) C ．(2－ 22，－3＋22)或(2＋22，－3－2 2) D ．(0，－1)或(4，－5) 6．直线x cos α＋y sin α＝2与圆? ??θθ ＝ ＝2sin 2cos y x (θ 为参数)的位置关系是( )． A ．相交不过圆心 B ．相交且过圆心 C ．相切 D ．相离 7．若点P (4，a )在曲线???? ?t y t x 2＝2＝(t 为参数)上，点F (2，0)，则|PF |等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8． 已知点(m ，n )在曲线???? ?α αsin 6＝ cos 6 ＝ y x (α为参数)上，点(x ，y )在曲线???ββsin 24＝ cos 24＝y x (β为参数)上，则mx ＋ny 的最大值为( )． Ａ．12 B ．15 C ．24 D ．30 9．直线y ＝kx ＋2与曲线?? ? ??αα sin 3＝ 2cos y x ＝至多一个交点的充要条件是( )． A ．k ∈[－21，21] B ．k ∈(－∞，－21]∪［2 1 ，＋∞)
一、选择题： 1．直线 l 的参数方程为 x a t (t 为参数 ) ， l 上的点 P 1 对应的参数是 t 1 ，则点 P 1 与 P( a, b) 之间的 y b t 距离是（ C ） A ． t 1 B ． 2 t 1 C ． 2 t 1 D ． 2 t 1 2 2．参数方程为 x t 1 (t 为参数 ) 表示的曲线是（ D t ） y 2 A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 x 1 1 t 2 (t 为参数 ) 和圆 x 2 y 2 3．直线 16 交于 A, B 两点，则 AB 的中点坐标为 （ D ） y 3 3 3 t 2 A ． (3, 3) B ． ( 3,3) C ． ( 3, 3) D ． (3, 3) 4．把方程 xy 1化为以 t 参数的参数方程是（ D ） 1 x sin t x cost x tant x t 2 A ． 1 B ． y 1 C ． 1 D ． y 1 y t 2 sint y cost tant 5．若点 P(3, m) x 4t 2 PF 等于（ C 在以点 为焦点的抛物线 为参数 上，则 ） F (t ) y 4t A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 6. 直线 x 3 t sin200 (t 为参数 ) 的倾斜角是 ( ) y 1 t cos200 .70 C 二、填空题： 7．曲线的参数方程是 x 1 1 为参数 ,t ，则它的普通方程为 _ x(x 2) ____ t (t ) y 2 ( x 1)
极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略 【考纲要求】 （1）坐标系 ①了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 ②了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 ③能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 ④了解参数方程，了解参数的意义。能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 ⑤能选择适当的参数写出直线，圆和椭圆的参数方程。了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解他们的区别。 （2）参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 ③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。 ④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨迹中的作用。 【热门考点】 高考题中这一部分主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程。冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，摆线在实际中的应用，摆线在表示行星运动轨道中的作用。涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用。多以选做题形式出现，以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档题。 【常见题型】
1（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+??=+? （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=??=?（θ为参数）。 （1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π =，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线 332,:2x t C y t =+??=-+? （t 为参数）距离的最小值。 2（2009宁夏海南卷文）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+??=+? （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=??=?（θ为参数）。 （1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π =，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线 332,:2x t C y t =+??=-+? （t 为参数）距离的最小值。 3．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为3,2x y ?=-????=??（t 为参数）。在极坐标系（与 直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=。 （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，
求|PA|+|PB|。 4．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分） 在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。 5. (2010年全国高考宁夏卷23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+??=?（t 为参数），C 2x cos sin y θθ=??=? （θ为参数）， （Ⅰ）当α=3 π时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 6．（2010年高考辽宁卷理科23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 （θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 已知P 为半圆C ： O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3 π。 （I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。 7．（2011·福建高考理科·Ｔ21）（2）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲 线C 的参数方程为x 3cos y sin ?=??=??ααα ，（为参数）. （I ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴
参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________. 3．曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin θ， y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋1 2t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2 ＋y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________
极坐标与参数方程测试 一、选择题（每小题4分） 1．点M 的极坐标)3 2,5(π化为直角坐标为（ C ） A ．)235,25(-- B ．)235,25(- C ．)235,25(- D ．)2 35,25( 2．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ B ） A ．)65,2(π B ．)67,2(π C ．)611,2(π D ．)6 ,2(π 3．已知曲线C 的参数方程为)(1232为参数t t y t x ?? ?+==则点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置关系是（ A ） A ．1M 在曲线C 上，但2M 不在。 B ．1M 不在曲线C 上，但2M 在。 C ．1M ，2M 都在曲线C 上。 D ．1M ，2M 都不在曲线C 上。 4．曲线5=ρ表示什么曲线（B ） A ．直线 B ．圆 C ．射线 D ．线段 5．参数方程)(211为参数t t y t x ???-=+=表示什么曲线（ C ） A ．一条直线 B ．一个半圆 C ．一条射线 D ．一个圆 6．椭圆 )(sin 51cos 3为参数θθθ ???+-=+=y x 的两个焦点坐标是(B ) A ．(-3，5)，(-3，-3) B ．(3，3)，(3，-5) C ．(1，1)，(-7，1) D ．(7，-1)，(-1，-1) 7．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( A) A ．x 2+(y+2)2=4 B ．x 2+(y-2)2=4 C ．(x-2)2+y 2=4 D ．(x+2)2+y 2=4 8．极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是 ( D) A ．两条射线 B ．抛物线 C ．圆 D ．两条相交直线 9．直线：3x-4y-9=0与圆：???==θ θsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( D ) A ．相切 B ．相离
《参数方程》练习题 一.选择题： 1．直线l 的参数方程为()x a t t y b t =+??=+?为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ） A ．1t B ．12t C 1 D 1 2．直线：3x-4y-9=0与圆：???==θ θsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3 ．直线112()x t t y ?=+????=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)- B ．( C ．3)- D ．(3, 4．曲线的参数方程为321 x t y t =+??=-?(t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、直线 5．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2 4()4x t t y t ?=?=?为参数上，则PF 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6.直线003sin 201cos 20 x t y t ?=-?=+? (t 为参数)的倾斜角是 ( ) A.200 B.700 C.1100 D.1600 7.实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题： 7．曲线的参数方程是211()1x t t y t ?=-?≠??=-? 为参数,t 0，则它的普通方程为_____ 8．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。 9．直线cos sin x t y t θθ=??=?（t 为参数）与圆42cos 2sin x y αα=+??=? （α为参数）相切，则θ=_______________。 10.设曲线C 的参数方程为2x=t y=t ???（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__ _____. 三、解答题： 11．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6 π α=，（1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
用椭圆和圆的参数方程解题 题1 (2004年全国高中数学联赛四川省初赛第16题)已知椭圆 )0(1:22 22>>=+b a b y a x C 和动圆)(:222a r b r y x T <<=+.若点A 在椭圆C 上，点B 在 动圆T 上，且使直线AB 与椭圆C 、动圆T 均相切，求点A ,B 的距离AB 的最大值. 解 如图1所示，可不妨设点A ,B 均在第一象限. 图1 由点A 在椭圆C 上，可设?? ? ? ? <<20)sin ,cos (παααb a A ，得椭圆C 在点A 处的切线方程为 1sin cos =+y b x a α α ① 由点B 在动圆T 上，可设?? ? ? ? <<20)sin ,cos (πβββr r B ，得圆T 在点B 处的切线方程为 r y x =+ββsin cos ② 因为①②表示同一条直线，所以 r b a 1 sin sin cos cos ==βαβα αβαβsin sin ,cos cos b r a r == 222221 sin cos r b a =+αα ) ()(cos 2222222 b a r b r a --=α 所以 22222222222 22cos )(sin cos r b b a r b a OB OA AB -+-=-+=-=ααα
2 2222222 2 )(2)()(b a ab b a r b a r b a -=-+≤???? ? ?+-+= 进而可得AB 的最大值是b a -. 题2 (2015年浙江省高中数学竞赛第17题)已知椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离 心率为 2 3 ，右焦点为圆7)3(:222=+-y x C 的圆心. (1)求椭圆1C 的方程； (2)若直线l 与曲线21,C C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A 的坐标. 解法1 (1)(过程略)14 22 =+y x . (2)如图2所示，可设直线l 与椭圆1C 相切于点)sin ,cos 2(ααB ，得椭圆1C 在点B 处的切线方程为 2sin 2cos =+ααy x ③ 图2 还可设直线l 与圆2C 相切于点)sin 7,3cos 7(ββ+A ，得圆2C 在点A 处的切线方程为 7cos 3sin cos +=+βββy x ④ 由③④表示同一条直线，可得 7 cos 32 sin sin 2cos cos +==ββαβα 所以 7 cos 3sin sin ,7cos 3cos 2cos +=+= ββ αββα