参数方程
1、参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都就是某个变数t 的函数()
()x f t y g t =??=?
①,并且
对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程、
2、参数方程与普通方程的互化
(1)曲线的参数方程与普通方程就是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程、
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()
()
x f t y g t =??=?就就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范
围保持一致、
注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 例5:将下列数方程化成普通方程.
①22()2x t t y t ?=?=?为参数, ②2221()21x t t t y t ?=??+?
?=?+?为参数,③22211()21t x t t t
y t ?-=??+??=?+?
为参数, ④1()()1()
x a t t
t y b t t ?
=+????=-??
为参数,⑤???+=+-=11mx y my x , ⑥)0,(.sin ,cos >>???==b a b y a x 为参数ααα , ⑦?
?
?==θθsin cos 2y x ()θ为参数, ⑧)(.cos21y ,
cos x 为参数θθθ???+== 3.圆的参数
设圆O 的半径为r ,点M 从初始位置0M 出发,按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动,设(,)M x y ,则
cos ()sin x r y r θ
θθ
=??
=?为参数。 这就就是圆心在原点O ,半径为r 的圆的参数方程,其中θ的几何意义就是0OM 转过的角度。 圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的普通方程就是2
2
2
()()x a y b r -+-=,
它的参数方程为:cos ()sin x a r y b r θ
θθ=+??=+?
为参数。
4.椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心,焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>其参数方程为
cos ()sin x a y b ???
=??
=?为参数,其中参数?称为离心角;焦点在y 轴上的椭圆的标准方程就是22
221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ?
??
=??
=?为参数其中参数?仍为离心角,通常规定参数?的范围为?∈[0,2π)。
注:椭圆的参数方程中,参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它与这一点的旋转角α区分开来,除了在四个顶点处,离心角与旋转角数值可相等外(即在0到2π的范围内),在其她任何一点,两个角的数值都不相等。但当02
π
α≤≤
时,相应地也有02
π
?≤≤
,在其她象限内类似。
5.双曲线的参数方程
以坐标原点O 为中心,焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22
221(0,0),x y a b a b
-=>>其参数方程为
sec ()tan x a y b ???
=??
=?为参数,其中3[0,2),.22ππ
?π??∈≠≠且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程就是22
221(0,0),y x a b a b
-=>>其参数方程为
cot ((0,2).csc x b e y a ?
??π?π?
=?∈≠?
=?为参数，其中且 以上参数?都就是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线2
2(0)y px p =>的参数方程为2
2().2x pt t y pt
?=?
=?为参数 7.直线的参数方程
经过点000(,)M x y ,倾斜角为()2
π
αα≠的直线l 的普通方程就是00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ,
倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+??
=+?()t 为参数。
注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点000(,)M x y ,倾斜角为α的直线l 的参数方程为
00cos sin x x t y y t α
α
=+??
=+?()t 为参数,其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点,任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M 的数量,
当点M 在0M 上方时,t ＞0;当点M 在0M 下方时,t ＜0;当点M 与0M 重合时,t =0。
我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点,直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
①设A 、B 就是直线上任意两点,它们对应的参数分别为A B t t 、,则AB ＝A B t t -
. ②线段AB 的中点所对应的参数值等于
2
B
A t t +. ②椭圆)(.
3sin y ,
5cos x 为参数θθθ??
?==的焦点坐标就是_________________________、
③双曲线)t (.
t 1t y ,t 1t x 为参数???
????-=+=的离心率就是_________________________、
15、曲线)(.sin y ,
cos 1x 为参数θθθ?
?
?=+=上的点与定点A(-1,-1)距离的最小值就是_____________、
16、 已知369y 4x 2
2=+,则y 32x -的最小值就是_________________、
17.点M(x,y)在椭圆14
y 12x 2
2=+上,则点M 到直线04y x =-+的最大距离为________, 此时,点M 的坐标就是_____________、
例1、讨论下列问题:
1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ,以分点M(x,y)分21M M 所成的比λ为参数,写出参数方程。
2、直线???
???
?+=-=t y t x 211233(t 为参数)的倾斜角就是
3、方程???+=α
sin 3t y
(t 为非零常数,α为参数)表示的曲线就是 ( )
4、已知椭圆的参数方程就是??
?=θ
sin 4y (θ为参数),则椭圆上一点 P (25
,32-)的离心角可以就是
A.
3
π
B.32π
C.34π
D.35π
例2 把弹道曲线的参数方程
??
?
??-?=?=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程. 例4、 直线3x －2y ＋6=0,令y = tx ＋6(t 为参数).求直线的参数方程. 例5、已知圆锥曲线方程就是?
?
?-+-=++=5sin 461
cos 532
??t y t x （1） 若t 为参数,?为常数,求该曲线的普通方程,并求出焦点到准线的距离; （2） 若?为参数,t 为常数,求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。