参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()
()x f t y g t =⎧⎨=⎩
①,并且对
于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()
()
x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围
保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 例5：将下列数方程化成普通方程．
①22()2x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数， ②2221()21x t t t y t ⎧=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩为参数，③22211()21t x t t t
y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
为参数， ④1()()1()
x a t t
t y b t t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
为参数，⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x ， ⑥)0,(.sin ,cos >>⎩⎨⎧==b a b y a x 为参数ααα ， ⑦⎩
⎨
⎧==θθsin cos 2y x ()θ为参数， ⑧)(.cos21y ,
cos x 为参数θθθ⎩⎨⎧+== 3．圆的参数
设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则
cos ()sin x r y r θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数。 这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。 圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是2
2
2
()()x a y b r -+-=，
它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ=+⎧⎨=+⎩
为参数。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>其参数方程为
cos ()sin x a y b ϕϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22
221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕ
ϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）
。 注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02
π
α≤≤
时，相应地也有02
π
ϕ≤≤
，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22
221(0,0),x y a b a b
-=>>其参数方程为
sec ()tan x a y b ϕϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数，其中3[0,2),.22ππ
ϕπϕϕ∈≠≠且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22
2
21(0,0),y x a b a b
-=>>其参数方程为cot ((0,2).csc x b e y a ϕ
ϕϕπϕπϕ
=⎧∈≠⎨
=⎩为参数，其中且 以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2
2(0)y px p =>的参数方程为2
2().2x pt t y pt
⎧=⎨
=⎩为参数 7．直线的参数方程
经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2
π
αα≠的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾
斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩()t 为参数。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为
00cos sin x x t y y t α
α=+⎧⎨
=+⎩
()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M 的数量，
当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。
我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
