专题二函数 函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等． §2－1 函数 【知识要点】 要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念． 1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记 作f：A→B，其中x叫原象，y叫象． 2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯 一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A． 其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数 值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应 法则完全确定． 3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元 素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心． 【复习要求】 1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数． 3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则． 4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域． 【例题分析】 例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到 集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．
课时规范练 A 组 基础对点练 1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( A ) A ．5 B.7 C ．9 D.11 2．(2018·合肥质量检测)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( C ) A ．112 B.51 C ．28 D.18 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2 ＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋ 7×(7－1) 2d ＝7×13－7×9＝28，故选C. 3．(2018·陕西省高三质量检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( D ) A ．27 B.36 C ．45 D.54 解析：因为在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，所以a 5＝6，则S 9＝9(a 1＋a 9) 2＝9a 5＝54.故选D. 4．(2018·西安地区八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( B ) A ．S 4S 1 D.S 4＝S 1 解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6， 得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎨⎧ a 1＝－9，d ＝3.则S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 40 C ．a 1d <0 D.a 1d >0 解析：∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n ＋1－a n ＝d ， 又数列{2a 1a n }为递减数列，
空间点、线、面的位置关系 [课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练] 一、选择题 1．(2019·温州高考适应性考试)设m ，n 为直线，α，β为平面，则m ⊥α的一个充分条件可以是( ) A ．α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n B ．α∥β，m ⊥β C ．α⊥β，m ∥β D ．n ?α，m ⊥n 解析：选B 对于A 选项，直线m 与平面α可能平行、相交或直线m 在平面α内，A 错误；对于B 选项，由直线垂直于两平行平面中的一个，得该直线垂直于另一个平面，B 正确；对于C 选项，直线m 与平面α可能平行、相交或直线m 在平面α内，C 错误；对于D 选项，直线m 与平面α可能平行、相交或直线m 在平面α内，D 错误．综上所述，故选B. 2．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．0条或2条 解析：选C 因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，所以该三棱锥中与平面α平行的棱有2条，故选C. 3．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m ⊥α，n ?β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 当m ⊥α，n ?β，α⊥β时，直线m 与直线n 可能相交、平行或异面，充分性不成立；当m ⊥α，m ∥n 时，n ⊥α，又因为n ?β，所以α⊥β，必要性成立，所以“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件，故选B. 4.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2AB ，E ，F 分别为BC ，BB 1 的中点，M ，N 分别为AA 1，A 1C 1的中点，则直线MN 与EF 所成角的余弦值 为( ) A.35 B.12 C.32 D.45 解析：选B 如图，连接AC 1，C 1B ，CB 1， 设C 1B 与CB 1交于点O ，取AB 的中点D ，连接CD ，OD ， 则MN ∥AC 1∥OD ，EF ∥CB 1，
[A 组 夯基保分专练] 一、选择题 1．(2018·惠州第二次调研)设随机变量ξ服从正态分布N (4，3)，若P (ξa ＋1)，则实数a 等于( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 解析：选B.由随机变量ξ服从正态分布N (4，3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝4，又P (ξa ＋1)，所以x ＝a －5与x ＝a ＋1关于直线x ＝4对称，所以a －5＋a ＋1＝8，即a ＝6.故选B. 2．(2018·武汉调研)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为( ) A.310 B.25 C.320 D.14 解析：选C.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至 少有1个小球有C 36种放法，甲盒中恰好有3个小球有C 2 3种放法，结合古典概型的概率计算 公式得所求概率为C 23 C 36＝320 .故选C. 3．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( ) A.29 B.13 C.49 D.59 解析：选A .小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种， 所以P (A |B )＝ 24108＝2 9 . 4．用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a 1a 4>a 5特征的五位数的概率为( ) A.1 10 B.120
第2课时圆锥曲线综合问题 [考情分析] 圆锥曲线综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等．这类问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，参数处理为核心，需要运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识求解，试题难度较大． 热点题型分析 热点1 定点、定值问题 1．直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程．问题就归结为用参数把直线方程表示出来，无论参数如何变化，这个方程必有一组常数解． 2．定值的证明和探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接证得与参数无关的数值，在这类问题中，选择消元的方法是非常关键的． (2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切． (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径． (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由． 解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在线段AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)． 因为⊙M与直线x＋2＝0相切， 所以⊙M的半径为r＝|a＋2|. 由已知得|AO|＝2. 又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2， 解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值． 理由如下： 设M(x，y)，由已知， 得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2. 由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，
化简，得M的轨迹方程为y2＝4x. 因为曲线C：y 2＝4x是以点P(1,0)为焦点， 以直线x＝－1为准线的抛物线， 所以|MP|＝x＋1. 因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P. 1．动直线过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋m，由题设条件将m用k表示为m ＝f(k)，借助于点斜式方程思想确定定点坐标． 2．定值问题的解法 (1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)． (2)将问题转化为证明待定式与参数(某些变量)无关；或先将式子用动点坐标或动直线中的参数表示；再利用其满足的约束条件消参得定值． (2018·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)．过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)设O为原点，QM → ＝λQO → ，QN → ＝μQO → ，求证： 1 λ ＋ 1 μ 为定值． 解(1)因为抛物线y2＝2px经过点P(1,2)，所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由 ?? ? ??y2＝4x， y＝kx＋1， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意有Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0 综合检测二(标准卷) 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页． 2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上． 3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整． 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设全集为R ，集合A ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ 2－x x >0，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0 课时规范练11函数的图象 基础巩固组 1.函数f(x)=则y=f(x+1)的图象大致是() 2.已知f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的图象为() 3.(2018浙江,5)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是() 4.(2017全国3,文7)函数y=1+x+的部分图象大致为() 5.已知函数f(x)=x2+e x-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是() A.- B.(-,) C. D.- 6.(2018衡水中学押题二,7)函数y=sin x+ln|x|在区间[-3,3]的图象大致为() 7.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为 (x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则 x i=() A.0 B.m C.2m D.4m 8.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2.若在区间[-1,3]内,函数 g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围为. 综合提升组 9.已知当0 课时跟踪练(八十一) A 组 基础巩固 1．已知n ≥2，求证：1n >n －n －1. 证明：要证1n >n －n －1， 只需证明1 n >（n －n －1）（n ＋n －1）n ＋n －1， 也就是证1n >1 n ＋n －1，只需证n ＋n －1>n ， 只需证n －1>0，只需证n >1， 因为n ≥2>1，所以1 n >n －n －1. 2．设函数f (x )＝x ＋4x －1(x >0)的最小值为M ，正数a ，b 满足1a 3＋1b 3＝Mab . (1)求M 的值； (2)是否存在正数a ，b ，使得a 6＋b 6＝ab ？并说明理由． 解：(1)f (x )＝x ＋4x －1≥2x ·4 x －1＝3(当且仅当x ＝2时，取等号)． 所以f (x )的最小值M ＝3. (2)不存在，理由如下： 假设存在正数a ，b ，使得a 6＋b 6＝ab ， 则a 6＋b 6＝ab ≥2a 6b 6＝2a 3b 3， 所以a 52b 52≤12 . 因为1a 3＋1b 3＝Mab ＝3ab ≥21a 3b 3， 所以a 52b 52≥23，与a 52b 52≤12 矛盾，所以不存在a ，b 满足题意． 3．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2. (1)求a 2＋b 2的最小值； (2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值． 解：(1)由22＝1a ＋1b ≥21 ab 得ab ≥12， 当且仅当a ＝b ＝ 22时取等号． 故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝ 22时取等号． 所以a 2＋b 2 的最小值是1. (2)由1a ＋1b ＝22可得a ＋b ＝22ab ， 因为(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝8a 2b 2－4ab ≥4(ab )3 ， 所以(ab )2－2ab ＋1≤0，即(ab －1)2≤0， 所以ab －1＝0，即ab ＝1. 4．(2019·中山模拟)已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1. (1)求不等式f (x )≤6的解集； (2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98 . (1)解：根据题意， 若f (x )≤6，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＋3－x ≤6，－1≤x <3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＋（x －3）≤6，x ≥3， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}． (2)证明：函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩ ⎪⎨⎪⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3， 分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a ＝8， 所以2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥ 18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98 ， 原不等式得证． 5．已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫b a . (1)解：f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x <－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x >1， 当x <－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，4≥8不成立； 课时跟踪练(三十二) A 组 基础巩固 1．[一题多解]已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4 解析：法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1 ＋d ＝2， 解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，所以a 4＝－4， 所以a 4－a 2＝－4－2＝2d ，所以d ＝－3. 答案：C 2．[一题多解](2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10 ＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 解析：法一 因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 所以S 9＝9 2 (a 1＋a 9)＝9a 5＝27，所以a 5＝3. 又因为a 10＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，所以⎩ ⎪⎨⎪⎧a 1＝－1， d ＝1. 所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二 因为{a n }是等差数列， 所以S 9＝9 2 (a 1＋a 9)＝9a 5＝27，所以a 5＝3. 在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10 －a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C. 答案：C 3．(2019·太原模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10 ＝9，则S 9＝( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 因为a 2＋a 3＋a 10＝9， 所以3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3， 所以a 5＝3， 所以S 9＝9×（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝27.故选D. 答案：D 4．(2019·汕头模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 5 5＝ －4，则S n 取最大值时的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 解析：由{a n }为等差数列，得S 99－S 5 5＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2， 由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >11 2，又因为 n ∈N *， 所以S n 取最大值时的n 为5，故选B. 答案：B 5．(2019·合肥质量检测)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A ．174斤 B ．184斤 C ．191斤 D ．201斤 解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 课时规范练5函数及其表示 基础巩固组 1.下面可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={x|0≤x≤1}为值域的函数图象的是() 2.已知函数f(x)满足f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时,f(x)=x2,则f(3)=() A. B. C. D.9 3.(2018河北衡水中学押题二,2)已知集合A={x|x2-2x≤0},B={y|y=log2(x+2),x∈A},则A∩B为() A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2] 4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是() A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 5.若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-f(x+3)的值域是() A.[-8,-3] B.[-5,-1] C.[-2,0] D.[1,3] 6.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为() A.(-1,1) B.-- C.(-1,0) D. -的值域为R,则实数a的取值范围是() 7.已知函数f(x)= A.(-∞,-1] B.- C.- D. 8.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=() A.2 B.0 C.1 D.-1 9.已知f-=2x+3,f(m)=6,则m=. 10.(2018江苏南京、盐城一模,7)设函数y=e x+-a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是. 11.已知y=f(2x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log2x)的定义域是. 综合提升组 若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围为() 12.已知函数f(x)= - A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 课时知能训练一、选择题 1．(2020·东莞模拟)设S n 为等比数列{a n }的前n项和，8a 2 －a 5 ＝0，则 S 4 S 2 ＝( ) A．5 B．8 C．－8 D．15 2．在等比数列{a n }中，a 1 ＝1，公比|q|≠1，若a m ＝a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ，则m＝( ) A．9 B．10 C．11 D．12 3．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n项和．已知a 2 a 4 ＝1，S 3 ＝7， 则S 5 ＝( ) A.15 2 B. 31 4 C. 33 4 D. 17 2 4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n项和，且9S 3 ＝S 6 ，则数列 {1 a n }的前5项和为( ) A. 15 8 或5 B. 31 16 或5 C. 31 16 D. 15 8 5．在公比q＜1的等比数列{a n }中，a 2 a 8 ＝6，a 4 ＋a 6 ＝5，则 a 5 a 7 等于( ) A. 5 6 B. 6 5 C. 2 3 D. 3 2 二、填空题 6．(2020·珠海模拟)已知等比数列{a n }的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则 a n ＝________. 7．等比数列{a n }的公比q＞0，已知a 2 ＝1，a n＋2 ＋a n＋1 ＝6a n ，则{a n }的前4项和 S 4 ＝________. 8．数列{a n }满足a 1 ，a 2 －a 1 ，a 3 －a 2 ，…，a n －a n－1 是首项为1，公比为2的等比 数列，那么a n ＝________. 三、解答题 A 级 基础通关 一、选择题 1．(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 1 2 B ．y ＝2－x C ．y ＝log 12 x D ．y ＝1 x 解析：易知y ＝2－x 与y ＝log 12x ，在(0，＋∞)上是减函数，由幂函 数性质，y ＝1 x 在(0，＋∞)上递减，y ＝x 1 2在(0，＋∞)上递增． 答案：A 2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ＞0时，f (x )＝2x ＋2x －4，则f (x )的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故f (0)＝0. 由于f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 12·f (2)＜0， 而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故当x ＞0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知， 当x ＜0时，也有1个零点．故一共有3个零点． 答案：B 3．(2019·山东省实验中学联考)设实数a 、b 、c 满足a ＝2－log 23， b ＝a －1 3 ，c ＝ln a ，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a 解析：因为a ＝2－log 23＝2log 23－1 ＝1 3. 所以c ＝ln a ＝ln 1 3＜0，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－13＝313＞1. 因此b ＞a ＞c . 答案：A 4．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( ) 解析：由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a ＞1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象大致为选项B. 答案：B 5．(2019·衡水质检)若函数f (x )＝|log a x |－3－x (a ＞0，a ≠1)的两个零点是m ，n ，则( ) A ．mn ＝1 B ．mn ＞1 C ．mn ＜1 D ．无法判断 解析：令f (x )＝0， 课时跟踪练(二十四) A 组 基础巩固 1．(2019·沈阳质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π 4，a ＝1，则b 等于( ) A ．2 B ．1 C. 3 D. 2 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b sin π 4 ， 所以112＝b 22，所以b ＝ 2. 答案：D 2．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2 3 ，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 解析：由余弦定理得5＝b 2 ＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. 答案：D 3．(2019·石家庄检测)在△ABC 中，cos 2 B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 解析：因为cos 2 B 2＝a ＋c 2c ， 所以2cos 2 B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，所以c 2＝a 2＋b 2 . 所以△ABC 为直角三角形． 答案：B 4．(2019·开封模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若A ＝π3， 3sin 2 C cos C ＝2sin A sin B ，且b ＝6，则c ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：在△ABC 中，A ＝π 3 ，b ＝6， 所以a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos A ，即a 2 ＝36＋c 2 －6c ，① 又3sin 2 C cos C ＝2sin A sin B ， 所以3c 2cos C ＝2ab ， 即cos C ＝3c 2 2ab ＝a 2 ＋b 2 －c 2 2ab ，所以a 2＋36＝4c 2 ，② 由①②解得c ＝4或c ＝－6(不合题意，舍去)，因此c ＝4. 答案：C 5．(2019·石家庄一模)在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π 6，则AC ＋3BC 的最大值为( ) A.7 B ．27 C ．37 D ．47 解析：在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π 6， 则 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝4， 则AC ＋3BC ＝4sin B ＋43sin A ＝4sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫5π6－A ＋43sin A ＝2cos A ＋63sin A ＝47sin(A ＋θ)， 所以AC ＋3BC 的最大值为47. 答案：D 6．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2， A ＝60°，则sin B ＝__________，c ＝________． 解析：(1)如图，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27 ×32＝21 7. 课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件 一、题点全面练 1．(2019·河南质量监测)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2 ＋16>8x ，则命题p 的否定为( ) A ．∀x ∈(1，＋∞)，x 2 ＋16≤8x B ．∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16<8x C ．∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0 D ．∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16<8x 0 解析：选C 全称命题的否定为特称命题，故命题p 的否定为：∃x 0∈(1，＋∞)，x 2 0＋16≤8x 0.故选C. 2．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得A ∩B ＝A .所以“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．故选C. 3．设条件p ：a ≥0；条件q ：a 2 ＋a ≥0，那么p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 因为a 2 ＋a ≥0，所以a ≥0或a ≤－1，可判断：若p ：a ≥0；则条件q ：a 2 ＋a ≥0成立．可判断p 是q 的充分不必要条件． 4．已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；命题p 的否定为：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；命题p 的否定为：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；命题p 的否定为：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；命题p 的否定为：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 解析：选B ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题，命题p 的否定为：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0.故选B. 5．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈R ，e x >0 B ．∀x ∈N ，x 2 >0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0<1 D ．∃x 0∈N * ，sin πx 02 ＝1 解析：选B 对于选项A ，由函数y ＝e x 的图象可知，∀x ∈R ，e x >0，故选项A 为真命题；对于选项B ，当x ＝0时，x 2 ＝0，故选项B 为假命题；对于选项C ，当x 0＝1e 时，ln 1e ＝－1<1，故选项C 为真命题； 限时规范训练五 不等式及线性规划 限时45分钟，实际用时 分值80分，实际得分 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3 ＞b 3 B.1a ＜1b C ．a b ＞1 D ．lg(b －a )＜a 解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4 b ( ) A ．有最小值8 B ．有最小值9 C ．有最大值8 D ．有最大值9 解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2 b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b 且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4 b 的最小值为9，故选B. 3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2 ＞bc 2 ，则a ＞b ； ②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1 b . 其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选B.①ac 2 ＞bc 2 ，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立； ④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但 1－1＜1 －2 .故选B. 4．已知不等式ax 2 －bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12 ＜x ＜－ 1 3，则不等式x 2 －bx －a ≥0的解集是( ) A ．{x |2＜x ＜3} B ．{x |x ≤2或x ≥3} C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ 13 ＜x ＜ 1 2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪ ⎪⎪ x ＜13或x ＞ 1 2 课时作业16 函数的图象与性质 [A·基础达标] 1．已知集合M 是函数y ＝1 1－2x 的定义域，集合N 是函数y ＝x 2－4的值域，则M ∩N ＝( ) A ．{x |x ≤1 2 } B ．{x |－4≤x <1 2} C ．{(x ，y )|x <1 2 且y ≥－4} D ．∅ 2．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x C ．y ＝|x | D ．y ＝－x 2＋1 3．[2020·某某市第一次模拟考试]已知定义在[m －5,1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )的值为( ) A ．－15 B ．－7 C ．3 D ．15 4．[2020·某某市质量检测]函数y ＝x 2e x 的大致图象为( ) 5．若函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ ax ＋b ，x <－1， ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( ) A ．－1 2 B ．－54 C ．－1 D ．－2 6．已知函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≥0时，f (x )＝ 2＋m 2x －1，则f (－1)＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 7．将函数f (x )的图象向右平移一个单位长度后，所得图象与曲线y ＝ln x 关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝( ) A ．ln(x ＋1) B ．ln(x －1) C ．e x ＋1 D ．e x － 1 8．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x －1)≥－1，则x 的取值X 围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞) C ．[0,1] D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 9．如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0,1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( ) 10．[2020·某某西工大附中3月质检]已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 1，x >0， 0，x ＝0， －1，x <0， 偶函数f (x )满 足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则( ) A ．sgn f (x )>0 B ．f (4 0412 )＝1 C ．sgn f (2k )＝0(k ∈Z ) D ．sgn f (k )＝|sgn k |(k ∈Z ) 11．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则当x 1a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)≥f (x 2) C ．f (x 1) 1.3.2 锥体中的线面关系及计算 一、选择题 1．对于空间的两条直线m ，n 和一个平面α，下列命题中的真命题是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n C ．若m ∥α，n ⊥α，则m ∥n D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n 解析：对于A ，直线m ，n 可能平行、异面或相交，故A 错误；对于B ，直线m 与n 可能平行，也可能异面，故B 错误；对于C ，m 与n 可能垂直，也可能异面，故C 错误；对于D ，垂直于同一平面的两直线平行，故D 正确． 答案：D 2．“直线l 垂直于平面α”的一个必要不充分条件是( ) A ．直线l 与平面α内的任意一条直线垂直 B ．过直线l 的任意一个平面与平面α垂直 C ．存在平行于直线l 的直线与平面α垂直 D ．经过直线l 的某一个平面与平面α垂直 解析：A ，B ，C 均为充要条件，因为“直线l 垂直于平面α”可以推得“经过直线l 的某一个平面与平面α垂直”，反之未必成立．故选D. 答案：D 3．正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且∠BMC ＝90°，则AM MO 的值为( ) A ．1 B.2 C.12 D.23 解析：如图，连接OB ，设正四面体的棱长为a ，则OB ＝33a ，MB ＝22a ，故OM ＝66a ＝1 2 AO ，则AM MO ＝1. 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n B ．m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β 解析：用排除法，B 错，因为m ，n 有可能异面；C 错，因为α∥β时，同样有m ⊥n ；D 错，因为满足条件时，α与β也有可能相交．故选A. 答案：A 5．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( ) A ．4π B.12π C.16π D.64π 解析：∵AB ＝1，AC ＝2， ∠BAC ＝60°，∴AB ⊥BC . ∵SA ⊥平面ABC ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴BC ⊥SB ，∴SC 是球O 的直径．∵SA ＝23，AC ＝2， ∴SC ＝4.球O 的表面积为16π.故选C. 答案：C 6．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A － B 1D C 1的体积为( ) A ．3 B.32 C.1 D.32 解析：∵D 是等边三角形ABC 的边BC 的中点， ∴AD ⊥BC . 又ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱，∴AD ⊥平面BB 1C 1C . ∵四边形BB 1C 1C 为矩形， ∴S △DB 1C 1＝12S 四边形BB 1C 1C ＝1 2×2×3＝ 3. 又AD ＝2× 3 2 ＝3， ∴VA －B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝1 3 ×3×3＝1.2020届高考数学一轮复习综合检测二(标准卷)理(含解析)新人教A版
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