专题二函数
函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．
§2－1 函数
【知识要点】
要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．
1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记
作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．
2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯
一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．
其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数
值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应
法则完全确定．
3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元
素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．
【复习要求】
1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．
3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．
4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．
【例题分析】
例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到
集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．
【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．
所以，2的象是22＋2＝6；
设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．
由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．
例2 设函数则f(1)
＝
______
；若
f(0)
＋
f(
a)
＝－
2
，则
a
的所有可能值为______
．
【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．
所以f(1)＝3．
又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，
当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；
当a＞0时，由－a2＋2a＋2＝－1，即a2－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)．
综上，a＝0或a＝3．
例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )
(A) (B)
(C) (D)
【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．
【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否
完全相同．
一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．
例4 求下列函数的定义域
(1) (2)
(3) (4)
解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2
或x≤0．
所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}．
(2)由x2＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．
所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．
(3)由得x＜3，且x≠0，x≠1，
所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}
(4)由所以－1≤x≤1，且x≠0．
所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．
例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x2)的定义域．
【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要
素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法
则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的
是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，
即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．
例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底
边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．
解：根据题意，AB＝2x．
所以，
根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解
所以，所求函数定义域为
【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．
(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tan x，则，k∈Z．
(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．
(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．
另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．
例7 (1)已知，求f(x)的解析式；
(2)已知，求f(3)的值；
(3)如果f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，求f(x)的解析式；
(4)*已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于直线x＝1对称，求f(x)的解析式．
【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．
方法一．通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，
方法二．设，则．则，所以
这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．
(2)用“凑型”的方法，
(3)因为f(x)为二次函数，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，
所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，
又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3．
f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．
(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．
设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，
所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，
所以，f(x)＝22－x．
【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．
值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这
种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．
例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截
得的线段长为4，求f(x)的解析式．
解：解法一
设f(x)＝ax2＋bx＋c，
由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；
由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；
由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．
所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．
f(x)＝x2－2x－3．
解法二
因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．
所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，
又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．
即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．
【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．
二次函数的解析式有三种形式：
一般式y＝ax2＋bx＋c；
顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；
双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．
例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h．
经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?
解：(1)依题意，当实际电价为x元／kW·h时，用电量将增加至
故电力部门的收益为．
(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，
且0.55≤x≤0.75，
解得0.60≤x≤0.75．
所以，当电价最低定为0.60元／kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．
练习2－1
一、选择题
1．已知函数的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( )
(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} (C){x｜－1＜x＜1} (D)
2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )
(A)
(B)
(C)
(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)
3．已知f(x－1)＝x2＋2x，则( )
(A) (B) (C) (D)
4．已知若f(x)＝3，则x的值是( )
(A)0 (B)0或 (C) (D)
二、填空题
5．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射f下(0，1)的象是______；(3，1)
的原象是______．
6．函数的定义域是______．
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2 3 x 1 2 3
f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．
8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为______．
三、解答题
9．已知f(x)＝2x＋x－1，求g(－1)，g[f(1)]的值．
10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a＜0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的
取值范围．
11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并
求出y的最大值．
§2－2 函数的性质
【知识要点】
函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．
本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．
1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且
f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝
g(x)，则这个函数叫做偶函数．
由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图
象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到：
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．
2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个
值x1，x2，改变量x＝x2－x1＞0，则
当y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；
当y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M
上具有单调性，区间M称为单调区间．
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中
的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零
的常数T叫做这个函数的周期．
4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中
的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
【复习要求】
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；
2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．
3．了解函数周期性的含义．
4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．
【例题分析】
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1) (2)
(3)f(x)＝x3－3x； (4)
(5)
解：(1)解，得到函数的定义域为{x｜x＞1或x≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数．
(3)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，
所以此函数为奇函数．
(4)解，得－1＜x＜1，
又
所以此函数为奇函数．
(5)函数的定义域为R，又，
所以此函数为奇函数．
【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：
①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；
②f(x)是奇函数，并且f(x)在x＝0时有定义，则必有f(0)＝0；
③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)＝0．
判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：
①判断函数的定义域是否关于原点对称；
②考察f(－x)与f(x)的关系．
由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．
例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：
①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)．
其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)
【分析】①令F(x)＝－｜f(x)｜，则F(－x)＝－｜f(－x)｜，由于f(x)与f(－x)关系
不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．
②令F(x)＝xf(x2)，则F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．
③令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．
④令F(x)＝f(x)－f(－x)，则F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所
以F(x)为奇函数．
所以，②④为奇函数．
例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，y∈R，恒有f(x
＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)的奇偶性为______．
解：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，
再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的值不恒为零，
故f(x)是奇函数而非偶函数．
【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y
为某些特殊的值，如本题解法中，令x＝y＝0得到了f(0)＝0．当然，如果令x＝y
＝1则可以得到f(2)＝2f(1)，等等．
令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情况下也可令y＝，y＝x，等等．
总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．
例4 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比较f(－1)与f(4)的大小．
解：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1为二次函数图象的对称轴，
所以，b＝－2．
根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4)．
例5已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，
(1)求f(－1)的值；
(2)当x＜0时，求f(x)的解析式．
解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1．
(2)方法一：当x＜0时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x．
方法二：设(x，y)是f(x)在x＜0时图象上一点，则(－x，－y)一定在f(x)在x＞0时的图象上．所以，－y＝(－x)2－2(－x)，所以y＝－x2－2x．
例6 用函数单调性定义证明，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．
证明：设，且x1＜x2
f(x2)－f(x1)＝(ax22＋bx2＋c)－(ax12＋bx1＋c)＝a(x22－x12)＋b(x2－x1)
＝a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－x1)＝(x2－x1)[a(x1＋x2)＋b]
因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，又因为，
所以，所以f(x2)－f(x1)＞0，
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．
例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数．
(1)比较f(a2＋2)与f(2a)的大小；
(2)若f(a2)＞f(a＋6)，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，所以a2＋2＞2a，
由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a2＋2)＞f(2a)．
(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6，
解得a＞3或a＜－2．
【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：x＝x2－x1的符号；y＝f(x2)－f(x1)的符号；函数y＝f(x)在区间上是增还是减．
由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，则函数y＝f(x)在区间上是增函数；
不仅如此，若x2＞x1，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则f(x2)＞f(x1)；
若f(x2)＞f(x1)，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则x2＞x1；
于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5
例6体会这一点．
函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．
例8 设f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是
减函数．
(1)试比较f(－2)与－f(3)的大小；
(2)若mn＜0，且m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0．
解：(1)因为f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)，
又f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)．
(2)因为mn＜0，所以m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，
因为m＋n＜0，所以n＜－m，
因为n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，
所以f(n)＞f(－m)，
因为f(x)是奇函数，所以f(－m)＝－f(m)，
所以f(n)＞－f(m)，即f(m)＋f(n)＞0．
例9函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]．
(1)求f(7.5)的值；
(2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式．
解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z．
所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝．
(2)设x∈[2n－1，2n＋1]，则x－2n∈[－1，1]．
所以f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)2，x∈[2n－1，2n＋1]．
练习2－2
一、选择题
1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( )
(A)y＝x2－4x (B)y＝｜x｜ (C) (D)y＝x2＋2x
2．下列判断正确的是( )
(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数
(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数
(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数
(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数
3．已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)＝2．则f(2)＝( )
(A)－2 (B)2 (C)1 (D)－1
4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
(A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数
(C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数
二、填空题
5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m的取值范围是
______；f(1)的取值范围是______．
6．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝______．
7．设函数为奇函数，则实数a＝______．
8．已知函数f(x)＝x2－cos x，对于上的任意x1，x2，有如下条件：
①x1＞x2；②③｜x1｜＞x2．
其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的条件序号是______
三、解答题
9．已知函数f(x)是单调减函数．
(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；
(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．
10．已知函数
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)当a＝1时，证明函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．
11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y 为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．
(1)求f(1)，f(4)的值；
(2)试判断函数f(x)的单调性；
(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．
§2－3 基本初等函数(Ⅰ)
本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．
函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．
掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．
函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．
【知识要点】
1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)
(1)定义域为R，值域为R；
(2)图象如图所示，为一条直线；
(3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数；
(4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数．
(5)函数y＝kx＋b的零点为
2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
通过配方，函数的解析式可以变形为
(1)定义域为R：
当a＞0时，值域为；
当a＜0时，值域为；
(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为．
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．
(3)当a＞0时，是减区间，是增区间；
当a＜0时，是增区间，是减区间．
(4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．
(5)当判别式＝b2－4ac＞0时，函数有两个变号零点；
当判别式＝b2－4ac＝0时，函数有一个不变号零点；
当判别式＝b2－4ac＜0时，函数没有零点．
3．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)
(1)定义域为R；值域为(0，＋∞)．
(2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数；
(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．
4．对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，
对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．
(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．
(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；
(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，
(4)函数的零点为1．
5．幂函数y＝xα(α∈R)
幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；
(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；
(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．
要注意：
因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．
根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．
6．指数与对数
(1)如果存在实数x，使得x n＝a (a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．负数没有偶次方根．
；
(2)分数指数幂，
；
n，m∈N*，且为既约分数)．
，且为既约分数)．
(3)幂的运算性质
a m a n＝a m＋n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a n
b n，a0＝1(a≠0)．
(4)一般地，对于指数式a b＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为log a N，
即b＝log a N(a＞0，且a≠1)．
(5)对数恒等式：＝N．
(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；
底的对数是1，1的对数是0．
(7)对数的运算法则及换底公式：
；
；
.(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0).
【复习要求】
1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；
3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．
【例题分析】
例1化简下列各式：
(1)； (2)；
(3)； (4)log2[log3(log464)]；
(5)．
解：(1)
(2)
(3)
(4)log2[log3(log464)]＝log2[log3(log443)]＝log2[log33]＝log21＝0．
(5)
【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．
例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式．
解：解法一
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意
解之得所以所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
解法二
f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
为f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为，
又f(x)的最大值为8，所以.
因为(－1，－1)点在抛物线上，所以，解得a＝－4．
所以所求二次函数为.
例3 (1)如果二次函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______．
(2)二次函数y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒为负，则a的取值范围是______．
(3)函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_______．
解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，
画简图可知此抛物线对称轴或与直线x＝2重合，或位于直线x＝2的左侧，
于是有，解之得.
(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a＜0，且判别式＜0”，即，解得a∈(－∞，－1)．
(3)因为对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为x＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)＜f(1)＜f(4)．
例4已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围．
解：当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，其图象与x轴的交点为，符合题意；
当m＜0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧．所以m＜0符合题意；
当m＞0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则解得0＜m≤1．
综上，m∈(－∞，1]．
【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．
例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数
学思想在函数问题的解决中被普遍使用．
例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b ax的图象只可能是( )
(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、
④，则a，b，c，d的大小关系是______．
【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，
所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，
所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．
在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，
所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．
在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，
所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．
在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，
所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．
(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象
依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，
显然，c＜d＜a＜b．
【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．
这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直线y＝1”就是具
体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y＝1”．
例6已知幂函数．
(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以，解得－1＜k＜3，
因为k∈Z，所以k＝0，1，2，
又因为f(x)为偶函数，所以k＝1，f(x)＝x2．
(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以，
解得k＜－1，或k＞3(k∈Z)．
例7比较下列各小题中各数的大小
(1)；(2)lg2与lg(x2－x＋3)；(3)0.50.2与0.20.5；
(4)；(5)；(6)a m＋a－m与a n＋a－n(a＞0，a≠1，m＞n＞0)
【分析】(1)函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log20.6＜log21＝0，函数y＝log0.6x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以
所以.
(2)由于，所以lg2＜lg(x2－x＋3)．
(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．
(4)因为.根据不等式的性质有
(5)因为
比较与log32，只需比较与log32，
因为y＝log3x是增函数，所以只需比较与2的大小，
因为，所以，所以，
综上，
(6)，
当a＞1时，因为m＞n＞0，a m＞a n，a m＋n＞1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n；
当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，a m＜a n，a m＋n＜1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n．
综上，a m＋a－m＞a n＋a－n．
例8已知a＞2，b＞2，比较a＋b，ab的大小．
【分析】方法一(作商比较法)
专题二函数 函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等． §2－1 函数 【知识要点】 要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念． 1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记 作f：A→B，其中x叫原象，y叫象． 2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯 一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A． 其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数 值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应 法则完全确定． 3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元 素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心． 【复习要求】 1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数． 3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则． 4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域． 【例题分析】 例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到 集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．
第1讲 三角函数的图象与性质 「考情研析」 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性． 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点. 核心知识回顾 1.同角关系式与诱导公式 (1)同角三角函数的基本关系：□01sin 2α＋cos 2α＝1， □02sin αcos α＝tan α. (2)诱导公式：在 k π 2 ＋α，k ∈Z 的诱导公式中“□ 03奇变偶不变，符号看象限”． 2．三种三角函数的性质
3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤 热点考向探究 考向1 同角三角关系式、诱导公式 例1 (1)(2019·临川第一中学等九校高三3月联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－15 17， 则sin ? ?? ? ?π2＋αtan(π＋α)＝( ) A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817 答案 D
解析 sin ? ?? ??π2＋αtan(π＋α)＝cos αtan α＝sin α， 因为α∈(0，π)，且cos α＝－15 17， 所以sin α＝1－cos 2 α＝ 1－? ????－15172＝8 17 .故选D. (2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．1 答案 A 解析 因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2 ＝2，所以sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，即α＝3π 4 ，故tan α＝－1. (3)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos ? ?? ??π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π ＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.35 5 B.377 C.310 10 D ．－353 答案 C 解析 由已知可得，－2tan α＋3sin β＋5＝0， ① tan α－6sin β－1＝0， ② ①×2＋②得tan α＝3.∵α为锐角，∴sin α＝310 10 .故选C. (1)利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2 ＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解． 1．(2019·内江市高三第三次模拟)已知α∈? ????π2，π，sin α＝45，则tan ? ????α＋π4＝
增分强化练(三十八) 一、选择题 1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：B 2．已知函数f (x )＝x e x (e 是自然对数的底数)，则其导函数 f ′(x )＝( ) A.1＋x e x B.1－x e x C ．1＋x D ．1－x 解析：根据函数求导法则得到f ′(x )＝1－x e x 故选B. 答案：B 3．函数f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．1＋1e B ．1 C ．e ＋1 D ．e －1 解析：因为f (x )＝e x －x ，所以f ′(x )＝e x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝0.且当x ＞0时， f ′(x )＝e x －1＞0；x ＜0时，f ′(x )＝e x －1＜0，即函数f (x )在x ＝0处取得极小值，f (0)＝ 1， 又f (－1)＝1 e ＋1，f (1)＝e －1， 比较得函数f (x )＝e x －1在区间[－1,1]上的最大值是e －1.故选D. 答案：D 4．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e (e 是自然对数的底数)，则 f (x )的极大值为( ) A ．2e －1 B ．－1 e C ．1 D ．2ln 2 解析：∵f ′(x )＝2e f ′(e )x －1 e ， ∴f ′(e)＝2e f ′(e )e －1e ，f ′(e)＝1 e ，
专题2.1 函数的概念 【考试要求】 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用； 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 【知识梳理】 1.函数的概念 设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈ A. 2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【微点提醒】 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( ) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
课时规范练11函数的图象 基础巩固组 1.函数f(x)=则y=f(x+1)的图象大致是() 2.已知f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的图象为() 3.(2018浙江,5)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是() 4.(2017全国3,文7)函数y=1+x+的部分图象大致为() 5.已知函数f(x)=x2+e x-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是() A.- B.(-,) C. D.- 6.(2018衡水中学押题二,7)函数y=sin x+ln|x|在区间[-3,3]的图象大致为() 7.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为 (x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则 x i=() A.0 B.m C.2m D.4m 8.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2.若在区间[-1,3]内,函数 g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围为.
综合提升组 9.已知当0
限时规范训练六 导数的简单应用 限时45分钟，实际用时 分值81分，实际得分 一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．设函数f (x )＝x 2 4－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a 2 ＝3，因此a ＝－4. 2．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1 ) B ．(0,1) C ．(1，e) D ．(0,2) 解析：选B.设A (x 0，e x 0 )，y ′＝e x ，∴y ′| x ＝x 0 ＝e x 0 .由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0 . 由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0 ＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B. 3．若函数f (x )＝x 3 －2cx 2 ＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ 32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－ 32∪⎝ ⎛⎭ ⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3 －2cx 2 ＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2 －4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2 －12＞0，从而c ＞ 32或c ＜－3 2 . 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有 f x 1－f x 2 x 1－x 2 ≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1] 解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )
A 级 基础通关 一、选择题 1．(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 1 2 B ．y ＝2－x C ．y ＝log 12 x D ．y ＝1 x 解析：易知y ＝2－x 与y ＝log 12x ，在(0，＋∞)上是减函数，由幂函 数性质，y ＝1 x 在(0，＋∞)上递减，y ＝x 1 2在(0，＋∞)上递增． 答案：A 2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ＞0时，f (x )＝2x ＋2x －4，则f (x )的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故f (0)＝0. 由于f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 12·f (2)＜0， 而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故当x ＞0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知， 当x ＜0时，也有1个零点．故一共有3个零点． 答案：B 3．(2019·山东省实验中学联考)设实数a 、b 、c 满足a ＝2－log 23，
b ＝a －1 3 ，c ＝ln a ，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a 解析：因为a ＝2－log 23＝2log 23－1 ＝1 3. 所以c ＝ln a ＝ln 1 3＜0，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－13＝313＞1. 因此b ＞a ＞c . 答案：A 4．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( ) 解析：由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a ＞1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象大致为选项B. 答案：B 5．(2019·衡水质检)若函数f (x )＝|log a x |－3－x (a ＞0，a ≠1)的两个零点是m ，n ，则( ) A ．mn ＝1 B ．mn ＞1 C ．mn ＜1 D ．无法判断 解析：令f (x )＝0，
限时规范训练五 不等式及线性规划 限时45分钟，实际用时 分值80分，实际得分 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3 ＞b 3 B.1a ＜1b C ．a b ＞1 D ．lg(b －a )＜a 解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4 b ( ) A ．有最小值8 B ．有最小值9 C ．有最大值8 D ．有最大值9 解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2 b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b 且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4 b 的最小值为9，故选B. 3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2 ＞bc 2 ，则a ＞b ； ②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1 b . 其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选B.①ac 2 ＞bc 2 ，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立； ④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但 1－1＜1 －2 .故选B. 4．已知不等式ax 2 －bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12 ＜x ＜－ 1 3，则不等式x 2 －bx －a ≥0的解集是( ) A ．{x |2＜x ＜3} B ．{x |x ≤2或x ≥3} C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ 13 ＜x ＜ 1 2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪ ⎪⎪ x ＜13或x ＞ 1 2
课时规范练5函数及其表示 基础巩固组 1.下面可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={x|0≤x≤1}为值域的函数图象的是() 2.已知函数f(x)满足f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时,f(x)=x2,则f(3)=() A. B. C. D.9 3.(2018河北衡水中学押题二,2)已知集合A={x|x2-2x≤0},B={y|y=log2(x+2),x∈A},则A∩B为() A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2] 4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是() A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 5.若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-f(x+3)的值域是() A.[-8,-3] B.[-5,-1] C.[-2,0] D.[1,3] 6.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为() A.(-1,1) B.-- C.(-1,0) D. -的值域为R,则实数a的取值范围是() 7.已知函数f(x)= A.(-∞,-1] B.- C.- D. 8.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=() A.2 B.0 C.1 D.-1 9.已知f-=2x+3,f(m)=6,则m=. 10.(2018江苏南京、盐城一模,7)设函数y=e x+-a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是. 11.已知y=f(2x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log2x)的定义域是. 综合提升组 若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围为() 12.已知函数f(x)= - A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
【高考复习】2020年高考数学(文数) 函数的图象与性质 小题练 一、选择题 1.已知函数f(x)=x|x|－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) 2.使log 2(－x)＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1，0) B ．[－1，0) C ．(－2，0) D ．[－2，0) 3.下列函数f(x)的图象中，满足f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫14＞f(3)＞f(2)的只可能是( ) 4.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪ ⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0， 若关于x 的方程f(x)=k 有两个不等的实数根，则实数k 的取 值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，1] 5.方程x 2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A. B.(1,+∞) C. D. 6.若函数f(x)=(1-x 2)(x 2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最大值是( ) A.-4 B.4 C.4或-4 D.不存在 7.已知实数a≠0，函数f(x)=⎩ ⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1， －x －2a ，x ≥1，若f(1－a)=f(1＋a)，则a 的值为( ) A ．－32 B ．－34 C ．－32或－34 D ．32或－34
8.y=x+ x x | |的图象是（ ） 9.已知函数f(x)=－x 2 ＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2 10.已知二次函数f(x)的二次项系数为a ，且不等式f(x)>－2x 的解集为(1，3)．若方程f(x) ＋6a=0有两个相等的根，则实数a=( ) A ．－0.2 B ．1 C ．1或－0.2 D ．－1或－0.2 11.设函数f(x)=mx 2 －mx －1，若对于x ∈[1，3]，f(x)<－m ＋4恒成立，则实数m 取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．0，57 C ．(－∞，0)∪0，57 D ．－∞，5 7 12.对二次函数f(x)=ax 2 ＋bx ＋c(a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一 个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f(x)的零点 B ．1是f(x)的极值点 C ．3是f(x)的极值 D ．点(2，8)在曲线y=f(x)上 二、填空题 13.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)， 则f ⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫1f （3）的值等于________． 14.已知点P 1(x 1,2 015)和P 2(x 2,2 015)在二次函数f(x)=ax 2+bx+9(a ≠0)的图象上,则f(x 1+x 2) 的值为 . 15.已知函数⎩ ⎨ ⎧<-≥-=3,313 ,12)(x x x x x f ，则f[f(-1)]的值是________. 16.已知f(x-1)的定义域为[-3,3]，则f(x)的定义域为____________． 17.已知函数f(x)=x 2 －2tx ＋1，在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t 的值为______． 18.若函数y=x 2 －3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是________．
专题2.6 对数与对数函数 【考试要求】 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； 2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)． 【知识梳理】 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质
图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0) 当x >1时，y >0； 当0 第二单元 函数与初等函数单元测试 【满分：100分 时间：90分钟】 一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1．（2019·安徽芜湖一中模拟）若函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，则函数y ＝f (3x ＋2)的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[2,8] 2．（2019·福建双十中学模拟）设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞) D ．[－9,1) 3．（2019·浙江镇海中学模拟）已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) 4．（2019·河北唐山一中模拟）奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 5．（2019·江苏启东中学模拟）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25) D ．f (－25)＜f (80)＜f (11) 6．（2019·江西高安中学模拟）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0,1) C ．(－∞，1) D ．[0，＋∞) 7．（2019·河南师大附中模拟）已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) 课时规范练 A 组 基础对点练 1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－ 1x ＋1 D ．f (x )＝－|x | 解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ 32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－ 1 x ＋1 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C 2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1 x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x | 解析：A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是非奇非偶函数，B 不正确；C 中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C. 答案：C 3．(2019·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝(x －1)2 B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝1x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 解析：根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1 x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确； 对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 答案：C 4．(2019·福州模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ，x ＜0 a x ，x ≥0，(a ＞0且a ≠1)是R 上的减函数， 则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 13，1 C.⎝ ⎛ ⎦ ⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛ ⎦ ⎥⎤0，23 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜13a ≥1，∴13≤a ＜1. 答案：B 5．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3 在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A 6．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f （x 1）－f （x 2） x 1－x 2＜0.则下列结论正确的是( ) A ．f (0.32)＜f (20.3)＜f (log 25) B ．f (log 25)＜f (20.3)＜f (0.32) §2.3二次函数与幂函数 【考点集训】 考点一二次函数 1.(2017山东模拟,4)二次函数f(x)的图象经过两点(0,3),(2,3),且函数的最大值是5,则该函数的解析式是() A.f(x)=2x2-8x+11 B.f(x)=-2x2+8x-1 C.f(x)=2x2-4x+3 D.f(x)=-2x2+4x+3 答案D 2.(2017广东汕头一模,4)命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是() A.a<0或a≥3 B.a≤0或a≥3 C.a<0或a>3 D.0 考点测试5 函数的定义域和值域 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读 会求一些简单函数的定义域和值域 一、基础小题 1．函数y ＝1 log 2x －2的定义域为( ) A ．(0，4) B ．(4，＋∞) C ．(0，4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C 解析 由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C ． 2．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B 解析 由题意得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x (3－x )≥0， x －1≥0，解得1≤x ≤3．故选B ． 3．函数f (x )＝－2x 2 ＋3x (0 答案 A 解析 f (x )＝－2x －342＋9 8(x ∈(0，2])，所以f (x )的最小值是f (2)＝－2，f (x )的最大 值是f 34＝9 8 ．故选A ． 4．已知函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈1 81，9，则f (x )的最小值为( ) A ．－2 B ．－3 C ．－4 D ．0 答案 A 解析 由函数f (x )在其定义域内是增函数可知，当x ＝181时，函数f (x )取得最小值f 181 ＝2＋log 3 1 81 ＝2－4＝－2，故选A ． 5．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f x 2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D ．－1 2，0 答案 C 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1 课时规范练 A 组 基础对点练 1．函数f (x )＝1－x 2 e x 的图象大致为( ) 解析：因为f (－x )＝1－x 2e －x 与f (x )＝1－x 2e x 不相等，所以函数f (x )＝1－x 2 e x 不是偶函 数，图象不关于y 轴对称，所以可排除B ，C ，把x ＝2代入，f (x )＜0，可排 除A ，故选D. 答案：D 2．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数为( ) A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝f (－|x |) C ．y ＝|f (x )| D ．y ＝－f (|x |) 解析：观察函数图象可得，②是由①保留y 轴左侧图象，然后将y 轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得函数的解析式为y ＝f (－|x |)．选B. 答案：B 3．(2019·新余模拟)函数y ＝2x ln|x |的图象大致为( ) 解析：函数y ＝2x ln|x |的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}， 故排除A ，∵f (－x )＝－2x ln|x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数， ∴排除C ，当x ＝2时，y ＝4ln 2＞0， 故排除D ，故选B. 答案：B 4.(2019·武昌调研)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是 ( ) A ．f (x )＝2－x 2 2x B ．f (x )＝cos x x 2 C ．f (x )＝－cos 2x x D ．f (x )＝cos x x 解析：A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符， 故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D. 答案：D 5．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) 2020届高考数学命题猜想 函数与方程﹑函数模型及其应用 【考向解读】 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 【命题热点突破一】函数零点的存在性定理 1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 例1 、（2018年全国卷Ⅱ）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 【答案】见解析 【解析】 （2）由于 ，所以 等价于 ． 设=，则g ′（x ）=≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ） 在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点． 又f （3a –1）= ，f （3a+1）=，故f （x ）有一个零点． 综上，f （x ）只有一个零点． 【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论． 【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x1，x2(a 2020届高考数学命题猜想 函数﹑基本初等函数的图像与性质2 【考向解读】 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下. 2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题. 3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大. 【命题热点突破一】函数的性质及应用 1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性． 3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a 不等于0)，则其一个周期T＝|a|. f x 例1、【2017北京，文5】已知函数，则() （A）是偶函数，且在R上是增函数 （B）是奇函数，且在R上是增函数 （C）是偶函数，且在R上是减函数 （D）是奇函数，且在R上是增函数 【变式探究】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =， 则= . 【答案】-2 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数， 所以 ， 所以 ，即(1)0f =， ， 所以. 【变式探究】【2017课标1，文8】函数 sin21cos x y x = -的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ．2020年高考数学(文)一轮复习专题2.10 函数与初等函数(单元测试)(原卷版)
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