第2讲 数列的性质与求和
[做真题]
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10
S 5
＝________．
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1， 所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 1
5a 1＋5×42×2a 1
＝100
25
＝4.
答案：4
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
a n 2n ＋1的前n 项和． 解：(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2
2n －1
(n ≥2)．
又由题设可得a 1＝2， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1
(n ∈N *
)． (2)记{
a n
2n ＋1
}的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－1
2n ＋1
.
则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1
.
[明考情]
1．高考对数列性质的考查主要以选择、填空题的形式出现，考查数列的周期性、单调性、数列最值等，难度中等．
2．高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的前n 项和，难度中等偏下．
数列的性质(综合型)
[典型例题
]
(1)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *
)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }
的前n 项和，则S 2 020＝( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝32，a n ＋2a n ＋1＝0，则S n －1
S n
的最大值与最小
值的积为____________．
【解析】 (1)因为a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 020＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＋a 2 020＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3.
(2)因为a n ＋2a n ＋1＝0，所以a n ＋1a n ＝－12，所以等比数列{a n }的公比为－12，因为a 1＝3
2
，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .
①当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
，S n 随着n 的增大而减小，则1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤5
6
； ②当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
，S n 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤S n ＜1，故－712≤S n －1S n ＜0.
综上，S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－7
12.
故S n －1S n 的最大值与最小值的积为56×⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝－35
72.
【答案】 (1)A (2)－35
72
判断数列的增减性的方法
函数法：构造函数，通过判断所构造函数的增减性，即可得出相应数列的增减性． 定义法：利用增减数列的定义判断数列的增减性．
作差法：对于数列中任意相邻的两项a n ＋1，a n ，通过作差a n ＋1－a n ，判断其与0的大小，即可判断数列的增减性．
作商法：数列的各项非零且同号(同正或同负)，对于数列中任意相邻的两项a n ＋1，a n ，通过作商
a n ＋1
a n
，判断其与1的大小，即可判断数列的增减性． [对点训练]
1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *
)，则a 1·a 2·a 3·…·a 2 019＝( )
A ．－6
B ．6
C ．－3
D ．3
解析：选D.因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，所以a 2＝1＋21－2＝－3，a 3＝－12，a 4＝1
3
，a 5＝2，…，
所以a n ＋4＝a n ，又a 1a 2a 3a 4＝1，所以a 1·a 2·a 3·…·a 2 019＝(a 1a 2a 3a 4)504×a 1a 2a 3＝1×2×(－3)×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12＝3.故选D.
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫78n
，则当a n
取得最大值时，
n ＝____________． 解析：当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，
a n ≥a n ＋1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋3）⎝ ⎛⎭
⎪⎫78n ＋1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧n ≤6，
n ≥5，所以当a n
取得最大值时，n ＝5或
6.
答案：5或6
裂项相消法求和(综合型)
[知识整合]
裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂项后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为
1
a n a n ＋1
的数列的前n 项和．
常见的裂项类型 (1)1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1.
(2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋k .
(3)
1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1－1n ＋1.
(4)14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1.
[典型例题]
(2019·河北省九校第二次联考)已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }
满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令c n ＝
4
b n ·b n ＋1
＋a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .
【解】 (1)由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝12得log 2(a 1a 2a 3)＝12，所以a 1a 2a 3＝212
. 设等比数列{a n }的公比为q ，
因为a 1＝4，所以a 1a 2a 3＝4·4q ·4q 2
＝26
·q 3
＝212
， 计算得q ＝4. 所以a n ＝4·4
n －1
＝4n
.
(2)由(1)得b n ＝log 24n
＝2n ，
c n ＝
42n ·2（n ＋1）＋4n ＝1n （n ＋1）＋4n ＝1n －1n ＋1
＋4n
.
设数列⎩⎨
⎧
⎭⎬⎫1n （n ＋1）的前n 项和为A n ，则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n
n ＋1，
设数列{4n
}的前n 项和为B n ，则B n ＝4－4n
·41－4＝43(4n
－1)，
所以S n ＝
n
n ＋1＋43(4n
－1)．
求解此类题需过“三关”：一是求通项关，即会利用求通项公式的常用方法，求出数列的通项公式；二是巧裂项关，即能将数列的通项公式准确裂项，表示为两项之差的形式；三是消项求和关，即把握消项的规律，求和时正负项相消，准确判断剩余的项是哪几项，从而准确求和．
[对点训练]
(2019·湖南省五市十校联考)已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝
a n ＋1－2
3
，设
b n ＝log 2a n .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由；
(3)求数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫4
（b n ＋1）（b n ＋3）的前n 项和T n . 解：(1)依题意得a 1＝2，则n ＝1时，S 1＝a 2－2
3＝a 1，所以a 2＝8. 当n ≥2时，S n －1＝
a n －2
3
，则a n ＝S n －S n －1＝
a n ＋1－23
－
a n －2
3，整理得
a n ＋1
a n
＝4. 又a 2a 1
＝4，所以数列{a n }是首项为2，公比为4的等比数列， 所以a n ＝2·4
n －1
＝2
2n －1
.
(2)b n ＝log 2a n ＝log 22
2n －1
＝2n －1，则b n ＋1－b n ＝2n ＋1－(2n －1)＝2，
且b 1＝1，所以数列{b n }是等差数列． (3)由(2)得b n ＝2n －1，
所以4（b n ＋1）（b n ＋3）＝42n （2n ＋2）＝1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1，
所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫1
n －1n ＋1＝n n ＋1
.
错位相减法求和(综合型)
[典型例题]
(2019·郑州市第二次质量预测)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ，
若a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *
，且n ≥2)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记c n ＝a n ·2a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
【解】 (1)在数列{a n }中，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)①，因为a n ＝S n ＋S n －1②，且a n ＞0，所以①÷②得S n －S n －1＝1(n ≥2)，
所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，公差为1的等差数列， 所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以S n ＝n 2
. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
－(n －1)2
＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1，也满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以c n ＝(2n －1)×22n －1
，
则T n ＝1×2＋3×23
＋5×25
＋…＋(2n －1)×22n －1
，
4T n ＝1×23
＋3×25
＋5×27
＋…＋(2n －3)×22n －1
＋(2n －1)×2
2n ＋1
，
两式相减得，－3T n ＝2＋2(23
＋25
＋…＋22n －1
)－(2n －1)22n ＋1
＝2＋2×8（1－22n －2
）1－4－(2n －1)22n ＋1
＝－103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53－2n 22n ＋1
，
所以T n ＝
（6n －5）22n ＋1＋10
9
.
应用错位相减法求和需注意的问题
(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列． (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．
(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1，2进行验证．
[对点训练]
已知{a n }为正项等比数列，a 1＋a 2＝6，a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若b n ＝log 2a n a n
，且{b n }的前n 项和为T n ，求T n .
解：(1)依题意，设等比数列{a n }的公比为q ，则有
⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝6a 1q 2＝8，则3q 2－4q －4＝0，而q ＞0， 所以q ＝2.
于是a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n
. (2)由(1)得b n ＝log 2a n a n ＝n 2n ，
所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n
2
n ，
12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2
n ＋1， 两式相减得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，
所以T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n
2n
＝1－12n －1·1
21－12－n 2n
＝2－
n ＋2
2
n
.
数列与其他知识的交汇问题(交汇型)
[典型例题
]
设数列{a n }的前n 项和是S n ，若点A n ⎝
⎛⎭
⎪⎫n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，
其中c 是与x 无关的常数，且a 1＝3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝aa n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．
【解】 (1)因为点A n ⎝
⎛⎭
⎪⎫n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，所以S n n
＝－n ＋c ，所以
S n ＝－n 2＋cn .
因为a 1＝3，所以c ＝4，所以S n ＝－n 2
＋4n ，所以a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5(n ≥2)． 又a 1＝3满足上式，所以a n ＝－2n ＋5(n ≥1)．
(2)由(1)知，b n ＝aa n ＝－2a n ＋5＝－2(－2n ＋5)＋5＝4n －5， 所以T n ＝
n （b 1＋b n ）
2
＝2n 2
－3n .
所以T n 的最小值是T 1＝－
1.
数列与函数交汇问题的常见类型及解法
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，需构造函数，利用函数知识解决问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．
[对点训练]
1．设等比数列{a n }满足a n ＞0，且a 34a 4 000＝12，则
3
a 2 015＋
1
a 2 019
的最小值为____________．
解析：因为等比数列{a n }满足a n ＞0，且a 34a 4 000＝12， 所以a 2 015a 2 019＝a 34a 4 000＝12.所以3
a 2 015＋
1
a 2 019
≥2
3
a 2 015·
1
a 2 019
＝2
3
12＝1， 当且仅当3a 2 015＝
1
a 2 019
，即a 2 015＝6，a 2 019＝2时，等号成立，所以
3
a 2 015＋
1
a 2 019
的最小值为1.
答案：1
2．已知定义在R 上的函数g (x )是单调递减的奇函数，若g (x )＝f (x )－2，数列{a n }满足
a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n a n ＋3，n ∈N *，则a 2 019
的值为____________．
解析：因为g (x )＝f (x )－2，且函数g (x )是定义在R 上的奇函数， 所以g (0)＝0，所以f (0)－2＝0，解得f (0)＝2. 因为函数g (x )＝f (x )－2是定义在R 上的单调递减函数， 所以函数f (x )在R 上是单调递减函数，因为f (a n ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n a n ＋3，
所以a n ＋1＝
a n
a n ＋3，整理可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a n ＋12.
因为a 1＝f (0)＝2，所以1a 1＋1
2＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ＋12是首项为1，公比为3的等比数列，
所以1a n ＋12＝1×3n －1
，即a n ＝22×3n －1－1，所以a 2 019＝22×32 018
－1. 答案：
22×3
2 018
－1
一、选择题
1．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n (n ＝1，2，…)，则a 3等于( ) A ．15 B ．10 C ．9
D ．5
解析：选A.由a 2＝(2－λ)a 1，可得2－λ＝3，解得λ＝－1，所以a 3＝(2×2＋1)×3＝15，故选A.
2．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2
＋n ＋1，b n ＝(－1)n a n (n ∈N *
)，则数列{b n }的前50项和为( )
A ．49
B ．50
C ．99
D ．100
解析：选A.由题意得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，所以数列
{b n }的前50项和为－3＋4－6＋8－10＋…＋96－98＋100＝1＋48＝49，故选A.
3．已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩
⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，
2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )
A ．1 121
B ．1 122
C ．1 123
D ．1 124
解析：选C.由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×（1－210
）1－2＋10×1＋10×9
2×2＝1 123.
故选C.
4．已知函数f (x )＝
1
x （x ＋1）
，执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )
A.2 017
2 018 B.2 018
2 019 C.2 018
2 017
D.2 019
2 018
解析：选B.模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
S ＝
11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019
的值， 可得：S ＝11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019.
5．已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 4＝18
，且a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜k ，则k 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ 解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3
＝a 4a 1＝18，解得q ＝12，所以a n ＝12
n －1，
所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝1
2
2n －1，
所以数列{a n a n ＋1}是首项为12，公比为1
4的等比数列，
所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜2
3.
因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜k ，所以k ≥2
3
.
故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞.故选D. 6．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *
)，数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )
A.110
B.15
C.111
D.
211
解析：选C.因为2a 1＋22
a 2＋ (2)
a n ＝n (n ∈N *
)， 所以2a 1＋22
a 2＋…＋2
n －1
a n －1＝n －1(n ≥2)，
两式相减得2n
a n ＝1(n ≥2)，a 1＝12也满足上式，故a n ＝12n ，
故
1log 2a n log 2a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
，
S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
，
所以S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝1
11，故选C.
二、填空题
7．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ，m ∈N *
)且a 1＝5，则a 8＝________． 解析：数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋S m ＝S n ＋m (n ，m ∈N *)且a 1＝5，令m ＝1，则S n ＋1＝S n
＋S 1＝S n ＋5，即S n ＋1－S n ＝5，所以a n ＋1＝5，所以a 8＝5.
答案：5
8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天织了5尺布，问这女子每天分别织布多少？”根据问题中的条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则该女子所需的天数至少为________天．
解析：设该女子第1天织布x 尺，则x （1－25）
1－2＝5，
解得x ＝531.所以前n 天所织布的尺数为531
(2n －1)． 令531
(2n －1)≥30，则2n ≥187，又n ∈N *， 故n 的最小值为8.
答案：8
9．已知函数f (x )＝a x ＋1(a ＞0，a ≠1)的图象过点(3，9)．当n ∈N *时，a n ＝1f （n ＋1）
－1f （n ）·f （n ＋1），若数列{a n }的前n 项和为62195
，则n 的值为____________． 解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为函数f (x )＝a x ＋1(a ＞0，a ≠1)的图象过点(3，
9)，所以a 3＋1＝9，所以a ＝2，所以f (x )＝2x
＋1，所以a n ＝2n ＋1－1（2n ＋1）（2n ＋1＋1）＝12n ＋1－12n ＋1＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1.因为数列{a n }的前n 项和为62195，所以13－12n ＋1＋1＝62195
，解得n ＝5. 答案：5
三、解答题
10．(2019·重庆市七校联合考试)已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2
－dx －3＜0的解集为(－1，3)．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2a n ＋12＋a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)由题意知，方程a 1x 2
－dx －3＝0的两个根分别为－1和3. 则⎩⎪⎨⎪⎧d a 1＝2－3a 1
＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1
＝1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.
(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以b n ＝2a n ＋12＋a n ＝2n ＋(2n －1)， 所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝2n ＋1＋n 2
－2. 11．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 17＝33，S 7＝49.
(1)证明：a 1，a 5，a 41成等比数列；
(2)求数列{a n ·3n
}的前n 项和T n .
解：(1)证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 17＝33，S 7＝49，
则⎩⎪⎨⎪
⎧a 1＋16d ＝33，7a 1＋21d ＝49，解得a 1＝1，d ＝2，
所以a n ＝2n －1.
则a 1＝1，a 5＝9，a 41＝81，
即a 2
5＝a 1·a 41.
所以a 1，a 5，a 41成等比数列．
(2)由(1)得：a n ·3n ＝(2n －1)·3n ， T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ①，
3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3
n ＋1②， ①－②得，－2T n ＝3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)·3n ＋1＝3＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3n ＋1
1－3－(2n －1)·3n ＋1，
整理得T n ＝(n －1)·3
n ＋1＋3. 故数列{a n ·3n }的前n 项和为T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.
12．(2019·安徽省考试试题)已知等差数列{a n }中，a 5－a 3＝4，其前n 项和为S n ，且S 2，S 3－1，S 4成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝(－1)n 4n
a n a n ＋1，求数列{
b n }的前n 项和T n .
解：(1)设{a n }的公差为d ，由a 5－a 3＝4，得2d ＝4，d ＝2. 所以S 2＝2a 1＋2，S 3－1＝3a 1＋5，S 4＝4a 1＋12，
又S 2，S 3－1，S 4成等比数列，所以(3a 1＋5)2＝(2a 1＋2)(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，
所以a n ＝2n －1.
(2)b n ＝(－1)n 4n
a n a n ＋1＝(－1)n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 当n 为偶数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭
⎪⎫15＋17 ＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭
⎪⎫15＋17 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1.
所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－
2n 2n ＋1，n 为偶数－2n ＋22n ＋1，n 为奇数.
第 1 页 共 4 页 2014届高考二轮复习热点专题第二讲： 数列 一、知识梳理 1． a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝? ???? S 1， n ＝1， S n －S n －1， n ≥2. 2． 等差数列和等比数列 考点一 与等差数列有关的问题 例1 (2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．． 的是( ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d <0 C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 解析 (1)利用函数思想，通过讨论S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n 的单调性判断． 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋????a 1－d 2n . 由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确； 因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确． (2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则 m 等于 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －1 2， 因为a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5. 考点二 与等比数列有关的问题 例2 (1)(2012·课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 (2)(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________. 答案 (1)D (2)3 2 解析 (1)利用等比数列的性质求解．由????? a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得????? a 4＝－2，a 7＝4或????? a 4＝4， a 7＝－2. ∴????? q 3＝－2， a 1＝1或?? ??? q 3＝－1 2，a 1＝－8， ∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. (2)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解． S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得， 3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0，
2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列（2）学案新人 教A 版必修5 知识点一 等比数列的性质 1．等比数列任意两项间的关系：如果a n 是等比数列的第n 项，a m 是等比数列的第m 项，且m ≤n ，公比为q ，则有________________________________． 2．对于等比数列{a n }，a 1·a n ＝a 2·a n －1＝a 3·a n －2＝…. 3．（1）在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋s ，则________．特别地，若m ＋n ＝2p ，则________． （2）在等比数列{a n }中，a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，…，a m ＋(n －1)k ，…仍成等比数列，公比为________； （3）数列{ka n }(k ≠0)仍成等比数列，公比为________； （4）数列{a 2n }仍成等比数列，公比为________． （5）．若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }成________数列，??????a n b n 成________数列． 知识点二 等比数列的函数性质 一般地，在等比数列{a n }中，a n ＝a 1q n －1可改写成a n ＝________，当q >0且q ≠1时，y ＝q x 是一个________函数，故等比数列{a n }的图像是函数y ＝a 1q q x 的图像上_________________________________． 考点一 等比数列的性质及其应用 例1 (1)在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝162，求a 10. (2)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 1a 2a 3…a 2012＝22012，求a 2·a 2011. 【变式】 已知{a n }为等比数列． (1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5； (2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值． [小结] 在等比数列的基本运算问题中，其通法是用等比数列基本量的运算建立方程组求解，但是这种方法有时运算较烦琐，如果灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可减少运算量，以化繁为简． 考点二 等比数列与等差数列的综合应用 例2 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第三项加32又成等比数列，求这三个数． 【变式】 公差不为零的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6成等比数列，则该等比数列的公比为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [小结] 有关等差、等比数列的综合问题，注意恰当应用等差数列与等比数列的定义或
第2讲数列求和及其综合应用 错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法 错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：c n ＝a n b n ，其中{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则qc n ＝qa n b n ＝a n b n ＋1，此时c n ＋1－qc n ＝(a n ＋1－a n )·b n ＋1＝db n ＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的． (2016·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋ 1（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n . 【解】(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式．所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ， 由?????a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得?????11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1 （3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1 . 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ， 所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋ (2) ＋1 －(n ＋1)×2n ＋2] ＝ 3×???? ??4＋ 4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2.
新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2： 第2课时 等差数列的性质及应用 新课程标准 学业水平要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 3．体会等差数列与一元一次函数的关系． 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理) 2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算) 必备知识·自主学习 导思 1.等差数列的项有哪些性质？ 2．怎样应用等差数列的性质简化运算？ 1.等差数列通项公式的变形及推广 ①a n ＝dn ＋(a 1－d)(n∈N * )， ②a n ＝a m ＋(n －m)d(m ，n∈N *)， ③d＝a n －a m n －m (m ，n∈N * ，且m≠n). 其中①的几何意义是点(n ，a n )均在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上． ②可以利用任意项及公差直接得到通项公式，不必求a 1. ③即斜率公式k ＝y 2－y 1 x 2－x 1 ，可用来由等差数列任两项求公差． 2．等差数列的性质 在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q∈N * )，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . 若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p(m ，n ，p∈N * )，则a m ＋a n ＝a p 成立吗？ 提示：不一定．如数列1，2，3，4，…，满足a 1＋a 2＝a 3；而数列1，1，1，1，…，则不满足a 1＋a 2＝a 3. 3．由等差数列衍生的新数列 若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d′的等差数列，则有
2.4等比数列（二） 【教学目标】 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法． 【教学过程】 一、创设情景 教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4等比数列（二）》课件“复习回顾”部分，对等比数列的定义和通项公式进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容. 二、自主学习 教材整理等比数列的性质 阅读教材P51例4～P53，完成下列问题． 1．“子数列”性质 对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k. 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m·a n＝a2k.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝…. 3．两等比数列合成数列的性质 若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a 2n }{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫a n b n 也为等比数列． 三、合作探究 问题1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . 等比数列也有类似变形吗？ 提示：在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得 a n a m ＝a 1q n －1a 1q m －1＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． 问题2我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？ 提示：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 则a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝ a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定． 问题3等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；
第二篇 专题二 第2讲 一、选择题 1．数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】在等式a m ＋n ＝a m a n 中，令m ＝1， 可得a n ＋1＝a n a 1＝2a n ，∴a n ＋1 a n ＝2， 所以，数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n ＝2×2n -1＝2n ， ∴a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝a k ＋1·(1－210)1－2＝2k +1·(1－210)1－2＝2k +1(210 －1)＝25(210－1)， ∴2k +1＝25，则k ＋1＝5，解得k ＝4. 故选C. 2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 020等于( A ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【解析】∵a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 020＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＋a 2 020＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3.故选A. 3．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1 b n ＝3，n ∈N *，则数列{ba n }的前 10项和为( D ) A ．1 2×(310－1) B ．1 8×(910－1) C ．1 26 ×(279－1) D ．1 26 ×(2710－1) 【解析】因为a n ＋1－a n ＝b n ＋1 b n ＝3， 所以{a n }为等差数列，公差为3，{b n }为等比数列，公比为3， 所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，b n ＝1×3n -1＝3n -1， 所以ba n ＝33n -3＝27n -1， 所以{ba n }是以1为首项，27为公比的等比数列， 所以{ba n }的前10项和为1×(1－2710)1－27 ＝1 26×(2710－1). 4．已知数列{a n }和{b n }的首项均为1，且a n －1≥a n (n ≥2)，a n ＋1≥a n ，数列{b n }的前n 项
第2课时 等差数列的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点) 2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点) 1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养． 2．借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养． 1．等差数列的图象 等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是一个固定常数；当d ≠0时，a n 相应的函数是一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 思考：由上式可得d ＝a n －a 1n －1，d ＝a n －a m n －m ，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ [提示] 等差数列的通项公式可以变形为a n ＝nd ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数，d 为斜率，故过两点(1，a 1)，(n ，a n )直线的斜率d ＝ a n －a 1n －1，当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时有d ＝a n －a m n －m . 2．等差数列的性质 (1){a n }是公差为d 的等差数列，若正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ． ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N * )时，a m ＋a n ＝2a k . ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n ＝ a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{a n }是公差为d 的等差数列，则 ①{c ＋a n }(c 为任一常数)是公差为d 的等差数列； ②{ca n }(c 为任一常数)是公差为cd 的等差数列； ③{a n ＋a n ＋k }(k 为常数，k ∈N * )是公差为2d 的等差数列． (4)若{a n }，{b n }分别是公差为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n ＋qb n }(p ，q 是常数)是公差为pd 1＋qd 2的等差数列．
高中数学 第二章数列第2讲求数列的通项公式与数列求和教 学案 新人教A 版必修5 （一）求数列的通项公式 1、观察法 一些数列给出前n 项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。 【基础例题】写出下列各数列的一个通项公式： ①2，－6，18，－54，162，－486，…; ②111111111 1223344556-----，，，，，…； ③15，25，35，45，55，…。 解答与提示： ①这可以分析依等比数列（公比为（－3））的通项公式得到：()132--=n n a ②观察规律：……… …6 1515141413131212115 4 3 2 1 -----==n a n 归纳得出：1 1 1+-=n n a n ③仔细观察，数列各项间有：21324310a a a a a a -=-=-==…——是等差数列：()51010115+=-+=n n a n 。 2、利用前n 项和S n 法 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项公式n a ，我们一般利用n a 与n S 的关系：11S a =，()21≥-=-n S S a n n n 【基础例题】已知数列{}n a 的前n 项的和13-+=n n S n 求它的通项公式。 解：111111=-+==S a ，()()()[]23311112331+-=--+---+=-=-n n n n n n S S a n n n 此时a 1＝2≠S 1，∴a n ＝⎩⎨⎧≥+-=2 23311 2n n n n 为所求数列的通项公式。 3、公式法 （1）形如d a a n n +=+1（d 为常数）且已知1a ——等差数列 ∵d a a n n =-+1，d 为常数，由等差数列的通项公式得()d n a a n 11-+=。 【基础例题】已知数列{}n a 中()N n a a a n n ∈+==+3,211，求{}n a 的通项公式。 解：∵31+=+n n a a ， ∴31=-+n n a a ，则{}n a 是以21=a 为首项，3为公差的等差数列。 ∴()13312-=-+=n n a n 为所求的通项公式。 （2）形如1n n a q a +=·（q 为常数且0≠q ）且1a 已知——等比数列 ∵1n n a q a +=，∴{}n a 是以a 1为首项，q 为公比的等比数列。∴11-=n n q a a ·。 4、构造阶差数列求通项——形如a n ＋1＝a n ＋f （n ） 该形式中，只要f （1）＋f （2）＋f （3）…＋f （n －1）可以求出，就可以由a n ＋1＝a n ＋f （n ）以n ＝1， 2，3，…，n －1代入递推公式得到n －1个等式，然后累加求得a n ＋1－a 1＝()1 n k f k =∑，从而a n ＝()1 1 n k f k -=∑＋a 1。 【基础例题】已知a n ＋1＝a n ＋n 2 ＋2n －1，a 1＝1，试求数列{a n }的通项公式。 解：由a n ＋1＝a n ＋n 2＋2n －1得，a n ＋1－a n =n 2 ＋2n －1 设b n = a n ＋1－a n =n 2＋2n －1，则数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2 ＋2n －1， 设{b n }的前n 项和为T n ，则 【变式练习】 （1）已知数列{}n a 的前n 项的和S n ＝3n 2 －2n ，求它的通项公式。 （2）已知数列{}n a 的前n 项的和S n ＝ n n 4 12+，求它的通项公式。 【基础知识总结】 【方法与技巧总结】 【基础知识总结】 等差数列的通项公式； 等比数列的通项公式； 【方法与技巧总结】 【基础知识总结】 【方法与技巧总结】 注意项数与项之间的关系，以及符号变化。
第2课时 等比数列的性质及应用 [学生用书P107(单独成册)] [A 基础达标] 1．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且2a 3＋a 4＝a 5，则q 的值为( ) A ．－1 B.2 C ．－1或2 D ．3 解析：选B.由已知得2a 3＋a 3q ＝a 3q 2 ，整理得2＋q ＝q 2 ，解得q ＝2或q ＝－1.又因为 q >0，所以q ＝2. 2．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列 B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列 C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列 D ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析：选C.当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列． 3．设各项均为正数的等比数列{a n }满足a 4a 8＝3a 7，则log 3(a 1a 2·…·a 9)等于( ) A ．38 B.39 C ．9 D ．7 解析：选C.因为a 4a 8＝a 5a 7，a 5a 7＝3a 7且a 7≠0，所以a 5＝3，所以log 3(a 1a 2·…·a 9)＝log 3a 9 5＝log 339 ＝9. 4．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7 a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于 ( ) A ．－1 3 B.－3 C.13 D ．3 解析：选B.因为a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7)， 所以 a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1 q ＝－3. 5．已知等比数列{a n }中，首项为a 1，公比为q ，则下列条件中，使{a n }一定为递减数列的是( ) A ．|q |<1 B ．a 1>0，q <1
2019-2020年高中数学第二章数列数列复习小结教案新人教A版必修5教学目的： 1．系统掌握数列的有关概念和公式。 2．了解数列的通项公式与前n项和公式的关系。 3．能通过前n项和公式求出数列的通项公式。 授课类型：复习课 课时安排：2课时 教学过程： 一、本章知识结构 二、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法． 三、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思
想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 四、知识精要： 1、数列 [数列的通项公式] [数列的前n项和] 2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 [等差数列的判定方法] 1．定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。 [等差数列的通项公式] 如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。 [说明]该公式整理后是关于n的一次函数。 [等差数列的前n项和] 1． 2. [说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。 [等差中项] 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质] 1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，
学习资料
等比数列的性质 ［A组学业达标] 1．在等比数列{a n}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝() A．3B．6 C．27 D．9 解析:在等比数列{a n｝中，由a4a5a6＝27,得a错误!＝27，得a5＝3，所以a1a9＝a错误!＝9，故选D. 答案：D 2．在各项均为正数的等比数列｛a n}中，若a n a n＋1＝22n＋1，则a5＝（） A．4 B．8 C．16 D．32 解析：由题意可得，a4a5＝29，a5a6＝211，则a4a错误!a6＝220， 结合等比数列的性质得，a4，5＝220，数列的各项均为正数,则a5＝25＝32。 答案：D 3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于() A．16 B．32 C．64 D．256 解析：由已知，得a1a19＝16. ∵a1·a19＝a8·a12＝a错误!， ∴a8·a12＝a错误!＝16. a n＞0，∴a10＝4， ∴a8·a10·a12＝a错误!＝64。 答案：C 4．已知｛a n｝，{b n｝都是等比数列，那么（) A．{a n＋b n｝，{a n·b n｝都一定是等比数列 B．｛a n＋b n}一定是等比数列，但{a n·b n}不一定是等比数列 C．{a n＋b n｝不一定是等比数列，但｛a n·b n}一定是等比数列
D ．{a n ＋b n }，｛a n ·b n }都不一定是等比数列 解析：｛a n ＋b n ｝不一定是等比数列，如a n ＝1,b n ＝－1，因为a n ＋b n ＝0,所以｛a n ＋b n ｝不是等比数列．设｛a n ｝，｛b n }的公比分别为p ，q ，则a n ＋1b n ＋1a n b n ＝a n ＋1a n ·错误!＝ pq ≠0,所以{a n ·b n ｝一定是等比数列．故选C. 答案：C 5．在等比数列{a n ｝中，已知a 7·a 12＝5,则a 8·a 9·a 10·a 11等于（ ） A ．10 B ．25 C ．50 D ．75 解析：利用等比数列的性质:若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *），则a m ·a n ＝a p ·a q ，可得a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 7·a 12＝5，∴a 8·a 9·a 10·a 11＝25。 答案：B 6．设数列{a n ｝为公比q ＞1的等比数列,若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 解析：由题意得a 4＝错误!，a 5＝错误!,∴q ＝错误!＝3。 ∴a 6＋a 7＝（a 4＋a 5）q 2＝（错误!＋错误!)×32＝18。 答案:18 7．已知等差数列｛a n }的公差为2，若a 1，a 3,a 4成等比数列，则a 2＝________. 解析：由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1,a 3，a 4成等比数列,∴a 错误!＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6）a 1，解得a 1＝－8， ∴a 2＝－6. 答案：－6 8．等比数列｛a n ｝是递增数列,若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为________． 解析：由已知得错误! 错误!得错误!＝错误!，即错误!＝错误!， 解得q ＝1 2或2， 当q ＝2时，代入①得a 1＝4，{a n ｝是递增数列； 当q ＝错误!时，代入①得a 1＝－64，{a n ｝也是递增数列． 综上可知，公比q 能取2或错误!.
4．2.1 第二课时 等差数列的性质 [A 级 基础巩固] 1．已知等差数列{a n }:1,0,－1,－2,…;等差数列{b n }:0,20,40,60,…,则数列{a n ＋b n }是( ) A ．公差为－1的等差数列 B ．公差为20的等差数列 C ．公差为－20的等差数列 D ．公差为19的等差数列 详细解析:选D (a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝(a 2－a 1)＋(b 2－b 1)＝－1＋20＝19. 2．在等差数列{a n }中,a 1＝2,a 3＋a 5＝10,则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 详细解析:选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10,又因为a 1＝2,所以a 7＝8. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32,若a m ＝8,则m 等于( ) A ．8 B ．4 C ．6 D ．12 详细解析:选A 因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32,所以a 8＝8,即m ＝8. 4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0,则有( ) A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 2＋a 101＜0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51 详细解析:选C 根据性质得:a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51,由于a 1＋a 2＋…＋a 101＝0,所以a 51＝0,又因为a 3＋a 99＝2a 51＝0,故选C. 5．《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A ．1升 D ． 6766升 C.4744 升 D ． 3733 升
专题五 数列 第二讲 数列求和及综合应用 （一）考点解读 （二）核心知识整合 考点1：求数列的通项公式 (1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法． (2)已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2，求a n ． (3)累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)． (4)累乘法：数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)． (5)构造法：①递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n ＋1＋q p －1＝p (a n ＋q p －1 )(p ≠1) 的形式，利用{a n ＋ q p －1 }是以p 为公比的等比数列求解；
②递推关系形如a n ＋1＝pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为 1 a n ＋1－1a n ＝1 p 的形式． [典型例题] 1.已知各项都为正数的数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+. （1）证明：数列{}1n n a a ++为等比数列. （2）若112a = ，23 2 a =，求{}n a 的通项公式. [解析] （1）因为2123n n n a a a ++=+，*n ∈N ， 所以()2113n n n n a a a a ++++=+，*n ∈N ， 又数列{}n a 各项都为正数，所以10n n a a ++>， 所以 21 13n n n n a a a a ++++=+. 所以数列{}1n n a a ++为等比数列，公比为3. （2）由（1）知()11112323n n n n a a a a --++=+⋅=⋅， 则1 123 n n n a a -+=-+⋅，113322n n n n a a -+⎛⎫-=-- ⎪⎝ ⎭，* n ∈N ， 又111302a --=，所以1302n n a --=，所以1 32 n n a -= ，*n ∈N . 2.设数列{}n a 前n 项和为n S ，若0n a >，且2243n n n a a S +=+ (1)求{}n a 的通项公式 (2)设1 1 n n n b a a += ，求{}n b 前n 项的和n T . [解析] (1)因为0n a >，且2243n n n a a S +=+ ① 当1n =时，112320a a --=，得13a =或11a =-(舍)； 当2n ≥时，2111243n n n a a S ---+=+ ② 由①-②得，11()(2)0n n n n a a a a --+--=， 因为0n a >，所以10n n a a ->+，可得12n n a a --=(2)n ≥， 所以{}n a 是以3为首项，公差为2的等差数列，
新人教A 版高中数学选择性必修第二册第四章数列: 课时分层作业(六) 等差数列前n 项和的性质 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 B [等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.] 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝60，则S 40＝( ) A ．110 B ．150 C ．210 D ．280 D [∵等差数列{a n }前n 项和为S n ， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列， 故(S 30－S 20)＋S 10＝2(S 20－S 10)，∴S 30＝150. 又∵(S 20－S 10)＋(S 40－S 30)＝2(S 30－S 20)，∴S 40＝280.故选D.] 3．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10 10＝2，则S 2 018的值等于( ) A ．－2 018 B ．－2 016 C ．－2 019 D ．－2 017 A [由题意知，数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ S n n 为等差数列，其公差为 1，所以S 2 0182 018＝S 1 1＋(2 018－ 1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.所以S 2 018＝－2 018.] 4．两个等差数列{a n }和{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋2 n ＋3，则 a 2＋a 20 b 7＋b 15＝( )
第2课时等差数列的性质 [目标] 1.记住等差数列的一些常见性质；2.会用等差数列的性质解答一些简单的等差数列问题． [重点] 等差数列性质的应用． [难点] 等差数列性质的理解． 知识点一等差数列的重要性质 [填一填] 1．a n＝a m＋(n－m)d(m,n∈N*)． 2．若m＋n＝p＋q(m,n,q,p∈N*),则a m＋a n＝a p＋a q. [答一答] 1．在等差数列{a n}中,若a m＋a n＝a p＋a q(m,n,p,q∈N*),则m＋n＝p＋q成立吗？ 提示：不一定．若数列{a n}是常数列,则m＋n＝p＋q不一定成立． 2．在公差为d的等差数列{a n}中,若m＋n＝2p(m,n,p∈N*),则2a p与a m,a n有何关系？ 提示：2a p＝a m＋a n. 3．在等差数列{a n}中,若m＋n＝p,则a m＋a n＝a p成立吗？ 提示：不成立． 知识点二等差数列的其他性质 [填一填] 1．若{a n}是公差为d的等差数列,则下列数列： (1){c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； (2){ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； (3){a n＋a n＋k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列． 2．若{a n},{b n}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pa n＋qb n}(p,q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． [答一答] 4．在等差数列中,如何判断数列的单调性？ 提示：在等差数列{a n}中,a n＝a1＋(n－1)d.当d>0时,{a n}是递增数列；当d＝0时,{a n}是常数列；当d<0时,{a n}是递减数列．
第2讲 数列通项与求和 [全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2019 等比数列的求和·T 14 递推公式的应用·T 19 等差数列的前n 项和·T 14 2018 a n 与S n 关系的应用·T 14 等差数列前n 项和的最值问题·T 17 2017 等差数列的基本运算、数 列求和·T 17 等比数列的通项公式、a n 与S n 的关系·T 17 三角形问题交替考查且多出现在第17(或18)题的位置，难度中等，2020年高考此内容难度有可能加大，应引起关注．若以客观题考查，难度中等的题目较多，有时也出现在第12、16题的位置，难度偏大． 考点一 a n 与S n 关系的应用 [例1] (1)(2019·成都第一次诊断性检测)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，a n ＋1 ＝S n ，n ∈N *，则a 5＝________． (2)(2019·武汉市调研测试)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1 ＝－1，则a 4＝________． [解析] (1)法一：由a n ＋1＝S n ，得S n ＋1－S n ＝S n ，则S n ＋1＝2S n .又S 1＝a 1＝4，所以数列{S n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以S n ＝4·2n － 1＝2n ＋ 1，则a 5＝S 5－S 4＝26－25＝32. 法二：当n ≥2时，由a n ＋1＝S n ，得a n ＝S n －1，两式相减，得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a 2＝S 1＝4，所以a 5＝a 2·23＝4×23＝32. (2)法一：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)可得S 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1，即a 2＝2a 1＋1＝－1.根据S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，① 知S n ＋1＝3S n ＋2n ＋ 1－3，② ②－①可得，a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)． 两边同时除以2n ＋1可得 a n ＋12n ＋1＝32·a n 2n ＋12 (n ≥2)，令b n ＝a n 2n ，可得b n ＋1＝32·b n ＋1 2(n ≥2)． ∴b n ＋1＋1＝32(b n ＋1)(n ≥2)，数列{b n ＋1}是以b 2＋1＝a 222＋1＝1－14＝34为首项，3 2为公比 的等比数列． ∴b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫ 32n －2 ·34(n ≥2)，∴b n ＝12·⎝⎛⎭⎫32n －1－1(n ≥2)．又b 1＝－1 2 也满足上式， ∴b n ＝⎝⎛⎭ ⎫32n －1 ·1 2－1(n ∈N *)，又b n ＝a n 2 n ，
第二课时 等比数列的性质 等比数列性质的应用 15 9 1 1 1 1 [例 1] (1)在等比数列{a n }中，若 a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝ ，a 8a 9＝－ ，则 ＋ ＋ ＋ ＝ 8 8 a 7 a 8 a 9 a 10 ________. (2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求 a 11的值． 1 1 a 7＋a 10 1 1 a 8＋a 9 [解] (1)因为 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，由等比数列的性质知 a 7a 10＝a 8a 9， a 7 a 10 a 7a 10 a 8 a 9 a 8a 9 1 1 1 1 a 7＋a 8＋a 9＋a 10 所以 ＋ ＋ ＋ ＝ a 7 a 8 a 9 a 10 a 8a 9 15 9 5 ＝ ÷ ＝－ . 8 (－8 ) 3 (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20， ∴a 3，a 7是方程 t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16， ∴a 3＝4，a 7＝16或 a 3＝16，a 7＝4. ①当 a 3＝4，a 7＝16时， a 7 ＝q 4＝4，此时 a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. a 3 ②当 a 3＝16，a 7＝4时， a 7 1 1 ＝q 4＝4，此时 a 11＝a 3q 8＝16×(4 )2 ＝1. a 3 5 [答案] (1) － 3 [类题通法] 等比数列常用性质 (1)若 m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)， 则 a m ·a n ＝a p ·a q . 特例：若 m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)， 则 a m ·a n ＝a 2 p . a n (2) ＝q n － m (m ，n ∈N *)． a m