单县五中2015—2016高三上学期第一次月考
数学试卷（理科）
满分：150分时间：120分钟２０１５．１０
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1．已知全集U=R，集合A={x||x|＜3}，B={x|x﹣2≥0}，则A∪?U B等于( ) A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，3）C．[2，3）D．（﹣3，2]
2．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（9）+f（10）=( )
A．3 B．2 C．1 D．0
3．设，，c=lnπ，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c
4．f（x）= -+log2x的一个零点落在下列哪个区间( )
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
5．若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=( ) A．log2x B．C．D．2x﹣2
6．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )
A．B．C．D．
7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|，则y=f（x）与y=log7x的交点的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．（﹣3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D．[﹣4，+∞）
9．曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A．e2B．2e2C．e2D．e2
10．设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′(x），则当a＜x＜b时，有( )
A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）
C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）
二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分）
11．幂函数在（0，+∞）上是单调递减的函数，则实数m的值为＿＿＿＿＿＿
12．=＿＿＿＿＿＿
13．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+3有极值，则 a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿14．已知函数f（x）=若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿．
15．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面是关于函数f（x）的判断：
①f（x）的图象关于点P（，0）对称；
②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（2）=f（0）．
其中正确的判断有＿＿＿＿＿＿．（把你认为正确的判断都填上）
三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16.(满分12分)已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x|x＜a}．
（1）若A?B，求实数a的取值范围；
（2）若全集U={x|x≤4}，a=﹣1，求?U A及A∩（?U B）．
17.(满分12分)已知a∈R，设命题p：函数f（x）=a x是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．
18．(满分12分) 已知函数
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
19．(满分12分) 已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）
对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若上的值不小于6，求实数a的取值范围．
20．(满分13分) 有两个投资项目A，B，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙．（注：利润与投资单位：万元）
（1）分别将A，B两个投资项目的利润表示为投资x 的函数关系式；
（2）现将x（0≤x≤10）万元投资A项目，10﹣x万元投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．
21．(满分14分) 设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，＜e．
单县五中2016届高三上学期10月月考数学试卷（理科）
答案及解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1．已知全集U=R，集合A={x||x|＜3}，B={x|x﹣2≥0}，则A∪?U B等于( )
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，3）C．[2，3）D．（﹣3，2]
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，根据全集U=R求出B的补集，找出A与B 补集的并集即可．
解答：解：由A中不等式解得：﹣3＜x＜3，即A=（﹣3，3），
由B中不等式解得：x≥2，即B=[2，+∞），
∵全集U=R，∴?U B=（﹣∞，2），
则A∪（?U B）=（﹣∞，3），
故选：B．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f+f=( )
A．3 B．2 C．1 D．0
考点：函数的周期性．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数的周期是3，将f，f转化为图象中对应的已知点的数值上即可求值．
解答：解：因为f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f=f（671×3）=f（0），f=f（671×3+1）=f（1），
由图象可知f（0）=0，f（1）=1，
所以f+f=1．
故选C．
点评：本题主要考查函数周期性的应用，以及利用函数图象确定函数值，考查函数性质的综合应用．
3．设，，c=lnπ，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c
考点：对数值大小的比较．
专题：证明题．
分析：利用对数函数和指数函数的单调性，与0比较，和lnπ与1进行比较，进而得到三者的大小关系．
解答：解：∵＜=0，=1，lnπ＞lne=1，
∴c＞b＞a，
故选A．
点评：本题考查了对数值大小的比较方法，一般找中间量“0”或“1”，以及转化为底数相同的对数（幂），再由对数（指数）函数的单调性进行判断，考查了转化思想．
4．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间( )
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题．
分析：根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．
解答：解：根据函数的实根存在定理得到
f（1）?f（2）＜0．
故选B．
点评：本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．
5．若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=( ) A．log2x B．C．D．2x﹣2
考点：反函数．
专题：计算题．
分析：求出y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数即y=f（x），将已知点代入y=f（x），求出a，即确定出f（x）．
解答：解：函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）=log a x，
又f（2）=1，即log a2=1，
所以，a=2，
故f（x）=log2x，
故选A．
点评：本题考查指数函数与对数函数互为反函数、考查利用待定系数法求函数的解析式．6．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )
A．B．C．D．
考点：对数的运算性质；函数的图象与图象变化．
分析：根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．
解答：解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），
当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．
∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，
故选D．
点评：本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．
7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|，则y=f（x）与y=log7x的交点的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
考点：函数的周期性；抽象函数及其应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：先根据函数的周期性画出函数f（x）的图象，再画出对数函数y=log7x 的图象，数形结合即可得交点个数．
解答：解：∵f（﹣x+2）=f（﹣x），可得 f（x+2）=f（x），
即函数f（x）为以2为周期的周期函数，
又∵x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，
∴函数f（x）的图象如图，函数y=log7x的图象如图，
数形结合可得交点共有6个．
故选：C．
点评：本题考查了数形结合的思想方法，函数周期性及对数函数图象的性质，解题时要准确推理，认真画图，属于中档题．
8．若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．（﹣3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D．[﹣4，+∞）
考点：复合函数的单调性．
专题：函数的性质及应用．
分析：由复合函数为增函数，且外函数为增函数，则只需内函数在区间[2，+∞）上单调递增且其最小值大于0，由此列不等式组求解a的范围．
解答：解：令t=x2+ax﹣a﹣1，
∵函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，
又外层函数y=lgt为定义域内的增函数，
∴需要内层函数t=x2+ax﹣a﹣1在区间[2，+∞）上单调递增，且其最小值大于0，
即，解得：a＞﹣3．
∴实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．
故选：A．
点评：本题考查了复合函数的单调性，关键是注意真数大于0，是中档题．
9．曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A．e2B．2e2C．e2D．e2
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．
解答：解析：依题意得y′=e x，
因此曲线y=e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，
相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2），
当x=0时，y=﹣e2
即y=0时，x=1，
∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：
S=×e2×1=．
故选D．
点评：本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
10．设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b时，有( )
A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）C．f（x）＜g（x）D．f （x）+g（b）＜g（x）+f（b）
考点：导数的运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：构造函数，设F（x）=f（x）﹣g（x），因为函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可导，并且F′（x）＜0，得到函数的单调性，利用单调性得到F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），得到选项．
解答：解：设F（x）=f（x）﹣g（x），因为函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可导，并且F′（x）＜0，
所以F（x）在[a，b]上是减函数，
所以F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），
f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）；
故选B．
点评：本题考查了函数的单调性，关键构造函数，利用求导判断函数的单调性．
二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分）
11．幂函数在[0，+∞）上是单调递减的函数，则实数m的值为2．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
专题：计算题；转化思想．
分析：由题意幂函数在[0，+∞）上是单调递减的函数，由此可得解此不等式组即可求出实数m的值
解答：解：幂函数在[0，+∞）上是单调递减的函数
∴解得m=2
故答案为2
点评：本题考点是幂函数的单调性，奇偶性及其应用，考察了幂函数的定义，幂函数单调性与指数的对应关系，解题的关键是理解幂函数的定义及幂函数的单调性与指数的对应关系，本题是幂函数的基础题，考察了推理判断的能力
12．=．
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用对数的运算性质把要求的式子化为 lg，进一步运算求得结果．
解答：解：∵=lg﹣lg+lg=lg﹣
lg2
=lg﹣2lg2=lg=lg=lg=lg10=，
故答案为：．
点评：本题主要考查对数的运算性质的应用，属于基础题．
13．函数f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]有极值，则 a的取值范围是{a|a＜﹣1或a＞2}．
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：导数的综合应用．
分析：由已知得f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知△=36a2﹣36（a+2）＞0，由此能求出a的取值范围．
解答：解：∵f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]，
∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），
由题意知△=36a2﹣36（a+2）＞0，
解得a＜﹣1或a＞2．
故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}．
点评：本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
14．已知函数f（x）=若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为2＜a≤3．
考点：函数单调性的性质．
专题：常规题型．
分析：让两段均为增函数且两段的端点值须满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值即可
解答：解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增∴须?2
＜a≤3，
故答案为：2＜a≤3
点评：分段函数在定义域内递增，须每一段递增，且前一段的最大值小于或等于后一段的最小值．
15．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面是关于函数f（x）的判断：
①f（x）的图象关于点P（，0）对称；
②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（2）=f（0）．
其中正确的判断有①、②、④．（把你认为正确的判断都填上）
考点：奇偶函数图象的对称性．
专题：规律型；函数的性质及应用．
分析：由f（﹣x）=f（x），f（x+1）=﹣f（x）可得f（1+x）=﹣f（﹣x），则可求f（x）
图象关于点对称；
f（x）图象关于y轴（x=0）对称，可得x=1也是图象的一条对称轴，故可判断①②；
由f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数；
由f（x+1）=﹣f（x）可得f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x），故f（2）=f（0）．
解答：解：由f（x）为偶函数可得f（﹣x）=f（x），由f（x+1）=﹣f（x）可得f（1+x）
=﹣f（﹣x），则f（x）图象关于点对称，即①正确；
f（x）图象关于y轴（x=0）对称，故x=1也是图象的一条对称轴，故②正确；
由f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数，即③错；
由f（x+1）=﹣f（x）可得f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（2）=f（0），即④正确
故答案为：①②④
点评：本题考查函数的对称性，函数的单调性，函数奇偶性的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．
三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x|x＜a}．
（1）若A?B，求实数a的取值范围；
（2）若全集U={x|x≤4}，a=﹣1，求?U A及A∩（?U B）．
考点：函数的定义域及其求法；交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：（1）首先求出集合A，根据A?B，利用子集的概念，考虑集合端点值列式求得a的范围；
（2）直接运用补集及交集的概念进行求解．
解答：解：（1）要使函数f（x）=有意义，则，解得：﹣2＜x≤3．
所以，A={x|﹣2＜x≤3}．
又因为B={x|x＜a}，要使A?B，则a＞3．
（2）因为U={x|x≤4}，A={x|﹣2＜x≤3}，所以C U A={x|x≤﹣2或3＜x≤4}．
又因为a=﹣1，所以B={x|x＜﹣1}．
所以C U B={﹣1≤x≤4}，所以，A∩（C U B）=A={x|﹣2＜x≤3}∩{﹣1≤x≤4}={x|﹣1≤x≤3}．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了交集和补集的混合运算，求解集合的运算时，利用数轴分析能起到事半功倍的效果，此题是基础题．
17．已知a∈R，设命题p：函数f（x）=a x是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg （2ax2+2ax+1）的定义域为R．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．
考点：复合命题的真假．
专题：函数的性质及应用；简易逻辑．
分析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．命题p为真命题时，指数函数f（x）=a x的底数0＜a ＜1，命题q为真命题时，对数函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的真数2ax2+2ax+1＞0在R上恒成立，求得0≤a＜2．p∨q是真命题，p∧q是假命题，所以p，q一真一假，分类讨论即可．
解答：解：当命题p为真命题时，因为函数f（x）=a x是R上的单调递减函数，
所以0＜a＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当命题q为真命题时，因为函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R
所以2ax2+2ax+1＞0在R上恒成立
当a=0时，1＞0在R上恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当
所以，当命题q为真命题时，0≤a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为p∨q是真命题，p∧q是假命题，所以p，q一真一假
当﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
综上所述a的取值范围是1≤a＜2或a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评：解题关键是由p∨q是真命题，p∧q是假命题，得p，q一真一假
18．已知函数
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．
专题：计算题．
分析：（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再利用奇偶函数的定义，注意对参数进行讨论；
（2）函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，可转化为导函数大于等于0在x∈[3，+∞）上恒成立，从而可解．
解答：解：（1）函数的定义域关于原点对称，
①当a=0时，函数为偶函数；
②当a≠0时，函数非奇非偶．
（2）
∵函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数
∴在x∈[3，+∞）上恒成立
∴
∴
点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查恒成立问题，关键是掌握定义，利用导数解决恒成立问题．
19．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若上的值不小于6，求实数a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．
专题：综合题；导数的概念及应用．
分析：（Ⅰ）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），利用点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（﹣x，2﹣y）在h（x）的图象上，结合函数解析式，即可求得结论；
（Ⅱ）题意可转化为（x∈（0，2]）恒成立，利用分离参数法，再求出
函数的最值，从而可求实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（﹣x，2﹣y）在h（x）的图象上…
∴，
∴，∴…
（Ⅱ）由题意，∴
∵x∈（0，2]，∴a+1≥x（6﹣x），即a≥﹣x2+6x﹣1，…
令q（x）=﹣x2+6x﹣1=﹣（x﹣3）2+8（x∈（0，2]），
∴x∈（0，2]时，q（x）max=7…
∴a≥7…
点评：本题考查函数图象的对称性，考查函数解析式求解，考查恒成立问题，分离参数、求最值是关键．
20．有两个投资项目A，B，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙．（注：利润与投资单位：万元）
（1）分别将A，B两个投资项目的利润表示为投资B={x|x＜a}（万元）的函数关系式；（2）现将x（0≤x≤10）万元投资A项目，10﹣x万元投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．
考点：函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．
分析：（1）由题意，设，代入求出参数值即可，
（2）化简，利用换元法可
得y=．从而求最值．
解答：解：（1）设投资为x万元，A项目的利润为f（x）万元，B项目的利润为g（x）万元．
由题设．
由图知．
又∵，∴．
从而．
（2）
令=．
当，
答：当A项目投入3.75万元，B项目投入6.25万元时，最大利润为万元．
点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及换元法与配方法求函数的最值，属于中档题．
21．设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，＜e．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
专题：证明题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）首先求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间；（Ⅱ）应用参数分离得a＞，求出在（0，+∞）上的最大值，只要a大于最大值即
可；
（Ⅲ）可通过分析法证明，令x+1=t，再两边取以e为底的对数，转化为（Ⅰ）的函数，求出最大值﹣1，得证．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax，
∴f′（x）=﹣a，
又函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，）上是增函数；
x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，此时f（x）在（，+∞）上是减函数；
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，f（x）在（，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
即a＞在（0，+∞）上恒成立，
设g（x）=，则g′（x）=，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
故当x=e时，g（x）取得极大值，也为最大值，且为，
所以a的取值范围是（，+∞）；
（Ⅲ）要证当x∈（0，+∞）时，＜e，
可设t=1+x，t∈（1，+∞），
只要证，两边取以e为底的对数，
得，即lnt＜t﹣1，
由（Ⅰ）当a=1时的情况得f（x）=lnx﹣x的最大值为﹣1，此时x=1，
所以当t∈（1，+∞）时lnt﹣t＜﹣1，
即得lnt＜t﹣1，所以原不等式成立．
点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用：求单调区间，求极值，最值等，考查分类讨论和数学中分离参数的思想方法，同时运用分析法证明不等式的方法，以及转换思想，是一道不错的综合题．
附加题
22．已知函数f n（x）=，其中n∈N*，a∈R，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数g（x）=f1（x）﹣f2（x）的零点；
（Ⅱ）若对任意n∈N*，f n（x）均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．
专题：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求函数g（x）=f1（x）﹣f2（x）=，令g（x）=0，即x=0；或 x2﹣2x﹣a=0；△=4+4a，分情况讨论可解得零点；
（II）f n′（x）=，设g n（x）=﹣nx2+2（n+1）x+an﹣2，g n（x）的图象是开口向下的抛物线，g n（x）=0有两个不等实数根x1，x2，且x1∈[1，4]，x2?[1，4]则g n（1）g n（4）＜0，即可推得﹣1＜a＜（8﹣）min，故﹣1＜a＜2．
解答：解：（I）g（x）=f1（x）﹣f2（x）=﹣
=，
令g（x）=0，有e x﹣1=0，即x=0；或x2﹣2x﹣a=0；△=4+4a，
①当a＜1时，△＜0函数g（x）有1个零点 x1=0；
②当a=﹣1时，△=0函数g（x）有2个零点x1=0，x2=1；
③当a=0时，△＞0函数g（x）有两个零点x1=0，x2=2；
④当a＞﹣1，a≠0时，△＞0函数g（x）有三个零点：
x1=0，x2=1﹣，x3=1+；
（II）f n′（x）==，
设g n（x）=﹣nx2+2（n+1）x+an﹣2，g n（x）的图象是开口向下的抛物线，
由题意对任意n∈N*，g n（x）=0有两个不等实数根x1，x2，
且x1∈[1，4]，x2?[1，4]，则对任意n∈N*，g n（1）g n（4）＜0，
即n?（a+1）?n?[a﹣（8﹣）]＜0，有（a+1）[a﹣（8﹣）]＜0，
又任意n∈N*，8﹣关于n递增，8﹣≥8﹣6=2，
故﹣1＜a＜（8﹣）min，所以﹣1＜a＜2．
所以a的取值范围是（﹣1，2）．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，同时考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于难题．