高三第一次月考试卷数学(理科) 及答案
一、选择题（每小题5分，共60分） 1、设集合},33|{Z x x x I ∈<<-=，}2,1,2{},2,1{--==B A ，则=)(B C A I I （ ）
A ．}1{
B ．}2,1{
C ． }2,1,0{
D ． }2,1,0,1{-
2、函数y=
)1(log 22
1-x 的定义域是（
）
A.［－2，－1）∪（1，2］
B.（－3，－1）∪（1，2）
C.［－2，－1）∪（1，2］
D.（－2，－1）∪（1，2） 3、已知函数f （x ）=lg x
x +-11，若f （a ）=b ，则f （－a ）等于（ ）
B.－b
C.b
1
D.－b
1
4、函数
()27
log f x x x
=-
的零点包含于区间（ ） A ．()1,2
B ．(2,3)
C ．(3,4)
D ．()4,+∞
5、函数4)3(42
-+=x y 的图像可由函数4)3(42
+-=x y 的图像经过下列平移得到（ ） A ．向右平移6，再向下平移8 B ．向左平移6，再向下平移8 C ．向右平移6，再向上平移8 D ．向左平移6，再向上平移8 6、曲线x
y e =在点2
(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．2
94
e
Ｂ．2
2e
Ｃ．2
e
Ｄ．2
2
e
7、下列命题正确的个数是( )
（1）命题“若0m >则方程2
0x x m +-=有实根”的逆否命题为：“若方程2
0x x m +-=无实根则0m ≤” （2）对于命题
:p “R x ∈?使得210x x ++<”，则:p ?“,R ?∈均有210x x ++≥”
（3）“1x =”是 “2
320x x -+=”的充分不必要条件 （4）若
p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
8、设
111
()()1222
b a <<<，那么 （ ） A.a
b
a
b a a << B. b
a a a
b a <<
C. a
a b b a a <<
D. a
a b a b a <<
9、已知函数
()()321
20f x x ax x a a
=++
>，则()2f 的最小值为（ ）
A ．3
2 B ．16 C ．288a a
++
D ．1128a a
++
10、设
2
()lg()1f x a x
=+-是奇函数，则使()f x ＜0的x 的取值范围是（ ）
A 、（－1，0）
B 、（0，1）
C 、(-∞，0）
D 、(,0)(1,)-∞+∞U
11、函数/
()f x 是函数ｙ＝()f x 的导函数，且函数ｙ＝()f x 在点Ｐ00(,())x f x 处的切线 方程为/
000:()()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-如果ｙ＝()f x 在区间[]
,a b 上的图像如图所示，且0a x b <<那么（ ） A ．/
00()0,F x x x ==是F(x) 的极大值点 B ．/
00()0,F x x x ==是F(x) 的极小值点 C ．/
00()0,F x x x ≠=不是F(x)的极值点 D ．/00()0,F x x x ≠=是F(x)极值点 12、已知121
2,()x x x x <是方程24410,()x kx k R --=∈的两个不等实根，函数
22()1
x k
f x x -=
+的定义域为[]12,x x ，max min ()()()g k f x f x =-，若对任意k R ∈，恒有2()1g k a k ≤+成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 8,5??+∞????
B.8,5??-∞ ???
C.3,5??
+∞????
.
D.
38,55??
????
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、设函数()211log (2)2
3222
x x x f x x ---
=?+≥??，则((3))f f =
14、一元二次不等式20x ax b ++>的解集为()(),31,x ∈-∞-+∞U ，则一元一次不等式0ax b +<的解集为
15、已知偶函数
()f x 在[]0,2内单调递减，若()()0.51
1,(log ),lg 0.54
a f
b f
c f =-==，则
,,a b c 从小到大的顺序为 。
16、已知函数f (x )＝ln x
1－x
，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则
ab 的取值范围是______
三、解答题（共6个小题，共70分）
17、已知a ，b 为常数，且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx ，f (2)＝0，方程f (x )＝x 有两个相等实根．(12分)
(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈（-1,2]时，求函数f (x )的值域； 18、1
{24}32
x A x
-=≤≤，{}012322<--+-=m m mx x x B . (12分)
(1）当时，列举法表示集合A 且求其非空真子集的个数； (2）若B A ?，求实数m 的取值范围.
P N M
D
C
B
A 19、(12分)设p ：函数f(x)＝a x x --33在x ?[2
1-,
3]内有零点；q ：
,0>a 函数
g(x)＝x a x ln 2-在区间)2
,0(a 内是减函数．若p 和q 有且只
有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
20、如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点
在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB=3米，
AD=2米. (12分)
（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什
么范围？
（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小值
21、已知函数x ax
x x f -++=2
)1(n 1)( (∈a R )．(12
分)
（Ⅰ）当1
4
a =
时，求函数()y f x =的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求实数a 的取
值范围．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲
已知
?ABC 中，AB=AC, D 是 ?ABC 外接圆劣弧?
AC 上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。
（1） 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；
（2） 若∠BAC=30，?ABC 中BC 边上的高为2+3，求
?ABC 外接圆的面积。
（23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （3
πθ-
）=1，M,N 分别为C 与x 轴，y
轴的交点。
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。 （24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知,m n +∈R ,()f x =||+|2|x m x n +-.(10分)
（1）求()f x 的最小值；（2）若()f x 的最小值为2，求4
2
2
n m +的最小值.
参考答案
1-5 AABCB ，6-10 DBCBA ，11-12 BA 13、3；14、3,2??-∞ ??? ，15、c a b << ，16、)4
1,0( 17、解析： (1)f (x )＝－1
2
x 2＋x . （6分）
(2)由(1)知函数的值域是]2
1
,23(-
.（12分） 18、(1）{}5,4,3,2,1,0,=∴∈A N x Θ,即A 中含有6个元素，∴A 的非空真子集数为62
226=-个.
(2）.综上所述，m 的取值范围是：m=－2或.21≤≤
-m
19、函数f(x)＝a x x --33
在x ?[0,3]内有零点等价于a 在函数y ＝x x 33
- (x ?[3,2
1
-])的值域内．
∴p ：]8
11,
2[-∈a ． 函数g(x)＝x a x ln 2
-在区间(0,
)2
a
内是减函数．∴q ：]2,0(∈a ） 当p 真q 假时，a ?[-2，0]，当p 假q 真时，]2,8
11
(∈a ．综上，a 的取值范围为[-2，0]?
]2,8
11
(。20、 21、解：（Ⅰ）当14a =时，2
1()ln(1)4
f x x x x =++-，
则11(1)()1(1)122(1)
x x f x x x x x -'=
+-=>-++，令()0f x '>，得10x -<<或1x >；令()0f x '<，得01x <<，
∴函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).极大值0，极小值
4
32ln -。
（Ⅱ）由题意[2(12)]
()(1)(1)
x ax a f x x x --'=
>-+， （1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b 。
（2）当0a >时，令()0f x '=，有10x =，21
12x a
=-， ①当1
2a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意，
②当
1102a ->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和1
(1,)2a
-+∞上单调递增， 在1
(0,1)2a
-上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值，且(0)0f =， 要使对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，
只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又102a <<，所以此时实数a 的取值范围是1
1ln 22
a -≤<.
③当
1102a
-<即12a >时，函数()f x 在1
(1,1)2a --和(0,)+∞上单调递增，
在1(1,0)2a
-上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，
函数()f x 的最大值为()f b ，需1(1)(1)2f f a -≤，代入化简得1
ln 2ln 2104a a
++-≥，①
令11()ln 2ln 21()42g a a a a =++->，因为11
()(1)04g a a a '=->恒成立，
故恒有11()()ln 2022
g a g >=->，所以1
2a >时，①式恒成立， 实数a 的取值范围是
[1ln 2,)-+∞. （12分）
（22）解：（Ⅰ）如图，设F 为AD 延长线上一点 ∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠CDF =∠ABC
又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即AD 的延长线平分∠CDE.
（Ⅱ）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H,则AH ⊥BC.
连接OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=150
, ∠ACB=750
,
∴∠OCH=600
. 设圆半径为r,则r+
2
3
r=2+3,a 得r=2,外接圆的面积为4π。 （23）解：（Ⅰ）由得1)3cos(=-
π
θρ 1)sin 2
3
cos 21(=+θθρ 从而C 的直角坐标方程为)2
,332(3322)0,2(202
312321π
ρπθρθN M y x y x ，所以时，，所以时，即
=
=
===+=+
（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0）
N 点的直角坐标为)3
3
2,
0(
所以P 点的直角坐标为
),6,332(),33.
1(π点的极坐标为则P
所以直线OP 的极坐标方程为),(,+∞-∞∈=ρρ
πθ
24、（1）∵()f x =3,,23,2x m n x m n x m n m x n x m n x ?
?-+-?
?
-++-<
?+-??
-≤≥，∴()f x 在(,)2n -∞是减函数，在(,)2n +∞是增函数，∴当
x =2n 时，()f x 取最小值()2n f =2
n
m +. 也可以用其它方法求最小值，同样给分。
（2）由（1）知，()f x 的最小值为2n m +,∴2
n
m +=2，（6分）
∵m ,n ∈R +,2)4
(21)4(2.21)4(22
2
22
=+≥+=+
n m n m n m ，当且仅当2n m =，即m =1,n =2时，取等号，∴2
24()4
n m +
的最小值为2.