tan tan(4560)21A ∴=+=
=---
.
4
6
260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==
A S AC A
B A AB
C ∆=
⨯=⨯⨯⨯+=+12122326434
26sin ()。 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的
值。
sin cos A A +=
2
2
①
2
1
(sin cos )21
2sin cos 2
0180,sin 0,cos 0.1
(sin 2)
2
A A A A A A A A ∴+=
∴=-
<<∴><=-另解
2
3
cos sin 21)cos (sin 2
=-=-A A A A ,
∴-=sin cos A A 6
2
②
① + ② 得
sin A =
+26
4
。
① － ② 得 cos A =
-26
4
。
从而 sin 26tan 23cos 426A A A +==⨯=---。 以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？
6. 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，
又因为ABC △的面积等于3，所以1sin 32
ab C =，得4ab =． ··············· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，
解得2a =，2b =． ···································· 6分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，
即sin cos 2sin cos B A A A =， ······························································ 8分 当cos 0A =时，2A π=，6
B π=，43a =，23b =， 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得23a =，43b =． 所以ABC △的面积123sin 2S ab C ==． ············································12分 例5：解：（Ⅰ）因为0009060150,BCD ∠=+=CB AC CD ==
所以015CBE ∠=，()0062cos cos 45304
CBE +∴∠=-= （Ⅱ）在ABE ∆中，2AB =，故由正弦定理得
()()
00002sin 4515sin 9015AE =-+
故00122sin 30262cos15624AE ⨯===-+
例6 解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－
∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以
BD=BA ，
在△ABC 中，
,ABC sin C BCA sin ∠=∠A AB 即AB=,2062315sin ACsin60+=
因此，BD=。km 33.020
623≈+ 故B ，D 的距离约为0.33km 。 。
点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
图3
7．解：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°.
由余弦定理知：
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2 800，
所以BC ＝20 7.
由正弦定理sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217，
由∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝2 77.
又θ＝∠ACB ＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)
＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114. 8．【解】 在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得
sin sin BC CD BDC CBD =∠∠． 所以 sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠⋅==∠+． 在ABC Rt △中，
tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ⋅=∠=+．
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识 点
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若2 2 2 a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。
人教新课标版数学高二-数学必修5第一章《解三角形》知识整合
数学·必修5(人教A版) 一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标： 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题． 3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”． “在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题． 4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习 高中数学必修5第一章解三角形复习 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理: ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径 2正弦定理的一些变式： iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2R iiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4） 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】 a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB
2推论： 设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90； ②若abc，则C90；③若abc，则C90． 3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角1 2222222 【面积公式】 已知三角形的三边为a,b,c, 1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径） 12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？ 扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习 高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习
高中数学必修五解三角形知识点归纳
解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）)
三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ． ①若2 22 a b c +=，则90 C =； ②若2 2 2 a b c +>，则90 C <； ③若2 22 a b c +<，则90C >．
人教a版必修5学案：第1章《解三角形》本章回顾(含答案)
本章回顾 识结构 点回放 1．三角形中的边角关系 设△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C. (1)三角形内角和定理 A＋B＋C＝π. (2)三角形中的诱导公式 sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C， tan(A＋B)＝－tan C， sin A＋B 2＝cos C 2，cos A＋B 2＝sin C 2， tan A＋B 2＝cot C 2. (3)三角形中的边角关系 a＝b?A＝B； a>b?A>B； a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b. (4)三角形中几个常用结论 ①在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B(其余两个略)； ②在△ABC中，sin A>sin B?A>B； ③在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C. 2．正弦定理 (1)正弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c， 则 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R.
其中R 是△ABC 外接圆半径． (2)正弦定理的变形公式 正弦定理反映了三角形的边角关系．它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用． ①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； ④sin A sin B ＝a b ，sin B sin C ＝b c ，sin C sin A ＝c a . 3．余弦定理 (1)余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)余弦定理的推论 cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ； cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 4．三角形的面积 三角形面积公式 S △＝12ah a ＝12bh b ＝1 2ch c ； S △＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1 2bc sin A ； S △＝1 2(a ＋b ＋c )r (r 为△ABC 内切圆半径)； S △＝abc 4R (R 为△ABC 外接圆半径)； S △＝p (p －a )(p －b )(p －c ) ??? ?其中p ＝12(a ＋b ＋c ). 5．解三角形的常见类型及解法 在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按
人教课标版高中数学必修5《解三角形》章末总结
人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习 知识梳理 1.正弦定理：A a sin =B b sin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理： （1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=， C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 2 22-+=，（角到边的 转换） 3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21 acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=R ab c 4(R 为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2B A +,
sin 2C =cos 2B A …… 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ， 再求b 、c. (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B b sin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =B b sin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： A>90° A=90° A<90° a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 absinA 两解 无解 无解 a=bsinA 一解 a人教版必修5知识点第1章解三角形2(面积公式)有答案
人教版数学必修5知识点总结 第一章解三角形—面积公式 一、面积公式 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=5，c=8，则△ABC的面积S等于 （） A. 10 B. 10√3 C. 20 D. 20√3 2.已知△ABC的面积为√3，且∠C=30∘，BC=2√3，则AB等于（） A. 1 B. √3 C. 2 D. 2√3 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3√2，b=2√3，cosC=1 3 ，则△ABC的面积为（） A. 3√3 B. 2√3 C. 4√3 D. √3 4.△ABC中，a.b.c分别为∠A.∠B.∠C的对边，如果a.b.c成等差数列，∠B=30∘，△ABC的面积为3 2 ，那么b等于（） A. 1+√3 2B. 1+√3 C. 2+√3 2 D. 2+√3 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，则△ABC的面积为（） A. 1 2B. 1 4 C. 1 D. 2 6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=2√2，cosA=3 4 ，sinB=2sinC，则△ABC的面积是（） A. √7 B. √7 4C. 16 5 D. 8 5 7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b−√3c=2acosC，sinC=√3 2 ，则△ABC的面积为（） A. √3 2B. √3 4 C. √3 2 或√3 4 D. √3或√3 2 二、面积公式与余弦定理 8.△ABC中，角A，B，C所对边a，b，c，若a=3，C=120∘，△ABC的面积S=15√3 4 ，则c=（） A. 5 B. 6 C. √39 D. 7
人教版数学必修五解三角形知识点
人教版数学必修五解三角形知识点 人教版数学必修五解三角形知识点 (一) 解斜三角形 1、解斜三角形的主要定理：正弦定理和余弦定理和余弦 的射影公式和各种形式的面积的公式。 2、能解决的四类型的问题：(1)两角和一条边(2)两边和夹角(3)三边(4) 两边和其中一边的对角。 (二) 解直角三角形 1、解直角三角形的主要定理：在直角三角形ABC中，直 角为角C，角A和角B是它的两锐角，所对的边a、b、c，(1) 角A和角B的和是90度;(2) 勾股定理：a的平方加上+b的平方=c的平方;(3) 角A的正弦等于a比上c，角A的余弦等于b比上c，角 B的正弦等于b比上c，角B的余弦等于a比上c;(4)面积的 公式s=ab/2;此外还有射影定理，内外切接圆的半径。 2、解直角三角形的四种类型：(1)两直角边：根据勾股定理先求出斜边，用三角函数求出两锐角中的一角，再用互余关系求出另一角或用三角函数求出两锐角中的两角;(2)一直角边和斜边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1(3)
一直角边和一锐角，可求出另一锐角，运用正弦或余弦，算出斜边，用勾股定理算出另一直角边;(4)斜边和一锐角，先算出角的对边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)。 (1)两类正弦定理解三角形的问题： 1、两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、两角和其中一边的对角，求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题： 1、三边求三角. 2、两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 1.某次测量中，假设A在B的南偏东40°，那么B在A 的 A.北偏西40° B.北偏东50° C.北偏西50° D.南偏西50° 答案：A 2.A、B两地间的间隔为10 km，B、C两地间的间隔为 20 km，现测得∠ABC=120°，那么A、C两地间的间隔为 A.10 km B.103 km C.105 km D.107 km 解析：选D.由余弦定理可知： AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC.
人教版高中数学必修五高一数学必修五《解三角形》教案
1.1.3解三角形的进一步讨论 （一）教学目标 1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 （二）教学重、难点 重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 （三）学法与教学用具 学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。 教学用具：教学多媒体设备 （四）教学设想 [创设情景] 思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。 （由学生阅读课本第9页解答过程） 从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 [探索研究] 例1．在∆ABC 中，已知, ,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B = 可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A = 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。 2．当A 为锐角时， 如果a ≥b ，那么只有一解； 如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解。 （以上解答过程详见课本第910页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 [随堂练习1] （1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
高中数学 必修五 第一二三章总结教案 新人教版必修5
A 第一章小结 一．教学重点 1. 理解正弦定理及余弦定理的推导证明过程，能够熟练运用正、余弦定理解三角形。 2. 根据实际情况设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题 3. 灵活运用正、余弦定理进行边角转化求角度、判断三角形形状等有关三角形的问题。 二．教学难点：①正、余弦定理的推导证明，应用定理解三角形。②设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题，③在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题。进行边角转化 三．教学过程 1. 2例1．在ABC ∆中，已知45B ︒=，60C ︒=，1c =。试求最长边的长度。 例2．在ABC ∆中，已知::2a b c =，试判断此角形的形状并求出最大角与最小角的和。 例3．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于C 、D ，已知ABC ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于B 时，测得45CDB ︒∠=，75BCD ︒∠=三、巩固练习 1．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =试试判断此角形的形状并求出最小角。 2．在ABC ∆中，a,b,c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B b C a c =+ （1）求角B 的大小；（2）若4b a c +=，求a 的值。 3．a,b,c 分别是ABC ∆的三边，若222a c b +=，则角B 为-------度。 4．测一塔（底不可到达）的高度，测量者在远处向塔前进，在A 处测得塔顶C 的仰角40︒，再
前进20米到B 点，这时测得C 的仰角为60︒，试求此塔的高度CD 。 第二章小结 一．教学重点 ①理解数列的概念及简单表示法，②理解等差数列及等比数列，理解等差等比数列的性质，理解数列的等差等比中项。③给出一数列能判断一数列是否为等差或等比数列。④给出一等数列差等比，求其通项公式及前n 项和。 二．教学难点：①理解数列的概念及简单表示法②理解等差等比数列的性质③给出一数列能判断一数列是否为等差或等比数列。④给出一等数列差等比，求其通项公式及前 项和。 三．教学过程 1. 2例1．已知1，2，4是数列{}n a 的前3项，若是数列{}n a 等差数列，求其通项公式及前n 项和，若 数列{}n a 是等到比数列，试求其通项公式及前n 项和。 例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，试求其前n 项和。 解：由题设： 31010=S 122020=S 得： ⎩⎨⎧=+=+1220 19020310451011d a d a ⎩⎨⎧==⇒641d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+ =2362)1(4 小结：求等差、等比数列的前n 项和，关键是确定首项与公差。 三、巩固练习 1．已知无穷数列 ,10 ,10,10,1051525150-n ，求证：（1）这个数列成等比数列，（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的10 1，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 2．从盛满a 升(1)a >纯洒精的容器中倒出1升，然后装满水，再倒出1升混合溶液后又用水装满，如此继续，第n 次操作后溶液的浓度是多少？若2n =，至少倒几次后能使酒精浓度低于10%。 3．将等差数列1,4,7,10, 中的各项，按如下方式分组（按原来的次序，每组中的项数成等到比数列）：1,(4,7),(10,13,16,19),(22,25,28,31,34,37,40,43), 则2005在第几组中？ 4． 已知{}n a 是等比数列，132,18a a ==，{}n b 是等差数列，12,b =1234b b b b +++=
人教版高中数学必修5《解三角形》教案
高中数学必修5 《解三角形》 知识点： 1、 正弦定理：在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为ABC ∆的外接圆的半径，则有2sin sin sin C a b c R ===A B ． 2、 正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sinC c R =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin C 2c R =； ③::sin :sin :sinC a b c =A B ； ④ sin sin sin C sin sin sin C a b c a b c ++===A +B +A B ． 3、 三角形面积公式：111sin sin C sin 222ABC S bc ab ac ∆=A ==B ． 4、 余弦定理:在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cosC c a b ab =+-． 5、 余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos C 2a b c ab +-=． 6、 设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =o ； ②若222a b c +>，则90C o ． 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系．主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1 ABC ∆中，3π= A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为( ) A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛ +πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+πB
2019人教A版数学必修五《解三角形》word复习教案
2019人教A 版数学必修五《解三角形》word 复习教案 ●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。 过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利地进一步突破难点。 情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 ●教学重点 1. 三角形的形状的确定（大边对大角，“两边和其中一边的对角”的讨论）； 2. 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用）。 ●教学难点 让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。 ●教学过程 【复习导入】近年广东高考中，解三角形的题目已填空、选择为主，难度要求每年有所不同，结合大题16题出题也不鲜见；关键是借三角形对于我们结合图形分析做题，以及锻炼严谨慎密的逻辑思维大有裨益。 1． 正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin === （2R 可留待学生练习中补充） B ac A bc C ab S sin 2 1 sin 21sin 21===∆. 余弦定理 ：A bc c b a cos 22 2 2 -+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 22 2 2 -+= 求角公式：bc a c b A 2cos 222-+= ac b c a B 2cos 2 22-+= ab c b a C 2cos 222-+= 点评：文字语言有助于记忆， 符号语言方便应用。 2．思考：各公式所能求解的三角形题型？ 正弦定理: 已知两角和一边或两边和其中一边的对角球其他边角，或两边夹角求面积。 余弦定理 ：已知两边和夹角求第三边，或已知三边求角。 点评：由公式出发记忆较为凌乱，解题往往由条件出发。 【合作探究】 1．结合图形记忆解三角形的题型和应用到的公式：（利用初中三角形全等的证明考虑确定形状）
2019-2020年高中数学 第一章 解三角形章末归纳总结 新人教A版必修5
2019-2020年高中数学 第一章 解三角形章末归纳总结 新人教A 版 必修5 一、选择题 1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 [答案] D [解析] 由正弦定理，得a b ＝sin A sin B . 又a cos A ＝b cos B ，即a b ＝ cos B cos A ，∴sin A sin B ＝cos B cos A ， 即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ． ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ．∴A ＝B 或A ＋B ＝π 2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D ． 2．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( ) A ．135° B ．105° C ．45° D ．75° [答案] C [解析] 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin60°，所以sin A ＝2 2 ，又由题知，BC ＜AB ，∴A ＝45°. 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2 －b 2 ＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° [答案] A [解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2 ＝23bc ，则 cos A ＝ 32 ， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A ． 4．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为3 5 ，面积为14，那么这个三角形的此两边长分
2019人教版数学必修5第一章 解三角形
第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π 2 . 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C ， 这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60° ，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135°
