第一章解三角形
本章规划
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．要重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导．
1.教学内容
全章有三大节内容：
第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过的三角中的边角关系，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”重点是正弦定理的概念和推导方法，体现了从特殊到一般的思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．
第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问
题．
第三大节：实习作业，适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业的指导，包括对实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．
2.作用与地位
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．学习数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱．为解决此问题，教学中要用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．
3.学习目标
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
4.重点和难点
通过对三角形中边角关系的探索，证明正弦定理、余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形．
5.课时安排
1.1正弦定理和余弦定理（3课时）
1.2应用举例（4课时）
1.3实习作业（1课时）
本章复习（1课时）
必修五第一章解三角形的说教材 文稿 各位专家、评委老师，大家好！ 我说教材的题目是人教版高中数学《解三角形》专题。 下面我将从三个方面九个视角来进行说明. 一、说课标 高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 （一）课程目标： 1.知识与技能：学生初中已学过解直角三角形和锐角三角函数，我们通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.过程与方法： （1）通过推导定理的过程，培养学生观察、比较、分析、概括的能力，体会数形结合的思想. （2）通过解三角形在实际中的一些应用，培养学生提出问题、分析和解决问题能力. （3）通过学习提高学生数据处理能力和获取知识能力. 3. 情感态度与价值观： （1）鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生乐于探究、敢于创新的精神. （2）认识数学应用价值和文化价值，发展数学应用意识，体会数学的美学意义，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. （二）内容标准： 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 本专题的主要内容是两个重要定理，即正弦定理和余弦定理，以及这两个定理在解任意三角形中的应用．这两个定理是学习有关三角形知识的继续和发展，它进一步揭示了三角形的边角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用． 新课改要求我们进行课程开发和整合，这就需要我们走出教材，要想走出教材我们就
第一章解三角形 本章规划 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．要重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导． 1.教学内容 全章有三大节内容： 第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过的三角中的边角关系，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”重点是正弦定理的概念和推导方法，体现了从特殊到一般的思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问
数学·必修5(人教A版) 一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标： 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题． 3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”． “在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题． 4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习 高中数学必修5第一章解三角形复习 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理: ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径 2正弦定理的一些变式： iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2R iiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4） 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】 a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB
2推论： 设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90； ②若abc，则C90；③若abc，则C90． 3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角1 2222222 【面积公式】 已知三角形的三边为a,b,c, 1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径） 12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？ 扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习 高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习
第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a
数学必修五解三角形知识点 人教版数学必修五解三角形知识点 漫长的学习生涯中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。掌握知识点有助于大家更好的学习。下面是店铺整理的人教版数学必修五解三角形知识点，欢迎大家分享。 (一)解斜三角形 1、解斜三角形的主要定理：正弦定理和余弦定理和余弦的射影公式和各种形式的面积的公式。 2、能解决的四类型的问题：(1)已知两角和一条边(2)已知两边和夹角(3)已知三边(4)已知两边和其中一边的对角。 (二)解直角三角形 1、解直角三角形的主要定理：在直角三角形ABC中，直角为角C，角A和角B是它的两锐角，所对的边a、b、c，(1)角A和角B的和是90度;(2)勾股定理：a的平方加上+b的平方=c的平方;(3)角A的正弦等于a比上c，角A的余弦等于b比上c，角B的正弦等于b比上c，角B的余弦等于a比上c;(4)面积的公式s=ab/2;此外还有射影定理，内外切接圆的半径。 2、解直角三角形的四种类型：(1)已知两直角边：根据勾股定理先求出斜边，用三角函数求出两锐角中的一角，再用互余关系求出另一角或用三角函数求出两锐角中的两角;(2)已知一直角边和斜边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1);(3)已知一直角边和一锐角，可求出另一锐角，运用正弦或余弦，算出斜边，用勾股定理算出另一直角边;(4)已知斜边和一锐角，先算出已知角的对边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)。 (1)两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题：
必修五 第一章 解三角形 【重点】 1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。 4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。 5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。 【难点】 1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。 4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。 5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。 【要点内容】 一、正弦定理： 在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= c a ，sinB=c b ， sinC=1 即 c= A a sin ， c= B b sin ， c= C c sin ． ∴A a sin =B b sin =C c sin 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 2 1== ， 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C c sin 证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD D a A a 2sin sin ===，同理 B b sin =2R ， C c sin ＝2R a b c O B C
§1.1.1 正弦定理 【学习目标】 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 【重点难点】 教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用； 教学难点：正弦定理的探索及证明； 【学习过程】（分3个环节1、知识预习梳理2、学生探究部分、老师精讲部分3、课堂巩固练习部分-这部分以更切合知识点的练习为主，尽量少放综合性的。并且分出层次，咱们统一分2个层次，标记A 的为好点学生做的不标记的为全部都做得） 1、知识预习梳理 试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 2、学生探究，教师指导提高 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =， 同理可得sin sin c b C B =， 从而sin sin a b A B =sin c C = ． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = ． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． 3、课堂巩固练习（5个左右的小题为宜） 1. 在ABC ?中，若cos cos A b B a =，则ABC ?是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）. A ．1∶1∶4 B ．1∶1∶2 C ．1∶1∶3 D ．2∶2∶3 3. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）. A. A B > B. A B < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 4. 已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ． 5. 已知?ABC 中，∠A 60=?，3a =，则sin sin sin a b c A B C ++++= ． 【A 】已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为． 【高考链接】如果有与本节课相关的高考试题可以加上1-2个不要多，没有可以不加 1、在ABC ?中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形． 2、在6,45,2,,ABC c A a b B C ?===o 中，求和． 【收获、反思】空出位置让学生来做 【课后作业】空出位置，供老师使用时自己留作业，学生来记 1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120?，解此三角形． 2. 在ABC ?中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形
第一章 解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,,6321::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6322A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴===∴====而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2 在ABC 中，已知 C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得：sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒ ∴ （150°-A ）. ∴ ° ·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值2 ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞2 cos75° =2 综合①②可得a+b 的取值范围为 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
必修五数学知识点归纳资料 第一章 解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B C π+=-?sin cos 22 A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sin B , A ＞ B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B ③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞ 2π,B+C ＞2π,A+C ＞2 π ; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.(2R 为ABC ?外接圆的直径) 2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R = sin 2a A R = 、 sin 2b B R =、 sin C =面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+- 222 cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、cos C =补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --=+? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+） ； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-） ． 二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2 cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，21cos 2sin 2 α α-=． 3 第二章 数列 1、数列的定义及数列的通项公式： ①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，???时的一列函数值 ② i.归纳法 若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段 iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m + iv. 若 ()n n S f a =，先求1a 11() ()n n n n S f a S f a ++=??=?得到关于1n a +和n a 的递推 关系式
（新课标）2015-2016学年高中数学第一章解三角形教学设计新 人教A版必修5 从容说课 本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业． 正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究． 本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习. 教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形. 2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用. 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用． 教学难点定理及有关性质的综合运用． 教具准备多媒体投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良； 2.三角形各种类型的判定方法； 3.三角形面积定理的应用. 二、过程与方法 通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题． 三、情感态度与价值观 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系． 教学过程 导入新课
师 本章我们共学习了哪些内容？ 生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？ 生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2 =b 2 +c 2 -2bcco s A ， b 2=a 2+ c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ; ab c b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 2 22222222-+=-+=-+=. 师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形. 生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式： C ab B ac A bc S sin 2 1 sin 21sin 21===C ， 利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积. 师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习. 推进新课 多媒体投影 解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注 余弦定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C (1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角 类型（1）（2）有解时只有一解 正弦定理 （3）已知两角和类型（3）在有解时只有一解，
人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习 知识梳理 1.正弦定理：A a sin =B b sin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理： （1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=， C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 2 22-+=，（角到边的 转换） 3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21 acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=R ab c 4(R 为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2B A +,
sin 2C =cos 2B A …… 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ， 再求b 、c. (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B b sin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =B b sin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： A>90° A=90° A<90° a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 absinA 两解 无解 无解 a=bsinA 一解 a 必修五数学解三角形知识点 必修五数学解三角形知识点 判断解法 已知条件：一边和两角 一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。 已知条件：两边和夹角 一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。 已知条件：三边 一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。 已知条件：两边和其中一边的对角 一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C) ①若ab，则AB有唯一解; ②若ba，且babsinA有两解; ③若absina则无解。 p= 常用定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。 变形公式 (1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c (3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB (4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R 面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式) 余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cosC=(a²+b²-c²)/2ab cosB=(a²+c²-b²)/2ac cosA=(c²+b²-a²)/2bc 解三角形的进一步讨论 ——解三角形中的一类倍角问题 1．教学内容解析 “正弦定理和余弦定理”是高中数学必修5中“解三角形”的一节内容．本节教学内容与前后知识联系紧密，涉及多种数学思想方法，主要工具是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角形内角和定理，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中边角之间的数量关系．有些问题的求解还会用到三角函数中的和、差角公式和二倍角公式．根据问题的不同类型和不同形式，广泛联想、合理选择、灵活运用公式是求解问题的关键． 2．教学目标设置 教学目标： (1)掌握并熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系； (2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc -=、2A B =，并对以此为背景的试题进行深入的探究，理解其数学本质； (3)通过对问题背景与变式探究学习，激发学生参与数学活动的兴趣与热情． 教学重难点： (1)能够熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系； (2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc -=、2A B =，探究其数学本质． 3．学生学情分析 学生通过必修5的学习， 已了解正弦和余弦定理的内容， 但如何合理选择、灵活运用定理解决解三角形综合问题， 怎样合理选择定理进行边角关系转化进而解决三角形综合问题， 还需通过复习指导有待进一步提高． 4．教学策略分析 (1)问题引入，激发求知欲望 (2)广泛联想，挖掘数形背景 (3)分析例题，落实核心知识 (4)重视应用，培养实践能力 设计思路： 训练等多种方法贯穿整个教学过程； (3)重视提出问题、解决问题策略的指导．在教学中引导学生发现问题、提出问题， 并指导学生掌握观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等解决问题的科学思维方法． （新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5 从容说课 本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业． 正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究． 本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习. 教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形. 2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用. 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用． 教学难点定理及有关性质的综合运用． 教具准备多媒体投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良； 2.三角形各种类型的判定方法； 3.三角形面积定理的应用. 二、过程与方法 通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题． 三、情感态度与价值观 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系． 教学过程 导入新课 师本章我们共学习了哪些内容？ 生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？ 生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2 =b 2 +c 2 -2bcco s A ， b 2=a 2+ c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ; ab c b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 2 22222222-+=-+=-+=. 师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形. 生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式： C ab B ac A bc S sin 2 1 sin 21sin 21===C ， 利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积. 师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习. 推进新课 多媒体投影 解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注 余弦定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C (1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角 类型（1）（2）有解时只有一解 正弦定理 （3）已知两角和一边 类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无 高中数学学习材料 马鸣风萧萧*整理制作 1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、简单的判断三角形 设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 8．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 高二数学必修五 第一章 解三角形 一、本章知识结构： 二、基础要点归纳 1、三角形的性质： ①.A+B+C=π, 222 A B C π+=- ⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-, sin cos 22 A B C += ②.在ABC ∆中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B , A ＞ B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔ A ＞B ③.若ABC ∆为锐角∆，则A B +＞2π,B+C ＞2 π,A+C ＞ 2 π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ， 2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C === (2R 为ABC ∆外 接圆的直径) ② . 余 弦 定 理 ： 2222cos a b c bc A =+- 222 cos 2b c a A bc +-= （必修五）第二章、数列 一、本章知识结构： 二、本章要点归纳： 1、数列的定义及数列的通项公式： ①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。 ②. n a 的求法： i.归纳法。 ii. 11,1 ,2 n n n S n a S S n -=⎧=⎨ -≥⎩ 若00S =，则n a 不分段； 若00S ≠，则n a 分段。 iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。 iv. 若()n n S f a =，则先求1a ，再构造方程组： 1 1() ()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨ =⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式. 2.等差数列： ① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。 ② 通项: 1(1)n a a n d =+-,0d ≠时，n a 为关于n 的一次 函数；d ＞0时，n a 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。 ③ 前n 项和：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也 § 正弦定理 课型：新讲课 编写人： 审查人： 【学习目标和要点、难点】 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【学习内容和学习过程】 一、新课导入 试验：固定 ABC 的边 CB 及 B ，使边 AC 绕着极点 C 转动． 思虑： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有如何的数目关系 明显，边 AB 的长度跟着其对角 C 的大小的增大而 ．可否用一个等式把这类 关系精准地表示出来 二、新课导学 研究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下边就第一来商讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB=c ，∠ C=90° 依据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 a sin A ， b sin B ，又 sin C 1 c ， c c c 进而在直角三角形 ABC 中， a b c ． sin A sin B sin C 研究 2：那么对于随意的三角形，以上关系式能否仍旧成立 可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况： 当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义， 有 CD= asin B bsin A ，则 a b c b sin A ，同理可得 sin C ， sin B sin B 进而 a b c ． sin A sin B sin C 近似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧成立．请你试一试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 a b c ． sin A sin B sin C 试一试： （ 1）在 ABC 中，必定成立的等式是（ ）． A ． a sin A b sin B B. a cosA b cosB C. asin B bsin A D. acosB b cosA （ 2）已知△ ABC 中， a ＝ 4， b ＝ 8，∠ A ＝ 30°，则∠ B 等于 ． [ 理解定理 ] （ 1）正弦定理说明同一三角形中， 边与其对角的正弦成正比， 且比率系数为同一正数， 即存在正数 k 使 a k sin A ， ， c k sinC ； （ 2） a b c ， c b a c ． 等价于 sin C ， sin A sin C sin A sin B sin C sin B （ 3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的随意两角及其一边能够求其余边， 如 a b sin A ；b ． sin B ②已知三角形的随意两边与此中一边的对角能够求其余角的正弦值， 如 sin A a sin B ； sinC ． b （ 4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作 解三角形 ． 三、讲堂稳固 例1.在 ABC 中，已知 A 45 ， B 60 ， a 42 c m ，解三角形． 变式：在 ABC 中，已知 B 45 ， C 60 ， a 12cm ，解三角形．必修五数学解三角形知识点
【教育资料】人教版高中数学必修五第一章《解三角形的进一步讨论-解三角形中的一类倍角问题》教学设计学习
高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5
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