定积分
一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求
1．理解定积分的概念及其性质． 2．了解定积分的几何意义．
3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式． 4．掌握定积分的换元法和分部积分法．
5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法．
重点 定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法．
难点 变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法． （二）内容提要 1．曲边梯形
所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形． 2．定积分的概念与定积分的几何意义 （1）定积分的概念
设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，任取分点
b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ，
把区间],[b a 分成n 个小区间),2,1]([,1n i x x i i Λ=-，记为
{}i n
i i i i x n i x x x ?==-=?≤≤-11max ),,,2,1(λΛ，
再在每个小区间],[1i i x x -上，任取一点i ξ，取乘积i i x f ?)(ξ的和式，即
i
n
i i
x f ?∑=1
)(ξ．
如果0→λ时上述极限存在（即这个极限值与],[b a 的分割及点i ξ的取法均无关），则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上可积，并且称此极限值为函数)(x f 在],[b a 上的定积分，记
做
?
b
a
x x f d )(，即
?
∑=→λ?ξ=b a
n
i i i x f x x f 1
)(lim d )(，
其中)(x f 称为被积函数，x x f d )(称为被积表达式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，a 与b 分别称为积分下限与积分上限，符号?
b
a
x x f d )(读做函数)(x f 从a 到b 的定
积分．
关于定积分定义的说明：
①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如
?
?
=2
/π0
2
/π0
d sin d sin t t x x ，一般地有
?
b
a
x x f d )(=?b
a
t t f d )(．
②定积分的存在定理：如果)(x f 在闭区间],[b a 上连续或只有有限个第一类间断点，则)(x f 在],[b a 上可积．
（2）定积分的几何意义 设)(x f 在],[b a 上的定积分为
?
b
a
x x f d )(，其积分值等于曲线)(x f y =、直线
b x a x ==,和0=y 所围成的在x 轴上方部分与下方部分面积的代数和．
3．定积分的性质
（1）积分对函数的可加性，即
?
??±=±b
a
b a
b
a
x x g x x f x x g x f d )(d )(]d )()([,
可推广到有限项的情况，即
???±±=±±±b
a
b a
b
a
n n x x f x x f x x f x f
x f d )(d )(d )]()()([12
1
ΛΛ．
（2）积分对函数的齐次性，即
?
?=b
a
b
a
k x x f k x x kf )( d )(d )(为常数．
（3）如果在区间],[b a 上1)(≡x f ，则
?
-=b a
a b x d 1．
（4）（积分对区间的可加性）如果b c a <<，则
?
??+=b
a
c a
b
c
x x f x x f x x f d )(d )(d )(．
注意：对于c b a ,,三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有
???+=b
a
c a
b
c
x x f x x f x x f d )(d )(d )(．
（5）（积分的比较性质）如果在区间],[b a 上有)()(x g x f ≤，则
?
?≤b a
b
a
x x g x x f d )(d )(．
（6）（积分的估值性质）设M 与m 分别是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值与最小值，则
)(d )()(a b M x x f a b m b
a
-≤≤-?．
（7）（积分中值定理） 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在区间],[b a 上至少存在一点ξ，使得
?
-ξ=b
a
a b f x x f ))((d )(．
4．变上限的定积分 （1）变上限的定积分
当x 在],[b a 上变动时，对应于每一个x 值，积分
?
x
a
t t f d )(就有一个确定的值，
?
x
a
t t f d )(因此是变上限的一个函数，记作
?≤≤=x
a
b x a t t f x )( d )()(Φ，
称函数)(x Φ为变上限的定积分． （2）变上限的定积分的导数
如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则变上限定积分?
=
x
a
t t f x d )()(Φ在闭区间
],[b a 上可导，并且它的导数等于被积函数，即
?≤≤=='=x
a b x a x f t t f x
x x )( )(d )(d d )(d d ΦΦ． 5．无穷区间上的广义积分
设函数)(x f 在),[+∞a 上连续，任取实数a b >，把极限?
+∞
→b
a
b x x f d )(lim 称为函数)
(x f 在无穷区间上的广义积分，记做
??
∞
+∞→=b
a
a
b x x f x x f d )(lim d )(，
若极限存在，则称广义积分?
∞
+a
x x f d )(收敛；
若极限不存在，则称广义积分?∞
+a
x
x f d )(发散．
类似地，可定义函数)(x f 在(]b ,∞-上的广义积分为
??∞
--∞→=b
a
b
a x x f x x f d )(lim d )(．
函数)(x f 在区间),(+∞-∞上的广义积分为
?
?
?
∞
+∞
-∞
-∞
++=c
c
x x f x x f x x f d )(d )(d )(，
其中c 为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分?
∞+∞
-x x f d )(才是收敛的；
否则广义积分
?
+∞
∞
-x x f d )(是发散的．
6．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，如果)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，则
)()()(d )(a F b F x F x x f b
a
b
a -==?
，
以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式． 7．定积分的计算 （1）定积分的换元法
设函数)(x f 在],[b a 上连续，令)(t x ?=，则有
?
?
'=b a
a
t t t f t x x
x f d )()]([)
(d )(β
???，
其中函数应满足以下三个条件： ①b a ==)(,)(β?α?；
②)(t ?在],[βα上单值且有连续导数；
③当t 在],[βα上变化时，对应)(t x ?=值在],[b a 上变化．
上述公式称为定积分换元公式．在应用换元)(t x ?=公式时要特别注意：用变换把原来的积分变量x 换为新变量t 时，原积分限也要相应换成新变量t 的积分限，也就是说，换元
的同时也要换限．原上限对应新上限，原下限对应新下限．
（2）定积分的分部积分公式
设函数)(),(x v x u 在区间],[b a 上均有连续导数，则
??-=b
a
b
a
b a
u v uv v u d )
(d ．
以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数．
（3）偶函数与奇函数在对称区间上的定积分 设函数)(x f 在关于原点对称区间],[a a -上连续，则 ①当)(x f 为偶函数时，??-=a
a a
x x f x x f 0
d )(2d )(，
②当)(x f 为奇函数时，
?
-=a
a
x x f 0d )(．
利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计算带来方便． 二、主要解题方法
1．变上限的定积分对上限的求导方法 例 1 已知 ?+=
t t x x
x F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．
解 ?
+=x x t t x F sin 2
d 1)(=?
+c x t t 2
d 1+?
+x
c
t t sin d 1
=?
+-
2
d 1x c
t t ?
++x c
t t sin d 1，
)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1?+
=++-212x x x x cos sin 1?+．
小结 如果定积分上限是x 的函数，那么利用复合函数求导公式对上限求导；如果定积分的下限是x 的函数，那么将定积分的下限变为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；如果复合函数的上限、下限都是x 的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是x 的函数，另一个定积分的下限也是x 的函数，都可以化为变上限的定积分来求导．
2． 利用换元积分法计算定积分的方法
例2 计算 （1）
?+
-4
d 11x x
x
， （2）?4π0
4d tan sec x x x ．
解 （1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限． 令 x t =
，x 2t = ，t t x d 2d = ，
当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是
?+-4
0d 11x x x
=?+-2
0d 211t t t t =?+--20d ]14
24[t t
t [
]
.
3ln 440
2
1ln 442
-=+--=t t t
（2）
?
4π0
4
d tan sec x x x =?4π0
3)
(sec d sec x x
4
3411sec 414π
04=-==x ．
小结 用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得关于新变量的原函数后，不必回代，
直接将新的积分上下限代入计算就可以了．如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计算就可以得出结果．
3． 利用分部积分法计算定积分的方法 分部积分公式为
??
-=b
a
b
a b a
u v uv v u d d .
例3 计算（1）
?
1
d arctan x x ， （2）
x x x d ln 2e e
1
?
．
解（1）
?
1
d arctan x x =10
arctan x x
?
+-1
02
d 1x x x
=
102)1ln(21
4πx +- =2ln 2
1
4-π ． （2） 由于在[1,e
1]上0ln ≤x ；在[2
e ,1]上0ln ≥x ，所以
x x x d ln 2e e
1?
=
x x x d )ln (1e
1?
-+
x x x d ln 2
e 1
?
=)2(d ln 2
1
e
1x x ?-+
)2
d(ln 2
e 1
2
x x ?
=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22
-4
2x ]2e 1
=
41-（412e 1+212e 1）+（4
e -
414e +41） =21-432
e 1+4
34e ． 小结 被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注意正负号，有时需要分段进行积分.
4． 广义积分的计算方法
例4 判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)
?
∞++0
22d )
1(x x x ， (2)x x d )2(1
302?- ． 解 (1) 因为积分区间为无穷区间，所以
原式=+∞→b lim ?+b
x x x 022d )1(=+∞→b lim ?++b x x 02
22)1()1(d 21=b
b x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[
lim 2
++-+∞
→b b =2
1， 故所给广义积分收敛，且其值为2
1． (2) 因为 2→x 时，
∞→-2
)
2(1
x ，所以2=x 为间断点． 原式=?
-→-+
1120
20
)
2(d lim εεx x +?+→-+322022)2(d lim εεx x =11200
]21[
lim εε-→--+x +3
2022]21[lim εε+→--+x
=]211
[
lim 10
1-+→εε+]1
1[lim 202εε+-+→=∞，
故广义积分发散．
小结 由上例可见，对于积分区间是有限的积分，首先要判断是定积分（称常义积分）
还是被积函数有无穷间断点的广义积分．否则会出现错误的结果．如上例
?-3
02)2(d x x =3
2
1
--x =211-
-=2
3
-错误结果． 三、学法建议
1．本章的重点是定积分的概念及几何意义．牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元积分法
与分部积分法．
2．学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思想分析问题解决问题的方法．
3．要深刻理解微积分基本定理：牛顿–莱布尼茨公式。微积分基本定理，一方面揭示了定积分与微分的互逆性质；另一方面它又是联系定积分与原函数（不定积分）之间的一条纽带．
4．计算定积分的着眼点是算出数值，因此我们除了应用牛顿–莱布尼茨公式及积分方法（换元法、分部积分法）计算定积分以外，还要尽量利用定积分的几何意义、被积函数的奇偶性（对称区间上的定积分）以及递推公式?
2π
d sin x x n
=?2π0
d cos x x n 的已有结果来算出
数值．
5．应用牛顿–莱布尼茨公式计算有限区间定积分时，应注意不要忽略了被积函数在积分区间上连续或有第一类间断点的条件，否则会出现错误的结果．
定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
《定积分》教学设计与反思 学习目标 1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分． 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法． 教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分． 教学难点：了解微积分基本定理的含义． 一、自主学习： 1．定积分的定义：， 2．定积分记号： 思想与步骤 几何意义． 3．用微积分基本定理求定积分 二、新知探究 新知1：微积分基本定理： 背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)（）， 则物体在时间间隔内经过的位移记为，则 一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移= 另一方面：通过位移函数S（t）在的图像看这段位移还可以表示为 探究问题2： 位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为 上述两个方面中所得的位移可表达为 上面的过程给了我们启示 上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。 定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。 例1．计算下列定积分： 新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分： 若求 新知3：用定积分求平面图形的面积 1、计算函数在区间的积分 2、计算函数在区间的积分 3、求与在区间围成的图形的面积 通过此题的计算你发现了什么？ 教学反思 本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而是借用学生已有的知识经验和生活实际，有效地理解了微积分的基本定理，具体反思如下： 1、改变定理的表述形式，丰富信息的呈现方式。 根据高中学生的认知特点，我在教学过程中，出示例题、习题时，呈现形式力求多样、新颖，让学生多种感官一起参与，以吸引学生的注意力，培养对数学的兴趣。本课的教学中，我大胆地改变了教材中实例分析顺序，重组和创设了这样一个情境，从而引入速度关于时间的定积分背景，即切合学生的生活实际，又让学生发现了定理的实际意义，理解了定理的本质，激发了学生学习的兴趣。并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。 2、突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力 《数学课程标准》中指出，要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念，例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通过自己的探究，运用数学的思维方式解决问题，又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题，，培养了学生的应用意识。
教什么：文本的教学解读 ──在中学语文“文本解读”研讨会上的讲话 上海师范大学王荣生 认识语文教学的问题，应该树立这样一个原则：语文教师在课堂教学中出现的集团性的问题乃至错误，一定不是教师个体的素质问题，一定是语文课程研制、语文教材编制上的问题乃至错误。换句话说，一定是我们的语文教师在专业知识上出现了某种偏差或失误。改善语文教学，关键是语文课程的改革、语文教材的变革、语文教师的专业知识发展。 目前语文教学中存在的教学内容不适当、教学方法不对路等问题，症结在以“教”的活动为基点。也就是说，语文教师在备课的时候，常规的思路是“我就是要教这个”，“我就是要这样教”。一切都从“教”的角度考虑，而忽视了“学生需要学什么”，“学生怎么学才好”。从“教”转移到“学”，把备课的基点转移到“学”的活动，这是新课程的本质性标志。 改善语文教学，重点在教学内容。就阅读教学来说，合适的教学内容，取决于教师的文本解读。文本的教学解读，一要依据体式，二要根据学情，这两个方面是紧密联系的。 一、文本的教学解读：依据体式“从稍微狭窄一点的意义上来说，阅读意味着它是对某一特定文本进行解码和解释的具体而自愿的行为。”阅读，是一种文体思维。具体的文本，有不同的体式。不同体式的文本，意味着阅读方法的不同，意味着所需要的阅读能力的不同。 比如：“亲爱的：你放在冰箱里的两颗葡萄，我把它吃了。”人们一般是按实用的取向，按便条获取信息的方法来理解。同样的文字，现在改为不同的排列：“亲爱的/你/放在冰箱里的/两颗葡萄/我/把它吃了。”很显然，人们自然会按诗歌的阅读方法，从中读出诗的味道。 阅读能力，大致可分为“阅读取向”与“阅读方法”这两个方面。阅读取向，是指哪一种阅读──什么样的阅读姿态？抱着什么阅读目的？怎样看待文本？阅读方法，可以理解为这种体式的文章要看什么地方？从文章的这些地方读出什么东西来？ 依据文本体式，是文本解读的基本通则。 好的阅读教学，往往基于合适的文本解读，即依据体式的文本解读。钱理群教授最近（《语文建设》2009年第4期）发表了一篇解读《走向虫子》的文章：《说什么“理”，如何“说理”》。文章开宗明义：“要读懂并讲清这篇文章，关键在要弄清其文体：这是一篇说理的散文，而不是描写、纪实的散文，更不是抒情的散文。”因此，《走向虫子》的文本解读，就应该从“说什么‘理’，如何‘说理’”来展开。 不那么好的阅读教学，其原因往往是不顾文本体式，采用了莫名其妙的解读方式、阅读方法。孙绍振教授（《直谏中学语文教学》第14页，南方日报出版社2003年版）曾批评某高考卷中的一道“诗歌鉴赏”题：该题要求学生指出对一首诗解释不恰当的一项，“标准答案”是：“‘金黄的稻束站在割过的秋天的田里’，涉及的时间，从全诗看，除了‘秋天’外，还隐指暮色降临以前。”孙教授指出：“显然，这是超越了时间和场景的具体性的，确定时间根本没有意义，暴露出命题者对诗歌理念上的外行：抒情诗与散文不同之处，就是它是高度概括的，超越具体时间的确定性，有利于它的深邃概括。”这里所说的“诗歌理念”，实际上就是我们所说的诗歌的阅读取向、阅读方法。 语文老师之所以大规模地、集团性地出现文本解读方面的问题，往往是因为“语文教师备课的习惯”采取了不适当的阅读取向，采用了不对路的阅读方法。比如有位老师教《哦，香雪》，重点是探讨这篇小说的主题：小说的主题是A──虚荣心，还是B──向往文明？请同学们从课文中寻找细节来证明自己的观点。其实，在阅读小说的时候，人们不是先确立某一个观点（即对小说主题的认识），然后再看有哪些细节可以支撑这一观点。而应该倒过来，先读作品中的某些细节，看这些细节有哪些理解，再从这些细节中去探寻作品的主题。换句话说，文学作品的阅读教学，立足点不是用材料（作品中的细节）来论证观点（我对小
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本 C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10 5210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
wxwbjd@https://www.doczj.com/doc/d18262478.html, 密码：ks999999 电话：移动小号69999 段圣玉 《文学文本解读》复习要点 1、文学文本的解读 (1) 2、文学文本的解读步骤 (3) 3、解读者必须具备的基本能力 (4) 4、试表述罗兰?巴特所说的文本与作品的差别 (5) 5、诗歌的含义 (6) 6、诗歌的特征 (7) 7、诗歌的意境 (12) 8、意象 (14) 9、意象迭加 (14) 10、语境 (15) 11、用典 (16) 12、电影艺术的特点 (17) 13、电影文学文本的特点 (19) 14、电影镜头的类别 (20) 15、电影拍摄的角度 (21) 1、文学文本的解读 文学文本的解读活动也就是文学接受或文学鉴赏活动，是一个反映、实现、改变、丰富文本的过程，也是一个融会了解读者的感受、体验、联想、想像，以及审美判断等多种心理活动机制的特殊的认识活动和心理活动过程。 解读者通过语言的阅读，准确把握这个语言组合体各要素之间的
关系和它们之间的相互作用，在文本语言符号的提示下，调动自己的艺术感受能力去感知文本形象，展开自己的联想和想像去进行形象的再造，从而尽可能完整、清晰地将作品形象、意境“复现”在自己的意识屏幕上，并对文本意义、意味做出解读。这也就是一个文本的反映和实现过程。 从读者的解读过程来看，读者对于文本的感受、体验和理解，一定是融会了自我生活经验、情感经验、欣赏经验的，读者的感受能力、艺术趣味以及已经具有的对于社会生活、对于人生以及对于艺术本身的认识，读者已经具备的关于文学文本的相关知识，都将被运用于他对某个文学文本的解读之中，从自己的理解出发对文本进行“补充”甚至“改造”，从而也会丰富文本的内涵。 而从文学文本本身来看，它也要求必须有读者的补充和丰富。法国当代著名文学理论家罗兰?巴尔特将文学文本区分为“可读的”和“可写的”两类，其实，优秀的文学作品，都具有“可写”性，即总是能够同时也需要调动读者的想像去加以补充、丰富。正如叶圣陶先生指出的：“文艺作品往往不是倾筐倒箧地说的，说出来的只是一部分罢了，还有一部分所谓言外之意、弦外之音，没有说出来，必须驱遣我们的想像，才能够领会它。”其实，文本中没有说出来的部分，常常反而是至关重要的部分，如果没有解读者的想像去加以补充、丰富，文本事实上无法在解读者那里获得真正的反映和实现。 美学的重要理论家伊塞尔认为，正是文本中那些需要读者“以揣度加以填充的地方”，把读者“牵涉到事件中，以提供未言部分的意
定积分的简单应用 一、教学目标 1、 知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、 过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、 情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 二、 教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题，正确计算。 三、教学过程 （一）创设问题情境： 复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 引入：．计算 dx x ? --2 2 2 4 2．计算 ?-22 sin π πdx x 思考：用定积分表示阴影部分面积 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为 （二）研究开发新结论 1计算由抛物线2 y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成图形的面积S. 2计算由抛物线2 y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成的图形的面积S. 总结解题步骤：1找到图形----画图得到曲边形. 2曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. dx x f dx x f s b a b a ??-=)()(21
3定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 4计算定积分. （三）巩固应用结论 例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得 到。 解：2 01y x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、 （1，1），面积 S=1 20 x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象； 2.求交点； 3.用定积分表示所求的面积； 4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =- 与曲线y =的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线y = 的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积． 解方程组4 y y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线y =8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 28 4 4 [(4)]x dx = +--? ? ? -1
§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O
从文本解读入手培养英语学科核心素养 深入研读语篇，把握教学的核心内容。在过去十几年的课程改革中，我们发现，教师 在很大程度上会忽略语篇的内涵和具体内容。大家更多关注的是教学的方式和方法，比如怎么培养读的策略？怎么培养听的策略？怎么在上下文中猜生词？这些都是形式上的教学，没有关注语篇学习的内在意义和价值。而且在教学中，已经出现了模式化和程式化的现象。由此可见，要实施学科核心素养的教学目标，教师要认真研读语篇，把握好教学的核心内容， 如果丢了教学的核心内容，就丢掉了学科育人的平台，放弃了学科育人的途径，也就无法落实对学生文化意识的培养。所以在这条建议里，我们强调语篇是英语教学的基础资源，语篇赋予语言学习以主题、情境和内容，并以其特有的内在的逻辑结构、文体特征和语言形式组织和呈现。 信息服务于主题意义的表达，所以任何一个好的语篇内部，都是有明确的主题语境和 具体的主题内容的，并且内容与内容之间都含有紧密的逻辑关联。每个语篇都有自己的文体 特征和语言形式，作者通过这些修辞方式来组织和呈现信息，最终的目的是为了服务于主题意 义的表达。因此，开展好教学的前提是要研读好语篇。 一、什么是文本解读？ 那么语篇研读是指什么？它具体指读者对语篇的主题、内容、文体结构、语言特点、 作者观点等做深入的解读和分析。 我们建议老师们在做文本解读时，主要回答三个具体问题。第一个要回答的问题是 wh at ，回答语篇的主题和内容是什么。第二个要回答的问题是 how ，即语篇具有什么样的文体特征和内容结构，语篇的编排、段落之间有什么关联，以及具有什么样的语言特点？进而 分析语篇的文体特征、内容结构以及语言特点是如何为主题呈现服务的。也就是说，作者为了有效并恰当地表达这样一个主题意义，选择了什么样的文体形式，语篇结构和修辞手段？第三个要回答的问题是 why ，即语篇的深层含义是什么？语篇所承载的价值取向是什么？ 或者说分析一下作者或说话人（不论是口语听力语篇还是书面语篇）传递了什么样的意图、 情感态度或者价值取向？
定积分在经济中的应用 一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分： ()()()b a R b R a R x dx '-=? （1） ()()()b a C b C a C x dx '-=? （2） ()()()b a L b L a L x dx '-=? （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润 ()I x 的改变量（增量） 。 解 首先求边际利润 ()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+ 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： 300 250 (300)(250)()R R R x dx '-=?300250(0.0825)x dx =-+?=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==? ?=250万元 300 300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+??=-100万元 二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称 2 121 ()t t f t dt t t -? 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。 例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：
N0.14《定积分的概念》导学案 目标展示： 1、掌握求曲边梯形面积的步骤。 2、了解定积分的定义和几何意义。 课程导读（阅读教材P38—P49后完成下列问题） 化很大 C ．f (x )的值不变化 D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 2．在求由x ＝a ，x ＝b (a 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为 （ ） A ．dx x ?101 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?1 0)1( D ．dx n x p ?10)( 4．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间????i －1n ，i n 上的值能够用下列哪个值近似代替( )． A ．f ????1n B ．f ????2n C ．f ??? ?i n D ．f (0) 5.求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t >0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( ) A.????i －1n ，i n B.????i n ，i ＋1n C.????t (i －1)n ，ti n D.????t (i －2)n ，t (i －1)n 6．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形 面积的近似值(取每个区间的右端点)是( ) A.119 B.111256 C.110270 D.2564 7．在等分区间的情况下，f (x )＝ 11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式准确的是( ) A.lim n →∞∑i ＝1n [1 1＋????i n 2·2n ] B.lim n →∞∑i ＝1n [11＋????2i n 2·2n ] C.lim n →∞∑i ＝1n ????11＋i 2·1n D.lim n →∞∑i ＝1n [11＋????i n 2·n ] 8．已知??13f (x )d x ＝56，则( ) A.??12f (x )d x ＝28 B.??2 3f (x )d x ＝28 C.??122f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 9．下列等式成立的是( ) A a b xdx b a -=? B. 5.0=?xdx b a
[学习目标] 1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分． 知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 1．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)． (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些________，对每个__________“以直代曲”，即用__________的面积近似代替__________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的________(如图②所示)． (3)求曲边梯形面积的步骤：①________，②________，③________，④________. 2．求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用________，________，________，________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s. 思考(1)如何计算下列两图形的面积？
(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？ 知识点二 定积分的概念 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院 题目 : 定积分在生活中的应用 年级专业: 11级市场营销班 学生姓名 : 孙天鹏 定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =） ， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在 区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。 1．5.3 定积分的概念 预习课本P45～47，思考并完成下列问题 (1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？ (2)定积分的计算有哪些性质？ [新知初探] 1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的概念：一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 中的阴影部分的面积)． [点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点． (1)当f (x )≥0时，??a b f (x )d x 等于由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与曲线y ＝f (x )围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义． (2)计算??a b f (x )d x 时，先明确积分区间[a ，b ]，从而确定曲边梯形的三条直边x ＝a ，x ＝b ，y ＝0，再明确被积函数f (x )，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S 而得到定积分的值： 当f (x )≥0时，??a b f (x )d x ＝S ；当f (x )<0时， ??a b f (x )d x ＝－S . 2．定积分的性质 (1)??a b kf (x )d x ＝k ??a b f (x )d x (k 为常数)． (2)??a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝??a b f 1(x )d x ±??a b f 2(x )d x . (3)??a b f (x )d x ＝??a c f (x )d x ＋??c b f (x )d x (其中a 定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计 教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) ( [对应学生用书P44] 一、定积分 1．定积分的概念： ??a b f (x )d x 叫函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分． 2．定积分的几何意义： 当f (x )≥0时，??a b f (x )d x 表示的是 y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质： (1)∫b a 1d x ＝b －a . (2)??a b kf (x )d x ＝k ??a b f (x )d x . (3)??a b [f (x )±g (x )]d x ＝??a b f (x )d x ±??a b g (x )d x . (4)??a b f (x )d x ＝??a c f (x )d x ＋??c b f (x )d x . 定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形． 二、微积分基本定理 1．如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则??a b f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )． 2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式． 三、定积分的简单应用 定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积． 定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围 成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。定积分在生活中的应用
人教A版选修2-2 1.5.3 定积分的概念 学案 (1)
定积分的简单应用
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第四章 章末小结 知识整合与阶段检测
知识讲解_定积分的简单应用(基础)
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