第16章轴对称图形培优
一．解答题（共33小题）
1．（2016?南昌校级自主招生）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．
（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．
（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；
（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．
（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．
【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；
（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，
∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，
∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，
∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，
∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，
∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；
（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，
∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，
在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC?tan30°=6×=2，
∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．
【点评】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．
2．（2016?于田县校级模拟）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；
（2）如图2，若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．
（2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，∴AE是△ABC是一条特异线．
（2）解：如图2中，
当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°，
如果AD=AB，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，
如果AD=DB，DC=CB，则ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意舍弃）．
如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则∠ABC=180°﹣20°﹣20°=140°
当CD为特异线时，不合题意．
∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，学会画出图形，借助于图形解决问题，学会利用方程去思考问题，属于中考创新题目．
4．（2013?汕尾模拟）如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE 满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】16 ：压轴题；26 ：开放型．
【分析】若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x，根据角之间的关系可求得∠1=x+∠C=∠2，即AD=AE，所以当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE．
【解答】解：当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE
证明：若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x，∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵∠2=∠CDE+∠C，∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠2=x+∠C，∠1+x=2x+∠B=2x+∠C
∴∠1=x+∠C=∠2，∴AD=AE．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的理解及运用．通过方程解题是正确解答本题的关键．
8．（2012?遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【考点】KK：等边三角形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KO：含30度角的直角三
角形．
【专题】16 ：压轴题；25 ：动点型．
【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【解答】解：（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，，∴△APE≌△BQF（AAS），
∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，
又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，
∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
12．（2012?饶平县校级模拟）已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．
（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°．
（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为AC=BD，∠APB的大小为α（直接写出结果，不证明）
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】（1）①根据已知先证明∠AOC=∠BOD，再由SAS证明△AOC≌△BOD，所以AC=BD．②由△AOC≌△BOD，可得∠OAC=∠OBD，再结合图形，利用角的和差，可得∠APB=60°．（2）由（1）小题的证明可知，AC=BD，∠APB=α．
【解答】解：②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，∴∠APB=60°；
（2）AC=BD，∠APB=α．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确运用等边三角形的性质是解题的关键．
13．（2012?香洲区校级二模）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D使BC边、AD边恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．
（1）请根据题意，利用尺规作图作出点F、H及折痕CE、AG；
（2）顺次连接G、F、E、H，试确定四边形GFEH的形状，并说明理由．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；N3：作图—复杂作图．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】（1）根据题中的步骤，直接作图即可；
（2）通过证明△ADG≌△CBE得出GH EF，继而可判断四边形GFEH的形状．
【解答】解：（1）如图所示：
．
（2）根据题意可知：GH⊥AC，EF⊥AC，∴EF∥GH，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD BC，∠D=∠B=90°，∴∠1+∠2=∠3+∠4，
由折叠可知，∠1=∠2，∠3=∠4，DG=GH，BE=EF，∴∠1=∠4，
∵在△ADG和△CBE中，，∴△ADG≌△CBE（ASA），∴DG=BE，
∴GH=EF，∴GH EF，∴四边形GFEH是平行四边形．
【点评】本题考查了翻折变换、平行四边形的判定及尺规作图的知识，解答本题的关键熟练掌握翻折变换的性质，全等三角形的判定定理及平行四边形的判定定理，难度一般．14．（2011?安徽模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．
（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）
【考点】KH：等腰三角形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】（1）因为D为BC的中点，还能推出DF∥BG，从而可知道DF是BG的中位线，从而可得解．
（2）作辅助线，延长FD到M点，使FM=BG，证明是矩形，和三角形全等就可以证明．
（3）可以得出BG=DE﹣DF．
【解答】解：（1）．∴DE+DF=BG．（2）∴BG=DE+DF．（3）BG=DE﹣DF．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等以及全等三角形的判定和性质定理等知识点．
15．（2011?房山区一模）已知：等边三角形ABC，如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
【考点】KK：等边三角形的性质；83：等式的性质；K6：三角形三边关系；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题．
【分析】AP=BP+PC，理由是延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论；
【解答】猜想：AP=BP+PC，
（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，∵∠BPC=120°，∴∠CPE=60°，又PE=PC，
∴△CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BCA=60°，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP=BE，∵BE=BP+PE，∴AP=BP+PC．
【点评】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．16．（2011?安徽模拟）在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE 交于点F，
（1）请你量一量∠BFD的度数，并证明你的结论；
（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，请画
图证明你的结论．
【考点】KK：等边三角形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°，这样可证明三角形全等，从而用角的等量代换可求出角为60°．
【解答】解：（1）∠BFD=60°
（2）∵∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠ACD=120°，
在△ABE和△ACD中，
△ABE≌△ACD，∴∠E=∠D，
，
∵∠EAF=∠CAD，∠CAD+∠D=60°，∴∠EAF+∠E=60°，∴∠BFD=60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，进行证明求解．17．（2011?黑龙江模拟）等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；
（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．
【考点】KK：等边三角形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】（1）如图1，根据△ADE与△ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△CAE≌△BAD，再根据全等三角形的性质可以证明题目的结论；
（2）如图2，根据（1）可知D的位置对△CAE≌△BAD没有影响，所以结论仍然成立，证明方法完全相同．
【解答】证明：（1）如图1，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．∴∠DAE﹣∠CAD=∠BAC﹣∠CAD．即∠CAE=∠BAD．在△CAE和△BAD中，∵，∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；∴CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；
（2）CE+CD=AB；
理由如下：如图2，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE．即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，∵，∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；∴CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质．等边三角形的三条边相等、等边三角形的三个内角相等．
18．（2011?安徽模拟）如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：
（1）AG=AD；
（2）DF=EF；
（3）S
△DGF =S
△ADG
+S
△ECF
．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KO：含30度角的直角三角形．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】（1）由等边△ABC ，DG ⊥AC ，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AG=AD ；
（2）首先过点D 作DH ∥BC 交AC 于点H ，易证得△ADH 是等边三角形，又由CE=DA ，可利用AAS 证得△DHF ≌△ECF ，继而可得DF=EF ；
（3）由△ABC 是等边三角形，DG ⊥AC ，可得AG=GH ，即可得S △ADG =S △HDG ，又由△DHF ≌△ECF ，即可证得S △DGF =S △ADG +S △ECF ．
【解答】证明：（2）过点D 作DH ∥BC 交AC 于点H ，
∴∠ADH=∠B ，∠AHD=∠ACB ，∠FDH=∠E ，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠A=60°，∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH 是等边三角形，∴DH=AD ，∵AD=CE ，∴DH=CE ，
在△DHF 和△ECF 中，，∴△DHF ≌△ECF （AAS ），∴DF=EF ；
（3）∵△ABC 是等边三角形，DG ⊥AC ，∴AG=GH ，∴S △ADG =S △HDG ，
∵△DHF ≌△ECF ，∴S △DHF =S △ECF ，∴S △DGF =S △DGH +S △DHF =S △ADG +S △ECF ．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
21．（2009?岳阳一模）小兵将一长方形纸片沿对角线对折，使C 点落在F 处，BC 边与AD 边交于点E ，如图所示，
（1）猜想BE 与ED 的关系，并证明你的结论．
（2）若S △ABE ：S △BDE =1：2，求∠DBC 的度数．
【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）．
【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题．
【分析】（1）BE=ED，由于长方形ABCD中利用平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，又∠CBD=∠EBD，由此得到∠ADB=∠EBD，最后利用等腰三角形的判定即可得到BE=ED；
（2）由于S
△ABE ：S
△BDE
=1：2，根据三角形的面积公式可以得到=，又利用（1）得到=，
然后利用三角函数即可得到∠ABE=30°，由此即可求解．【解答】解：（1）猜想：BE=ED．
（2）S
△ABE ：S
△BDE
=1：2，∴=，∴=∴∠ABE=30°，∴∠EBC=60°∴∠DBC=30°．
【点评】此题主要考查了折叠问题，同时也利用了矩形的性质和平行线的性质解决问题，有一定的综合性，解题的关键是会找折叠的隐含条件．
22．（2006?韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D 作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．
【考点】KF：角平分线的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【专题】152：几何综合题；16 ：压轴题．
【分析】（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．
（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED 中就能求出AD的长了．
【解答】（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴∠DEA=∠DFA=90°，又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，
∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．
（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．
由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．
26．（2000?内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题．
【分析】首先延长BD至F，使DF=BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB ≌△EDF，从而得出EC=DE．
【解答】证明：延长BD至F，使DF=BC，连接EF，
∵AE=BD，△ABC为等边三角形，∴BE=BF，∠B=60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F=60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC=ED．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助
线是解决问题的关键．
31．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=BC，点E在边BC上，△ADE为等边三角形．若CD=2．求AD的长．
【考点】KK：等边三角形的性质．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，设CE=x，EB=y，由勾股定理和等边三角形可求出x与y 的值．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，设CE=x，EB=y，
由题意可知：AB=BC=x+y，AF=x+y﹣2
在Rt△ABE与Rt△CDE中，由勾股定理可知：DE2=x2+4，AE2=（x+y）2+y2
又∵△ADE是等边三角形，∴x2+4=（x+y）2+y2，化简可得：xy+y2=2
在Rt△ADF中，∴AD2=（x+y﹣2）2+（x+y）2，
∵AD=AE，∴（x+y﹣2）2+（x+y）2=（x+y）2+y2化简可得：x+y﹣2=y，∴x=2，∴y+y2=2，
解得：y=1或y=﹣2（舍去），∴AB=3，EB=1，∴AE=AD=
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是利用勾股定理列出方程求出x与y的值，本题涉及等边三角形的性质，一元二次方程的解法等知识，题目较为综合．
A B M C N O 轴对称及平移培优试题 1.如图所示,右边的两个图形中,经过平移能得到左边的图形的是( ) D C B A 2.下列图形中对称轴的条数多于两条的是（ ） A ．等腰三角形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等边三角形 3.在平移过程中,对应线段( ) A.互相平行且相等; B.互相垂直且相等 C.互相平行(或在同一条直线上)且相等 4.如果将一图形沿北偏东30°的方向平移3厘米，再沿某方向平移3厘米，所得的图形与将原图形向正东方向平移3厘米所得的图形重合，则这一方向应为（ ） A ．北偏东60° B ．北偏东30° C ．南偏东60° D ．南偏东30° 5.下列图形经过平移后恰好可以与原图形组合成一个长方形的是（ ） A 、三角形 B 、正方形 C 、梯形 D 、都有可能 6.在图形平移的过程中，下列说法中错误的是（ ） A 、图形上任意点移动的方向相同 B 、图形上任意点移动的距离相同 C 、图形上可能存在不动的点 D 、图形上任意两点连线的长度不变 7.下列图形中,是轴对称图形的有__________个:①角;②线段;③等腰三角形;④扇形;⑤三角形;⑥正方形;⑦平行四边形;⑧五边形. A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 8.如图，∠AOB 内一点P ，P 1、P 2分别是P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2 = 5cm ，则ΔPMN 的周长是( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 9.如图，O 是六个正三角形的公共顶点，下列图形中可由△OBC 平移得到的是（ ） A ．△OCD B ．△OAB C ．△FAO D ．△OEF 10. 如图，在△ABC 中，BC=8,AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E.试求△ADE 的周长。 11.如图所示,平移△ABC 可得到△DEF,如果∠A=50°,∠C=60°,那么∠E=?____度,∠EDF=_______度,∠F=______度, ∠DOB=_______度. 12. 已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 O F E C B A D
轴对称图形解答题较难题 一、翻折变换题型 1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=?AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程． （ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长． （ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长． 二、特异三角形 1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线； （ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数． 5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到 △ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ． （ 1 ）求证： FD=FB ． （ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若 EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长． 三、点的运动变化题型 8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度
【精选】八年级轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB． 定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH． （2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】 定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可； （1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答； （2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答. 【详解】 解：定理证明： ∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°． 又∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PAC≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PB． 定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．
苏科版八上第二章《轴对称图形》解答题培优训练（一） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、解答题 1.如图，已知∠AOB内有一点P，分别在OA、OB上找点Q、 R，使△PQR的周长最小。 2.如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上， 且AD=AE，连接DE． (1)如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数； (2)如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数； (3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关 系，并说明理由．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点 N． (1)如图(1)，若∠A=40°，则∠NMB=______度； (2)如图(2)，若∠A=70°，则∠NMB=______度； (3)如图(3)，若∠A=120，则∠NMB=______度； (4)由(1)(2)(3)问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明． 4.如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE=CD，延长BC至点F， 使CF=CD，连接BD． (1)如图1，当D、E两点重合时，求证：BD=DF； (2)延长BD与EF交于点G． ①如图2，求证：∠BGE=60°； ②如图3，连接BE，CG.若∠EBD=30°，BG=4，则△BCG的面积为______．
5.△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等 边△DEF，连接CF. (1)如图1，当点D与点B重合时，求证： (2)如图2，当点D运动到如图2的位置时，猜想CE、CF、CD之间的数量关系，并 说明理由； (3)如图3，当点D在BC延长线上时，直接写出CE、CF、CD之间的数量关系，不证 明．
生活中的轴对称培优习题 选择题 1．观察下列中国传统工艺品的花纹，其中的轴对称图形是（）. A B C D 2．已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线1上；③若A、A′是对应点，?则直线1垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（） A．①③④B．③④C．①②D．①②③④ 3．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30 ）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（） A、1 B、2 C、3 D、4 4.如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（） A.在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处 C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在A、B两内角平分线的交点处 5．如图1，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是（） 6．一只小狗在平面镜前欣赏自己的全身像（如图2），此时，它所看到的全身像是（） 图2 7.下列说法中错误的是（） A成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B关于某条直线对称的两个图形全等C全等的三角形一定关于某条直线对称 D若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 8．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（） A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm 9．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A．40°B．50°C．60°D．30° 10．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（） A．100°B．100°或40°C．40°D．80° 11.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（） C B A
轴对称测试卷培优竞赛卷 测试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．如图10-23几个图形中，对称轴的总条数是（ ） 2．快过年了，小华帮奶奶剪了一个漂亮的窗花，她用一线正方形的红纸沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，又得到了等腰直角三角形，接着在此三角形上剪出一些花纹，然后打开折叠的纸，并将它铺平，则小华剪出的图案中对称轴至少有（ ） A 、0条 B 、1条 C 、2条 D|4条 3．一个圆有无数条对称轴，若把三个大小完全一样的圆任意组合，可构成许多轴对称图形，在这些图形中，对称轴最多的是（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、无数条 4．一个等腰三角形的一边长是6，一个外角是0 120，则它的周长为（ ） A 、12 B 、15 C 、16 D 、18 5．如图10-24，AC ⊥BC ，AB=BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，则图中共有等腰三角形（ ） A 、1个 B 、2个 C 、4个 D 、5个 6．一个三角形的三边中垂线的交点在三角形外部，该三角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、等腰直角三角形 7．底边长和腰长不等和等腰三角形的角平分线、中线和高共有（ ） A 、3条 B 、5条 C 、7条 D 、9条 8．如图10-25，ABC 中，AB=AC=BD ，那么1∠与2∠之间的关系满足（ ） A 、122∠=∠ B 、0 212180∠+∠= C 、0 132180∠+∠= D 、0 312180∠-∠= 二、填空题（9小题每空1分，10-13每空2分，共19分） 9．对称美不仅体现在图形中，也体现在某些数字中， （1）2 2 2 2 11,11121,11112321,11111234321, ====请根据此规律填空： 211111______;12345678987654321________.==
八年级数学轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB． 定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH． （2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】 定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可； （1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答； （2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答. 【详解】 解：定理证明： ∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°． 又∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PAC≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PB． 定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．
遵义数学轴对称解答题单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB． 定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH． （2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】 定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可； （1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答； （2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答. 【详解】 解：定理证明： ∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°． 又∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PAC≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PB． 定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．
Decent School (HK) 培优练习卷轴对称七年级下册第五章__) 分选择题(分小题3一. ）9cm1．等腰三角形有两条边长为4cm和，则该三角形的周长是（18cm D．C．17cm 或22cm A．17cm B．22cm ）2.下列说法中错误的是（ A成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B关于某条直线对称的两 个图形全等C全等的三角形一定关于某条直线对称D若两个图形沿某条直线对折后能够完全 重合，我们称两个图形成轴对称现决定在三个小区之间修建一个购物超，B、C三个居民小区的位置成三角形，3.如图所示，有A、）使超市到三个小区中心的距离相等，则超市应建在（、BC两边中线的交点处 B.在ACA.在AC、BC两边高线的交点处 、B两内角平分线的交点处 D.在AC.在AC、BC两边垂直平分线的交点处 E D A A A A 3 2 A′P1 1 2 B B C F C B C D D E B ′B C 题7第题6第3第题题4第 AB，∥分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD、4.如图，在△ABC中BC=5cm，BPCP). PDE，则△的周长是( PE∥ACD 7 cm A. 4cm B 5 cm C 6 cm BC的AOAB=AC5.已知：在△ABC中，，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线与底边）关系为（ BC A．平行 B.AO垂直且平分D.AO垂直但不平分BC C.斜交）∠C，∠1=3，则∠1与∠2之间的关系是（6．如图，∠B=∠°1+2∠∠2=180D∠1B ．3∠﹣∠2=180°C．∠1+32=180°．2 A．∠1=2∠ B落在边上的点点沿7．如图，把一张矩形纸片ABCDEF折叠后, A落在CDA′处, 点). °，则图中∠点B′处，若∠2=401的度数为( °．130C．°D140°A．115°B．120 PA′B′所在的直线交于点，ABA′B′8. 已知两条互不平行的线段AB和关于直线l对称，和B′l AB=A′B′下面四个结论：①；②点P在直线上；③若B、是对应点，则PB=PB′；）AA′垂直平分线段，其中正确的是（l A′④若A、是对应点，则直线．①②③④ D C ．③
轴对称培优（一） 一．格点问题： 例1.如图，A、B在格点位置上，若要在所给网格中再找一个格点，使它与点A、B连成的三角形是轴对称图形，图中满足这样条件的格点共有（）个． A．7 B．8 C．9 D．10 例2如图，在正方形格纸中，有一个以格点为顶点的三角形，请在格纸中找出所有与它轴对称的格点三角形,这样的三角形共有_________个,请在下面所给的格纸中一一画出.(所给的六个格纸未必全用). 变式1：在3×3的正方形格点中,有格点△ABC和△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称请在 下面的备用图中画4种这样的△DEF。 变式2：如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在 田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不 包含△ABC本身）共有（ 例3.如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形． 变式1：在4×4的方格中有五个同样大小的正方形按图示位置摆放，移动其中一个正方形到空白方格 中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有【▲ 】个. A．8 B．10 C．12 D．13 变式2：如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一 个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有____ 变式3：如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑 一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_ ▲种． 变式4：如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴 对称图形。 二．剪纸问题： 例4小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )
D C B A A B C N O 第5题 初二第二章. 轴对称图形培优卷济宁学院附属中学李涛1．将一张等腰三角形纸片按图①所示的方式对折，再按图②所示的虚线剪去一个小三角形， 将余下纸片展开得到的图案是( ) 2．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影 部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球 可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是（） A．1号袋B．2号袋 C．3号袋D．4号袋 3．如图，已知O是三角形ABC内一点，OA OB OC ==，∠ABC70 ABC ADC ∠=∠=°， 则∠AOC的大小为（）A．70°B．110°C．140°D．150° 4. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=360,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,相交于点F,则图中 等腰三角形共有（） A.7个 B.8个 C.6个 D.9个5．如图，已知△ABC中，AC + BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交 AC于N、BC于M，则△CMN的周长为（）A．12 B．24 C．36 D．不确定 6．如图，等边△ABC中，AD是BC边上的高且AD=4，E是AB边的中点，点P在AD上 运动，则PB+PE的最小值是 7.如图:有一张长方形纸片ABCD,AB=3,AD=1.8,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为 AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠,AE 与BC相交于点F,则CF 的长为__________. 8.用两个圆：○、○，两个三角形：△、△，和两条线段：、，拼出至少两个对称图形 （画在以下方框内）。 ② ① 4号袋3号袋 1 B C O A A B C D E F C A D B C A D B C E A C F E D B
3.如图2- 2, A ABC 中，AB = AC , AB 的垂直平分线交 AC 于P 点. (1)若/ A = 35° 求/ BPC ； ( 2)若 AB = 5 cm , BC = 3 cm ,求 A PBC 的周长. 4.如图，AD 为/ BAC 的平分线，DE 丄AB 于E , DF 丄AC 于F ，那么点E 、F 是否 关于AD 对 称？若对称，请说明理由. 【主要知识要点】 1有关概念：轴对称，轴对称图形、对称轴、对称点、线段的垂直平分线、等腰三角形、等边三角形； 2、有关结论和定理：轴对称性质；线段垂直平分线的性质与判定；关于坐标轴对称的点的特征，等腰三 角形的性质和判定；等边三角形的性质和判定。 3、作图要求：会作轴对称图形，会找对称轴；会作线段的垂直平分线，会作等腰三角形、等边三角形。 4、会解决距离最短冋题。 【主要思想方法】1、轴对称变换；2、转化的数学思想；3、分类讨论的思想；4、数形结合的思想; 【典例解析】 1 ?将一个正方形纸片依次按左图 a , b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪，成图 d 样式，将纸展 开铺 平，所得到的图形是右图中的 （ ） 2 ?如图，将矩形纸片 ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使 点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使 点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片收展平，那么/ AFE 的度数为 ___________
5.如图，从BC中，点A的坐标为(0, 1)，点C的坐标为(4, 3), 点B的坐标为 (3, 1),如果要使A ABD与从BC全等，画出从BD , 并求点D的坐标. 6、如图8，在正方形网格上有一个△ ABC. (1)作厶ABC关于直线MN的对称图形(不写作法)； (2)若网格上的最小正方形的边长为1,求厶 ABC的面积. 7、已知：如图3 —13,点M在锐角/ AOB的内部，在0A边上求作一点 P,在 0B边上求作一点Q,使得A PMQ的周长最小； &已知△ ABC中，/ C=90 °沿过B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合，如图9所示. (1)要使D恰为AB的中点，还应添加一个什么条件？(请写出一个你认为正确的添加条件) (2)将(1)中的添加条件作为题目的补充条件，试说明其能使D为AB中点的理由. 解：(1)添加条件： ________ (2)说明：
第二章轴对称图形培优测试卷 满分100分考试时间90分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1.下列手机屏幕解锁图形案是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 2.有下列说法：①等腰三角形的底角一定是锐角；②等腰三角形的内角平分线与此角所对边上的高重合；③顶角相等的两个等腰三角形的面积相等；④等腰三角形的一边不可能是另一边的两倍。其中正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，则∠A度数为() A. 36° B. 54° C. 72° D. 30° 4.如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=43°，则∠P的度数为（）． A. 94° B. 47° C.86° D. 105° 5.如图是55?的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的项点确定一点C，连接AC和BC，使ABC ?是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是() A．4B．5C．6D．7 （第3题图）（第4题图）（第5题图）（第7题图） 6.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（）cm． A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）
A ．5个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 8.如图，在ABC ?中，90BAC ∠=?，AD 是高，BE 是中线，CF 是角 平分线，CF 交AD 于点G ．交BE 于点H ，①若6AB =，8AC =， 则12ABE S ?=；②AFG AGF ∠=∠；③点H 为BE 的中点； ④2FAG BCF ∠=∠.以上说法正确的是( ) A ．①②③④ B ．①②④ C ．②③ D ．①③ 二、填空题（每小题3分，共30分） 9.如图，△ABC 中，∠C =900，DE 是AB 的垂直平分线，且∠BAD ：∠CAD =4：1，则∠B ＝_______． 10.如图，已知△ABC 的周长是18，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=2，则△ABC 的面积是 ． 11.如图，∠AOB =30°，点P 在∠AOB 的内部，点C ，D 分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，连接CD 交OA 、OB 分别于点E 、F ；若△PEF 的周长的为10，则线段OP =_____． 12.如图，在ΔABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E,AF ⊥BC 于点F,BE,AF 交于点P ，若AB =9,PF =3,则ΔABP 的面积是_______． （第9题图） （第10题图） （第11题图） （第12题图） 13.如图，在ABC ?中，AB AC =，120A ∠=?，15BC cm =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为 cm ．
第一节 轴对称与轴对称图形 一、课标导航 二、核心纲要 1.线段的垂直平分线（中垂线） (1)定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线． (2)性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． (3)判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． (4)画法：分别以线段AB 两个端点为圆心，大于AB 2 1长为半径画弧，两弧交于两点C 、D ，作直线CD ，则直线CD 是线段AB 的垂直平分线（如右图所示）． 2．轴对称 (1)轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线是对称轴． 注：①轴对称图形指的是一个图形，它被对称轴分成的两部分互相重合； ②一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条； ③对称轴是一条直线． (2)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． (3)轴对称、轴对称图形的性质 ①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； 注：轴对称图形一定是全等形，全等的图形不一定成轴对称． (4)轴对称作图 ①画图形的对称轴：找出轴对称图形的任意一组对称点，连接对称点，得到一条线段，作这条线段能垂直平分线即可． ②画某点关于某直线的对称点 过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，在这条直线的另一侧从垂足出发在垂线上截取与已知点到垂足的距离相等的线段，截点就是这点关于该直线的对称点． ③画已知图形关于某直线的对称图形 画出图形的某些特殊点关于这条直线的对称点，把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形． (5)图形对称轴的作法：要作两个图形的对称轴，只要找到这两个图形的一对对应点，然后连接它们，
2018年旋转培优练习卷 一、选择题： 1、观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、在直角坐标系中，点（﹣2，1）关于原点的对称点是（） A.（﹣1，2） B.（1，2） C.（﹣2，﹣1） D.（2，﹣1） 3、将正六边形绕其对称中心旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是（） A.120° B.60° C.45° D.30° 4、在平面直角坐标系中，把点P(－5，3)向右平移8个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( ) A.(3，-3) B.(-3，3) C.(3，3)或(-3，-3) D.(3,－3)或(-3，3) 5、从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（） A.20° B.26° C.30° D.36° 6、如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1=70°.若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转（） A.20° B.30° C.50° D.70° 7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C 的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）
A.70° B.80° C.60° D.50° 8、如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（） A.50° B.60° C.70° D.80° 9、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 10、如图，已知在□ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为( ) A.130° B.150° C.160° D.170° 11、如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：① AE=CF；②△EFP是等腰直角三角形；③ S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF 在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），BE＋CF=EF，上述结论中始终正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
...... 轴对称 知识要点 一、轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称。 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各 点。 二、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形； 轴对称图形是指一个图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称。 联系： 1 、都是折叠重合 2 、如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 三、线段的垂直平分线 1、经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。 2、性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （证明时必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合。 四、用坐标表示轴对称
1 《图形的轴对称》提高训练题 一、填空题 1．角是轴对称图形，其对称轴是________________________． 2．线段是轴对称图形，它有_______条对称轴． 3．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=_______ _． 4．点M （－2，1）关于x 轴对称点N 的坐标是_____________． 5．等腰三角形的周长为30cm ，一边长是12cm ，则另两边的长分别 是_________________． 6．如图，在△ABC 中，AB =AC =14cm ，边AB 的中垂线交AC 于D ， 且△BCD 的周长为24cm ，则BC =__________． 7．在△ABC 中，AB =AC =10cm ，∠A =60°，则BC =________． 8．已知A （-1，-2）和B （1，3），将点A 向______平移________ 个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称． 9．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个内角分别是________________． 10．点（2，5）关于直线x =1的对称点的坐标为__________． 11．已知点A （x ，－4）与点B （3，y ）关于y 轴对称，那么x ＋y 的值为_______． 12．若3230a b -+-=，则P (－a,b)关于y 轴的对轴点P ′的坐标是______。 13．下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个．．与其他三个．．不同？请指出这个图形，并说明理由． 答：这个图形是： （写出序号即可），理由是 ． 二、选择题 1．下列图形中：①角，②正方形，③梯形，④圆，⑤菱形，⑥平行四边形，其中是轴对称图形的有 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2．下列图形中对称轴最多的是( ) A ．等腰三角形 B ．正方形 C ．圆 D ．线段 3．平面内点A (－1，2)和点B (－1，6)的对称轴是（ ） A 、x 轴 B 、y 轴 C 、直线y =4 D 、直线x =－1 4．如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．下列说法正确的是（ ）． A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形 B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴 E D C B A 第6题 l O D C B A
2020-2021学年浙教版八年级上册图形的轴对称与翻折专题培优 基础巩固 1.如图是一张长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使 点A落在A处，点D落在D，处.若∠1 = 40°，则∠BMC的度数为（）. A.135° B.120° C.100° D.110° 第1题第2题第3题 2.如图，△ABC的内部有一点P，且点D，E，F是点P分别以AB，BC，AC为对 称轴的对称点.若△ABC的内角∠BAC = 70°，∠ABC = 60°，∠ACB = 50°，则∠ADB + ∠BEC + ∠CFA = （）. A.180° B.270° C.360° D.480° 3.如图，在长方形ABCD中，M为CD的中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若 ∠AME = a，∠ABE = β，则α与β之间的数量关系为（）. A.a + 3β = 180° B.β - α = 20° C.α + β = 80° D.3β - 2α = 90° 4.如图，点D，E在△ABC边上，沿DE将△ADE翻折，点A的对应点为点A′， ∠A′EC = α，∠A′DB = β，且α < β，则∠A = _________ （用含a，β的式子表示）.（用含α，β的式子表示）. 第4题第5题 5.如图，设镜面L1和L2，是平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球A放在L1，L2之间，小球在镜L1中的像为A′，A′在镜L中的像为A″，若L1，L2的距离为7，
则AA″ = _________ . 6.生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程如图1～4所示（阴影 部分表示纸条的反面）:如果由信纸折成的长方形纸条（图1）长为26 cm，宽为x （cm），分别回答下列问题: （1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围.（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x 表示） 7.（1）如图1，直线同侧有两点A，B，在直线上求一点C，使它到A，B两点的距 离之和最小（保留作图痕迹不写作法）. （2）知识拓展:如图2，点P在∠AOB内部，试在OA，OB上分别找出两点E，F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）. （3）解决问题: ①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）. ②若∠BAE = 125°，∠B = ∠E = 90°，AB = BC，AE = DE，∠AMN + ∠ANM的度数为 _________ .
优学中考数学培优卷（一） 满分：100分 考试时间：90分钟 第一部分（共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．在﹣2、+ 、﹣3、2、0、4、5、﹣1中，负数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．若两个非零的有理数a 、b ，满足：|a|=a ，|b|=﹣b ，a+b ＜0，则在数轴上表示数a 、b 的点正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．实数a 、b 满足 +4a 2 +4ab+b 2 =0，则b a 的值为（ ） A ．2 B ． C ．﹣2 D ．﹣ 4．已知x ﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y 的值是（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．6 D ．9 5．下列分式中，最简分式是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．若关于x 的方程x 2 +（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是（ ） A ．﹣ B ． C ．﹣或 D ．1 8．A ，B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为xkm/h ，则根据题意可列方程为（ ） A ．﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣ =1 D ． ﹣ =1 9．如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5° 10．一次函数y=ax+b 和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（ ） A ．第504个正方形的左下角 B ．第504个正方形的右下角 C ．第505个正方形的左上角 D ．第505个正方形的右下角 12．已知四边形ABCD 为矩形，延长CB 到E ，使CE=CA ，连接AE ，F 为AE 的中点，连接BF ，DF ，DF 交AB 于点G ，下列结论： （1）BF ⊥DF ； （2）S △BDG =S △ADF ； （3）EF 2 =FG ?FD ； （4）= 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第二部分（共64分） 二、填空题（每题3分，共12分） 学校 姓名 年级 密 封 线 内 不 要 答 题 密 封 线
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】 专题3.2画轴对称图形 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020春?永年区期末）点A关于y轴的对称点A1坐标是（﹣2，﹣1），则点A的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1） 2．（2020春?万州区期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3） 3．（2020?菏泽）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（） A．（0，﹣2）B．（0，2）C．（﹣6，2）D．（﹣6，﹣2） 4．（2020?雨花区校级一模）已知，点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2020的值为（） A．0B．1C．﹣1D．32020 5．（2020?汇川区三模）在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（） A．（4，4）B．（﹣2，﹣2）C．（2，4）D．（3，4） 6．（2019秋?越城区期末）点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（）A．关于直线x＝2对称B．关于直线y＝2对称 C．关于x轴对称D．关于y轴对称 7．（2019秋?郑州期末）蝴蝶标本可以近似地看做轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为（）