理论分析数值计算模型实验三种分析方法的特点和实
用性
理论分析的一般过程是：建立力学模型，用物理学基本定律推导流体力学数学方程，用数学方法求解方程，检验和解释求解结果。理论分析结果能揭示流动的内在规律，具有普遍适用性，但分析范围有限。
数值方法数值研究的一般过程是：对流体力学数学方程作简化和数值离散化，编制程序作数值计算，将计算结果与实验结果比较。
常用的方法有：有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法、谱分析法等。
计算的内容包括：飞机、汽车、河道、桥梁、涡轮机等流场计算;湍流、流动稳定性、非线性流动等数值模拟。大型工程计算软件已成为研究工程流动问题的有力武器。数值方法的优点是能计算理论分析方法无法求解的数学方程，比实验方法省时省钱，但毕竟是一种近似解方法，适用范围受数学模型的正确性和计算机的性能所限制。三种方法各有优缺点，我们应取长补短，互为补充。流体力学力学的研究不仅需要深厚的理论基础，而且需要很强的动手能力。学习流体力学应注意理论与实践结合，理论分析、实验研究和数值计算并重。
2数值计算模型和方法 2.1基本理论 实验测量、理论分析和数值模拟丄研究流体常用的三种方法。三种方法都有各自的优缺点。实验测量的结果具有直观性和正确性；理论研究具有普遍性，能够为其他的研究方法提供理论支持；而数值模拟是最先进的不受设备条件要求的研究方法。目前数值模拟的方法因其方便且受限制小而被大家广泛应用，但是数值结果也需要与实验数据进行对比，通过实验来验证模型的正确可行性。正确的模拟方法可以为我们研究的对象提供实验所观察不到的有价值的研究和预测。三种方法在研究中是相辅相成的。 目前数值计算的研究方法已经有了长足的发展，得到了广泛的应用。此种方法将需要研究的问题在虚拟的环境中进行计算，排除了时间、空间等各种因素的限制，我们可以对不同参数和工况进行取值，得到以下在实验中无法观察得到的数据，因此具有实验无法达到的优越性。在模拟计算中，只要建立合理的数学模型和物理模型，就能借助计算机就可以得到理想的结果。 对于流体换热或流动问题，都可以采用 CFD方法解决，CFD方法计算过程如下： （1）选择合理的数学模型来描述简化之后的实际问题，只有建立其合理的数学模型，才能对问题进行分析。 （2）选择合理的计算方法，建立描述数学模型的方程，选择合理的方法对计算区域进行合理的处理。同时选择合理的求解方法、设置边界条件、微分 方程的离散化方法以及坐标系的建立等等也是至关重要的。直接 关系着结果的正确与否。 （3）利用Gambit、ICEM等软件对计算区域进行网格划分。在FLUENT^对区域进行定义和参数的设定，这是模型改变最多的部分，也是CFD 中 最重要的部分。 （4）得到计算结果。可以利用FLUEN咱带的后处理软件对数据进行处理，结果可以通过图表或者散点图等形式表现出来，通过给出的结果分析各项参数的 变化情况。
《数值分析与科学计算概述》研究 第一章对象描述 一、数值分析与科学计算的概念 科学计算即数值计算，科学计算是指应用计算机处理科学研究和工程技术中所遇到的数学计算。在现代科学和工程技术中，经常会遇到大量复杂的数学计算问题，这些问题用一般的计算工具来解决非常困难，而用计算机来处理却非常容易。 科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的学科，发展迅速，它与理论研究和科学实验成为现代科学发展的三种主要手段，它们相辅相成又互相独立，在实际应用中导出的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型求其数值解，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为可以求出精确解的线性模型，但这样做往往不能满足近似程度的要求，因此使用数值方法直接求解做较少简化的模型，可以得到满足近似程度要求的结果，使科学计算发挥更大的作用。 自然科学规律通常用各种类型的数学方程式表达，科学计算的目的就是寻找这些方程式的数值解。这种计算涉及庞大的运算量，简单的计算工具难以胜任。在计算机出现之前，科学研究和工程设计主要依靠实验或试验提供数据，计算仅处于辅助地位。计算机的迅速发展，使越来越多的复杂计算成为可能。利用计算机进行科学计算带来了巨大的经济效益，同时也使科学技术本身发生了根本变化：传统的科学技术只包括理论和试验两个组成部分，使用计算机后，计算已成为同等重要的第三个组成部分。 数值分析也称计算方法，它与计算工具发展密切相关。是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。在电子计算机出现以前，计算工具只有算盘，算图，算表和手摇及电动计算机。计算方法只能计算规模较小的问题。 数值分析的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科。数
授课题目: 第一章引论 §1数值分析的研究对象（1学时） 教学目标: 使学生了解数值分析的研究对象、作用与特点、数值算法 教学重点：数值分析的研究对象、作用与特点 教学难点: 数值分析的研究对象 教学过程: 一、数值分析的研究对象、作用 数值分析——也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 主要研究：算法设计，有数学模型给出数值计算方法；上机实现，根据计算方法编制算法程序并计算结果 二、数值分析的作用： 重点研究数学问题的数值方法及其理论。 作用领域广，形成许多交叉学科。 科学计算与理论研究和科学实验是三种科学手段 最重要作用——计算模型数值解
三、数值分析的特点 面向计算机，根据计算机特点提供有效算法。 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求。 要有好的计算复杂性——时间和空间复杂性。 要有数值实验。证明其有效性。 练习： 思考： 作业: 教学反思:
授课题目: §2 数值计算的误差（1学时） 教学目标: 使学生掌握误差、有效数字及其关系、误差估计 教学重点：误差、有效数字及其关系、误差估计 教学难点: 误差估计 教学过程: 误差来源与分类 截断误差 例如，可微函数f(x)的泰勒(Taylor)多项式 则数值方法的截断误差是 舍入误差 例如，用3.14159代替，产生的误差 ●由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。 ●在用计算机做数值计算时，受计算机字长的限制产生的误差。 误差与有效数字 定义1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称
为近似值的绝对误差，简称误差。 通常准确值x 是未知的，因此误差e *也是未知的。若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即 则ε*叫做近似值的误差限 也可表示成 把近似值的误差e *与准确值x 的比值 称为近似值x *的相对误差，记作 它的绝对值上界叫做相对误差限, 记作 , 定义2 若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零数字共有n 位，就说x * 有n 位有效数字. 其中 是0到9中的一个数字，m 为整数，且 定理1设近似数x *表示为 x x e -=*****ε≤-=x x e *,***εε+≤≤-x x x . **ε±=x x x x x x e -=******* x x x x e e r -= =. ** * x r εε =
第一章 绪 论 本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题． § 引 言 计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。 由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括 (1)非线性方程的近似求解方法； (2)线性代数方程组的求解方法； (3)函数的插值近似和数据的拟合近似； (4)积分和微分的近似计算方法； (5)常微分方程初值问题的数值解法； (6)优化问题的近似解法；等等 从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关． 计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差． 我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差． 如 +++ =! 21 !111e 的计算是无穷过程，当用
第1章 汽车空气动力学概念：汽车空气动力学是研究汽车与空气运动之间相互作用规律以及气动力对汽车各性能影响的一门科学。 汽车空气动力学重要性：1、汽车空气动力特性是汽车的重要特性之一，它直接影响汽车的动力性、燃油经济性、操纵稳定性、舒适性和安全性；2、在确定汽车外形初步方案阶段，就需对汽车的空气动力性进行估计，在进行汽车造型设计和确定汽车的样式时，应当综合考虑美学造型和气学造型，在实验样车进行结构设计和试制之前，应先解决空气动力学特性问题，并在全尺寸模型上进行验证。否则很难，甚至不可能预言汽车的性能和一般道路特性。 汽车空气动力学研究对象：实验研究、理论分析、数值计算 三者关系：实验研究、理论分析、数值计算这三种计算方法各有利弊、相辅相成。实验研究是理论分析和数值计算的基础，并用来检验理论结果的正确性和可靠性，不论理论分析和数值计算发展的如何完善其作用都是不可替代的；理论分析能指导实验和数值计算，使它们更加富有成效，并且可以把部分实验结果推广到一整类没有做过实验的现象中去，它在大量的实验基础上，归纳和总结出响应的规律，同时通过理论自身的发展反过来指导实验，并为数值计算提供理论模型；数值计算可以弥补实验研究和理论分析的不足，这样相互作用，共同促进汽车空气动力学的发展。 汽车空气动力学研究内容：1、气动力及其对汽车性能影响；2、流场与表面压强；3、发动机和制动器的冷却特性；4、通风、采暖和制冷；5、汽车空气动力学专题研究。 汽车空气动力学发展阶段：一、速度的追求；二、汽车空气动力学的发展时期：1、基本型时期：（a原始型阶段；b基本型阶段）2、流行性时期（a长尾流线型阶段；b短尾流线型阶段）3、最优化时期（a细部最优化阶段；b整体最优化阶段） 汽车空气动力学发展趋势：1、气动造型与美学造型完美结合；2、强调车身整体曲面光顺平滑；3、以低阻形体开发的整体气动造型与低车身高度；4、空气动力学附加和装置与整体造型协调融合；5、车身表面无附件化；6、充分利用后出风口隔栅及发动机排放改善后尾流状况；7、楔形造型基础上的具有最佳弯曲线的贝壳型。 第2章 空气动力学分类 （1）按速度范围：高速空气动力学（超高声速Ma14-高超声速5-14超声速=1.4-5跨声速=0.8-1.4 亚声速0.4-0.8,-0.4）低速空气动力学 （2）按用途：飞行器空气动力学，工业空气动力学 （3）按研究方法：理论—实验—计算— 自由行程：一个气体分子一次碰撞到下次碰撞所走过的距离。 连续性假设：在连续介质模型的前提下，把介质（空气）看成连绵一片，没有空隙存在。 气流运动的数学描述方法 1拉格朗日（质点法）：研究各个别流体质点（即空气微团）在不同时刻其位置和有关物理参数的变化规律。着眼于气流微团。2欧拉法：研究被运动气流所充满的空间中每一个固定点上的气流微团的物理参数随时间的变化。着眼于空间点。 区别：拉格朗日法中xyz是同一气流微团的空间的位置坐标；欧拉法中xyz是空间点的坐标，不同瞬时，许多不同的气流微团流过这些点。拉格朗日研究各气流微团的运动规律，欧拉法研究气流的空间物理场。后者是汽车空气动力学感兴趣的，故多用欧拉法。 优缺点：欧拉法描写气流运动更优，因为利用欧拉变数所得到的是场，能广泛利用以研究的较为成熟的场论数学工具。另外，拉格朗日法加速度是二阶导数，运动方程是二阶偏微分方程组；而欧拉法中加速度是一阶导数，运动方程将是一阶偏微分方程组。 气流运动的分类
水力学的研究方法 研究水力学有三种最基本的方法，即理论分析、试验研究和数值计算。 一、理论分析 水力学是建立在古典力学的理论基础上,对液体运动进行理论分析。应用数理分析方法，引用古典力学的基本原理(如牛顿三定律、动量定理、动能定理等)，研究液体的运动及作用在液体上的力，来建立水流机械运动的基本规律，解释各种水流现象的成因和内在机理。 理论分析在建立液体运动的一般规律方面，已经比较成熟。但实际水流运动非常复杂，影响因素众多，还难以完全用理论分析的方法解决实际工程问题。 二、试验研究 试验研究的基本目的：一是检验理论分析成果的正确性；二是当有些水力学问题在理论上暂时还不能完全得到解决时，通过试验可以寻找到一些经验性的规律，以满足解决实际工程问题的需要。试验研究是水力学研究的一个极其重要的方法，也是对理论分析的补充。现阶段水力学的试验研究主要有三种方式。 1．原型观测 在野外或水利工程现场，对天然或工程中的水流运动现象直接进行观测，收集第一手资料，总结水流运动的基本规律，检验理论分析成果，为工程设计施工提供依据。 2．模型试验 由于实际水流运动比较复杂，现有的理论分析成果具有局限性，使有些实际工程的水力学问题不能得到可靠而满意的解答，这时需要在实验室内，依据水力相似理论，把实际工程按一定比例缩小为模型，在模型上模拟相应的实际水流运动，得出模型水流的规律性。然后再把模型试验成果，按照相似关系换算为原型的成果，以满足工程设计的需要。 这种模型试验的方法，可以检验工程设计的合理性，并为修改设计提供可靠的依据，在工程实践中得到广泛应用。 3．系统试验 野外观测经常受时间和其他自然条件的限制，难以按人们的要求去实现或预演各种水流现象，从而从大量观测资料中去总结水流运动的规律，这时可以在实验室内，小规模地造成某种水流运动，进行系统的实验观测，从中找出水流运动的规律。 三、数值计算 随着计算机技术的迅速发展，利用计算机进行数值计算求解基本方程，来指导和解决工程水力学问题，是一种快速、简便、节省投资的研究方法。所谓数值计算，是采用各种离散化方法（有限差分法、有限元法等），建立各种数值模型，通过计算机进行数值计算和数值实验，最终获得其数值解。近二三十年来，这一方法得到很大发展，已形成专门学科——计算流体力学。 我们必须注意到：数值计算需要通过理论分析来建立，数值计算的不少参数需要经过模型试验来提供，而理论分析和数值计算的成果也需要通过物理模型进行验证。这三种研究方法必须互相结合，互为补充，相辅相成，共同推动水力学学科的进一步发展。 习题 1-1液体在静止状态下是否存在粘滞性？为什么？
研究流体力学的三种方法 引言： 流体力学是研究流体运动及其力学性质的学科，广泛应用于工程、物理、地球科学等领域。在研究流体力学时，可以采用多种方法进行分析和求解。本文将介绍研究流体力学常用的三种方法：实验方法、数值模拟方法和理论分析方法。 一、实验方法 实验方法是研究流体力学中最直接的方法之一。通过设计和进行实验，我们可以观察流体在不同条件下的运动规律和力学特性。实验方法的优点是可以直接观察到流体现象，获得真实的实验数据。通过实验，我们可以验证理论模型的准确性，并提供实际工程设计的参考依据。 实验方法的具体步骤通常包括：确定研究目的和问题、设计实验方案、搭建实验装置、进行实验操作、记录实验数据、分析实验结果和总结结论等。在实验中，我们需要注意控制实验条件，如温度、压力、速度等，以保证实验的准确性和可重复性。 二、数值模拟方法 随着计算机技术的发展，数值模拟方法在流体力学研究中得到了广泛应用。数值模拟方法通过使用数学模型和计算机算法，对流体运动进行模拟和计算，从而得到流体场的相关信息。数值模拟方法的
优点是可以模拟各种复杂的流体现象，提供详细的流场数据。 数值模拟方法的过程一般包括：建立数学模型、离散化和网格生成、选择数值算法、进行计算和求解、分析和验证结果等。在数值模拟中，我们需要选择合适的数值方法和算法，合理设置边界条件和初始条件，以提高计算的准确性和稳定性。 三、理论分析方法 理论分析方法是研究流体力学的传统方法之一。通过应用物理学原理和数学方法，推导出描述流体运动的方程，进而求解和分析流体问题。理论分析方法的优点是可以从基本原理出发，深入理解流体力学的本质，并得到简洁的解析解。 理论分析方法的过程通常包括：建立流体力学方程、应用边界条件和初始条件、求解方程、得到解析解、分析解的物理意义和特性等。在理论分析中，我们需要运用数学方法和物理原理，进行推导和计算，以得到准确的解析解。 总结： 研究流体力学的三种方法：实验方法、数值模拟方法和理论分析方法，各有其特点和适用范围。实验方法可以直接观察和测量流体现象，验证理论模型的准确性；数值模拟方法可以模拟复杂的流体现象，提供详细的流场数据；理论分析方法可以从基本原理出发，深入理解流体力学的本质。在实际研究中，我们可以根据问题的具体
数据科学的理论和方法 在当今数字时代，数据量正在呈指数级增长，许多企业和组织都需要处理和分析大量的数据以获得商业价值。这就需要数据科学家。数据科学旨在提取和处理现实世界中的数据，并从中得出结论或提供有意义的见解。本文将介绍数据科学的理论和方法。 1. 数据科学的理论基础 数据科学基于许多领域的学科，包括数学、计算机科学和统计学。其中数学提供了线性代数、概率和微积分等基础理论，计算机科学提供了程序设计和开发的知识，而统计学则提供了表示数据和得出结论的技术。数据科学的理论基础包括数值计算、优化和机器学习。 数值计算是数据科学的重要组成部分，它涉及对数学模型进行计算以解决问题。例如，数据科学家可以使用数值计算方法来处理大型数据集，以提取有用的信息。在数值计算中，常用的算法包括插值、微分方程求解和矩阵分解等。 优化是一种数学方法，它涉及如何对模型进行最优化设计。在数据科学中，优化旨在找到能最大化或最小化模型结果的参数。一些优化算法包括梯度下降、牛顿法和求解线性规划问题等。 机器学习是数据科学最引人注目的领域之一，它可以让计算机系统自动学习如何从数据中提取模式。机器学习算法可以分为监
督和无监督两种类型。监督学习需要训练数据和预测变量之间的关系，而无监督学习则不需要先知的响应变量。例如，监督机器学习可以通过已知数据来训练预测模型，如图像分类、语音识别和自然语言处理等；而无监督学习可以使用聚类和降维方法来识别数据中的结构和模式。 2. 数据预处理 数据预处理是在对数据进行分析之前，对原始数据进行清理和转换的过程。这通常涉及到数据清洗、数据集成和数据转换等阶段。在数据清理过程中，数据科学家需要检测和解决数据质量问题，例如缺失值、异常值和离群值。数据集成是指将多个数据源合并成一个数据集，而数据转换则涉及将原始数据转换为可供分析使用的形式，例如对数字数据进行离散化或连续化。 3. 数据分析方法 数据分析包括描述性分析和推断性统计分析两个方面。描述性分析是对数据集的基本统计特征进行汇总和描述，例如平均值、标准差和频数等。推断性统计分析则是通过对样本数据进行检验和估计来推断总体的统计性质。 数据分析的方法包括决策树、逻辑回归和支持向量机等。决策树是一种机器学习方法，它使得数据科学家可以从数据中构建一个分类或回归模型。逻辑回归是一种用于建立分类模型的机器学
数值计算中的算法设计与理论分析 在现代科学和技术的发展中，数值计算是一个不可或缺的工具。它将数学理论应用于工程、科学与社会经济等领域，为我们提供 了各种各样的数值计算方法。在数值计算中，算法设计是一个至 关重要的环节，而算法的效率、稳定性和可靠性则与其理论分析 密不可分。 一、数值计算中的算法设计 算法设计是数值计算的核心，其设计目标通常是快速和准确地 解决问题。不同的问题需要不同的算法设计，常用的算法包括迭 代法、插值法、微分方程数值解法、统计学方法等。 1. 迭代法 迭代法是一种求解方程组或者函数零点的方法。该方法的基本 思想是从一个初值开始，不断迭代逼近目标解。迭代法通常有牛 顿迭代法、割线法等，其中牛顿迭代法是一种高效且广泛使用的 方法，具有收敛速度快、收敛性好等优点，常用于求解非线性问题。 例如，求解方程f(x) = 0，其中f(x)是一个连续可导函数。由泰 勒展开可知，在x处的一次近似为： f(x + h) ≈ f(x) + hf'(x)
设此时函数的近似根为x1，根据近似式有： 0 ≈ f(x1 + h) ≈ f(x1) + hf'(x1) 可得： x1 ≈ x - f(x)/f'(x) 这就是牛顿迭代法的基本思路。 2. 插值法 插值法是通过已知的有限个点来推算出未知数在某些位置处的 数值。插值法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段插值法等，其中最常用的是拉格朗日插值法和牛顿插值法。 例如，给定函数f(x)在点x0, x1, ..., xn处的取值yi = f(xi)，要求在区间[x0, xn]内的任意点x处的函数值f(x)。对于插值点xi，求 相应的插值函数L(x)，则L(x)的表达式为： L(x) = Σfi*li(x) 其中fi是插值点xi对应的函数值，li(x)是插值点xi对应的基函数。 3. 微分方程数值解法 微分方程数值解法是求解微分方程问题的一种数值计算方法。 常用的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法、后向欧拉法等。
描述三种空间分析方法及其特点与作用 一、矢量空间分析 矢量空间分析主要通过空间数据和空间模型的联合分析来挖掘 空间目标的潜在信息，而这些空间目标的基本信息，无非是其空间位置、分布、形态、距离、方位、拓扑关系等，其中距离、方位、拓扑关系组成了空间目标的空间关系。 它是地理实体之间的空间特性，可以作为数据组织、查询、分析和推理的基础。通过将地理空间目标划分为点、线、面不同的类型，可以获得这些不同类型目标的形态结构。将空间目标的空间数据和属性数据结合起来，可以进行许多特定任务的空间计算与分析。 1.图元合并 图元合并即矢量空间聚合，是根据空间邻接关系、分类属性字段，进行数据类型的合并或转换以实现空间地域的兼并(数据的综合)。空间聚合的结果往往将较复杂的类别转换为较简单的类别，当从地点、地区到大区域的制图综合变换时常需要使用这种分析处理方法。 2.空间查询 空间查询是将输入图层与查询图层的要素或是交互输入的查询 范围进行空间拓扑判别(包含、相离、相交、外包矩形相交)，从输入图层中提取出满足拓扑判别条件的图元。 3.叠加分析 叠加分析至少要使用到同一区域，具有相同坐标系统的两个图层。所谓叠加分析，就是将包含感兴趣的空间要素对象的多个数据层进行
叠加，产生一个新要素图层。该图层综合了原来多层实体要素所具有的属性特征。叠加分析的目标是分析在空间位置上有一定关联的空间对象的空间特征和专题属性之间的相互关系。多层数据的叠加分析，不仅仅产生了新的空间对象的空间特征和专题属性之间的相互关系，能够发现多层数据间的相互差异、联系和变换等特征。 点与多边形的叠加，就是研究某一矢量数据层中的点要素位于另外一个矢量数据层中的哪个多边形内，这样就可以根据点与多边形的空间关系，确定给点要素添加哪些属性特征。 线与多边形叠加，就是研究矢量数据层中的线要素与其他数据层中的多边形要素之间的关系，进而判定线要素与多边形的相离、相交、包含等空间关系。 多边形的叠加，就是要研究两个或多个多边形矢量数据层的叠加操作，生成一个新的多边形数据层。 4.缓冲区分析 缓冲区分析是地理信息系统重要的空间分析功能之一，它在交通、林业、资源管理、城市规划中有着广泛的应用。例如：湖泊和河流周围的保护区的定界，汽车服务区的选择，民宅区远离街道网络的缓冲区的建立等。 缓冲区分析是针对点、线、面实体，自动建立其周围一定宽度范围以内的缓冲区多边形。缓冲区的产生有三种情况： 一是基于点要素的缓冲区，通常以点为圆心、以一定距离为半径的圆;
数值分析课程教学探讨 数值分析是一门与计算机使用密切结合的、实用性很强的课程。它内容丰富，涉及数学分析、代数、方程和泛函分析等诸多学科，研究方法深刻，有自身严密的科学系统。科学与中的数值计算已经成为各门自然科学和技术科学的一种重要手段，成为实验和理论并列的一个不可缺少的环节［1］。所以数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其他学科的联系十分紧密。那么在平时的教学中，如何取得良好的教学效果呢？本文从以下几个方面进行探讨。 一、数值分析课程的教学特点 与其它纯数学理论课程相比，数值分析除了具备数学的高度抽象性与严密科学性的特点之外，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。具体来说，这门课程具有以下的教学特点： 1.知识面跨度大［2］ 数值分析是数学与应用数学、信息与计算科学和统计学专业的必修课程，它广泛运用多门数学学科的知识，内容包括数值逼近、数值积分、线性代数方程组的直接解法和迭代方法、非线性方程组的计算方法、矩阵特征值与特征向量的计算、常微分方程数值计算等，涉及数学分析、代数学、微分方程、泛函分析等众多数学理论。 2.有可靠的理论分析［2］ 能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。 3.注重理论与应用的结合 与传统数学课程强调理论分析和逻辑推导不同，数值分析课程更注重运用这些理论构造适合计算机执行的数值方法，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。数值分析主要研究那些在理论上有解而用手工无法计算、必需借助计算机求解的数学问题。它的许多理论与方法本身并不是数学学科的产物，而是以“计算”为目标发展起来的。
§16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预 制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系
统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.
CAE概论结业论文 前言 在科学研究或解决工程中的问题时，我们通常采用理论分析、实验分析、数值分析三种方法对工程或问题做出一定判断，保证研究质量和产品、工程的质量。理论分析即建立物理、数学模型，采用数理公式得到答案，这一过程简单快速花费较小，在以往较简单的工程中较为实用，但对于复杂结构或未知领域的分析就显得捉襟见肘。因此，人们开始注重实验分析。通过大量模拟试验，发现并总结出其中的规律使得近两三百年来西方自然科学、人文科学方面得到巨大发展。不过实验研究法在复杂结构的模拟时耗时耗力，投入与产出比过大，在追求以较低投入获取较大产出的现代社会，降低产品、工程研发周期并较少消耗就显得尤为重要。 上世纪六十年代开始发展的CAE技术通过对研究体某一部分的应力分析，与材料屈服强度比对，得出产品或工程的安全性，部分地解决了上述减少分析投入经费、缩短分析时间的问题。经过近半个世纪的发展，这一领域已经得到了长足发展。 注释： 1)应力：应力定义为“单位面积上所承受的附加内力”。公式记为Σ=ΔF J/ΔA I 其中，Σ表示应力；ΔF J 表示在J 方向的施力；ΔA I 表示在I 方向的受 力面积。 2)屈服强度：在不引起塑性变形的情况下，材料能承受的最大应力值，成为材料 的屈服强度。 CAE概念及研究方法 概念 CAE，即计算机辅助工程，英文全拼为Computer Aided Engineering，指用计算机辅助求解分析复杂工程和产品的结构力学性能，以及优化结构性能等。而 CAE软件件可作静态结构分析，动态分析；研究线性、非线性问题；分析结构（固 体）、流体、电磁等。（摘自百度百科）简单说，就是利用计算机软件分析工程或 产品力学的性能以便得出其安全性、使用寿命等，并提供可行的优化方案，以提升 工程和产品性能，减少成本。CAE与计算力学、计算数学、工程科学、工程管理 学现代计算技术等学科均有交叉。
现代统计学 1.因子分析(Factor Analysis) 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。 运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。 2.主成分分析 主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis 一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。 主成分分析和因子分析的区别 1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。 2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。 4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。 5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分。 和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的时候，更加倾向于使用因子分析，并且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这中情况也可以使用因子得分做到。所以这中区分不是绝对的。 总得来说，主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。
计算水力学的学习笔记 第一章绪论 1.1计算水力学的形成与发展 计算水力学的研究任务：研究各种水流问题的数值计算方法 举例：以各种离散化法（有限差分法、有限元法），建立各种数值模型，通过计算机进行数值计算和数值试验，得到在时间上和空间上许多数字组成的集合体，最终获得定量描述流场的数值解。 计算水力学的特点是适应性强、应用面广。 数值计算的特点：一、依赖于基本方程的可靠性，且最终结果不能提供任何形式的解析式表达，只是有限个离散点上的数值解，并且有一定的计算误差 二、不像物理模型试验那样一开始能给出流动现象并且定性的描述，往往要由原体 观测或者物理模型试验提供某些流动参数，并对建立的数学模型进行验证。 三、程序的编制与计算往往需要一定的技巧和经验。 数值计算与理论分析、观测以及实验三者相互独立又相互联系，主要用于解决复杂水流问题。 根据离散的原理不同，计算水力学可以分为两个分支： 一、有限差分法（FDM）再次基础上发展起来的PIC法、MAC法 有限分析法（FAM） 二、有限单元法（FEM）在此基础上发展起来的边界元法和混合元法 1.2 水动力学基本方程 分为两类：一类是描述成恒定流（不包含时间变量而表达为边值问题） 另一类是描述成非恒定流（包含时间变量而表达为初值问题与边值的混合问题） 1.2.1三维流动的基本方程 1、连续方程P3 式（1-2b）这是不可压缩流体的连续方程 2、动量方程P4 式（1-3） 本构方程也就是应力与变形率的关系（1-4）P4 组成不同条件由本构方程和连续方程代入动量方程得到N-S方程（1-5a）P5 下三维流动的 3、紊流的时均方程也就是雷诺方程（1-6）P5 基本方程 对于河口或者大型水库，可以假定压强沿水深的分布为静压分布，则可以得出垂向静压分布假定的三维流动基本方程：P7 （1-7） 对于大面积的湖泊或者水库，往往需要考虑地球自转引起的哥氏力的作用得到的方程为（1-8b） 1.2.2在静压分布的假设下，沿水深平均的二维流动基本方程 对于水平尺度远大于垂直尺度的河道和湖泊水流，将略去物理量沿水深的变化，得到沿水深平均的二维流动基本方程式子（1-10） 对于浅型湖泊及潮汐河口流场的计算当中，以自由水面的相对高度作为变量，此时可将二维流动基本方程变为（1-11）（1-12） 1.2.3 渐变总流的一维基本方程（圣维南方程）适用于求非恒定流的流量以及水位 随流程和时间的变化 明槽一维流动的连续方程为1-13，动量方程1-14 1.2.4 涡量方程用于分析有涡流动，以涡量作为基本变量，其特点是不出现压强项， 可直接求出涡量场。
第一章绪论 上世纪中叶诞生的计算机给科学、工程技术和人类的社会生活带来一场新的革命。它使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知科学领域和进行大型工程设计的第三种方法和手段。在独创性工作的先行性研究中，科学计算更有突出的作用。在今天，熟练地运用电子计算机进行科学计算，已成为科学工作者的一项基本技能。然而，科学计算并不是计算机本身的自然产物，而是数学与计算机结合的结果，它的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。近年来，它同时也成为数学科学本身发展的源泉和途径之一。 1. 数值分析的研究对象与特点 数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。一般地说，用计算机解决科学计算问题，首先需要针对实际问题提炼出相应的数学模型，然后为解决数学模型设计出数值计算方法，经过程序设计之后上机计算，求出数值结果，再由实验来检验。概括为 由实际问题的提出到上机求得问题的解答的整个过程都可看作是应用数学的任务。如果细分的话，由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务，而根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机计算出结果，这一过程则是计算数学的任务，即数值分析研究的对象。因此，数值分析是寻求数学问题近似解的方法、过程及其理论的一个数学分支。它以纯数学作为基础，但却不完全像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是着重研究数学问题求解的数值方法及与此有关的理论，包
括方法的收敛性，稳定性及误差分析；还要根据计算机的特点研究计算时间最省（或计算费用最省）的计算方法。有的方法在理论上虽然还不够完善与严密，但通过对比分析，实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法也可采用。因此数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。 在电子计算机成为数值计算机的主要工具以后，则要求研究适合计算机使用的，满足精确要求，计算时间省的有效算法及其相关的理论。在实现这些算法时往往还要根据计算机的容量、字长、速度等指标，研究具体的求解步骤和程序设计技巧。有的方法在理论上虽还不够严格，但通过实际计算、对比分析等手段，证明是行之有效的方法，也应采用。这些就是数值分析具有的特点，概括起来有四点： 第一，面向计算机，要根据计算机特点提供切实可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，这些运算是计算机能直接处理的运算。 .第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精确要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都建立在相应数学理论的基础上。 第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，他关系到算法能否在计算机上实现。 第四，要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。 根据“数值分析”课程的特点，学习是我们首先要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次，要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题；最后，为了掌握本课的内容，还应作一定数量的理论分析与计算练习。由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，读者必须