第9讲对数函数
1．对数函数的图象与性质
a>10 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0) 当x>1时，y>0 当x>1时，y<0 当0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数 2.反函数 指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2x及y＝log 1 3 3x都是对数函数．() (2)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．() (3)函数y＝ln 1＋x 1－x 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．() (4)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限．() 答案：(1)×(2)×(3)×(4)√ 函数y＝x ln(1－x)的定义域为() A．(0，1)B．[0，1) C．(0，1] D．[0，1] 解析：选B.因为y＝x ln(1－x)，所以 ?? ? ??x≥0， 1－x>0， 解得0≤x<1. 函数y＝3＋log a(x＋3)的图象必经过定点的坐标为() A．(－2，3) B．(－1，4) C．(0，3) D．(－2，2) 解析：选A.因为当x ＝－2时，y ＝3＋0＝3，所以该函数的图象必经过定点(－2，3)，故选A. 函数f (x )＝log 2x 2的单调递增区间为____________． 解析：设t ＝x 2，因为y ＝log 2t 在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2的单调递增区间，即所求区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 已知函数f (x )＝log 12 x ，x ∈[1，2]，则f (x )的值域是____________． 解析：因为x ∈[1，2]，所以log 12 x ∈[－1，0]，则f (x )的值域是[－1，0]． 答案：[－1，0] 对数函数的图象及应用(典例迁移) (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( ) (2)若方程4x ＝log a x 在??? ?0，1 2上有解，则实数a 的取值范围为____________． 【解析】 (1)因为y ＝lg|x －1|＝? ????lg （x －1），x >1， lg （1－x ），x <1. 当x ＝1时，函数无意义，故排除B ，D. 又当x ＝2或0时，y ＝0， 所以A 项符合题意． (2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ， 当a >1时不满足条件， 当0 2上的图象， 可知，只需两图象在????0，1 2上有交点即可， 则f ????12≥g ????12，即2≥log a 12，则a ≤22， 所以a 的取值范围为? ?? ? 0， 22. 【答案】 (1)A (2)? ?? ?0， 22 [迁移探究] (变条件)若本例(2)变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈????0，1 2恒成立，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－log a x <0得x 2 要使x ∈??? ?0，1 2时，不等式x 2 2上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立； 当0 要使x 2 2上恒成立， 需f 1????12≤f 2????12， 所以有????122 ≤log a 1 2， 解得a ≥116，所以1 16≤a <1. 即实数a 的取值范围是??? ?1 16，1. 利用对数函数的图象求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 1．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( ) 解析：选C.函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；函数y ＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.选C. 2．(2019·湖北华师附中调研)使log 2(－x ) 解析：在同一坐标系中分别画出函数y ＝log 2(－x )和y ＝x ＋1的图象(如图所示)，由图象知使log 2(－x ) 答案：(－1， 0) 对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 比较对数值的大小 (2018·高考天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 12 1 3，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 【解析】 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 12 1 3＝log 23>log 2e>1，所以c >a >b ， 故选D. 【答案】 D 角度二 解简单的对数不等式或方程 (一题多解)已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f ????2a >f ????3a ，则f ??? ?1－1x >0的解集为( ) A ．(0，1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 【解析】 法一：因为函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3 a 且 f ????2a >f ????3a ，所以f (x )＝lo g a x 在(0，＋∞)上单调递减，结合对数函数的图象与性质可得f ????1－1x >0?0<1－1 x <1，所以x >1，故选C. 法二：由f ????2a >f ????3a 知log a 2a >log a 3a ， 所以log a 2－1>log a 3－1，所以log a 2>log a 3， 所以00得log a ????1－1x >0，所以0<1－1 x <1，即x >1. 【答案】 C 角度三 对数型函数的综合问题 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0，且a ≠1. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． 【解】 (1)因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 所以? ????x ＋1>0， 1－x >0，解得－1 故所求函数的定义域为{x |－1 证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1 故f (x )为奇函数． (3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1 所以x 的取值范围是(0，1)． (1)比较对数值的大小的方法 (2)解对数不等式的函数及方法 ①形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0 ②形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式． (3)解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 专练9 对数与对数函数 命题范围：对数的意义与运算；对数函数的定义、图象与性质． [基础强化] 一、选择题 1．lg 52＋2lg 2－? ?? ??12－1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 2．函数y ＝log 1 2(3x －2)的定义域是( ) A ．[1，＋∞] B.? ?? ??23，＋∞ C.??????23，1 D.? ?? ??23，1 3．函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，1) 4．若函数f (x )＝(m －2)x a 是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图象过点( ) A ．(－2,0) B ．(2,0) C ．(－3,0) D ．(3,0) 5．[2020·全国卷Ⅲ]已知55<84,134<85，设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a b ，则( ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b | 7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减 C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 8．[2020·益阳一中测试]若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( ) 9．若函数f (x )＝????? log a x ，x >3，－2x ＋8，x ≤3存在最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(1，3] D.? ????0，33 二、填空题 10．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 11．函数f (x )＝? ?? ??13x －log 2(x ＋4)在区间[－2,2]上的最大值为________． 12．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． [能力提升] 13．[2020·全国卷Ⅰ]若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b 则( ) A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2 D ．a 0且m ≠1) 在[2,3]上单调递增，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,36] B ．[36，＋∞) C ．(1,16]∪[36，＋∞) D ．(1,16] 15．[2020·荆州一中测试]若函数f (x )＝ 第6讲对数与对数函数 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0； 当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是() A.a＝b 解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝? ? ? ??13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )＝???log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1))＋f ? ????log 312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.7 2 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ? ? ? ??log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ? ? ? ??log 312＝5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0 D.(b －1)(b －a )>0 解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1. 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ，则αβg 的值是（ ） A 、lg5lg 7g B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2?? +∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<< 第6讲 对数与对数函数 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．如果 ，那么x ，y,1的大小关系是________． 解析 ∵ 是(0，＋∞)上的减函数，∴x ＞y ＞1. 答案 1＜y ＜x 2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________. 解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 －1 3．函数y ＝log 12 (3x －a )的定义域是? ????23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a 3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 2 4．已知f (x )＝??? 2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1， ∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 18 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过一定点是________． 解析 当x ＝2时y ＝2. 答案 (2,2) 6．(2012·重庆卷改编)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233>log 22＝1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a >1，c ＝log 32 对数与对数函数试题 一.选择题 1.函数y= 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 2、下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是 A. y=x B. y=lgx C. y=2x D. y x = 3、已知03.1()2a =，20.3b -=， 12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是 （） A ．a b c >> B ．a c b >> C.c b a >> D ．b a c >> 4、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例如 [2]=2；[1.2]=2；[2.2-]=3-,这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ的值为() A ．21 B ．76 C ．264 D ．642 5、已知{}a b 2,3,4,5,6,7,8,9∈、，则log a b 的不同取值个数为（ ） A. 53 B. 56 C. 55 D. 57 6、若， ，则（ ） A. B. C. D. 7、函数 的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8、函数()2log (2)a f x x =+-(01)a a >≠且的图像必经过点（） A ．(0,1)B ．(2,1)C ．(3,1)D ．(3,2) 9、三个数03770.30.3.，，，㏑，从小到大排列（） A.0.37.73.0㏑0.3 B.0.37，㏑0.3,0.37 C.7,0.3 0.3, 70.3,，㏑ D.70.3ln 3,0.3,7 10、当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（） A ． B ． C.D ． 11、设函数f(x)定义在实数集上,f(2x)=f(x)－,且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有（） A ．11f() 高考数学第一轮复习9对数与对数函数 9. 对数与对数函数 班级 姓名 一、选择题 1．记6log ,7.0,67.067.0===c b a ，则c b a 、、的大小关系是 （ ） （A ）a c b << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）a b c << 2．函数)1ln(1--=x y 的定义域为 （ ） （A ）)1,(e +-∞ （B ）(]e +1,1 （C ）)1,(-∞ （D ）（1，11） 3．当0-=a a ax x x f a 在区间)0,2 1(-内单调递增，则a 的取值范围 是 （ ） （A ）)1,41[ （B ） )1,4 3[ （C ）),49(+∞ （D ）)49,1( 二、填空题 6．（1）计算3log 22450lg 2lg 5lg +?+= ． （2）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则=m （)3010.02lg ≈ 7．函数x x f )21()(=，则函数y =f -1(2x -x 2)的单调递增区间为 ． 8．设方程3lg =+x x 的根为,α[]α表示不超过α的最大整数，则[]α的值为 ． 9．设函数)1lg()(2 --+=a ax x x f 给出下列命题：①)(x f 有最小值 ;②当0=a 时，)(x f 的值域为R; ③当0>a 时， )(x f 在区间[)+∞,2上有反函数 ； ④若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围为4-≥a ．其中正确命题的序号是 ． 三、解答题 10．已知函数)32(log )(221++-=x x x f ． （1）求)(x f 的单调区间；（2）求)(x f 的值域． 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 课时跟踪检测(十)对数与对数函数[高考基础题型得分练] 1．[2018·四川泸州一诊]2lg 2－lg 1 25的值为() A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：2lg 2－lg 1 25 ＝lg ? ? ? ? ? 22÷ 1 25 ＝lg 100＝2.故选B. 2．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝() A．log2x B.1 2x C．log1 2 x D．2x－2答案：A 解析：由题意知f(x)＝log a x， ∵f(2)＝1，∴log a2＝1，∴a＝2， ∴f(x)＝log2x. 3．[2018·河北衡水中学调研卷]若0 A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案：B 解析：由已知得b ＝5a ，b ＝10c,5d ＝10， ∴5a ＝10c,5d ＝10， 同时取以10为底的对数可得， a lg 5＝c ，d lg 5＝1，∴c a ＝1 d ，即a ＝cd . 5．[2018·福建朋口中学高三上期末]已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) 答案：B 解析：因为f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，所以f (0)>f (1)， 即log a 2>log a (2－a )，所以?? ? a >1，0<2－a <2， 所以10， 3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1)) ＋f ? ? ? ??log 312的值是( ) A ．5 B ．3 C ．－1 D.7 2 答案：A 解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0，专练9 对数与对数函数
第6讲 对数与对数函数
(完整word版)对数与对数函数练习题及答案
2015高考数学(理)一轮题组训练：2-6对数与对数函数
对数和对数函数测试题(卷)
高考数学第一轮复习9对数与对数函数
带答案对数与对数函数经典例题.
对数与对数函数 10
2020版高考数学新设计大一轮复习-第6节对数与对数函数习题理(含解析)新人教A版