第六节对数与对数函数
考纲解读
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念和单调性，掌握对数函数的图像经过的特殊点.
3.认识到对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数x
y a =与对数函数log a y x =互为反函数(01)a a >≠且.
命题趋势研究
对数与对数函数是高中数学重要的内容之一，也是高考必考的知识点.试题的命制常以对数函数为载体考查函数的图像和性质、研究问题方法以及数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化的数学思想，同时也考查了考生分析与解决问题的能力，是高考考查的重点与难点，可以出现在各种题型中. 知识点精讲 一、对数概念
(0)log (01)x a a N N n N a a =>?=>≠且，叫做以a 为底N 的对数.
注：①0N >，负数和零没有对数；
②log 10,log 1a a a ==； ③10lg log ,ln log e N N N N ==. 二、对数的运算性质
(1)log ()log log (,);(2)log log log (,);
(3)log log ();log (4)log (01,0,01)log a a a a a a n a a c a c MN M N M N R M M N M N R N M n M M R b
b a a b
c c a
+++=+∈??
=-∈ ???
=∈=
>≠>>≠且且（换底公式）
特殊地1
log (,01,1)log a b b a b a b a
=
>≠≠且； log (5)log log (,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log (,01).
m a n a a N
N a n
b b a b m a n R m
a N N a a a N N R a a =>≠≠∈=>>≠=∈>≠；且；且
化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.
三、对数函数
（1）一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.
（2）对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质，如表2-7所示.
log a y x =
1a > 1a <
图像
性质
（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R
（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是增函数
（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R
（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是减函数
题型26 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 一、对数运算
例2.56552log 10log 0.25+=（ ）
.0A
.1B
.2C
.4D
分析log log log log log ().n m n m
a a a a a n x m y x y x y +=+=
解析22
5555552log 10log 0.25log 10log 0.25log (1000.25)log 52+=+=?==
故选C .
评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提. 变式1 已知,x y 为正实数，则（ ）
lg lg lg lg .222x y x y A +=+lg()lg lg .222x y x y B +=? lg lg lg lg .222x y x y C ?=+lg()lg lg .222xy x y D =?
解析 由y x y x xy lg lg lg lg )lg(2222==+故选D
变式2 2
2
(lg 2)lg 4lg5(lg5)+?+= ________..
解析 22222)5(lg 5lg 2lg )2(lg )5(lg 5lg 4lg )2(lg +?+=+?+ 1)10(lg )5lg 2(lg )5(lg 5lg 2lg 2)2(lg 2222==+=+?+=
变式3 222
lg5lg8lg5lg 20(lg 2)3
+
+?+= ________.. 解析 2
32
2)2(lg )4lg 5(lg 5lg 2lg 3
2
5lg 2)2(lg 20lg 5lg 8lg 3
2
5lg ++?++=+?++
22)2(lg 4lg 5lg 2lg 25lg 2)5(lg +?+++= )2lg 5(lg 2)2(lg 2lg 5lg 2)5(lg 22+++?+= 32)2lg 5(lg 2=++=
例2.57274log 81log 8+=________. . 解析324327342324433log 81log 3log 3,log 8log 2log 2.3322
====== 所以原式4317
.326
=
+= 变式1
= ________..
解析 2222)22(246,)22()2(2222246-=-+=+?+=+
所以4)22()22()22()22(24624622=-++=-++=-++
例2.58 lg30lg0.515()3
?= ________.. 分析(,0)log log .c c a b a b a b =>?= 解析lg30lg0.515(),3
x ?=
则()lg0.5
lg30lg0.5lg30111
lg lg 5()lg 5lg lg30lg5lg 0.5lg 333
x ????
=?=+=?+? ?
??????
(lg30lg3)lg5(lg5lg10)(lg1lg3)lg5lg3lg5lg 3lg5lg3=+?+--=+?-?+ lg15=
所以15x = 二、对数方程
例2.59解下列方程：
22111
(1)(lg lg3)lg5lg(10);22(2)log (231) 1.
x x x x x --=---+= 分析利用对数的运算性质化简后求解.
解析（1）1
1
(lg lg3)lg5lg(10)2
2
x x -=--，首先方程中的x 应满足10x >，原方程可变形为lg lg32lg5lg(10)x x -=--，即25lg lg 310x x =-，得25
310
x x =-，从而15x =或
5x =-（舍）
，经检验，15x =是原方程的解. （2）22
1log (231)1x x x --+=，
22
2
2
1011
2311
x x x x x ?->-≠???-+=-??且，解得2x =. 经检验2x =是方程的解.
评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.
变式1 函数2()log (41).x
f x ax =+-
（1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若4a =，求函数()f x 的零点.
解析 （1）若)(x f 是偶函数，则)1()1(f f =-，得a ++-)41(log 12 a -+=)41(log 2，得24log 4
5
log 5log 222
2==-=a ，故1=a 。 （2）4=a 时，x x x f x x 4)14(log 04)14(log )(22=+?=-+= 14)4()4(log )2(log 2log 22222242+=?===x x x x x 。 令)0(4>=t t x ，则2
5
1012+=
?=--t t t 或251-=t （舍）。
所以2
5
1log 25144+=?+=x x ，故函数)(x f 的零点为215log 4+
三、对数不等式
例2.60设01a <<，函数()
2()log 22x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是（）
.(,0)A -∞.(0,)B +∞
.(,log 3)a C -∞.(log 3,)a D +∞
分析先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解.
解析()
2()log 220log 1x x a a f x a a =--<=，又01a <<，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，得22221230(3)(1)0x
x x x x x a
a a a a a -->-->?-+>即，因为10x a +>，
故3x a >，又01a <<，所以log 3.a x <故选.C
变式1 已知函数()f x 为R 上的偶函数，且在[]0,+∞上为增函数，103f ??
= ???
，则不等
式13
log 0f x ??> ??
?
的解集为 .
解析 由题意可知，)(x f 在]0,(-∞上为减函数，且0)3
1
(=-f 。
不等式0)(log 8
1>x f 等价于?????
>>031log 8
1x x 或??
???>-<031log 81
x x 解得不等式的解集为),2()2
1
,0(+∞
例2.61设2
554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则（ ）
.Aa c b <<.Bb c a << .C a b c <<.Db a c <<
分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助0和1作为分界点. 解析因为5log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以
25545554log 3log 41,log 51(log 3)log 3log 41log 5b a c <<>?<<<
故选D .
变式1
设2
lg ,(lg ),a e b e c === ）
.Aa b c >> .B a c b >> .C c a b >>
.Dc b a >>
解析 因为函数x y log =在),0(+∞上单调递增，又101< < 1 )(lg 2110lg lg 02 故选B 。 专练9 对数与对数函数 命题范围：对数的意义与运算；对数函数的定义、图象与性质． [基础强化] 一、选择题 1．lg 52＋2lg 2－? ?? ??12－1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 2．函数y ＝log 1 2(3x －2)的定义域是( ) A ．[1，＋∞] B.? ?? ??23，＋∞ C.??????23，1 D.? ?? ??23，1 3．函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，1) 4．若函数f (x )＝(m －2)x a 是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图象过点( ) A ．(－2,0) B ．(2,0) C ．(－3,0) D ．(3,0) 5．[2020·全国卷Ⅲ]已知55<84,134<85，设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a b ，则( ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b | 7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减 C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 8．[2020·益阳一中测试]若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( ) 9．若函数f (x )＝????? log a x ，x >3，－2x ＋8，x ≤3存在最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(1，3] D.? ????0，33 二、填空题 10．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 11．函数f (x )＝? ?? ??13x －log 2(x ＋4)在区间[－2,2]上的最大值为________． 12．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． [能力提升] 13．[2020·全国卷Ⅰ]若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b 则( ) A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2 D ．a 0且m ≠1) 在[2,3]上单调递增，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,36] B ．[36，＋∞) C ．(1,16]∪[36，＋∞) D ．(1,16] 15．[2020·荆州一中测试]若函数f (x )＝ 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ，则αβg 的值是（ ） A 、lg5lg 7g B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2?? +∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<< 《对数与对数函数》测试 12.21 一、选择题： 1．已知3a ＋5b = A ，且 a 1＋b 1 = 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．225 2．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lg a 1 ，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 3．若x 1，x 2是方程lg 2x ＋(lg3＋lg2)＋lg3·lg2 = 0的两根，则x 1x 2的值 是( )． (A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)． 6 1 4．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值X 围是( )． (A)．(0，1) (B)．(0，21) (C)．(21 ，1) (D)．(1，＋∞) 5． 已知x = 31log 12 1 ＋ 31log 1 5 1 ，则x 的值属于区间( )． (A)．(－2，－1) (B)．(1，2) (C)．(－3，－2) (D)．(2，3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg b a )2的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 7．设a ，b ，c ∈R ，且3a = 4b = 6c ，则( )． (A)．c 1=a 1＋b 1 (B)．c 2=a 2＋b 1 (C)．c 1=a 2＋b 2 (D)．c 2=a 1＋b 2 8．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值X 围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞1 9．已知lg2≈0.3010，且a = 27×811×510的位数是M ，则M 为( )． 高考数学第一轮复习9对数与对数函数 9. 对数与对数函数 班级 姓名 一、选择题 1．记6log ,7.0,67.067.0===c b a ，则c b a 、、的大小关系是 （ ） （A ）a c b << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）a b c << 2．函数)1ln(1--=x y 的定义域为 （ ） （A ）)1,(e +-∞ （B ）(]e +1,1 （C ）)1,(-∞ （D ）（1，11） 3．当0-=a a ax x x f a 在区间)0,2 1(-内单调递增，则a 的取值范围 是 （ ） （A ）)1,41[ （B ） )1,4 3[ （C ）),49(+∞ （D ）)49,1( 二、填空题 6．（1）计算3log 22450lg 2lg 5lg +?+= ． （2）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则=m （)3010.02lg ≈ 7．函数x x f )21()(=，则函数y =f -1(2x -x 2)的单调递增区间为 ． 8．设方程3lg =+x x 的根为,α[]α表示不超过α的最大整数，则[]α的值为 ． 9．设函数)1lg()(2 --+=a ax x x f 给出下列命题：①)(x f 有最小值 ;②当0=a 时，)(x f 的值域为R; ③当0>a 时， )(x f 在区间[)+∞,2上有反函数 ； ④若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围为4-≥a ．其中正确命题的序号是 ． 三、解答题 10．已知函数)32(log )(221++-=x x x f ． （1）求)(x f 的单调区间；（2）求)(x f 的值域． (对数与对数函数)含有答案-人教版 命题人：张立洪 第 2 页 共 10 页 高一数学基础训练（六） 对数部分： 一、选择题： 1.若3 12=x ，则x 等于 (B ) A log 23 B log 2 3 1 C log 2 13 1 D log 3 12 2.已知log a 8=2 3，则a 等于 ( D ) A 41 B 2 1 C 2 D 4 3.下列选项中，结论正确的是 (C ) A 若log 2x =10，则2x=10 B 若2x =3，则log 32=x C 0log )(log 3 22= D 23 3 2log = 4.以下四个命题：(1)若log x 3=3，则x=9；(2)若log 4x =21 ， 则x=2； (3)若log 3 x=0，则x=3；(4)若log 5 1 x=-3， 则x=125，其中真命题的个数是（B ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5.下列各式中，能成立的是 (D ) A log 3(6-4)=log 36-log 34 B log3(6-4)=4 log 6 log 3 3 C log 35-log 36=5 log 5log 3 3 D log 23+log 210=log 25+log 26 6.下列各式中，正确的是 (D ) A lg4-lg7=lg(4-7) B 4lg3=lg3?4 C lg3+lg7=lg(3+7) D ln N e N = 7.如果()N a a =--3log 1 ，那么a 的取值范围是（D ） 命题人：张立洪第 3 页共 10 页 命题人：张立洪 第 4 页 共 10 页 A. 3 B. 8 C. 4 D. log 4 8 二、填空题： 1.把下列指数形式写成对数形式： (1) 4 5=625 5log 6254= （2）6 2-=641 2 log 1 64 =-6 (3）a 3=27 3 log 27=a (4) m ）（3 1 =5.73 13 log 5.73m = 2.把下列对数式写成指数式 (1) 3log 9＝2 2 3＝9 （2）5 log 125＝3 3 5＝125 （3）2log 41＝－2 22-＝14 （4）3 log 811＝－4 4 3-＝1 81 3.利用对数的定义或性质求值： (1) log 3 131 =1； (2)log 111=0；(3) log 232=5；(4)log 9 131=2； 4.当底是9时，3的对数等于14 必修1专题复习——对数与对数函数 1．23log 9log 4?=（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 2．计算()()516log 4log 25?= （ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．14 3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ） A ．3 a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b 4．552log 10log 0.25+=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知3 1ln 4,log ,12 ===-x y z ，则（ ） A.< 长春市高考数学一轮专题：第9讲对数函数B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共10题；共20分) 1. （2分） (2018高一上·寻乌期末) 若且在上既是奇函数又是增函数，则函数的图像是（） A . B . C . D . 2. （2分） (2016高一上·密云期中) 若0＜m＜n，则下列结论正确的是（） A . log m＞log n B . log2m＞log2n C . （）m＜（）n D . 2m＞2n 3. （2分） (2017高三上·济宁期末) 已知三个数a=0.32 ， b=log20.3，c=20.3 ，则a，b，c之间的大小关系是（） A . b＜a＜c B . a＜b＜c C . a＜c＜b D . b＜c＜a 4. （2分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（） A . y=x B . y=lgx C . y=2x D . y= 5. （2分）三个数,,的大小顺序为（） A . B . C . D . 6. （2分）函数的一个单调递减区间是（） A . B . C . [] D . [] 7. （2分）设，则a,b,c之间的关系是（） A . B . b 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 山东省威海市高考数学一轮专题：第9讲对数函数 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共10题；共20分) 1. （2分） (2018高一下·雅安期中) 若向量＝(a－1，2)，＝(4，b)，且⊥ ，a＞0，b＞0，则有（） A . 最大值 B . 最小值 C . 最大值－ D . 最小值0 2. （2分）函数的图象恒过定点（） A . （2，2） B . （2，1） C . （3，2） D . （2，0） 3. （2分）设则（） A . B . C . D . 4. （2分）函数的值域是（） A . （﹣∞，1）∪（2，+∞） B . （1，2） C . R D . [2，+∞） 5. （2分） (2018高一下·汕头期末) 已知，，，则，，的大小关系为（） A . B . C . D . 6. （2分）在n＝log(m－3)(6－m)中，实数m的取值范围是（） A . m>6或m <3 B . 3< m <6 C . 3< m <4或4< m <6 D . 4< m <5 7. （2分）若，则（） A . a>b>c B . b>a>c C . c>a>b D . b>c>a 8. （2分）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（） A . B . C . D . 9. （2分） (2017高三上·涪城开学考) 函数f（x）= +log2（6﹣x）的定义域是（） A . {x|x＞6} B . {x|﹣3＜x＜6} C . {x|x＞﹣3} D . {x|﹣3≤x＜6} 10. （2分）函数f（x）=log2x在区间[1，2]上的最小值是（） A . -1 B . 0 C . 1 D . 2 二、填空题 (共6题；共6分) 11. （1分） (2019高一上·石家庄月考) 某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________． 12. （1分）关于函数，有下列命题 ①其图象关于y轴对称； ②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数； ③f（x）的最小值是lg2； ④f（x）在区间（﹣1，0）、（2，+∞）上是增函数； 9对数与对数函数 - 2 - 2004－2005学年度上学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（9）—对数与对数函数 一、选择题： 1．3 log 9log 2 8的值是 （ ） A ．3 2 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．若log 2)] (log [log log )](log [log log )](log [log 55 1533 1322 1 z y x ===0，则x 、 y 、z 的大小关系是 （ ） A ．z ＜x ＜y B ．x ＜y ＜z C ．y ＜z ＜x D ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于 （ ） A.23 B.4 5 C.0 D.2 1 4．已知lg2=a ，lg3=b ，则15 lg 12 lg 等于 - 3 - （ ） A ．b a b a +++12 B ．b a b a +++12 C ．b a b a +-+12 D ．b a b a +-+12 5．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1 或4 D ．4 或 6.函数y = ) 12(log 2 1-x 的定义域为 （ ） A ．(2 1，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．( 2 1，1] D ．(－∞，1) 7．已知函数y =log 2 1 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 8.已知f (e x )=x ，则f (5)等于 （ ） §5.5 对数函数(第4课时) 【学习目标】1. 理解对数函数的概念,图象与性质 2.了解反函数的概念,，知道指数函数y=a x (a>0,a≠1)与对数函数 y=log a x (a>0, a≠1)互为反函数。 3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验自主学习的快乐和成功的愉悦。 【学习重点】指数函数y=a x (a>0,a≠1)与对数函数y=log a x (a>0, a≠1) 的关系及y=log a x 的图象与性质 【学习难点】对数函数的概念,图象与性质的应用。 预习案 一，知识回顾： 1. 对数函数的概念: (1)解析式为: 注:同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y=2log2x，y=log2x2 等都不是对数函数。 (2)自变量是: 底数是: 定义域是: . (3)常用对数函数是: 自然对数函数是: . 2.对数函数y=log a x(a>0, a≠1)和互为反函数. 思考: 对数函数y=log a x(a>0, a≠1)和指数函数y=a x (a>0,a≠1)的定义域和值域的关系是什么? 3对数函数y=log a x(a>0, a≠1)的性质： (1)定义域:x∈ (2)值域: (3)恒过定点：，即时，y=0. (4)单调性： 当a>1时,函数y=log a x在区间(0,+∞)上是； 当0 对数运算和对数函数 对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>。 常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质 类型一、对数公式的应用 1计算下列对数 =-3log 6log 22 =?3 1log 12 log 2 22 2 =+2lg 5lg =61000lg =+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384 =++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333 =++c b a 842log log log =+++200 199lg 43lg 32lg Λ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222 2 解对数的值： 18lg 7lg 37lg 214lg -+- 0 =-+-1)21 (2lg 225lg -1 1 3 341log 2log 8?? -? ??? 的值0 提示：对数公式的运算 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 （1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a M M N N -= （3）数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ （4）log a N a N = （5）log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ （6）换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 （7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log = 类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是)1,31 (- 2设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4Y -- 3 函数()f x = ]1,0()0,1(Y - ） 提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1 ≠= x x y 。 （2） 二次根式函数，被开方数大于等于0，0,≥= x x y 。 （3）对数函数，真数大于0，0,log >=x x y a 。 类型三、对数函数中的单调性问题 指数函数与对数函数专项练习 1 设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a,b,c 的大小关系是[ ] （A)a ＞ｃ＞b (B)a>b ＞c （C ）c ＞a ＞b （Ｄ）b>c>a 2 函数y=ax2＋ b ｘ与y= || log b a x (ab ≠0，｜ ａ |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像 可能是［ ] 3．设525b m ==,且112a b +=，则m =[ ] （Ａ10 (Ｂ)10 (C)20 （D ）１00 ４．设ａ= 3log 2,b=Ｉn2,c=1 2 5- ,则［ ］ A. a PS (Ａ) (B) (C ） （Ｄ) 8.设 5 54a log 4b log c log ===25，（3），，则［ ] (Ａ)a<ｃ> ?B.b a c >> Ｃ.c a b >>?? Ｄ．b c a >> 12.下面不等式成立的是( ） A.322log 2log 3log 5<< B ．3log 5log 2log 223<< Ｃ．5log 2log 3log 232<< Ｄ.2log 5log 3log 322<< 1３.若01x y <<<，则( ) Ａ． 33y x < B ．log 3log 3x y < Ｃ．44log log x y < Ｄ.1 1()()44 x y < 14.已知01a <<,log 2log 3a a x =1 log 52 a y =,log 21log 3a a z =,则( ） A.x y z >> Ｂ.z y x >>? C ．y x z >> Ｄ．z x y >> 15.若1 3 (1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ ) Ａ.a ≠，的图象如图所示,则a b ，满足的关系是 ( ) Ａ．1 01a b -<<< ?B ．101b a -<<< C.1 01b a -<<<-? Ｄ.1101a b --<<< 1- O y 高一数学同步测试（9）—对数与对数函数 一、选择题： 1． 3 log 9 log 28的值是 （ ） A ． 32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55 1533 1322 1z y x ===0，则x 、y 、z 的大小 关系是 （ ） A ．z ＜x ＜y B ．x ＜y ＜z C ．y ＜z ＜x D ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3 －x －6)等于 （ ） A. 2 3 B. 45 C.0 D. 2 1 4．已知lg2=a ，lg3=b ，则 15 lg 12 lg 等于 （ ） A ． b a b a +++12 B ． b a b a +++12 C ． b a b a +-+12 D ．b a b a +-+12 5．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或 6.函数y =)12(log 2 1-x 的定义域为 （ ） A ．( 2 1 ，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．( 2 1 ，1] D ．(－∞，1) 7．已知函数y =log 2 1 (ax 2 ＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 8.已知f (e x )=x ，则f (5)等于 （ ） A ．e 5 B ．5 e C ．ln5 D ．log 5e 9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是 （ ） 10．若2 2log ()y x ax a =---在区间(,1-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[22]- B ．)22?-? C ．( 22?-? D ．() 22- 11．设集合B A x x B x x A ?>=>-=则|},0log |{},01|{22 等于 （ ） A ．}1|{>x x B ．}0|{>x x C ．}1|{- 选择题1?若 (A) 对数和对数函数习题 3a=2,则log3 8-2log 36用a的代数式可表示为（ ） a-2 (B) 3a-(1+a)2(C) 5a-2 (D) 3a-a2 2.2log a(M-2N)=log a M+log a N,则M的值为( N (B) 4 (C) 1 (D) 4或 3 .已知x2+y2=1,x>0,y>0,且log a(1+x)=m,loga 1 r_x n,则log a y等于（） (A) m+n 1 (B) m-n (C) — (m+n) 2 (D) 1 (m-n) 2 4?如果方程Ig2x+(lg5+lg7)lgx+lg5 ? lg7=0的两根是a、 (A)lg5 ?lg7 ( B) lg35 (C) 35 (D) 1 35 5.已知Iog7[log 3(log 2X)]=0，那么 (D) 1 3-3 6 .函数y=lg （A）x轴对称 2 ——1 ）的图像关于（ 1 x （B）y轴对称 (C)原点对称（D）直线y=x对称 7 .函数y=log 2x-1 3x 2的定义域是（ (A) ( - , 1) (1 , + ) 3 (C) ( 2, + 3 &函数y=log 1 (x2-6x+17)的值域是( 2 (B) (D) 1 2 1 2 (1, (A) R(B) [8, + ] (C),-3)(D) [3 , + 9 .函数y=log 1（2x2-3x+1）的递减区间 为 2 (A) ( 1 , + ) (B)(-(C)(2 1 x 2 . 10.函数y=( ) +1+2,(x<0)的反函数为 2 (A) y=- log 1(x 2)1(x 2) (B) (x 2) 1(x 2) 难点9 指数函数、对数函数问题 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. ●难点磁场 (★★★★★)设f (x )=log 2x x -+11,F (x )= x -21 +f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若f (x )的反函数为f －1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f － 1(n )> 1 +n n ; (3)若F (x )的反函数F － 1(x ),证明：方程F － 1(x )=0有惟一解. ●案例探究 ［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点. (1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上； (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目. 知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD . (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标. (1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以 2 2 8118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1= 2log log 818x === 2 log log log ,log 382 82218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1= 1 1 8212log 3log x x x x =, OD 的斜率：k 2= 2 2 8222log 3log x x x x =，由此可知：k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上. (2)解：由BC 平行于x 轴知：log 2x 1=log 8x 2 即：log 2x 1= 3 1 log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得：x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83). ［例2］在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 山西省数学高考一轮复习第九讲对数与对数函数 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共10题；共20分) 1. （2分）(2019·乌鲁木齐模拟) 设，则的大小关系为（） A . B . C . D . 2. （2分）已知函数f(x)满足：x≥4,则f(x)＝；当x＜4时f(x)＝f(x+1)，则＝（） A . B . C . D . 3. （2分） (2020高三上·安徽月考) 已知，，，则，，的大小关系是（）. A . B . C . D . 4. （2分） (2020高一上·铜山期中) 对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提 高计算速度和准确度.已知，，若从集合，中各任取一个数，，则为整数的个数为（） A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 5. （2分） (2019高三上·邹城期中) 在等比数列中，若，则的值为（） A . B . 1 C . 2 D . 3 6. （2分）函数y＝logcos1cosx的值域是（） A . ［－1，1］ B . (－∞，＋∞) C . D . ［0，＋∞) 7. （2分） (2017高一上·定州期末) （） A . B . C . D . 8. （2分）函数f（x）=2sin（x﹣）cos（x﹣）图象的一条对称轴方程是（） A . x= B . x= C . x= D . x= 9. （2分） (2016高一上·会宁期中) 函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（） A . B . C . D . 10. （2分） (2020高一上·曲阜月考) 已知函数f(x)＝，则f(－2)＝（） A . －1 B . 0 C . 1 D . 2 对数与对数函数同步练习 一、选择题： 1、若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ） A 、lg5lg7B 、lg35C 、35 D 、 35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ? ?? B 、()1,11,2?? +∞ ??? C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m << 对数与对数函数 1.对数 （1）对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N = b N a a log log （a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数 （1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？ 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象 a <11)) 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.专练9 对数与对数函数
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9对数与对数函数
§9 对数函数(4)
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