2021年广东省高考数学总复习第9讲：对数与对数函数
1．函数f (x )＝1
ln (3x ＋1)
的定义域是( B )
A.?
??
??－13，＋∞ B.?
??
??
－13，0∪(0，＋∞) C.????
??－13，＋∞ D ．[0，＋∞)
解析：由?
????
3x ＋1＞0，ln (3x ＋1)≠0，解得x ＞－13且x ≠0，故选B. 2．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( B )
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜c ＜a
解析：∵a ＝60.4＞1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4＜0，∴a ＞b
＞c .故选B.
3．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·?
??
?
?
lg a b 2
＝( B )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：由已知，得lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2.
又lg a ·lg b ＝12，
所以lg(ab )·? ??
??lg a b 2
＝2(lg a －lg b )2＝
2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×?
?
?
??22－4×12＝2×2＝4，故选B.
4．若函数y ＝a －a x (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 37＋log a 112
3＝( D )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：若a ＞1，则y ＝a －a x
在[0,1]上单调递减，则???
??
a －a ＝0，a －1＝1，
解得a ＝2，此时，log a 37＋log a 112
3＝log 216＝4；若0＜a ＜1，则y ＝a －a x
在[0,1]上单调递增，则?????
a －a ＝1，a －1＝0，
无解，故选D.
5．已知f (x )满足对?x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1
e x ＋k (k 为常数)，则
f (ln5)的值为( B )
A ．4
B ．－4
C ．6
D ．－6
解析：易知函数f (x )是奇函数，故f (0)＝1
e 0＋k ＝1＋k ＝0，即k ＝－1，所以
f (ln5)＝－f (－ln5)＝－(e ln5－1)＝－4.
6．(2019·广东韶关南雄模拟)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C )
解析：∵f (2)＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2，
∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝?
????
log 2(x ＋1)，x ≥0，
－log 2(x ＋1)，－1＜x ＜0，
∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1＜x ＜0时，函数g (x )单调递减，故选C.
7．已知函数f (x )＝e x ＋2(x ＜0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( A )
A ．(－∞，e)
B ．(0，e)
C ．(e ，＋∞)
D ．(－∞，1)
解析：由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x
－ln(x ＋a )＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，则ln a ＜1，即0＜a ＜e ，则a 的取值范围是(0，e)，当a ≤0时，y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象总有交点，故a 的取值范围是(－∞，e)，故选A.
8．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15
x )≤2f (1)，则x 的
取值范围是( C )
A.??????
15，1 B ．[1,5]
C.?
???
??15，5 D.?
?
?
??－∞，15∪[5，＋∞)
解析：∵f (x )＝(e x －e －x )x ，
∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．
∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15
x )≤2f (1)，
∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴1
5≤x ≤5.故选C.
9．函数f (x )＝log 2
x ·log 2(2x )的最小值为－1
4 .
解析：依题意得f (x )＝1
2log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝?
????log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝2
2时等号成立，因
此函数f (x )的最小值为－1
4.
10．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n
m ＝9__.
解析：f (x )＝|log 3x |＝?????
－log 3x ，0＜x ＜1，
log 3x ，x ≥1，
所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )， 可得????
?
0＜m ＜1，n ＞1，
log 3n ＝－log 3m ，则????
?
0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，
所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调
递增，
所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2
＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n
m ＝9.
11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间?
??
?
??0，32上的最大值．
解：(1)∵f (1)＝2，
∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.
由?????
1＋x ＞0，3－x ＞0，
得－1＜x ＜3，
∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )
＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，
故函数f (x )在?
??
?
??0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.
12．已知函数f (x )＝log a (a 2x ＋t )，其中a ＞0且a ≠1. (1)当a ＝2时，若f (x )＜x 无解，求t 的取值范围；
(2)若存在实数m ，n (m ＜n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也为[m ，n ]，求t 的取值范围．
解：(1)∵log 2(22x ＋t )＜x ＝log 22x ，
∴22x ＋t ＜2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x 恒成立， 即t ≥－22x ＋2x ＝g (x )恒成立， 即t ≥g (x )max ，
∵g (x )＝－22x
＋2x
＝－? ??
??2x －122＋1
4，
∴当2x ＝12，即x ＝－1时，g (x )取得最大值1
4，
∴t ≥1
4，故t 的取值范围是????
??14，＋∞. (2)由题意知f (x )＝log a (a 2x ＋t )在[m ，n ]上是单调增函数，
∴????? f (m )＝m ，f (n )＝n ，即?
????
a 2m ＋t ＝a m ，
a 2n ＋t ＝a n
， 问题等价于关于k 的方程a 2k －a k ＋t ＝0有两个不相等的实根， 令a k ＝u ＞0，则问题等价于关于u 的二次方程u 2－u ＋t ＝0在u ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，
即????
? u 1＋u 2＞0，u 1·u 2＞0，Δ＞0，
即???
t ＞0，
t ＜14，
得0＜t ＜1
4.
∴t 的取值范围为? ?
?
??0，14.
13．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2＞0，记a ＝f (30.2)30.2，b ＝f (0.32)0.32，c ＝f (log 25)
log 25，
则( B )
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
解析：已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数， 对任意两个不相等的正数x 1，x 2， 都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)
x 1－x 2
＞0，
故x 1－x 2与x 2f (x 1)－x 1f (x 2)同号， 则x 1－x 2与x 2f (x 1)－x 1f (x 2)
x 1x
2
?
????即f (x 1)x 1－f (x 2)x 2同号，
∴函数y ＝f (x )
x 是(0，＋∞)上的增函数， ∵1＜30.2＜2,0＜0.32＜1，log 25＞2， ∴0.32＜30.2＜log 25，∴b ＜a ＜c ，故选B.
14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－
2,0]时，f (x )＝? ??
??22x
－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x
＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( D )
A.? ??
??14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)
D ．(8，＋∞)
解析：依题意得f (x ＋2)＝f (－(2－x ))＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知．
要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有
?
????
a ＞1，log a (6＋2)＜1，由此解得a ＞8，即a 的取值范围是(8，＋∞)． 15.已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，g (x )＝f (x )＋2 017，下列命题： ①f (x )的定义域为(－∞，＋∞)； ②f (x )是奇函数；
③f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；
④若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b ＝1；
⑤设函数g (x )在[－2 017,2 017]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝2 017.
其中真命题的序号是①②③④__.(写出所有真命题的序号) 解析：对于①，∵x 2＋1＞x 2＝|x |≥－x ， ∴x 2＋1＋x ＞0，
∴f (x )的定义域为R ，∴①正确．
对于②，f (x )＋f (－x )＝ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋(－x )2＋1)＝ln[(x 2＋1)－x 2]＝ln1＝0.
∴f (x )是奇函数，∴②正确． 对于③，令u (x )＝x ＋x 2＋1， 则u (x )在[0，＋∞)上单调递增．
当x ∈(－∞，0]时，u (x )＝x ＋x 2
＋1＝1
x 2＋1－x
，而y ＝x 2＋1
－x 在(－∞，0]上单调递减，且x 2＋1－x ＞0.
∴u (x )＝1
x 2＋1－x 在(－∞，0]上单调递增，
又u (0)＝1，∴u (x )在R 上单调递增，
∴f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)在R 上单调递增，∴③正确． 对于④，∵f (x )是奇函数，
而f (a )＋f (b －1)＝0，∴a ＋(b －1)＝0， ∴a ＋b ＝1，∴④正确．
对于⑤，f (x )＝g (x )－2 017是奇函数，
当x ∈[－2 017,2 017]时，f (x )max ＝M －2 017，f (x )min ＝m －2 017， ∴(M －2 017)＋(m －2 017)＝0， ∴M ＋m ＝4 034，∴⑤不正确． 16．已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1
.
(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；
(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1＞ln m
(x －1)(7－x )恒成立，求实数m
的取值范围．
解：(1)由x ＋1
x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞1，
∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ? ??
??x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )．
∴f (x )＝ln x ＋1
x －1
是奇函数．
(2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1＞ln m
(x －1)(7－x )恒成立，
∴x ＋1x －1＞m
(x －1)(7－x )
＞0， ∵x ∈[2,6]，∴0＜m ＜(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，
由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，
即x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，
∴0＜m＜7.故实数m的取值范围为(0,7)．