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示范教案(数列的概念与简单表示法)

示范教案(数列的概念与简单表示法)
示范教案(数列的概念与简单表示法)

2.1 数列的概念与简单表示法

2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)

从容说课

本节课先由教师提供日常生活实例,引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念,再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究,认识数列是一种特殊的函数,最后师生共同通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用.

教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.

教具准备 课件

三维目标 一、知识与技能

1.理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;

2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;

3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法

1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;

2.发挥学生的主体作用,作好探究性学习;

3.理论联系实际,激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观

1.通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验.理论联系实际,激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的辩证唯物主义观点;

2.通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣.

教学过程 导入新课

师 课本图211中的正方形数分别是多少?

生 1,3,6,10,….

师 图212中正方形数呢?

生 1,4,9,16,25,….

师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些?

生 -1的正整数次幂:-1,1,-1,1,…;

无穷多个数排成一列数:1,1,1,1,….

生 一些分数排成的一列数:32,154,356,638,9910,….

推进新课

[合作探究] 折纸问题

师 请同学们想一想,一张纸可以重复对折多少次?请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).

生 一般折5、6次就不能折下去了,厚度太高了.

师 你知道这是为什么吗?我们设纸原来的厚度为1长度单位,面积为1面积单位,随依次折的次数,它的厚度和每层纸的面积依次怎样?

生 随着对折数厚度依次为:2,4,8,16,…,256,…;①

随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,256

1 ,…. 生 对折8次以后,纸的厚度为原来的256倍,其面积为原来的分 1[]256式,再折下去太困难了. 师 说得很好,随数学水平的提高,我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数,看它们有何共同特点? 生 均是一列数.

生 还有一定次序.

师 它们的共同特点:都是有一定次序的一列数.

[教师精讲]

1.数列的定义:按一定顺序排列着的一列数叫做数列.

注意:

(1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;

(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.

2.数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,….同学们能举例说明吗?

生 例如,上述例子均是数列,其中①中,“2”是这个数列的第1项(或首项),“16”是这个数列中的第4项. 3.数列的分类:

1)根据数列项数的多少分:

有穷数列:项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列.

无穷数列:项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6…是无穷数列. 2)根据数列项的大小分:

递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.

递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.

常数数列:各项相等的数列.

摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察:课本P 33的六组数列,哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列? 生 这六组数列分别是(1)递增数列,(2)递增数列,(3)常数数列,(4)递减数列,(5)摆动数列,

(6)1.递增数列,2.递减数列. [知识拓展]

师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项?能否写出它的第n 项? 生 256是这数列的第8项,我能写出它的第n 项,应为a n =2n .

[合作探究]

同学们看数列2,4,8,16,…,256,…①中项与项之间的对应关系,

项 2 4 8 16 32

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5

你能从中得到什么启示?

生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3,…,n })的函数a n =f(n ),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),…. 师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公

式就叫做这个数列的通项公式. [例题剖析]

1.根据下面数列{a n }的通项公式,写出前5项:

(1)a n =1+n n ;(2)a n =(-1)n ·n . 师 由通项公式定义可知,只要将通项公式中n 依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项.

生 解:(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=6

5. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5.

师 好!就这样解.

2.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:

(1)3,5,7,9,11,…;(2)32,154,356,638,99

10,…; (3)0,1,0,1,0,1,…;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;

(5)2,-6,12,-20,30,-42,….

师 这里只给出数列的前几项的值,哪位同学能写出这些数列的一个通项公式?(给学生一定的思考时间)

生老师,我写好了!

解:(1)a n =2n +1;(2)a n =)12)(12(2+-n n n ;(3)a n =2

)1(1n -+; (4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,

∴a n =n +2

)1(1n

-+; (5)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,…,

∴a n =(-1)n +1n (n +1).

师 完全正确!这是由“数”给出数列的“式”的例子,解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西,然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.

[合作探究]

师 函数与数列的比较(由学生完成此表):

函数 数列(特殊的函数) 定义域

R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1,2,…,n } 解析式

y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合

师 对于函数,我们可以根据其函数解析式画出其对应图象,看来,数列也可根据其通项公式来画出其对应图象,下面同学们练习画数列:

4,5,6,7,8,9,10…;② 1,21 ,31 ,4

1 ,…③的图象. 生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为

师 数列4,5,6,7,8,9,10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关? 生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.

师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关? 生 与我们学过的反比例函数x y 1=的图象有关. 师 这两数列的图象有什么特点?

生 其特点为:它们都是一群孤立的点.

生 它们都位于y 轴的右侧,即特点为:它们都是一群孤立的,都位于y 轴的右侧的点. 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主,教师起引导作用,充分体现学生的主体作用,体现新课程的理念.

课堂小结

对于本节内容应着重掌握数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.

布置作业

课本第38页习题2.1 A 组第1题.

板书设计 数列的概念与简单表示法(一)

定义

1.数列 例1

2.项

3.一般形式 例2 函数定义

4.通项公式

5.有穷数列

6.无穷数列

备课资料

一、备用例题

1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

(1)1,3,5,7;(2)5

15;414,313;2122222----; (3)211?-,321?- ,431?- ,5

41?-. 分析:

(1)项:1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1

↓ ↓ ↓ ↓

序号: 1 2 3 4

所以我们得到了a n =2n -1;

(2)序号: 1 2 3 4

↓ ↓ ↓ ↓

项分母: 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1

↓ ↓ ↓ ↓

项分子: 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1

所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+?+n n n ; (3)序号: 1 2 3 4

↓ ↓ ↓ ↓

211?- 3

21?- 431?- 541?- ↓ ↓ ↓ ↓

)11(11+?- )12(21+?- )

13(31+?- )14(41+?- 所以我们得到了a n =-

)1(1+?n n . 2.写出下面数列的一个通项公式,使它的前n 项分别是下列各数:

(1)1,0,1,0; 〔a n =2

)1(11

+-+n ,n ∈N *〕 (2)-32,83 ,154- ,245,35

6-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕 (3)7,77,777,7 777; 〔a n =

97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕

(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =122

12-+n n 〕 点评:上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式,根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时,常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候,常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性,有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系.

3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ,那么( )

A .30是数列{a n }的一项

B .44是数列{a n }的一项

C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项

分析:注意到30,44,66,90均比较小,可以写出这个数列的前几项,如果这前几项中出现了这四个数中的某一个,则问题就可以解决了.若出现的数比较大,还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.

答案:C

点评:看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项,实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ,使得a n =A .

4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸,厚度为2001cm 就是每200张叠起来刚好为1 cm ,现在把这张纸裁一为二,叠起来,它的厚度记为a 1;再裁一为二,叠起来,它的厚度记为a 2,又裁一为二,叠起来,它的厚度记为a 3,这样一裁一叠,每次叠起来所得的厚度依次排列,就得到一个数列:a 1,a 2,a 3,…,a k ,….

你能求出这个数列的通项公式吗?你知道a 50,即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗?是否有10层楼高呢?

答案:这个数列的通项公式为a n =200

2n , 裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm >56 294 995 km ,大于地球到月球距离的146倍.

二、阅读材料 无法实现的奖赏

相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔,据说是他发明了国际象棋,古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后,非常激动,他要重赏他的宰相达依尔.

达依尔对他的国王说:陛下,我不要您的重赏,只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了:在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒,第二格赏2粒,第三格赏4粒,第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求,但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.

请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢? 2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)

从容说课 这节课通过对数列通项公式的正确理解,让学生进一步了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项;通过经历数列知识的感受及理解运用的过程,作好探究性教学.发挥学生的主体作用,提高学生的分析问题以及解决问题的能力.

教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.

教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.

教具准备 多媒体

三维目标

一、知识与技能

1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;

2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.

二、过程与方法

1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;

2.发挥学生的主体作用,作好探究性实验;

3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.

三、情感态度与价值观

通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣.

教学过程

导入新课

师 同学们,昨天我们学习了数列的定义,数列的通项公式的意义等内容,哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式?

生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

师 你能举例说明吗?

生 如数列0,1,2,3,…的通项公式为a n =n -1(n ∈N *);

1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n ≤3); 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n

1 (n ∈N *). [合作探究]

数列的表示方法 师 通项公式是表示数列的很好的方法,同学们想一想还有哪些方法可以表示数列? 生 图象法,我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标,相应的项a n 为纵坐标,即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, 21,31,4

1,…为例,作出一个数列的图象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在y 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势. 师 说得很好,还有其他的方法吗?

生 ……

师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法:递推公式法

知识都来源于实践,同时还要应用于生活,用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图:钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图,寻其规律,看看能否建立它的一些数学模型.

生 模型一:自上而下

第1层钢管数为4,即14=1+3;

第2层钢管数为5,即25=2+3;

第3层钢管数为6,即36=3+3;

第4层钢管数为7,即47=4+3;

第5层钢管数为8,即58=5+3;

第6层钢管数为9,即69=6+3;

第7层钢管数为10,即710=7+3.

若用a n 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且a n =n +3(1≤n ≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,这完全正确,运用这一关系,会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律)

生 模型二:上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,

即a 1=4;a 2=5=4+1=a 1+1;a 3=6=5+1=a 2+1.

依此类推:a n =a n -1+1(2≤n ≤7).

对于上述所求关系,同学们有什么样的理解?

生 若知其第1项,就可以求出第二项,以此类推,即可求出其他项.

师 看来,这一关系也较为重要,我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式. 推进新课

1.递推公式定义:

如果已知数列{a n }的第1项(或前几项),且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

注意:递推公式也是给出数列的一种方法.

如下列数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89.

递推公式为:a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n ≤8).

2.数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,函数的表示法有:列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法:即列表法、图象法、解析式法. [例题剖析]

【例1】 设数列{a n }满足1,11111>n a a a n n ??

???+==-.写出这个数列的前五项. 师 分析:题中已给出{a n }的第1项即a 1=1,题目要求写出这个数列的前五项,因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式:a n =1+1

1-n a 我们将如何应用呢? 生 这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项,然后依次这样进行就可以了.

师 请大家计算一下!

生 解:据题意可知:a 1=1,a 2=1+11a =2,a 3=1+21a =32,a 4=1+31a =35,a 5=58

师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系,同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项,或前后几项之间的关系.

【例2】 已知a 1=2,a n +1=2a n ,写出前5项,并猜想a n .

师 由例1的经验我们先求前5项.

生 前5项分别为2,4,8,16,32.

师 对,下面来猜想第n 项.

生 由a 1=2,a 2=2×2=22,a 3=2×22=23观察可得,我猜想a n =2n .

师 很好!

生 老师,本题若改为求a n 是否还可这样去解呢?

师 不能.必须有求解的过程.

生 老师,我由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1,即21

=-n n a a ,依次向下写,一直到第一项,然后将它们乘起来,就有???-----32211n n n n n n a a a a a a …×112

2-=n a

a ,所以a n =a 1·2n -1=2n .

师 太妙了,真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法,这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法,对应的还有迭加法. [知识拓展]

已知a 1=2,a n +1=a n -4,求a n .

师 此题与前例2比较,递推式中的运算改为了减法,同学们想一想如何去求解呢? 生1 写出:a 1=2,a 2=-2,a 3=-6,a 4=-10,…

观察可得:a n =2+(n -1)(n -4)=2-4(n -1).

生2 他这种解法不行,因为不是猜出a n ,而是要求出a n .

我这样解:由a n +1-a n =-4依次向下写,一直到第一项,然后将它们加起来,

a n -a n -1=-4

a n -1-a n -2=-4

a n -2-a n -3=-4 …… )1(44a )112--=--=-+n a a a n ∴a n =2-4(n -1).

师 好极了,真是触类旁通啊,这种方法也请同学们课后多体会.

[教师精讲]

(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的.

例如,由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项,若又知a 1=1,则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4=15,….

(2)递推公式是给出数列的一种方法,由递推公式可能求出数列的通项公式,也可能求不出通项公式.

[学生活动] 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.(投影片)

(1)a 1=0,a n +1=a n +(2n -1)(n ∈N );

(2)a 1=1,a n +1=2

+n n a a (n ∈N ); (3)a 1=3,a n +1=3a n -2(n ∈N ).

(让学生思考一定时间后,请三位学生分别作答)

解:(1)a 1=0,a 2=1,a 3=4,a 4=9,a 5=16,∴a n =(n -1)2.

(2)a 1=1,a 2=32,a 3=21=42,a 4=52,a 5=31 =62,∴a n =1

2+n . (3)a 1=3=1+2×30,a 2=7=1+2×31,a 3=19=1+2×32,

a 4=55=1+2×33,a 5=163=1+2×34,∴a n =1+2·3 n -1.

注:不要求学生进行证明归纳出通项公式.

[合作探究]

一只猴子爬一个8级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多能上跃起三级,从地面上到最上一级,你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗?

析:这题是一道应用题,这里难在爬梯子有多种形式,到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.

爬一级梯子的方法只有一种.

爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种,还有一次爬二级,所以共有两种.

若设爬一个n级梯子的不同爬法有a n种,

则a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4),

则得到a1=1,a2=2,a3=4及a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4),就可以求得a8=81.

课堂小结

师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法,即递推公式及其用法,要注意理解它与通项公式的区别,谁能说说?

生通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.

生对于通项公式,只要将公式中的n依次取1,2,3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项),才可求得其他的项.

(让学生自己来总结,将所学的知识,结合获取知识的过程与方法,进行回顾与反思,从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)

布置作业

课本第38页习题2.1A组第4、6题.

预习内容:课本P41~P 44.

数列的概念与简单表示法(二)

一、定义二、例题讲解小结:

7.递推公式:

例1通项公式与

例2 递推公式区别

数列的概念与简单表示法(含 解析)

第一节数列的概念与简单表示法 知识要点 1.数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义: ①数列:按照一定顺序排列的一列数. ②数列的项:数列中的每一个数. (2)数列的分类: (3)数列的通项公式: 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 2.数列的递推公式 如果已知数列{a n}的首项(或前几项),且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数-1 列的递推公式.

3.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关,这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现,这也是数列与数集的区别. 4.数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的函数解析式,即f(n) =a n(n∈N*). 题型一:由数列的前几项求数列的通项公式 [例1] 下列公式可作为数列{a n}:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( ) A.a n=1 B.a n=C.a n=2- D.a n= [自主解答] 由a n=2-可得a1=1,a2=2,a3=1,a4=2,….[答案] C 变式:若本例中数列变为:0,1,0,1,…,则{a n}的一个通项公式为________. 答案: a n= 由题悟法 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整. 2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

数列的概念及其表示法

第六章数列 命题探究 解答过程 (1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以b n=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2. 所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n-2,数列{b n}的通项公式为b n=2n. (2)设数列{a2n b2n-1}的前n项和为T n,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2n b2n-1=(3n-1)×4n,故T n=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4T n=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得 -3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1= - - -4-(3n-1)×4n+1 =-(3n-2)×4n+1-8. 得T n=-×4n+1+. 所以,数列{a2n b2n-1}的前n项和为-×4n+1+ §6.1数列的概念及其表示法 考纲解读 分析解读本节内容在高考中主要考查利用a n和S n的关系求通项a n,或者利用递推公式构造等差或等比数列求通项a n,又考查转化、方程与函数、分类讨论等思想方法,在高考中以解答题为主,题目具有一定的综合性,属中高档题.分值为5分或12分.

五年高考 考点数列的概念及其表示 1.(2016浙江,13,6分)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=,S5=. 答案1;121 2.(2015江苏,11,5分)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为. 答案 3.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n=. 答案(-2)n-1 4.(2015四川,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值. 解析(1)由已知S n=2a n-a1, 有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2), 即a n=2a n-1(n≥2). 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n=2n. (2)由(1)得=, 所以T n=++…+=- - =1-. 由|T n-1|<,得--<,即2n>1000. 因为29=512<1000<1024=210, 所以n≥10. 于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10. 教师用书专用(5—6) 5.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形 A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是. 答案a n=- 6.(2014广东,19,14分)设数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2na n+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法 [考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 【知识通关】 1.数列的有关概念 n n 若数列{a n }的前n 项和为S n , 则a n =??? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2. 4.数列的分类 [

求数列的最大(小)项,一般可以利用数列的单调性,即用??? a n ≥a n -1, a n ≥a n +1.(n ≥2, n ∈N *)或?? ? a n ≤a n -1,a n ≤a n +1 (n ≥2,n ∈N *)求解,也可以转化为函数的最值问题或利 用数形结合思想求解. 【基础自测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.已知数列11×2,12×3,13×4,…,1 n (n +1) ,…,下列各数中是此数列中的项的是( ) A .135 B .142 C .148 D .154 B 3.设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为( ) A .15 B .16 C .49 D .64 A 4.在数列{a n }中,a 1=1,a n =1+(-1)n a n -1(n ≥2),则a 5等于( ) A .32 B .53 C .85 D .23 D 5.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n =________. 5n -4

数列的概念及表示

课题:数列(第一课时) 一、教学目标: 知识目标:(1)了解数列的概念,了解数列的分类,了解数列是一种特殊的数列, 会用列表法和图像法表示数列; (2)理解数列的通项公式,会根据通项公式写出数列的前几项,会 根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。 能力目标:通过数列概念的归纳概括,初步培养学生的归纳、抽象、概括的能力, 渗透函数思想。 情感目标:通过有关数列的实际应用,激发学生学习数列的积极性。 二、重点:数列的概念,数列的通项公式及其简单应用. 三、难点:根据数列的前几项归纳概括出数列的一个通项公式. 四、教学方法:观察发现、探究合作、启发引导、讲练结合 五、教学手段:多媒体课件、投影仪 六、教学过程: 1、问题情境 (1)庄子说:一尺之棰,日取其半,万世不竭。每次剩下的部分依次是: 1111,,,,24816 (2)某种细胞,如果每个细胞每分钟分类成2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为:1,2,4,8,16,32,┅┅ (3)2012----伦敦奥运,从1984年到2012年,我国共参加了8次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为:15,5,16,16,28,32,51,38. 问题1:这几组数据有什么共同的特点? 2、学生活动 都是一列有顺序的数。 特点1:都是一列数,2:有一定的次序 3、建构数学 (1)数列的定义:按照一定次序排成一列的数称为数列; 数列中的每个数都叫做这个数列的项; 各项依次叫做这个数列的第1项(首项),第2项,…,第n 项,…,如: 数列 2, 4, 8, 16 问题2:① 1,-1,1,-1,……是数列吗? ② 数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是否是同一个数列? (2)数列的分类:有穷数列,无穷数列。 问题3:下面三个数列哪些是有穷数列,哪些是无穷数列? a 4 a 1 a 2 a 3

数列的概念与简单表示讲义

数列的概念与简单表示讲义 【知识要点】: 知识点一:数列的概念 ⒈数列的定义:按一定顺序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项,第2项,…,第项,….其中数列的第1项也叫作首项。 3. 数列的一般形式:,或简记为,其中是数列的第项 知识点二:数列的分类 1. 根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6,…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分: 递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 知识点三:数列的通项公式与前项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 如数列:的通项公式为(); 的通项公式为(); 的通项公式为(); 注意:(1)并不是所有数列都能写出其通项公式; (2)一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…; 它的通项公式可以是,也可以是. (3)数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. (4)数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第项,又是这个数列中所有各项的一般表示.

数列的概念及简单表示方法

§ 数列的概念及简单表示法 1. 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2. 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n +1__>__a n 其中n ∈N + 递减数列 a n +1__<__a n 常数列 a n +1=a n 按其他标准分类 有界数列 存在正数M ,使|a n |≤M 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有 些项小于它的前一项的数列 3. 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4. 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n =f (n )来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.已知S n ,则a n =??? ?? S 1 ?n =1? S n -S n -1 ?n ≥2? .

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达. ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( √ ) (3)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是a n = 1+?-1? n +1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对?n ∈N +,都有a n +1=S n +1-S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中,对于任意正整数m ,n ,a m +n =a mn +1,若a 1=1,则a 2=2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=1 2a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何一项. ( √ ) 2. 设数列{a n }的前n 项和S n =n 2 ,则a 8的值为 ( ) A .15 B .16 C .49 D .64 答案 A 解析 ∵S n =n 2 ,∴a 1=S 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2 -(n -1)2 =2n -1. ∴a n =2n -1,∴a 8=2×8-1=15. 3. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10等于 ( ) A .1 B .9 C .10 D .55 答案 A 解析 ∵S n +S m =S n +m ,a 1=1,∴S 1=1. 可令m =1,得S n +1=S n +1,∴S n +1-S n =1. 即当n ≥1时,a n +1=1,∴a 10=1. 4. (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +1 3 ,则{a n }的通项公式是a n =_____. 答案 (-2) n -1 解析 当n =1时,a 1=1;当n ≥2时, a n =S n -S n -1=2 3a n -23 a n -1, 故 a n a n -1 =-2,故a n =(-2)n -1 . 当n =1时,也符合a n =(-2)n -1 . 综上,a n =(-2) n -1 . 5. (2013·安徽)如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1, B 2,…,B n …分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,

数列的概念与简单表示法

高一数学必修5数列新容:数列与等差数列 数列的概念与简单表示法 数列的分类: (1)据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列. (2)据数列的项大小关系可分类为 ①递增数列:从第二项起,每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列:从第二项起,每一项都小于它的前一项的数列; ③常数数列:各项相等的数列; ④摆动数列:从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 练习: 1、下列给出数列,试从中发现变化规律,并填写括号的数 (1)()() 1,3,6,10,,21,,??????; (2)()() 3,5,9,17,33,,,??????; (3)() 1,4,9,16,,36,??????. 2.下面数列中递增数列是,递减数列是,常数数列是,摆动数列是 (1)0,1,2,3,??????;(2)82,93,105,119,129,130,132;(3)3,3,3,3,3,??????; (4)100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01; (5)1,1,1,1,1, ---??????;(6精确到1,0.1,0.01,0.001,???的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1,1.141,1.414,;2,1.5,1.42,1.415, ????????????. 3.据下列数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式 (1)1,3,5,7,9??????; (2)9,7,5,3,1,??????; (3) 2222 21314151 ;,;; 2345 ---- (4) 1111 ,,,, 12233445 ---- ???? .

数列的概念与简单表示法

2021年新高考数学总复习第六章《数列》 数列的概念与简单表示法 1.数列的有关概念 概念含义 数列按照一定顺序排列着的一列数 数列的项数列中的每一个数 数列的通项数列{a n}的第n项a n 通项公式 数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n=f(n)表示,这个公式 叫做数列的通项公式 前n项和数列{a n}中,S n=a1+a2+…+a n叫做数列的前n项和 2.数列的表示方法 列表法列表格表示n与a n的对应关系 图象法把点(n,a n)画在平面直角坐标系中公式法 通项公式把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和a n+1=f(a n)或a1,a2和a n+1=f(a n,a n-1)等 表示数列的方法 3.a n与S n的关系 若数列{a n}的前n项和为S n, 则a n= ?? ? ??S1,n=1, S n-S n-1,n≥2. 4.数列的分类 分类标准类型满足条件 项数 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 项与项间的 大小关系 递增数列a n+1> a n 其中n∈N* 递减数列a n+1< a n 常数列a n+1=a n

概念方法微思考 1.数列的项与项数是一个概念吗? 提示不是,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的通项公式a n=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系? 提示数列的通项公式a n=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义域是R,a n=3n+5的图象是离散的点,且排列在y=3x+5的图象上. 题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(×) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达.(×) (3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(√) (4)1,1,1,1,…不能构成一个数列.(×) (5)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(×) (6)如果数列{a n}的前n项和为S n,则对?n∈N*,都有a n=S n-S n-1.(×) 题组二教材改编 2.在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1=4a n+1,则a3=. 答案21 解析由题意知,a2=4a1+1=5,a3=4a2+1=21. 3.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n=. 答案5n-4 题组三易错自纠 4.已知a n=n2+λn,且对于任意的n∈N*,数列{a n}是递增数列,则实数λ的取值范围是. 答案(-3,+∞) 解析因为{a n}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有a n+1>a n,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*) 因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3. 5.数列{a n}中,a n=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是.

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

第六章数列 §6.1数列的概念与简单表示法 考点梳理 1.数列的概念 (1)定义:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的________.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________),排在第n位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以写成__________,其中a n是数列的第n 项,叫做数列的通项.常把一般形式的数列简记作{a n}. (2)通项公式:如果数列{a n}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (3)从函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数(离散的),当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________. (4)数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. (5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2.数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分,分为__________、__________. (2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和 __________.递增数列a n+1______a n ;递减数列a n+1_____a n;常数列a n+ 1______a n .递增数列与递减数列统称为__________. 3.数列前n项和S n与a n的关系 已知S n,则a n= ? ? ?(n=1)_________, (n≥2)_________. 自查自纠: 1.(1)项首项a1,a2,a3,…,a n,… (2)第n项n(3)函数值(4)a n a n-1 (5)通项公式法(解析式法) 列表法图象法递推公式法 2.(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列 摆动数列常数列><=单调数列 3.S1S n-S n-1 典型例题讲练 类型一数列的通项公式 例题1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2) 2 3 , 4 15 , 6 35 , 8 63 , 10 99 ,…;

数列的概念及简单表示法

数列的概念及简单表示法 一、选择题 1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n等于( ) A.(-1)n+1 2 B.cos nπ 2 C.cos n+1 2 π D.cos n+2 2 π 解析令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D正确. 答案 D 2.数列2 3 ,- 4 5 , 6 7 ,- 8 9 ,…的第10项是( ) A.-16 17 B.- 18 19 C.-20 21 D.- 22 23 解析所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n}的通项公式a n= (-1)n+1· 2n 2n+1 ,故a10=- 20 21 . 答案 C 3.(2016·保定调研)在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1=2a n+1,则其通项公式a n =( ) A.2n-1 B.2n-1+1 C.2n-1 D.2(n-1) 解析法一由a n+1=2a n+1,可求a2=3,a3=7,a4=15,…,验证可知a n =2n-1. 法二由题意知a n+1+1=2(a n+1),∴数列{a n+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n+1=2n,∴a n=2n-1. 答案 A

4.数列{a n }的前n 项积为n 2,那么当n ≥2时,a n 等于( ) A.2n -1 B.n 2 C. (n +1)2 n 2 D. n 2 (n -1)2 解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ,则T n =n 2, 当n ≥2时,a n =T n T n -1=n 2 (n -1)2. 答案 D 5.数列{a n }满足a n +1+a n =2n -3,若a 1=2,则a 8-a 4=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析 依题意得(a n +2+a n +1)-(a n +1+a n )=[2(n +1)-3]-(2n -3),即a n +2- a n =2,所以a 8-a 4=(a 8-a 6)+(a 6-a 4)=2+2=4. 答案 D 二、填空题 6.若数列{a n }满足关系a n +1=1+1a n ,a 8=34 21,则a 5=________. 解析 借助递推关系,则a 8递推依次得到a 7= 2113,a 6=138,a 5=85 . 答案 8 5 7.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +1(n ∈N *),则a n =________. 解析 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1,当n =1时,a 1=S 1=4≠2×1+1,因此a n =???4,n =1, 2n +1,n ≥2. 答案 ???4,n =1,2n +1,n ≥2. 8.(2017·北京海淀期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ≠0(n ∈N *),又 a n a n +1=S n ,则a 3-a 1=________. 解析 因为a n a n +1=S n ,所以令n =1得a 1a 2=S 1=a 1,即a 2=1,令n =2,得a 2a 3

数列的概念与表示(一)

数列的概念与表示导学案 一、基础知识 引例:按一定次序排列的一列数 (1)1,2,3,4,5 (2)1,51,41,31,21 (3),1,1,1,1--…… (4)1,1,1,1,…… (5)1,3,5,4,2 (6)2的精确到1,0.1,0.01,0.001,……的不足近似值排列成一列数 1、概念:(1)数列: 注:①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现 上例中能构成数列的是: 。(1)与(5)相同吗? (2)项: (3)项的序号: 2、表示:数列的一般形式为: ,简化为 。 例:,41,31,21, 1…,1,n …简记为: 1,3,5,7,…12-n ,…简记为 注:}{n a 与n a 的区别: 3、数列与函数的关系: 4、数列的通项公式: 作用:①以序号代n 可求数列各项;②可验证某数是否是数列中的项 注:①通项公式有时不存在;②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5、递推公式: 6、分类: 二、例题解析 例1、根据}{n a 的通项公式,写出它的前5项。 (1)1+=n n a n (2)n a n n ?-=)1( 例2、写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数 (1)1,2,3,4; (2)1,3,5,7; (3)5 15,414,313,2122222----; 例3、已知:}{n a 中,11=a ,以后各项由111-+ =n n a a 给出,写出这个数列的前5项。

三、课后练习 1、根据}{n a 的通项公式,写出它的前5项: (1)1)1(5+-?=n n a (2)1 122++=n n a n 2、根据通项公式,写出它的第7项与第10项 (1))2(+=n n a n (2)32+-=n n a 3、写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数。 (1)1,2,3,4 (2)2,4,6,8 (3)161,81,41,21-- (4)5141.4131,3121,211---- 4、写出下面数列}{n a 的前5项 (1))2(35 11≥+==-n a a a n n (2))2(2211≥==-n a a a n n

数列的概念及其表示方法

数列的概念及其表示方法 一、学习目标 1.了解数列的概念及其表示方法;理解数列通项公式的有关概念; 2.给出数列的通项公式,会写出数列的前几项;给出简单数列的前几项,会写出它的一个通项公式; 3.通过独立思考、小组合作来提升获取知识的能力,增强团结协作的意识,养成善于观察、归纳、类比、联想等良好的思维品质. 二、学习重点与难点 学习重点:数列的概念及其通项公式. 学习难点:用函数的观点理解数列的概念. 三、学习过程 活动一:创设情境 1. 同学们,以下四个问题蕴含着四列数,你能写出来吗? (1)国际象棋的传说:每格棋盘上的麦粒数排成一列数: . (2)古语:如果将“一尺之棰”视为1份,那么每日剩下的部分依次为: . (3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿,这句童谣中蕴含的一列数为: . (4)人们在1740年发现了一颗彗星,并推算出它每隔83年出现一次,则从出现那次算起,这颗彗星出现的年份依次为: . 2. 同学们,你能说说上述几列数有什么共同特点吗? 活动二:数列的概念及其理解 1. 数列的定义:__________________________________________________. 数列的项: __________________________________________________. 2. 数列的分类(按项数分):__________________________________________________.

思考1:1.数列1,2,3,4,5.与数列5,4,3,2,1.相同吗? 2.金,木,水,火,土.是数列吗? 3.数列1,2,3,4,5.与数列1,2,3,4,5,… 相同吗? 3. 数列的表示方法: 数列的一般形式可以写成 . 其中1a 是数列的第 项(或称为 ),2a 是数列的第 项,…, n a 是数列的第 项. 有时,我们把上面的数列简记为 . 思考2:1.此处的n a 与{}n a 有何区别? 2.数列中的项和集合中的元素有何区别? 活动三:探索数列与函数的关系 国际象棋每格棋盘上的麦粒数: 序号n 1 2 3 4 ... 64 项 a n 1 2 22 23 ... 263 请回答: 1.这个数列中,对每一个项的序号n 都有唯一的项 a n 与之对应吗? 2.一般数列中,对每一个项的序号n 存在唯一的项a n 与之对应?

数列的概念与表示方法

第三讲 数列的概念与表示方法 【知识要点】 1.数列的概念 按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为数列{a n },其中数列的第1项a 1也称首项;a n 是数列的第n 项,也叫数列的通项. 2.数列的表示方法 (1)列举法 (2)图象法 (3) 解析法 (4)递推法 3.数列的分类 4.数列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看作定义域为正整数集N * (或它的有限子集)的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列. 5.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f(n),那么这个式子就叫做这个数列的通项公式.不是每个数列都有通项,如果数列有通项公式,但其通项公式在形式上不一定惟一. 6.求数列通项公式的常见类型与方法 (1)已知数列的前n 项,求其通项公式 ①据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征: 分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征等.并对此进行归纳、联想. ②根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n+1来调整. ③观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决. 题型一 由数列的前n 项求其通项公式 例1 写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,… (2) ,32 31,1615,87,43,21

高三理数一轮讲义:6.1-数列的概念及简单表示法(练习版)

第1节数列的概念及简单表示法 最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式); 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 . 知识梳理 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准类型满足条件 项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限 项与项间的大小关系递增数列a n +1 >a n 其中n∈N*递减数列a n+1<a n 常数列a n +1 =a n 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 (1)通项公式:如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式:如果已知数列{a n}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项 a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

[微点提醒] 1.若数列{a n }的前n 项和为S n ,通项公式为a n ,则a n =???S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2. 2.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关. 3.易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对任意n ∈N *,都有a n +1=S n +1-S n .( ) 2.(必修5P33A4改编)在数列{a n }中,a 1=1,a n =1+(-1)n a n -1(n ≥2),则a 5等于( ) A.32 B.53 C.85 D.23 3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n =________. 4.(2019·衡水中学摸底)已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *),S n 为其前n 项和,则S 5的值为( ) A.57 B.61 C.62 D.63

(完整版)数列的概念与简单表示法练习题及答案解析

练习一 1.数列1,12,14,…,1 2n ,…是( ) A .递增数列 B .递减数列 C .常数列 D .摆动数列 2.已知数列{an}的通项公式an =1 2[1+(-1)n +1],则该数列的前4项依次是 ( ) A .1,0,1,0 B .0,1,0,1 C.12,0,1 2 ,0 D .2,0,2,0 3.数列{an}的通项公式an =cn +d n ,又知a2=3 2,a4=154,则a10=__________. 4.已知数列{an}的通项公式an =2 n2+n . (1)求a8、a10. (2)问:1 10是不是它的项?若是,为第几项?

练习二 一、选择题 1.已知数列{an}中,an=n2+n,则a3等于( ) A.3 B.9 C.12 D.20 2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) A.1,1 2 , 1 3 , 1 4 ,… B.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-1 2 ,- 1 4 ,- 1 8 ,…新课标第一网

D .1,2,3,…,n 3.下列说法不正确的是( ) A .根据通项公式可以求出数列的任何一项 B .任何数列都有通项公式 C .一个数列可能有几个不同形式的通项公式 D .有些数列可能不存在最大项 . 4.数列23,45,67,8 9,…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021 D.2223 5.已知非零数列{an}的递推公式为an =n n -1 ·an -1(n >1),则a4=( ) A .3a1 B .2a1 C .4a1 D .1 6.(2011年浙江乐嘉调研)已知数列{an}满足a1>0,且an +1=12an ,则数列{an} 是( ) A .递增数列 B .递减数列 C .常数列 D .摆动数列 二、填空题 7.已知数列{an}的通项公式an =19-2n ,则使an>0成立的最大正整数n 的值为__________.

数列的概念及简单表示方法

§6.1 数列的概念及简单表示法 1.数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类 3.

数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4. 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n =f (n )来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.已知S n ,则a n =????? S 1 (n =1) S n -S n -1 (n ≥2) . 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达. ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( √ ) (3)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是a n =1+(-1)n +1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对?n ∈N +,都有a n +1=S n +1-S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中,对于任意正整数m ,n ,a m +n =a mn +1,若a 1=1,则a 2=2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=1 2a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何 一项. ( √ ) 2. 设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为 ( ) A .15 B .16 C .49 D .64 答案 A 解析 ∵S n =n 2,∴a 1=S 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1. ∴a n =2n -1,∴a 8=2×8-1=15. 3. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10等于 ( ) A .1 B .9 C .10 D .55

数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计)

数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计 【课题】数列的概念与简单表示法(第一课时) 【课型】新授课 【授课教师】昆明市第24中学云付泽 一、教材与教学分析 1.数列在教材中的地位 根据新课程的标准,“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念,然后将数列作为一种特殊函数,介绍数列的几种简单表示法,等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课,为达到新课标的要求,从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识,打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题). 2.教学任务分析 (1) 理解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例,引入数列的概念,理解数列的顺序性,感受数列是刻画自然规律的数学模型.了解数列的几种分类. (2)了解数列是一类离散函数,体会数列中项与序号之间的变量依赖关系. 3.教学重点与难点 重点:理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型. 难点:认识数列是一种特殊的函数,发现数列与函数之间的关系 二、教学方法 小组合作、探究学习模式 通过对问题情境的分析讨论的方式,运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法,引导学生探究数学归纳法。 三、教学基本流程

四、学习过程设计 【创设问题情境】 1. 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题: 三角形数:1,3,6,10,… 正方形数:1,4,9,16,25,… 2. 古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.每日所取棰长排成的数: 1,21,41,81,161,32 1,…… , 3. 4月10日至4月17日昆明的日最高气温(单位:℃) 23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 思考:上述这些问题中的几列数有什么共同特点? (1) 都是一列数;(2)都有一定的顺序 【设计意图】:引出课题------数列的概念与简单表示法 活动一:数列的概念探究 引导学生观察一下几列数具有的共同特征,然后让学生抓住数列的特征,归纳得出数列概念。 (1)1,3,6,10,… 1,4,9,16,25,… 1,21,41,81,161,32 1,…… (2)1,21,31,4 1,…… (3)23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 (4)1-,1,1-,1,…… (5)1,1,1,1,…… 引导学生:分组讨论,可能会有不同的答案:前数和后数的差符合一定规律;这些 数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。 教师引导归纳出: 1. 数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数叫数列. 2. 数列的项 数列中的每一个数就是数列的项 3. 数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a 简记为{}n a 【设计意图】:利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题,既可以帮助学生直观地理解数列的概念,又可以使学生认识到“数学来自于生活” 活动二:数列和集合的关系 将以上几列数用集合如何表示?请写出相应的集合。观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别? 经过以上问题可得出集合和数列的区别是: 第一,集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合,某农场全部拖拉机组成一个集合,所有的化学元素组成一个集合,等等。而数列的对象都

《数列的概念与简单表示法》-教案

2.1.1 数列的概念与简单表示法(第一课时) 一、教学目标 (1)了解数列的概念通过实例,引入数列的概念,并理解数列的顺序性,感受数列是刻画 自然规律的数学模型。同时了解数列的几种分类。 (2)体会数列之间的变量依赖关系,了解数列与函数之间的关系。 二、教学重点与难点 教学重点:了解数列的概念,以及数列是一种特殊函数,体会数列是反映自然规律的数学模型。 教学难点:将数列作为一种特殊函数去认识,了解数列与函数之间的关系。 三、? 四、教学过程 一、创设情境,实例引入 1.斐波那契数列,《算盘全书》中兔子繁殖的问题 2.引导学生观察向日葵图片,建自然现象中体现出的数的规律。 师:观察向日葵花瓣,你会发现花瓣的排列有怎样的规律? 2.早在春秋战国时期,惠施说过:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。 实际上这里面就蕴含着数列的知识和以后要学习的极限思想,因此,我们所研究数列非常重要。今天我们就来学习数列的概念与简单表示法。 板书课题:数列的概念与简单表示法 二、| 三、新课教学 (一)引入 1.古希腊毕达哥拉斯的学派的基本观点:万物皆数。他们认为数是万物的本源,因此他们曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,比如他们曾经过的三角形数。 师:什么叫做三角形数?这些数可以用图中的三角形点阵来表示。 我们看三角形数分别是1,3,6,10……(板书) 师:类似的他们还研究了正方形数,他们分别是1,4,9,16,25……(板书) (二)新课教学 问题一:那么现在就请大家循着古代数学家的足迹,归纳一下这几列数都有那哪些特点? ~ 我们刚才说这个学派的最根本观点是什么?万物皆数 所以第一个特点是什么?都是一列数 第二个特点呢?我们看他的排列是不是乱排的, 也就是说这几列数都研究的是数,同时有规律,那我们把满足这两个性质的一列数叫做数列。按照一定顺序排列的一列数成为数列。

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