数列
一、 数列的概念与简单表示法
1、
数列的概念
⑴ 数列的定义：
按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每
个数称为该数列的项。
数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为
,,,,21n a a a ，或者简记为}{n a ，其中n a 表示数列}{n a 的
通项。
注：
① 研究对象:“数”(与集合相区别)。 ② 首项（第1项）：数列中的排在第1位的数。 第2项 ：数列中的排在第2位的数。 …… 通项（第n 项）：数列中的排在第n 位的数。 ③ 注意n a 与}{n a 含义的区别： n a ：表示数列}{n a 中的第n 项。
}{n a ：表示数列 ,,,,21n a a a ，简单记法。
④ 数列的项性质：
有序性 ：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与排列顺序有关。 可重复性 ：数列中数可以重复出现。 补充知识：
集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性。
例：a 1、2、3、4、5、6和6、5、4、3、2、1构成同一个结合，不同的数列
b 1、2、2、3、5、5可以表示数列，但不能构成集合。 ⑵ 从函数的角度研究数列：
对于任意一个数列}{n a ，其每一项与序号都有对应的关系，见下表：
数列可以看作一个定义域为正整数集N (或它的有限子集｛1,2,3，…,n ｝)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 注：1、数列可以看作特殊的函数（离散型），其图像是一系列孤立的点。
2、函数不一定是数列。
2、 数列的表示方法
⑴ 列表法：列出表格表示出数列的项和序号的关系
在平面直角坐标中，数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点（n ,n a ）。
⑶ 通项公式法：用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。
3、 数列的通项公式：
⑴ 数列的第n 项叫做数列的通项。
⑵ 如果数列}{n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
注：① 并不是所有的数列都可以用通项公式表示
例：π小数点后每一位所构成的数列1,4,1,5,9，2,6… π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值组成的数列3,3.1，3.14,3.142，… ② 只给出一个数列的若干项，而未指明数列构成规律时，该数列的通项公
式不能唯一确定。 例：数列1,4,7,10，… 通项公式可以是2n 3-=n
a ,也可以()()()()43212n 3----+-=n n n n a n
③ 数列通项公式的表示方法不唯一。 例：数列-1，1,-1,1,-1，… 通项公式可以是)(cos πn a n =,也可以是n
1-）（=n a 。
4、 数列的递推公式：
⑴ 递推公式：
如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式。
⑵ 通项公式与递推公式异同点：
相同点：都可以确定一个数列，都可以求出数列的任意一项。 不同点：通项公式可以通过代入项数n 直接求出项n a 。简单直接
递推公式需要通过一次或者多次赋值，求出需要的项n a 。赋值繁琐 所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。（相应专题练习）
5、 数列的前n 项和：
n n
k k
a a a a
+++=∑= 211
叫做数列{}n a 的前n 项和，记作n S
数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：
n a a a S +++= 21n
??
?≥-==-)2()1(1
1n n S S n S a n n
注：1、1n
--=n n S S a 不是对一切正整数n 都成立的，而是对于2≥n 的一
切正整数恒成立，因为当1=n 时，1n
--=n n S S a ，0S 无意义。
2、由前n 项和n S 求通项公式时，要分两种情况：1=n 和2≥n ，然后验证两种情形可否用同一式子表示。若当1=n 时，1a 也适合n a 的表达式，则将两种情况统一合写。若不能，则需要采用分段形式来表示。
例： （1）n S *1-1
n n +=）（；
（2）n n S +=2n 2；
（3）322n ++=n n S ；
（4）n
S 2n =；
（5）32n
+=n S ；
6、 数列的分类：
7、 数列的性质： 单调性，周期性，有界性
⑴ 单调性： 递增数列：*
N n ∈?，1+n a >n
a 递减数列：*N n ∈?，1+n a a 摆动数列：有大有小 常数列：* N n ∈?， 1+n a =n a 求数列的最大（小）项，一般先研究数列的单调性， 可以用???≥≥+-11n n n n a a a a ()*,2N n n ∈≥或???≤≤+-1 1 n n n n a a a a () *,2N n n ∈≥求解， 也可以转换为函数的最值问题或利用数形结合求解。 ⑵ 周期性： *N n ∈?，k +n a =n a （k 为正整数），那么称数列{}n a 是以k 为周期的周期函数。 例：①)(sin πn a n =、)cos(πn a n =、n n a )1(-= 注意：sinn =n a ，n c os a n =不是周期函数。 ②)(为常数c c a n = ③递推公式（创新题型）：1-1-n n n a a a =+，31 21==a a ， ⑶ 有界性： *N n ∈?， M a ≤n ,那么称{}n a 为 有界数列，否则称{}n a 为无界数列。 例：1、)(sin π n a n =、,n 1 =n a n n a -=2等均为有界数列 2、32+=n a n 、2 n a n =、n n a 2=等均为无界数列
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