学生做题前请先回答以下问题
问题1：什么是绝对值，绝对值法则是什么？
问题2：|x|=2表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离为______，因此x=______．问题3：有关绝对值的分类讨论：
①__________，分类；
②根据__________，筛选排除．
以下是问题及答案，请对比参考:
问题1：什么是绝对值，绝对值法则是什么？
答：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．
绝对值法则：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
问题2：|x|=2表示在数轴上，x所对应的点与的距离为，因此x= ．
答：原点，2，±2．
问题3：有关绝对值的分类讨论：
①，分类；
②根据，筛选排除．
答：①画树状图；②限制条件．
绝对值应用（分类讨论）（人教版）
一、单选题(共9道，每道11分)
1.若，则的值为( )
A.4
B.
C.-4
D.0
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
2.若，则的值为( )
A.1
B.±1
C.±7
D.1或7
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
3.若，则( )
A.4
B.8
C.4或8
D.4或-8
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
4.若，，则( )
A.8
B.±8
C.8或-2
D.±2
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
5.若，，则( )
A.-3
B.-3或7
C.3或-7
D.±3或±7
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
6.已知，，且，则a+b的值为( )
A.±3
B.±13
C.3或-13
D.-3或13
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
7.若，，且，则x与y的值分别为( )
A.或
B.或或
C.或或
D.或或或
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
8.已知，，且，则的值为( )
A.±3
B.-3或-7
C.-3或7
D.或
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
9.若，则的取值共有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
四、绝对值 （一）基本计算、非负性运用 1、若|a|=4，|b|=3；且|a+b|=a+b 。求a-b 的值。 2、已知05-y 4-x =+，求xy 的值。 3、8-y 5-x -=，求 y x 的值。 4、∣x-2∣和∣y+3∣互为相反数，求4x+2y 的值。 5、已知()22018b 2017-a +和互为相反数，求a-b 的值。 6、一个数的绝对值等于他的相反数，这个数一定是（ ） A 、负数 B 、正数 C 、0或负数 D 、0或正数 7、已知：|x|=5，|y|=1，求y x y -x ++的值。 8、数a 的数值上的位置如图所示，且|a+1|=2，求|3a+7|的值。 如果没有数轴，请你补充一个a 值的限定，使结果和上述结果相同。
（二）绝对值化简 1、=-----739297535274 2、-a a =，则化简2-a -1-a 所得的结果是（ ） A 、-1 B 、1 C 、2a-3 D 、3-2a 3、a ＜0时，化简a 3a a +的结果是（ ） A 、3 2 B 、0 C 、-1 D 、-2a 4、若ab ＞0，则ab ab ++b b a a 的值等于（ ） 。 5、若a -22-a =，求a 的取值范围；若2-a 2-a =，求a 的取值范围。 6、计算： 20191-2020131-4121-311-21+???? 7、已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对用点分别是A ，B ，C ，其位置如图所示： 化简：b a 4c -a 3c b 2a +--++= 8、设abc 为非零的有理数，且0a a =+；ab ab =；0c c =-。 化简：c -a b -c -b a b ++- 9、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，且∣a ∣=∣b ∣
分三种情况讨论 在解形如3|x﹣2|=|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论： 解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和x≥2两种情况讨论． 知识迁移： （1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8=3|x﹣3|； 知识应用： （2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2﹣x|﹣3|x+1|=x﹣9． 提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？ 适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值有﹣3，﹣2，﹣1，0． 1.（1）若|x+5|=2，则x=﹣3或﹣7； （2）代数式|x﹣1|+|x+3|的最小值为4，当取此最小值时，x的取值范围是﹣3≤x≤1； （3）解方程：|2x+4|﹣|x﹣3|=9． （1）解方程：|2x+3|=8． （2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1． 3.解方程：|x+1|+|x﹣3|=4． 4.解方程:|x﹣2|+|x﹣1|=3， 5.解绝对值方程：|x﹣1|﹣|x﹣2|=x﹣3． 6.方程|x+1|﹣2|x﹣2|=1的解为x=或x=4． 7.|2x+1|=|x﹣3| 8.解绝对值方程：|x﹣4|+|x﹣3|=2． 8.解方程：|x|+|2x﹣1|=5． （1）根据上面的解题过程，方程2|x﹣1|﹣x=4的解是x=6或x=﹣．（2）根据上面的解题过程，求解方程：2|x﹣1|﹣|x|=4． （3）方程|x|﹣2|x﹣1|=4无解．（直接在_____上填“有”或“无”）
思维特训(四) 绝对值与分类讨论 方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论． 用符号表示这一过程为：||a ＝???a （a >0）， 0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；①讨论；①归纳． 典题精练 · 类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a －b|. (1)|AB|＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|－|PB|＝2时，求x 的值． 2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值． 类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题
学生做题前请先回答以下问题 问题1：什么是绝对值，绝对值法则是什么？ 问题2：|x|=2表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离为______，因此x=______．问题3：有关绝对值的分类讨论： ①__________，分类； ②根据__________，筛选排除． 绝对值应用（分类讨论）（北师版） 一、单选题(共9道，每道11分) 1.若，则的值为( ) A.4 B. C.-4 D.0 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 2.若，则的值为( ) A.1 B.±1 C.±7 D.1或7 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 3.若，则( ) A.4 B.8 C.4或8 D.4或-8 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 4.若，，则( ) A.8 B.±8 C.8或-2 D.±2 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 5.若，，则( ) A.-3 B.-3或7 C.3或-7 D.±3或±7 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 6.已知，，且，则a+b的值为( ) A.±3 B.±13 C.3或-13 D.-3或13 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 7.若，，且，则x与y的值分别为( ) A.或 B.或或 C.或或 D.或或或 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 8.已知，，且，则的值为( ) A.±3 B.-3或-7 C.-3或7 D.或 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 9.若，则的取值共有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：C 解题思路：
思维特训(四) 绝对值与分类讨论 方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论． 用符号表示这一过程为：||a ＝?????a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳． 典题精练 · 类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |. (1)|AB |＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值． 2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为
AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值． 类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题： 【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值． 【解决问题】 解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c ＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋－b b ＋－c c ＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值为3或－1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0；
绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
[例1] （1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3） 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 （4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3） 选择D 。 （4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a ＞b B.a=b C.a初一数学绝对值典型例题精讲
标准实用 文案大全第三讲绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。绝对值的性质： （1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a＞0） （2）|a|= 0 （a=0）（代数意义） -a (a＜0) （3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0； （4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a， 且|a|≥-a； （5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义） （6）|ab|=|a|·|b|；|ba|=||||ba（b≠0）； （7）|a|2=|a2|=a2； （8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥ |a-b| 内容概述 绝对值的定义及性质 标准实用 文案大全[例1] （1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（） A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0 （3）下列各组判断中，正确的是（） A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a2=(-b) 2 （4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个
(完整版)绝对值提高 专项练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
绝对值 1、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求 y x y x -+的值。 2、a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜． 3、若y x -+3-y =0 ，求2x+y 的值. 4、当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？ 5、已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0. 求式子 4422++-+c a c ab 的值. 6、若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x-y ｜=y-x ，求x+y 的值． 7、化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 8、02b 1=++-a ，求()2001b a ++()2000b a ++…()2 b a ++=+b a ． 9、已知2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式
.) 1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab 10、 已知5=a ，3=b 且b a b a +=+，求b a +的值。 11、 a 与b 互为相反数，且54= -b a ，求1 2+++-ab a b ab a 的值. 12、（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 13、（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是______。 14、若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ． 15、大家知道|5||50|=-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|63|-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|5|a +在数轴上的意义是 ． 16、（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？
初一数学绝对值难题解析 令狐采学 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－ b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c 的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？
去绝对值符号的几种常用方法 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 聚焦《绝对值》 【图解考点】 【技法透析】 1．绝对值的基本性质 在含有绝对值式子的运算及变形中，绝对值的性质有很重要的作用，其主要性质有：若a 、b 为有理数，则： (1)非负性：①a ≥0；②若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0； (2)若a ＝b ，则a ＝±b ；222a a a == (3)ab a b =?；a a b b =（b ≠0）； ④a b a b a b -≤±≤+． 特别关注：若干个非负数之和为0，则这几个非负数必须同时为0，即：a ＋b ＋…＋n ＝0，则a ＝b ＝…＝n ＝0． 2．去绝对值符号的方法 去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数（或式）的正负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有： (1)由已知条件去绝对值． (2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值． (3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值， 特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可． 3．绝对值方程 (1)最简单的绝对值方程为x ＝a ，它的解法情况如下： ①当a>0时，方程有两解：x ＝a 或x ＝－a ， ②当a ＝0时，方程有一解：x ＝0， ③当a<0时，方程无解． (2)解绝对值方程的一般步骤 ①求出各个零界点． ②根据未知数的取值范围分类讨论． ③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程中，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法．在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程． 特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法． 4．绝对值的几何意义在生活中的应用 在实际生活中经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时又使实际问题数学化，从而运用绝对倌的几何定义求解．一般地，设a 1，a 2，a 3，…a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数，对于12n x a x a x a -+-+-，则： (1)当n 为奇数时，此式在x ＝12n a +时取最小值； (2)当n 为偶数时，此式在2n a ≤x ≤1 2n a +时取最小值． 【名题精讲】 赛点1 绝对值的化简 2016上海初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0； 实用文档 第三讲绝对值内容概述 它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学绝对值是有理数中非常重要的组成部分， 习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。绝对值的定义及性质 简单的绝对值方程绝对值化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值 几何意义的使用 绝对值的定义及性质 |a|。绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作绝对值的性质：，这是绝对值非常重要的性质；绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0（1））（a＞0 a （代数意义）a=0））（2|a|= 0 （0) ＜-a (a ≤0；≥0；若|a|=-a，则a若（3）|a|=a，则a a，）4任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥（-a；且|a|≥（几何意义）a=b或a=-b；）（5若|a|=|b|，则|a|a|=（b≠0）·6（）|ab|=|a||b|；|；|b|b222；|=a）（7|a|=|a≥≥≥≤8（）|a+b||a|+|b| |a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b| |a|+|b||a-b| 实用文档 [例1] （1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（） A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0 （3）下列各组判断中，正确的是（） A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b 22 =(-b) |a|=b，则一定有ab|a|＞，则一定有|a|＞|b| D.若C. 若（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3）选择D。 （4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（） A.a＞b B.a=b C.a 第二讲绝对值（分类讨论整体思想） 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数． 例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜ (3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b； (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜． 例2已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜． 例3若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值． 例5若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值． 例7 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 例8已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值． 例9 设a ＜b ＜c ＜d ，求｜x -a ｜+｜x -b ｜+｜x -c ｜+｜x -d ｜的最小值． 例10 若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数值． 练习 1．x 是什么实数时，下列等式成立： (1)｜(x -2)+(x -4)｜=｜x -2｜+｜x -4｜；(2)｜(7x+6)(3x -5)｜=(7x+6)(3x -5)． 2．有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c| 3．若a ＋b ＜0，化简｜a+b -1｜-｜3-a -b ｜． 4．已知有理数a ，b ，c 满足 1||||||=++c c b b a a ，求abc abc | |的值 教学目标： 1、使学生了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值。 2、能利用数形结合思想来理解绝对值的几何定义；理解绝对值非负的意义。 3、能利用分类讨论思想来理解绝对值的代数定义；理解字母a的任意性。 4、经历绝对值概念的形成，体会数形结合的思想方法，丰富解决问题的策略。 情感态度与价值观 教学重点：初步理解绝对值的意义，会求一个有理数的绝对值； 教学难点：有理数的绝对值的代数意义及其应． 教学过程： 一、（一）复习旧知 1、什么是数轴？ 2、数轴的三要素是什么？ （二）情景导入： 两辆汽车从同一处O出发，分别向东、向西方向行驶10千米，到达A、B两处（如图），它们行驶的路线相同吗？它们行驶路程的远近（线段OA、OB的长度）相同吗？（考虑的是路程，而不是方向。） A 10 O 10 B 西 东 二、探究新知 1、将上述问题画在数轴上（直接呈现） 老师直接给出绝对值的概念： 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 注意： a 可以是正数、零或者负数。字母代表任意数。 例如-10和10的绝对值都是10，记作|-10|=10，|10|=10 2、在数轴上标出到原点距离是3个单位长度的点，这样的点有几个？ 一个学生板演，其他学生在练习本上画。 （学生发现表示3的点和表示－3的点到原点的距离都是3。） 尝试总结发现：互为相反数的两个数的绝对值相等。 3、求下列各数的绝对值 |+2|= |-2|= |+1.8|= |-1.8|= |+15|= |-15|= 10 0 -10 A B |0| = （要求：独立完成） 思考：一个数的绝对值与这个数的关系？ 学生分组讨论、交流并发言，老师总结 归纳：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．谁来说说|a|是什么数？非负数（重点说明绝对值的非负性|a| ≥ 0） 说明理由：距离的非负性 组内交流：小组内每人说出一个具体数值让其他三人说出这个数的绝对值。 思考：若把这个数用a表示，你能试着把上面这三句话转化为数学语言吗？ 学生分组讨论 4、尝试用字母a表示： 当a ＞ 0时，|a| = a 当a = 0时， |a| = 0 当a ＜ 0时，|a| = -a 5、思考 的数有几个?各是什么? (1)绝对值是1 2 第2讲 绝对值中的分类讨论思想（1） 【链接方法】 1.若x m =（m ＞0），则x m =±. 2.若a ＞0，则1a a =；若a ＜0，则1a a =-. 3．灵活运用绝对值基本性质: ①222 0;;;a a a a ab a b ===?≥②③④)0(≠=b b a b a ；⑤a b +≤a b +. 4.绝对值的非负性的应用： ①若0a b +=，则0a b ==；②2 0a b +=，则0a b ==. 【挑战例题】 【例1】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点之间的距离为8，求这两个数. 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 【例2】(山东省竞赛题)如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )． A ．0 B ． 1或一l C ．2或一2 D ．0或一2 因为a+b+c=0，所以a 、b 、c 、存在两种情况，即两个正数一个负数和一个正数两个负数。 当两个正数一个负数时a/|a|+b/|b|+c/|c|=1，abc/|abc|=-1， 所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=0 七年级数学绝对值的八种常见应用分类练习 已知一个数求这个数的绝对值 1．化简： (1)|－(＋7)|； (2)－|－8|； |－|＋47| (3)；(4)－|－a|(a<0)． 已知一个数的绝对值求这个数 2.若|a|＝2，则a＝________. 3．若|x|＝|y|，且x＝－3，则y＝________. 4．绝对值不大于3的所有整数为________． 5．若|－x|＝－(－8)，则x＝________， 若|－x|＝|－2|，则x＝________. 绝对值在求字母的取值范围中的应用 6．若|x|＝－x，则x的取值范围是________． 7．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是________． 8．如果|－2a|＝－2a，则a的取值范围是( ) A．a>0 B．a≥0C．a≤0D．a<0 绝对值在比较大小中的应用 9．把－(－1)，－，－，0，用“>”连接正确的是( )23|－45 |A ．0>－(－1)>－>－|－45|23 B ．0>－(－1)>－>－23|－45 |C ．－(－1)>0>－>－23|－45 |D ．－(－1)>0>－>－|－45| 23 绝对值的非负性在求字母值中的运用 10．若＋＋＝0，求a ＋b －c 的值．|a －12||b －13||c －14| 绝对值的非负性在求最值中的应用 11．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题： (1)当a ＝________时，|a －4|有最小值，此时最小值为________； (2)当a 取何值时，|a －1|＋3有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a 取何值时，4－|a|有最大值？这个最大值是多少？ 绝对值问题也可不分类讨论 童严明 有关绝对值的题目，一般是根据绝对值的意义去掉绝对值符号，如果不能确定绝对值里面的数或式的符号，就要分类讨论。本文说明特殊情况下也可不讨论，下面说明处理方法。 1. 用公式 例1. 已知ab <0，求a b b a ab a b 22||||(||||)-+-的值。 分析：如用定义，则要分四种情形进行分类讨论，麻烦。若根据||||||||a a a b ab 22==，。先变形，则可避免分类讨论。 解：原式=-+-||||||||(||||)a b b a ab a b 22 =-+-=-+=--+=||||(||||)(||||) (||||)(||)(||||)() a b a b ab a b a b ab ab a b ab ab 0 2. 整体处理 例2. 解方程x x x 2693290---+=||。 分析：按常规，应分x ≥3与x <3分类讨论，但若把||x -3看成一个整体，则可避免分类讨论。 解：原方程可化为 ()||x x ---+=3932002 即所以或解得：，，，||||(||)(||)||||x x x x x x x x x x ---+=----=--=--===-==-393200 34350 340350 718221234 3. 数形结合 例3. 满足||||27218a a ++-=的整数a 的值有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 解：由||||27218a a ++-=，得 a a --?? ? ??+-=7212 4 根据绝对值的几何意义，此式表示数轴上点P a ()到点A -?? ? ??72和点B 12?? ???的距离之和， 由于AB =4，所以P 点只能是线段AB 上的点 ) 绝对值常考题型分析 1. 理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用 知识梳理 一、知识结构框图： — 数 、 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 、 例题精讲 【题目】已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） 【选项】A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 【答案】A 【解析】| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 | 此题的求解使用了数形结合思想。 【知识点】和绝对值有关的问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【题目】已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ … 的值（ ） 【选项】A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 【答案】C 【解析】由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 { 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 【知识点】和绝对值有关的问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x绝对值考点专题讲解(新)
2016上海初一数学绝对值难题解析
初一数学绝对值典型例题精讲
第二讲 绝对值(分类讨论 整体思想)
绝对值教案课程
第2讲 绝对值中的分类讨论思想
七年级数学绝对值的八种常见应用分类练习
绝对值问题也可不分类讨论学法指导不分版本.
绝对值常考题型分析
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