数的意义和性质整理和复习
整理教师：XX
一、基础知识： （一）、数的意义及分类 1. 数的分类。 （1）数
（2）数
2. 整数的意义：像…，-3，-2，-1,0,1,2,3，…这样的数称为整数。整数的个数是无限的，没有最小的整数，也没有最大的整数。
3. 正整数和负整数的意义：像1,2,3,4，…这样的数叫做正整数；像-1，-2，-3，-4，…这样的数叫做负整数。正整数和负整数的个数都是无限的，其中最小的正整数是1，最大的负整数是-1。
4. 自然数的意义：在数物体个数时，用来表示物体个数的1，2，3，4，5，…叫做自然数。一个物体也没有用0表示。自然数的个数是无限的。最小的自然数是0，没有最大的自然数。自然数是整数的一部分。
（1）一个自然数有两个方面的意义：一是表示事物的多少，称为基数；二是表示事物的次序，称为序数。如“3个学生中的3是基数” ，“第3个学生中的3是序数” 。
（2）自然数的单位：任何非0自然数都是有若干个“一”组成的，所以“一”是自然数的单位。
5. 正数和负数的意义：像+16,2000，+8
3
，6.3，…这样的数叫做正数；像-16，
整数
分数（小数）
正整数 负整数
0 自然数
负分数（负分数）
正分数（正小数）
正数 0 负数
正整数
正分数（正小数） 负整数
负分数（负分数）
-500，-8
3
，-0.4，…这样的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。
6. 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
（1）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数就是这个分数分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。（注意：带分数只有化成假分数后，它的分子才能表示这个带分数含有分数单位的个数。） （2）分数的分类
①真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
②假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。带分数是大于1的假分数的另一种表示形式。
7. 百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率或百分比。
分数与百分数的关系：分数既可以表示一个数，也可以表示两个数的比；而百分数只表示一个数占另一个数的百分比，不能用来表示具体的数。分数后面可以带单位名称，而百分数的后面不能带单位名称。百分数是一种特殊的分数，通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
8. 小数的意义：把单位“1”平均分成10份，100份，1000份……这样的一份或几份可以用分母是10，100，1000，……的分数来表示，也可以用小数表示，小数的计数单位是十分之一，百分之一，千分之一，……分别写作0.1，0.01，0.001……。 9. 小数的分类。 小数
（1）纯小数和带小数：整数部分是
0的小数叫做纯小数，纯小数小于1；整数
按小数的整数部分是否为0
纯小数
带小数 按小数部分的位数是否有限
有限小数
无限小数
无限不循环小数
循环小数
纯循环小数
混循环小数
部分不是0的小数叫做带小数，带小数大于1。
（2）有限小数和无限小数：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。如4.28是有限小数，π是无限小数。
（3）循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字一次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环小数都是无限小数。（4）循环节：在一个循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字，叫做循环小数的循环节。
（5）纯循环小数和混循环小数：循环节是从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分的第一位开始的，叫做混循环小数。
（二）、计数单位和数位
1. 小数的数位顺序表。
2. 计数单位：个（一）、十、百、千……以及十分之一、百分之一、千分之一……都是计数单位。
3. 数位：各个计数单位所占的位置，叫做数位。数位是按一定顺序排列的。
4. 十进制计数法：就是指每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”，也就是10个较低的计数单位可以进成一个相邻的较高的计数单位（通常所说的“逢十进一”）。这种以“十”为基础进位的计数方法，叫做十进制计数法。
5. 数的分级：按照我国的计数习惯，整数部分从个位起，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级，表示多少个一；万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示多少个万；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级，表示多少个亿……。
（三）、分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 （四）、小数的性质
1. 小数的性质：在小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。
2. 小数的性质与分数的基本性质的关系：小数的性质是分数的基本性质的特殊情况。例如：0.3 = 0.30 = 0.300
103 10030 1000
300
（五）、小数点位置移动引起小数大小变化的规律
1. 小数点向右移动一位、两位、三位……该数就扩大到原来的10倍，100倍，1000倍……；小数点向左移动一位、两位、三位……该数就缩小到原来的
10
1，1001，1000
1
……。 2. 如果把一个数扩大到原来的10倍，100倍，1000倍……就要把它的小数点向右移动一位，两位，三位……；如果要把一个数缩小到原来的101，1001，1000
1
……就要把它的小数点向左移动一位，两位。三位……。 二、精讲典型例题
例1、判断下面两道题的说法是否正确。 （1）大于0而小于1的小数有9个。 （2）和0.6相邻的两个小数是0.5和0.7。
分析与解答：次题是 对小数的意义和特征的考查。（1）在0和1之间的小数的整数部分是0，而小数部分可以是一位小数、两位小数、三位小数……所以有无数个，故这种说法不正确。（2）题目中和0.6相邻的两个小数是几位小数，和0.6相邻的一位小数是0.5和0.7，但两位小数就是0.59和0.61，三位小数是0.599和0.601……因此很难确定与0.6相邻的小数是哪两个，故这种说法不正确。
总结：整数部分已知，小数部分的位数不确定，这样的小数个数是无限的；若小数部分的位数固定，这样的小数的个数是有限的，即一位小数有10个，两位小数有100个，三位小数有1000个……。 例2、填空：8.5和8.50的计数单位（ ）
一次函数与几何综合（k，b的几何意义与特殊 角）（人教版）（专题） 一、单选题(共8道，每道10分) 1.已知函数的图象为直线，点P的坐标为(2，1)，则点P到直线的距离为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：略 2.如图，点A的坐标为(-1，0)，点B在直线y=x-3上运动，则线段AB最短为( )
A. B. C.4 D. 答案：A 解题思路： 当AB垂直于直线y=x-3时，线段AB最短，如图， 设直线y=x-3与x轴交于点C，则点C的坐标为(3，0)．对于直线y=x-3来说， ∵k=1， ∴∠ACB=45°， ∵点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(3，0)， ∴OA=1，OC=3， ∴AC=4， 在Rt△ABC中，∠ACB=45°， ∴ 故选A 试题难度：三颗星知识点：略
3.如图，已知点A的坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点B，C，连接AC，=75°，则点B的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 对于直线y=x+b来说， ∵k=1， ∴∠ABC=45°， ∵=75°， ∴∠OAC=30°. ∵点A的坐标为（5，0）， ∴OA=5， ∴， ∴， ∵点B在x轴负半轴上， ∴点B的坐标为. 故选B. 试题难度：三颗星知识点：略
4.如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，则AC所在直线的表达式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：略 5.如图，在平面直角坐标系中放入一张矩形纸片ABCO，OC=9，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知，则折痕B′E所在直线的解析式为( )
复习内容：第三单元小数的意义和性质（二） 复习时间：2020年2月14日 作业设计： 1、小数的计数单位是（）、（）、（）…….分别写作（）、（）、（）…….每相邻两个计数单位间的进率是（）。 2、小数点右边第三位是（）它的计数单位是（），小数点左边第三位是（），它的计数单位是（）。 3、1里面有（）个0.1，有（）个0.01. 4、0.6里面有（）个0.1,0.038里有（）个0.001. 5、6.3中的6在（）位上，表示（）个（），3在（）位上，表示（）个（）。 6、5.443是由（）个一，（）个十分之一，（）百分之一，（）个千分之一组成的。 7、一个由7个十、5个一、8个十分之一、6个百分之一组成的数是（）。 8、精挑细选（将正确答案的序号填在括号里） （1）把0.01的小数点去掉，这个数就（）。 A．扩大到它的10倍 B．缩小到原数的1/10 C．扩大到它的100倍 D．缩小到原数的1/100 （2）和66000万千米相等的数是（） A．660000000千米 B．66000000千米 C．6.6万千米D．6.6亿千米
9、用小数点和0、0、3、6、9按要求写数。 要求：每个数字都要用上；所有题目要求小数末尾不为0. 最小的四位小数： 最大的四位小数：。 只读出一个0的最大的小数：。 只读出一个0的最大的小数：。 一个0也不读出来的最大的小数：。 10、比较下面每组中两个数的大小。 0.14（）0.41 4.5（）5.4 0.33（）0.303 0.51（）0.15 10.010（）10.01 4.87（）48.7 11、填空。 （1）小花身高1.32米，小微身高1.43米，他们两人谁高？（）（2）小明有6元7角，小刚有6.08元，他们两人谁的钱多？（）（3）国际饭店高83.3米，新锦江酒店高153米，上海商城高164.8米，联谊大厦高108.65米，电信大楼高132.8米，将这些建筑物按从高到低的高度排列。 12、求近似数：保留一位小数。 3.02≈（） 3.54≈（） 6.92≈（）0.084≈（） 6.569≈（） 2.096≈（）
人教版数学三年级下册-打印版 平均数的应用 教学内容：第43页例2 教学目标 1、使学生掌握平均数的意义和求平均数的方法。 2、懂得平均数在统计学上的意义和作用。 3、培养应用所学知识合理、灵活解决简单的实际问题。 教学重点：使学生掌握平均数的意义和求平均数的方法。 教学难点：培养应用所学知识合理、灵活解决简单的实际问题。 教学过程： 一、创设情境引入新课 1、出示两个篮球队的身高统计表，让学生根据统计表说一说谁最高，谁最矮。 2、如果两个篮球队进行身高比较，你认为哪个队队员身高高些？ 王强是欢乐队中最高的队员，我们能不能根据这个信息就下结论欢乐队总体身高比开心队高吗？为什么？ 3、讨论：怎样比较两支球队的整体身高情况。 二、引导学生探究新知（引导学生探索用平均数的方法比较） 1、合作学习 让学生自己进行平均数计算。 2、提问：142厘米表示什么？它是指欢乐队某个队员的身高吗？ 3、144厘米表示什么？它是指开心队某个队员的身高吗？ 4、你能告诉我们两个队的总体身高比较情况吗？ 虽然欢乐队中的王强是两个队中最高的，但欢乐队的总体身高情况不如开心队，体会平均数是反映一组数据总体情况的一个很好的统计量。说一说我们在生活中哪些地方也需要运用“平均数”知识来解决问题？ 师：看到你们这么勤奋好学，又学得那么有水平。老师今天也特别高兴，我相信你们以后会发现和自学到更多的数学知识。其实“平均数“的知识还有很多，在生活实际中应用也很广，你们回忆得起来吗？对我们上课的评分，也可以来比较，哪一周课堂得分高、哪一周课堂得分低？我们也可以进行比较 出示上两周课堂评分。 你们认为第一周课课堂评分肯定比几分多，比几分少？ 师生共同演算： 平均分是多少？ 三、巩固练习：课本练习十一 全课小结。
1、（中）材料的三个弹性常数是什么？它们有何关系？ 材料的三个弹性常数是弹性模量E，剪切弹性模量G和泊松比μ，它们的关系是G=E/2(1+μ)。 2、何谓挠度、转角？ 挠度：横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移。 转角：横截面绕其中性轴旋转的角位移。 3、强度理论分哪两类？最大应切力理论属于哪一类强度理论？ Ⅰ.研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；Ⅱ. 研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。 4、何谓变形固体？在材料力学中对变形固体有哪些基本假设？ 在外力作用下，会产生变形的固体材料称为变形固体。 变形固体有多种多样，其组成和性质是复杂的。对于用变形固体材料做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了使问题得到简化，常略去一些次要的性质，而保留其主要性质。根据其主要的性质对变形固体材料作出下列假设。1.均匀连续假设。2.各向同性假设。3.小变形假设。 5、为了保证机器或结构物正常地工作，每个构件都有哪些性能要求？ 强度要求、刚度要求和稳定性要求。 6、用叠加法求梁的位移，应具备什么条件？ 用叠加法计算梁的位移，其限制条件是，梁在荷载作用下产生的变形是微小的，且材料在线弹性范围内工作。具备了这两个条件后，梁的位移与荷载成线性关系，因此梁上每个荷载引起的位移将不受其他荷载的影响。 7、列举静定梁的基本形式？ 简支梁、外伸梁、悬臂梁。 8、列举减小压杆柔度的措施？ （1）加强杆端约束（2）减小压杆长度，如在中间增设支座（3）选择合理的截面形状，在截面面积一定时，尽可能使用那些惯性矩大的截面。 9、欧拉公式的适用范围？ = 只适用于压杆处于弹性变形范围，且压杆的柔度应满足：λ≥λ 1 10、列举图示情况下挤压破坏的结果？ 一种是钢板的圆孔局部发生塑性变形，圆孔被拉长；另一种是铆钉产生局部变形，铆钉的侧面被压扁。 11、简述疲劳破坏的特征？ （1）构件的最大应力在远小于静应力的强度极限时，就可能发生破坏；（2）即使是塑性材料，在没有显著的塑性变形下就可能发生突变的断裂破坏；（3）断口明显地呈现两具区域：光滑区和粗糙区。 12、杆件轴向拉伸（压缩）时的强度条件可以解决哪几面的问题？ （1）强度校核。已知杆件的尺寸、承受的载荷以及材料的许用应力，验证强度条件不等式是否成立。（2）截面设计。已知杆件承受的载荷以及材料的许用应力，确定杆件的横截面尺寸，再由横截面积进而计算出相关的尺寸。（3）确定许可载荷。已知杆件的尺寸及材料的许用应力，确定结构或机器的最大载荷，得到最大轴力后，再由平衡条件确定机器或结构的许可载荷。 13、在推导纯弯曲正应力公式时，作了哪些基本假设？ 平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍然保持为一平面，并仍与变形后梁的轴线
一次函数K与b的意义 尹敏华 一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-b/k,0)的一条直线. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的点满足函数关系式,满足函数关系式 的点都在直线上. 在一次函数y=kx+b(k≠0)中, 当k>0,b>0时,则图象过一,二,三象限. 当k>0,b<0时,则图象过一,三,四象限. 当k<0,b>0时,则图象过一,二,四象限. 当k<0,b<0时,则图象过二,三,四象限. 当k>0时,y随x的增大而增大.图像经过一、三象限. 当k<0时,y随x的增大而减小.图像经过二、四象限. 当b>0时,图象与y轴的交点在x轴的上方. 当b<0时,图象与y轴的交点在x轴的下方. 在x轴上的点,y=0,则kx+b=0,则x=-b/k.点的坐标为(-b/k,0). 在y轴上的点,x=0,则b=y.点的坐标为(0,b). 例：教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水，假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接水量都是相等的，两个放水管同时打开时，它们的流量相同，放水时先打开一个水管，过一会儿， 再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着，饮水机的存水量与放水时间 的函数关系如图所示： （1）求出饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系式。 （2）如果打开第一个水管后2min时，恰好有4个同学接完水，则前22个同学接完水共需要几分钟？ （3）按（2）的放法，求出在课间10min内班级最多有多少个同学能及时接完水？ 分析：先审清题意，用待定系数法求出两段解析式。再利用斜率k的几何意义，验证所求结果。
解：（1）设线段AB为：，把A（0，18），B（2，17）分别代入可得： 即 所以线段AB为： 。 设线段BC为：，把B（2，17），C（12，8）分别代入可得： 即 所以线段BC为： 。 注：在求线段AB时，由b的几何意义可知：b=18，验证所得结果。
第四单元：分数的意义和性质 1.分数的产生和意义（1）总第（22）课时 【教学内容】分数的产生和分数的意义（教材第45~46页的内容）。 【教学目标】 1.通过观察，实验操作使学生知道分数是在人们的日常生活和生产实践中产生的。 2.在正确认识单位“1”的基础上，正确理解分数的意义，并能应用分数解决有关的问题。 3.通过操作，分析讨论等活动，提高学生的分析，类比、迁移的能力和自主探索能力。 【重点难点】1.理解单位“1”及分数的意义。 2.理解“整体”的含义，明确“1”在这里的作用。 教学过程： 【情景导入】 1.提问： （1）把6个苹果平均分给2个小朋友，每个人分得几个？（3个） （2）把一个苹果平均分给2个小朋友，每个人分得这个苹果的多少？（每人分得 这个苹果的1 2 ） 2.指定一名学生用1米长的直尺量一量，黑板的长度是多少米？（比3米长，比4米短） 3.揭示课题。 在实际生产和生活中，人们在计算时，往往得不到整数结果，在这种情况下就产生了分数，什么叫分数呢？这节课我们就来学习“分数的产生和分数的意义”。 【新课讲授】 1.引导学生回忆，我们已经学过，把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 例如：（1）出示月饼图 提问：把一块月饼平均分成2份，每份是它的几分之几？（1 2 ） （2）出示正方形图 提问：把这张正方形纸平均分成4份，1份是它的几分之几？这样的3份呢？（1 4 、
3 4 ） （3）出示线段图提问：把一条线段平均分成4份，这样的1份是这条线段的几分 之几？这样的2份、3份呢？(1 4 ， 2 4 ， 3 4 ) 2.进一步认识单位“1”。 以上都是把一个物体，一个计量单位看作一个整体，我们也可以把许多物体看作一个整体，如一批玩具，一个班的学生等。 （1）出示教材第46页的香蕉图 提问：把4根香蕉平均分成4份，一根香蕉是这个物体的几分之几？（1 4 ） （2）出示教材第46页的面包图 提问：把8个面包看作一个整体，平均分成4份，一份是这个整体的几分之几？表 示什么？（1 4 ，表示把8个面包看作一个整体，平均分成4份，其中的一份是这个整体 的1 4 ） 3.揭示分数的意义。 （1）观察以上教学过程所形成的板书 一个物体 计量单位单位“1” 一些物体 告诉学生：像这样表示一个物体，一个计量单位或是许多物体组成的一个整体，都 可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”。（板书：单位“1”）（2）反馈 ①在以上各图中，分别是把什么看作单位“1”？ ②1 2 ， 7 10 ， 1 4 各表示什么意义？ ③议一议：什么叫做分数？ (3)概括（把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数）【课堂作业】 完成教材第46页“做一做”。 1.指名回答，集体订正。 请学生说出1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 5 6 分别表示什么意思。
学生做题前请先回答以下问题 问题1：一次函数应用题怎样借助函数图象理解题意？ 一次函数应用题（交点的实际意义）（北师版） 一、单选题(共2道，每道16分) 1.甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系，折线BC-CD-DE表示轿车离甲地的距离 y（km）与时间x（h）之间的关系，由图象知，轿车出发后( )小时，轿车追上了货车． A.3 B.4 C.4.5 D.5 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题 2.小亮骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶．他距乙地的距离与时间的关系如图中折线AB-BC-CD所示．小明骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小亮晚出发一段时间，他距乙地的距离与时间的关系如图中线段EF所示．则小明出发( )小时与小亮相遇． A. B. C.5.5 D.0.5 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题
二、填空题(共4道，每道18分) 3.某地区一种商品的需求量（万件），供应量（万件）与价格x（元/件）分别近似满足 下列函数关系式：．需求量为0时，即停止供应．当时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量． （1）该商品的稳定价格为____元/件；稳定需求量为____万件． 答案：30, 30 解题思路： 试题难度：知识点：一次函数应用题 4.（上接第3题）（2）当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量．若要使稳定需求量增加4万件，政府应对每件商品提供____元补贴，才能使供应量等于需求量．
课题一次函数的概念及其性质 一、本次课授课目的及考点分析：授课目的： 1、掌握一次函数的定义、图象和主要性质； 2、了解一次函数与正比例函数的关系； 3、会根据已知条件求出一次函数的解析式．结合例题培养学生观察、归纳的思维和渗透数形结合思想． 教学重点： 会根据已知条件求出一次函数的解析式； 教学难点： 在y=kx+b中，k和b的数与形的联系； 二、本次课的内容：一次函数的概念、一次函数的图像、一次函数的性质 教学过程 一、错题回顾： 二、教授新课： (一)复习 1．写出正比例函数的解析式． 2．正比例函数的图象是什么形状？当k＞0，k＜0时，图形的位置怎样？ (二)新课 这些函数的共同的特点都是含自变量的一次式． (1)一次函数的一般形式：一般地．如果y=kx+b①(k，b是常数，k≠0)．那么y叫做x的一次函数． (2)一次函数与正比例函数的关系．当b=0时，①式为y=kx是正比例函数．所以，正比例函数是一次函数的特殊情况． (3)两个条件确定一次函数式．因为一次函数含有两个系数k，b．而要求两个系数k，b需要列出两
个独立且不矛盾的方程，也就是说要想求出一个一次函数式，需要两个条件． 例1已知x是自变量，a，b是常量，下面各式中，是x的一次函数的是[ ]． (A)(1) (B)(1)，(5) (C)(1)，(2)，(4) (D)(1)，(2)，(4)，(6) 这六个式子是 (1)y=3x+5；(2)3x+5；(3)y=3x2+5； 分析：(3)是二次函数，(5)是分式函数，这两个都不是一次函数．容易被认为不是一次函数的是(4)3a+5x，因为其中没有y，即不是y=3a+5x形式．其实3a+5x本身就是x的函数，y=3a+5x只是用字母y来表示3a+5x而已，所以本题应选(D)． 例2已知y是x的一次函数，当x=3时，y=5；当x=2时，y=2；则x=-2时，y=______． 解：设此一次函数式为y=kx+b．由已知，可列出方程组 所求的一次函数为y=3x-4，所以x=-2时，y=3(-2)-4=-10． (4)一次函数图象与正比例函数的图象的关系． 我们从下面的列表，观察、归纳.
“平均数”看似简单的数学概念，但它的内涵是那么的丰富，它的应用又是那么的广泛。无论是在日常的生活，还是在科学技术中都要用到“平均数”。因此，让学生从小了解“平均数”的基本含义以及简单的计算方法，无论对学生的后续学习，还是对学生的今后的工作和生活都具有深刻的影响。 一、教学现状分析 新课标人教版义务教材（以下简称新教材）把“平均数”编排在统计中进行教学,这对于三年级的学生来说，要从统计的角度去正确理解“平均数”的意义存在一定的困难。因为三年级学生的统计意识比较薄弱，他们的生活经验相当肤浅，而用统计的思想去理解“平均数”需要有一定的统计意识和一定的生活经验，而正是由于受到这两方面的不足影响了学生对“平均数”意义的理解。那么如何使三年级的学生正确理解“平均数”的意义？笔者认为我们必须考虑以下三个方面。第一既然“平均数”放在统中计中进行教学存在着较大的困难，那么为什么新教材还要把它放在统计中进行教学。第二放在统计中教学“平均数”和放在解决问题中教学“平均数”，在教学方法和教学目标上有什么区别。第三“平均数”特征有很多，而且这些特征又是十分抽象，那么教学目标应该如何把握？也就是“平均数”的特点让学生掌握到什么程度最为合适。除此以外还必须考虑采用什么方法进行教学最为合适？只有对这以上三个方面有了正确认识才能教好“平均数”。 首先我们来讨论第一个问题，“平均数”的应用虽然广泛，但它不同于一般的数量关系可以独立存在，并适用于一般的实际问题解决。但“平均数”的应用广泛性是指在大量的统计中用到它，也就是单纯计算“平均数”是没有什么实际意义，只有把它看作一个统计量进行分析时，才能显示出它的意义和作用。因此，新教材把“平均数”编排在统计中教学是合理的。 我们再来讨论第二个问题，对同一教学内容而言，编排在不同的教学体系中，虽然这一内容的本质没有发生什么变化，但其教学目标会有所不同，教学侧重点也会发生偏移，对于“平均数”来说也是如此。如果把它编排在解决问题中进行教学，它的教学目标是使学生运用平均分的思想解决简单的实际问题。也就是只重视“平均分”思想的应用，关注的是分得的结果。而“平均数”的统计意义，“平均数”的特点，基本上没有渗透。因此，对教师而言这样的教材比较容易把握，教学方法也比较单一，所以教师们普遍感到把“平均数”放在解决问题中进行教学，教师易教学生易学。新教材把“平均数”编排在统计中教学进行教学，显然这样的编排不但揭示了“平均数”的由来、“平均数”的意义，还渗透“平均数”的一些特征。正因为在统计中教学“平均数”增加了那么多的内涵，这就给教师正确理解的把握教材带来了困惑，同时给学生正确理解“平均数”也带来了困难。 下面我们来讨论第三个问题，由于在统计中教学“平均数”，使的“平均数”的统计意义更加丰富，所以教师们不但把“平均数”的意义、特点和作用都向学生作了介绍，而且想尽一切办法让学生掌握这些意义、特点和作用。老师们的出发点是好的，但是“平均数”的意义、特点和作用，对一般的成人而言都难以理解，那么对三年级的学生来说，他们能全然接受吗？显然是不可能的，也没有必要。因为，正确理解的掌握“平均数”的意义、特点和作用，还必须以一定的生活经验作支撑，仅从概念上去理解“平均数”是远远不够的。正因为学生在理解“平均数”时缺少一定的生活经验，因此，我们在教学平均“平均数”时必须借助直观的教学手段，要重视操作，让学生经历“平均数”的意义的建立，以及特点的发现，下面就“平均数”教学谈谈笔者的观点和做法。 二、教材的分析 认真分析新教材，我们不难发现，教材其实没有让我们把“平均数”这一概念解释地十分深
精心整理 江苏科技大学 学年第二学期材料力学试题(A 卷) 一、 选择题（20 分 ） 1 A 1和A 22时需考虑下列因素中的哪几个？答：（1ρdA （2（3（4A 、（1、全部 3A 、σ B 、2σ C 、3σ D 、4σ 4、高度等于宽度两倍(h=2b)的矩形截面梁，承受垂直方向的载荷，若仅将竖放截面改为平放截面，其它条件都不变，则梁的强度（） A 、提高到原来的2倍 B 、提高到原来的4倍 C 、降低到原来的1/2倍 题一、3图 ---------------------------------------------------密封线内不准答题------------------------------------------------------------- 题一、4 题一、1
D 、降低到原来的1/4倍 5.已知图示二梁的抗弯截面刚度EI 相同，若二者自由端的挠度相等，则P 1/P 2=（） A 、2 B 、4 C 、8 D 、16 轴线成 四、，皮带轮直径D =250mm ，主轴外伸部分长度为， ，用第三强度理论校核轴的强度。（15分） 的重物自由下落在图示刚架C 点，设刚架的抗弯刚度为EI D 处4，求BD 用欧拉公式判断BD 杆是否失稳。（20分） 江苏科技大学 学年第二学期材料力学试题(B 卷) 二、 选择题（20 分 题一、5图 三题图 六题图 五题图 四题图 -------------------------------密封线内不准答题------------------------------------------------------------- -------------------------------------------
18.3 一次函数(第1课时) 教学目标 1.根据具体情境体会一次函数的意义,体验函数与人类生活的密切联系. 2.理解一次函数与正比例函数的联系和区别. 教学重点 根据具体情境体会一次函数的意义 导学设计一(多媒体演示) 1 、列出下列函数关系式,找出其结构的共同特征. (1)已知等腰三角形的周长为30,底边长为y,腰长为x,试写出y与x之间的函数关系式. (2)小红的爸爸把10000元钱存入银行,如果年利率是1.98%,x年后取出的本息和为y(元)(扣去利息税),试写出y与x之间的函数关系式. (3)一根蜡烛长20厘米,点燃后匀速燃烧,每分钟燃烧0.2厘米,燃烧x 分钟后剩下的蜡烛长为y(厘米),求y与x之间的函数关系式. (4)某种商品每件进价100元,售出每件获利20%,售出x(件)的总利润为y(元),试写出y与x之间的函数关系式. 2、你能用一个表达式表示这个共同特征吗? 导学设计二（多媒体演示） 仔细阅读课本P34-35 1、完成课本中所有问题。 2、你能举出一次函数的例子吗?（可以是关系式，也可以是生活中的实际例子）
3、说说你对一次函数的认识 ① 一次函数的一般形式 是什么？ ② 一次函数与正比例函数有何关系？ 交流释疑 1、问题一要求学生通过画图、观察图形可知:s=570-95t(0≤t ≤6). 北京s 95t 570 A 2、一次函数的认识 一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式,可统一表示为y=kx+b 的形式,其中k 、b 为常数,且k ≠0. 特别,当b=0时,一次函数y=kx(k ≠0)也叫正比例函数. 训练设计 1、下列函数中,哪些是一次函数,并指出相应k 、b 的值？ （1）73-=x y 2、某辆汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油9升。 (1) 完成下表 汽车行使路 程x/千米 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量y/升 (2) 写出y 与x 的关系式及自变量的取值范围。 ()x x y 3622-=()x y 83=()x y 914+=()x y 6 5=()8 536-=x p
《平均数的概念》教学设计 教学内容：人教实验版小学数学三年级下册42——45页 教学目标： 1、引导学生在实际生活情景中理解平均数产生的必要性及平均数的意义； 2、理解平均数算法的多样性，通过活动让学生初步获得一些数学活动的经验，养成从数学角度思考问题的习惯。 3、了解平均数在日常生活中的简单应用，并能正确、全面的看待问题，同时学会与他人合作交流，获得积极的数学学习的情感。 教学重点：帮助学生建立的平均数概念，理解平均数的意义教学难点：理解平均数的意义 教学过程： 一、创设情景，激发兴趣 1、师：孩子们，我们今天来进行一次口算比赛，比一比一分钟之内哪个同学做对的口算题目最多！ 2、出示口算题目，孩子在一分钟之内完成 3、同桌交换批改 4、组织学生汇报自己做对的数量，评出个人前三名。 5、师：现在我们知道了我们班**同学的口算最棒，那么6个小组那个小组在本次口算比赛中表现得最优秀呢？这个怎么来评比，谁来出个主意？
二、解决问题，探究新知 （一）提出问题，从矛盾冲突中感受平均数产生的需要 1、让学生自由发言。学生可能会呈现的方法是比较每个小组做对题目的总数。（6个小组的人数不完全一样） 2、师：大家赞成用这个方法来比较吗？为什么？孩子们可以把自己的想法在小组内交流交流。 3、学生分小组进行交流，教师参与其中。 4、组织汇报：得出结论，因为每个小组的人数不一样，比较总数不公平。 5、师：哎呀，看来当人数不相等时，用比较总数的方法来决定哪个小组做得最好不公平，难道就没有更好的方法来比较每个小组本次比赛的总体水平了吗？ （二）探索问题，从实际生活中初步感受平均数的意义 1、师：我们可以算出每个小组平均每人做对了多少道题目，也就是求出每个小组的平均数，然后再比较每个小组的平均水平。 2、学生同桌交流用平均数比较的方法。初步理解平均数是反应一个小组的平均水平的数。 （三）解决问题，从解决问题的过程中学习求平均数的方法。 1、师：怎么样计算每个小组做对题目的平均数呢？ 2、组织学生讨论如何求平均数
一次函数图象在物理中的作用 元济高级中学 ( 314300 ) 钱少林 2001年理科综合考试考纲（物理部分）明确提出，考生应具有“必要时能应用几何图形、函数图象进行表达和分析物理问题”的能力，如此具体的要求在以往的考纲中是没有的，这无疑应该引起我们一线物理教师的高度重视。我在回顾小结了高中物理中所涉及的数学函数图象后，认为最重要的函数图象有两类，即一次函数图象和正弦类函数图象,其中尤以一次函数图象最基础、最重要，应用也最广泛，所以应当成为我们复习或研究的重点。下面我就一次函数图象在物理中的作用谈几点粗浅的看法。 一、它能直观地反映物理概念和规律 物理概念和规律往往有三种表达形式，即文字描述、公式表示（即数学表达式）、图象描述。而图象描述更具有形象、直观、简明等特点，这也是其生命力之所在。中学物理中的概念、规律，其物理量之间的关系一大半具有一次函数的特征，通过赋予数学变量X 、Y 以不同的物理意义，即可直观地反映出许多物理量之间的关系及其规律。 例如，初速度为V 0的匀变速直线运动，它的速度公式表示为at V V +=0， 而用函数图象t V -图表示即为一条倾斜的直线，速度V 随时间t 均匀增大的关系，非常直观、形象，其截距即表示其开始时的初速度V 0，如图1所示。 又如牛顿第二定律的表述中，当质量m 正比的关系，如图2所示，也非常直观。还有欧姆定律I —U 图线，如图3；简
谐运动概念F 回与X 关系图线（大小成正比，方向反向），如图4；电容器带电 量Ｑ随两极电压U 关系图线（成正比），如图5；再如竖直上抛运动的t V -图线，其速度V 图４ 诸如此类的例子不胜枚举，一次函数在这方面的作用是不言而语的。 二、它能深层地蕴含一些物理特征或意义 一般函数图象都是在平面直角坐标系中反映二个变量之间的关系，而物理量间的联系或物理规律往往是多维的。作为一次函数图象能够反映物理规律，不仅在于体现它能直观反映两个坐标物理量间的关系，还体现在它所蕴含的深层的物理含义之内，能够反映出坐标量以外的其它物理量的特征。例如匀变速直线运动的t V -图，如前图1中，直线的倾斜程度即蕴含着加速度a 的概念，即αtg k a ==（此处α为其倾角，但不能简单地用量角器量取，下同），某一时间内图线与横轴t 所围成的梯形面积，即蕴含着这段时间内的位移S 。又如图7，由图可知A 、B 均为匀变速运动，初速度B A V V 00<（截距可知），A 、B 的加速度大小B A a a >（倾斜程度可知），进一步分析可知开始时S B >S A ，即B 在前，A 在后（假设由同一地点出发），且1t 时两者速度相等、相距最远（阴影部分“面积”），此后，A 逐渐靠近B 并在t 2时赶上B （PMN ?部分“面积”等于“阴影”
平均数的认识 【教学内容】：九年义务教育课本数学五年级第一学期（试用本）P31 Ⅰ：教案 【教学目标】 知识与技能： 1、通过具体的事例让学生初步了解平均数的概念； 2、知道求“平均数”的一个基本方法——平均数=总和÷个数； 3、知道平均数是个“虚拟”的数，它的取值范围在该组数据的最小值和最大值 之间。 过程与方法： 1、从生活实际出发，让学生通过观察、比较、主动探索的过程中，了解和掌握 求平均数的意义与方法， 2、培养学生一定的估测能力，能对平均数的结果做出简单的推断和预测。 3、培养学生具有合作交流的意识和能力。 情感、态度与价值观： 体会“平均数”在现实生活中的实际意义及广泛用途，在学习过程中让学生享受学习的快乐。 【教学重点与难点】 重点：理解平均数的概念，知道求“平均数”的方法。 难点：理解平均数的概念。 【教学准备】 教具准备：夹玻璃球的用具、课件。 【教学过程】 一、游戏导入： 1、师：老师这里有200个玻璃球，要平均分给我们五个小组，每个小组能分到 几个玻璃球？怎么算出来的？为什么要用除法来做？ 生：200÷5=40（个）平均分 2、师：接下来，我们就一起来玩夹玻璃球的游戏，先听清游戏规则（1、不能用
手拿2、掉在桌上和地上的不算，时间：30秒钟。好，谁愿意来做裁判，帮大家看时间？我也加入一组玩。 3、请小组长负责统计每组夹玻璃球的总数。 按组汇报板书 【教学策略说明：从夹玻璃球的游戏导入新课，使学生体会到数学就在身边，生活中处处离不开数学，从而对数学知识产生亲切感，能更好地激发学生爱数学、学数学的兴趣。】 二、探究新知： 1、比一比每组夹玻璃球水平的高低是怎样的？ 2、师：就请大家把自己这组平均每人夹的个数算一算。 生：汇报各组平均每人夹的个数。 师：这些表示各个组平均每人夹玻璃球的个数叫作“平均数”，也就是这节课我们要学习的内容——出示课题 师：算出了平均数，现在可以比出夹玻璃球水平高低的名次了吗？ 3、师：在平时的生活中像这样的事还有很多，下面请同学们一起来做一个公正的裁判，出示： 同学们跳集体舞得分统计表 4、通过第一个游戏和为集体舞比赛排名，谁能说说求平均数的方法是什么？ 板书：总和÷个数=平均数 5、例题教学 师：同学说得很好，现在来看看这几座大桥，你们都认识吗？ 师：现在老师把五座大桥的长度告诉你们，请你们用计算器帮忙算出五座大桥的平均长度是多少？ 师：完成后翻开书P31进行校对并读一读书上是怎样介绍平均数的。 师：（媒体上）在这道算式上，括号里的一组加法运算表示的是什么？5表示什么？得到的最后结果叫什么？
一次函数应用题（k的实际意义）（人教版） 一、单选题(共5道，每道20分) 1.已知，A，B两市相距260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲车提速后的速度是( )千米/时，乙车的速度是( )千米/时，点E的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题 2.（上接第1题）（2）乙车返回时y与x的函数关系式为( )
A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题 3.一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：（1）快车和慢车的速度分别是( )km/h． A.80；60 B.140；80 C.140；60 D.70；60
答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题 4.（上接第3题）（2）两车返回时y与x之间的函数关系式为( ) A. B. C. D.
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题 5.甲、乙两个港口相距72千米，一艘轮船从甲港出发，顺流航行驶往乙港，休息1小时后立即返回；一艘快艇在轮船出发2小时后从乙港出发，逆流航行驶往甲港．已知水流速度是2千米/时，下图表示轮船和快艇之间的距离y（千米）与轮船出发时间x（小时）之间的函数关系式(顺流速度=船在静水中速度+水流速度；逆流速度=船在静水中速度-水流速度)． 请问快艇出发( )小时，轮船和快艇相距12千米？ A.2.2或2.6或5或5.4 B.0.2或0.6或3或3.4 C.0.2或0.6或5 D.3或3.4 答案：C
人教版小学四年级数学下册【小数的意义和性质】知识篇 1、小数的意义和读写法 ①小数的产生：在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，还需要把一个单位平均分成10份、100份、1000份等较小的单位来量，从而产生了小数。 ②小数的意义：把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……取其中的1份或几份，表示十分之几、百分之几、千份之几……的数，叫小数。分母是10、100、1000……的分数可以用小数来表示，表示十分之几的小数是一位小数、表示百分之几的小数是两位小数、表示千分之几的小数是三位小数……。小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……每相邻两个计数单位间的进率是10。 口诀：小数意义好理解，它与分数很亲密。分母是10、100、1000……小数位数一、二、三……小数单位来计数，0.1、0.01、0.001……要记牢。提醒：小数是十进制分数的另一种表现形式。小数点后面有几位数字就称为几位小数。 整数部分是0的小数叫做纯小数；整数部分不为0的小数叫做带小数。 ☆小数和分数的转化方法： 十分之一。 （2）分母是100的分数可以用两位小数表示，小数点后面一定有两位小数。它的计数单位是百分之一。 （3）分母是1000的分数可以用三位小数表示，小数点后面一定有三位小数。它的计数单位是千分之一。 ⑴、数位顺序表中每相邻两个计数单位间的进率是10。 ⑵、小数部分的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是十分位，没有最低位；整数部分的最低位是个位，没有最高位；个位和十分位的进率是10；没有最大的小数，也没有最小的小数。 ⑶、没有最大的一位小数，最小的一位小数是0.1。 举例： （1）6.378的计数单位是（0.001），6.378中有（6378）个千分之一（0.001）。（记住：最低位的计数单位是整个数的计数单位。） （2）6.378是由6个（一），3个(十分之一／0.1)，7个(百分之一／0.01)，8个(千分之一／0.001)组成的。 （3）9.426中的4在（十分位）上，表示4个（十分之一／0.1）。
《平均数的意义》教学设计与意图 莱西水集中心小学李浩齐 【教学内容】 《义务教育课程标准实验教科书·数学》（青岛版）五年制四年级上册第八单元信息窗1，第131页—第134页。 【教材简析】 本课教学是在学生学习了简单的统计图表的基础上进行的，是学习利用统计量描述数据特征的开始，是进一步学习统计知识的基础。教材创设“篮球赛该换谁上场”的问题情境并提供了替补运动员在小组赛中的得分情况统计表，引入对平均数知识的探索和学习，体验平均数产生的必要性，学习求平均数的基本方法，理解平均数的意义。 【教学目标】 1、在具体情境中，感受求平均数是解决实际问题的需要，并通过进一步的操作和思考理解平均数的意义，知道平均数是代表和理解一组数据的一个代表值，是描述和比较数据的统计量；学会计算简单数据的平均数。 2、在解决实际问题的过程中，进一步积累分析和处理数据的办法，发展统计观念。 3、在探索知识的过程中，提高学生自主学习的能力。 【教学重点】理解平均数的意义，学会求简单数据的平均数。 【教学难点】引导学生加深对平均数意义的理解。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题 谈话: 同学们，今天我们继续学习有关统计的知识（板书课题），统计在日常生活中的应用非常广泛。比如，篮球比赛中的换人就要用到统计。请看屏幕（课件出示情境图）这是一场正在进行的篮球赛，红、蓝两队打得非常激烈，你争我抢，你攻我防。突然，蓝队一名队员受伤了，这时候蓝队的比分还落后，怎么办？ 二、解决问题，理解概念 (一）上场次数相同时派谁上场？初步感知平均数的意义。 1、讨论收集信息的标准。
（1）问题。谈话：现在有7号和8号两名替补队员，假如你是教练，你准备派谁上场？根据什么？ （2）交流。 预设：①看身高，谁高就让谁上。②看速度，谁跑的快就让谁上。③看经验，谁打球时间长经验多就让谁上。④看得分，谁的得分多就让谁上。 （3）小结。谈话：同学们想到了这么多！不管是看身高、看速度还是看经验，都是为了这个队员上场后能干什么？所以，决定派谁上场，应该比较他们的什么情况？ 【设计意图：篮球比赛的情境对于三年级的小学生来说并不是太熟悉，怎样引领学生走进情境呢？我采用适当渲染的办法，让学生感受赛场的紧张与激烈，从而激发学生的学习和探究兴趣。在此基础上，引导学生讨论派谁上场的根据，也就是收集数据的标准，为下一步呈现并分析数据铺平道路。】 2、收集处理数据，作出决策。 （1）问题。谈话：请看屏幕，（课件出示7、8号队员得分表），这是7号和8号队员在小组赛 这个表，你知道了什 么？根据对得分情况 的分析，你觉得应该派 谁上场？ （2）思考。谈话：不仅要说出派谁上场，还要讲清楚比较的方法，先自己想想，再和组内同学说说。 （3）交流。 预设： 办法一：派7号上场，因为7号总分高。追问：7号总分怎么算的？那么8号的呢？随机板书算式； 办法二：前两场7号比8号多4分，第三场7号比8号少1，因为7号比8 号一共多3分，所以要派7号上。
《小数的意义和性质》知识点 《小数的意义和性质》知识点 知识点 1、小数的产生：在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数表示。 2、分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。 3、小数是十进制分数的另一种表现形式。 4、小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001…… 5、每相邻两个计数单位间的进率是10。 6、小数的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是十分位。整数部分的最低位是个位。个位和十分位的进率是10。 7、小数的数位顺序表 8、378的计数单位是0.001。(最低位的计数单位是整个数的计数单位) 9、小数的读法：先读整数部分(按照原的读法)，再读小数点，再读小数部分。读小数部分，小数部分要依次读出每个数字，而且有几个0就读几个0。 10、小数的写法：先写整数部分(按照原的写法)，再写小数点，再小数部分：写小数部分，小数部分要依次写出每个数字，而且有几个0
就写几个0。 11、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。注意：小数中间的“0”不能去掉，取近似数时有一些末尾的“0”不能去掉。作用可以化简小数等。 12、小数的大小比较： (1)先比较整数部分; (2)如果整数部分相同，就比较十分位; (3)十分位相同，就比较百分位; (4)以此类推，直到比较出大小。 13、小数点的移动 小数点向右移： 移动一位，小数就扩大到原数的10倍;移动两位，小数就扩大到原数的100倍; 移动三位，小数就扩大到原数的1000倍;…… 小数点向左移： 移动一位，小数就缩小10倍，即小数就缩小到原数的;移动两位，小数就缩小100倍，即小数就缩小到原数的;移动三位，小数就缩小1000倍，即小数就缩小到原数的;…… 14、生活中常用的单位： 质量：1吨=1000千克;1千克=1000克 长度：1千米=1000米1分米=10厘米1厘米=10毫米 ，1分米=100毫米1米=10分米=100厘米=1000毫米
直面重难点巧构学习路 ——“平均数”教学的思考与探索 “平均数”的教学，早已从以前的单纯追求“掌握求平均数的法”，转向至更为正确更有价值的向——“理解平均数作为统计量的意义，掌握求平均数的法，感受其在生活中的作用。” 这样的转变，在还原了平均数本真面貌的同时，也清晰了教师们教学研究的思路——要让学生深刻理解平均数的统计意义。因为这不仅是本课教学数学涵的体现，也是让学生学习平均数计算法、感受其生活应用的思想基础。所以，把“让学生深刻理解平均数的统计意义”作为教学重点，大家都很认可。 然而，这个重点想要突出，却并不容易。在实际教学中，教师常常会遇到一些困难。 如有教师按教材提供的情境为例，呈现男生队五人的成绩和女生队四人的成绩后（如图1），提出核心问题：哪个队的成绩好？ 理想的情况，是学生有人说“比总 数”，有人说“比最高的”，然后教师引 导学生发现这样的比法都不合理，因 此需要产生一个新的量——平均数。 图1 教学就沿着美好的设想进行下去了…… 可学生的想法却不合教师的意。学生提出：人数不一样多，这不公平，根本不能比；要不去掉一位男生，大家都是四人，然后比总数，或者再派一位女生参加，大家五个人，还是比总数；等等。总之，学生对于这个情境就是不认可。教师往往很无奈，最终只能借着少数学生对平均数的已知，生硬地引出这个概念。
这样的教学，重点尚谈不上突出，但困难却是显而易见了。 虽然我们知道，若呈现人数一样多的情境，是难以让学生产生对平均数这个统计量的需求。但若静下心来一想，上述的情境的确也太怪了——为不选派一样多的选手参加，偏偏要生出这等“不合理”的事来？这样的体育比赛，学生没见过，我们教师，难道见过？ 要解决这个难题也是有办法的，如教材就提供了一种思路——先通过简单的情境，把平均数这个概念以及计算的法 教掉（如图2），让学生头脑里具备“平均 数”的意识。然后等到学生再遇见四个人 和五个人的比赛情境时，或就会向明确 而不会心生它想了。 存在的问题是显见的——“铺路搭桥”，消除了学生学习过程中的障碍，学生再面对四个人和五个人的比赛情境，就会“顺畅”地解决问题，但如此，怎谈教学重点的突出？若说重点已转移至了这个准备题的教学上，但这个准备题的教学，又怎能让学生感受平均数的价值，体验平均数的统计意义呢？显然，这样的突出重点，也只能是说说而已了！ 教学重点没有好的办法得以突出，往往意味着它原本就是一个教学的难点。 教学的重点难点合二为一的时候，虽然对教学设计带来了更多的挑战，但也可使研究的思考点、用力点更为集中。瞄着“深刻理解平均数的统计意义”这个教学重难点，我作了如下的尝试。 教学过程 图2 他们平均每人收集了多少个？