高等数学思想-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学思想方法
第一章函数与极限
主要的思想方法:
(1)函数的思想
高等数学的核心内容是微积分,而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时, 首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系, 这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程, 体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。
(2)极限的思想
极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势, 是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势,即函数或者数列的极限,这是一种重要的数学思想方法。
第二章导数与微分
主要的思想方法:
(1)微分的思想
微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化, 一般地, 求导的过程就称为微分 ; 导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出,在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现,而这也是微积分的一个基本思想。
(2)数形结合的思想
书本中在引入导数与微分概念时, 也讨论了它们的几何意义, 这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法, 这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。
(3)极限的思想
不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。
(4)逻辑思维方法
在本章中,归纳法(从特殊到一般) ,分类(整合)法等逻辑思维方法都得到了充分的体现,理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。
第三章中值定理与导数的应用
主要的思想方法:
导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型, 它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态; 而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”, 利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质, 具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。
导数是一种工具, 而中值定理 (微分基本定理) 则是微分学的理论基础, 它更加深刻地揭示了可导函数的性质。一方面, 在中值定理及其推导过程中, 不仅用到了演绎, 分析, 分类等数理逻辑方法 (锻炼提升逻辑思维能力 ) , 而且包含了一些具体的数学方法,如辅助函数的构造(凑导数法,几何直观解题法,常数替代法,倒推法,乘积因子法) ,这就要求我们要培养直觉思维,发散思维等创新思维; 另一方面, 导数在解决实际问题中的应用广泛, 这要求我们要有应用数学的意识。
第四章不定积分
主要的思想方法:
积分法是微分法的逆运算,即已知函数的导数,求原函数问题 (由一个函数的导数求这个函数 ) 。
不定积分的积分法 :
(1)直接积分法:直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式和不定积分的性质求积分;
(2)换元积分法 :1.第一类换元法(凑微分法) ; 2. 第二类换元法(主要有三角代换,根代换,倒代换) ;
(3)分部积分法;
(4) 几种特殊类型函数的积分:有理函数的积分, 三角函数有理式的积分,简单无理函数的积分;
(5)其它常见的积分方法:拆项法,加减项法,同乘以 (或除以 ) 一因式法,降次法,先凑微分后化为同名函数法等。
第五章定积分
主要的思想方法 :
定积分的几何意义是函数 f(x)在区间 [a,b]的图形与 x 轴所界定区域的面积。定积分完整地体现了积分思想——一种认识问题, 分析问题, 解决问题的思想方法, 定积分的概念借助极限工具, 以一种结构式的形式严格定义, 理解掌握这种通过“分割” , “近似” 。“求和” , “取
极限”的数学思想对后面重积分,曲线积分与曲面积分的学习有重要作用。定积分与微分学不仅是高等数学的重要内容,也是研究科学技术问题的数学工具。
“分割” , “近似” , “求和” , “取极限”所反映出来的积分思想是微积分的核心思想。
第六章定积分的应用
主要的思想方法:
定积分的应用实质上是运用定积分理论来分析与解决一些几何与物理学中的问题。
定积分解决实际问题的方法 :
(1)根据定积分的定义,利用分割,近似替代,求和,取极限这四个步骤来推导出所求量的积分表达式;
(2) “元素法” :将实际问题(几何,物理)转化为定积分,如计算平面区域的面积,平面曲线的弧长,用截面面积计算体积,计算旋转体的体积,计算变力做功等。
在本章的学习中可以增强我们的应用数学的意识并且有助于我们提高我们应用定积分解决实际问题的能力。
第七章空间解析几何与向量代数
主要的思想方法:
空间解析几何借助于空间坐标, 建立空间的曲面曲线方程, 利用代数方法研究图形的几何性质; 向量代数在高等数学中为空间解析几何服务, 它实质是作为一种研究空间图形性质的重要工具。空间解析几何与向量代数是学习多元函数微积分的基础, 学习这部分知识的主要目的是为研究多元函数微积分理论提供一个直观的空间几何图形。
借助向量研究空间图形的性质, 建立空间图形的方程, 这是本章中体现的一种重要的数学思想方法, 我们要树立应用向量这一重要的数学工具研究与解决问题的意识;此外本章中最基本的数学思想是“数形结合”的思想。
第八章多元函数微分学
主要的思想方法:
多元函数微分学是一元函数微分学理论的推广与发展, 因此运用类比的思想方法来学习这一章内容会起到事半功倍的作用。我们要培养类比思想这一创新的思维。
第九章重积分
主要的思想方法:
本章中着重讨论的二重积分与三重积分的理论是多元函数积分学的重要内容。重积分与定积分一样, 都是某种特殊形式和的极限, 基本思想是“分割, 近似,求和,取极限” ,定积分的
被积函数是一元函数,积分区域是一个确定的区间,而二,三重积分的被积函数是二,三元函数,积分区域是一个平面有界闭区域和一个空间有界闭区域,因此重积分是一元函数定积分的推广与发展。重积分的计算方法中体现的基本思想是:将重积分化为累次积分, 而化为累次积分的关键是由被积函数的积分区域的特性来确定定积分的次序和积分限。
第十章曲线积分与曲面积分
主要的思想方法:
曲线积分与曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分, 对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分是定积分和二重积分的直接推广, 两者又均有物理学背景, 因此它们在解决几何与物理学的实际应用问题中有重要作用。在计算上, 将平面或空间曲线积分化为定积分的计算, 将空间曲面积分化为投影区域上的二重积分的计算; 在理论上, 建立了平面闭曲线上对坐标的曲线积分与该曲线围成的闭区域上的二重积分的关系, 建立了闭曲面上对坐标的曲面积分与该闭曲面围成的空间闭区域上的二重积分的关系。这些就帮助我们更加深刻地掌握高等数学的思想方法。
格林公式的思想方法:格林公式实现了闭区域上的二重积分与区域的边界曲线上的曲线积分的相互转化,它可视作是定积分中的牛顿 -莱布尼茨公式的一个推广。
高斯公式的思想方法:高斯公式描述了在空间立体上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,它可视作是牛顿 -莱布尼茨公式和格林公式的推广,同时它还是计算曲面积分的一个重要手段。注意在曲面不封闭的情况下, 应先添补曲面构成封闭曲面,再利用高斯公式,这是计算曲面积分的常用方法。
第十一章无穷级数
主要的思想方法:
无穷级数是一种研究与表示函数及数值计算的专门工具与重要方法,是高等数学的一个重要组成部分。
在本章中,收敛与发散及其重要理论是建立在极限的基础之上的, 函数展开成幂级数的主要依据是微分学中的泰勒定理, 幂级数的运算中要用到求导数与定积分的计算, 由此可见, 无穷级数与微积分的其它内容之间有非常紧密的联系。
第十二章常微分方程
主要的思想方法:
常微分方程是指含有一元未知函数及其导数或微分的方程, 它是研究函数的重要工具。
建立常微分方程要用到导数的概念, 而解常微分方程则要用到积分法,因此常微分方程是在微积分基础上的发展与应用。
每种类型的常微分方程都有广泛的实际背景, 因此我们要有应用数学的意识, 通过建立数学模型来求解实际问题中的微分方程, 在求解前需要分析与明确常微分方程的类型, 并在掌握各种微分方程的相应的解法的基础上求解答案, 同时掌握变量替换法, 常数变易法, 待定系数法等具体的数学方法对求解微分方程有重要的作用。
七大基本数学思想方法
学习数学可以简要地分为三个层次(或称境界) :第一层次,深刻和熟练地掌握基础知识和基本概念及其本质并且初步拥有运用数学思想方法的意识, 明确各类基础题型的解题方法与步骤, 在不断的练习中锻炼与加强自己的准确的抽象运算能力和严谨的逻辑推理能力; 第二层次, 在进一步加深对数学思想方法的理解的基础上, 进行专题性质的知识总结从中发现各部分数学内容内在的紧密联系并逐渐做到掌握与运用, 与此同时, 加强数学建模的意识与应用能力, 能够发现实际问题中的数学模型并凭此解决联系生产生活实际的应用问题; 第三层次, 深刻地理解与把握各类数学思想方法, 对某一具体问题有更加深层的研究 (譬如求极限的方法的归纳总结, 涉及绝对值的问题, 高等数学中应用微积分证明不等式的探讨等等) ,在面对新情境新背景下的理论或实际问题时,既能快速明确问题中的知识载体, 也能在数学解题能力得到提升与强化的基础上, 能够综合运用基础知识与数学思想方法, 分析与解决具有综合性的新数学问题 (平时就需要加强这一方面的能力) 或更高知识层次的数学问题 (为此可略览硕士阶段数学知识做个大概的了解) 。以此提高数学思维品质(想象力,创新思维,抽象性, 灵活性,深刻性) 。
基本概念与基础知识是“载体” ,解题方法是“手段” ,数学思想才是“深化与核心” ,是分析与解决问题的“灵魂” ,深刻理解与熟练运用数学思想有助于我们锻炼与形成高层次的数学思维,高水平的数学素质。
数学思想是指人们对数学理论与内容的本质的认识, 而数学方法则是数学思想的具体化形式,两者本质相同,因此通常混称为“数学思想方法” 。下面是七大基本的数学思想方法(前四个为常用的思想方法) :
一 . 函数与方程思想
1. 函数思想是对函数内容在更高层次的抽象,概括与提炼,它要求我们要用函数的概念与性质去分析问题,转化问题和解决问题;在实际问题中,
讲座题目高等数学的数学思想方法研究所属学科数学教育学 讲座时间2007年5月持续时间 最后学历研究生最后学位硕士 研究方向数学教育研究专长教育管理职称教授职务 学术特长及成果简介： 学术特长是数学教育学有关的课题和教育管理有关的课题。主要研究成果如下： 1、2006年9月完成了2004——2005年度中国职业技术教育学会科研规划项目《高职院校推进 学分制管理的研究与实践》，并获得结题证书。 2、论文《完善选课制是实行学分制的精髓》2005年12月发表在《长春教育学院学报》上。 3、论文《专升本院校实行学分制的几点思考》2006年10月发表在《中国育人杂志》上。 讲座内容介绍：（包括：选题意义和价值、研究现状、主要内容、观点和创新之处、主要 参考文献等。限2000字以内。） 一、选题意义和价值 为适应二十一世纪科技与社经的发展，培养大批具有高综合素质的创新型人才，我国正在进行从 应试教育向素质教育转轨的伟大改革，并提出在素质教育中着重培养学生的创新精神和实践能力的现 代教育目标。为实现这一目标，自九十年代初以来，高等数学教育也和其它学科教育一样，从教学思 想、教学内容、课程设置、教学方法和教学手段等方面进行了一系列的改革试验，并取得了初步的成 效。例如随着人们愈来愈认识到高等数学在大学人文素质教育中不可或缺的普遍和重要的作用，我国 许多重点的文史、外语和艺术等文科专业都开设了《大学数学》这一课程，又如为了加强教学建模和 运用计算机解决实际问题的能力，有些院校在高等数学中开设了《数学实验》或《数学建模》的课程，这是可喜的试验，但是高等数学的教育改革涉及面广，内容庞杂，矛盾和问题都较多，因此它的改革 是一项复杂的系统工程。当前如何把高等数学教育改革有序和有效地深入下去？当然这有许多方面的 工作要协同配合去做，我们认为其中根本的一项就是要改革在高等数学教学中相当普遍存在的形式主 义弊端——只注重纯数学知识与技能的传授而忽视对蕴涵于其中的数学思想方法的教学。为此必须认 真研究在高等数学教学全过程中，如何有效地加强数学思想方法教学的问题，提升一点来说，就是要 在所有数学教学活动中，结合具体的数学内容和活动形式，适当进行数学方法论的教育。 二、研究现状及主要内容 著名数学家和数学教育家徐利治教授认为“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法以及数学中的发现发明与创新法则的一门学问”。[1]自80年代初，徐教授倡导数学方法论以来，这一学科在国内至今已有了很大发展，取得了不少理论成果，出版了许多有关的著作，特别自90年代以来，不少数学教育工作者把它应用于指导中学数学教育改革的具体实践，取得了很大的成效[2]。至于应用数学方法论指导高校数学教育改革的研究与实践至今只看到少量个别的报导，看来这方面还 未引起高校广大数学教育工作者足够的重视，本讲座试图对高等数学加强数学思想方法教学的意义， 它包含那些基本的数学思想方法以及如何加强这方面的教学作一初步阐述。 三、观点和创新之处 1．首先，各方在思想上要真正重视，尽快把数学思想方法的教学正式纳入高等数学教学大纲。 要在大纲中明确规定数学思想方法的教学目标、基本教学内容和具体的要求。这是落实加强数学思想
高等数学思想方法 第一章函数与极限 主要的思想方法： (1)函数的思想 高等数学的核心内容是微积分，而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时，首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系，这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程，体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。 （2）极限的思想 极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势，是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势，即函数或者数列的极限，这是一种重要的数学思想方法。 第二章导数与微分 主要的思想方法： （1）微分的思想 微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化，一般地，求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出，在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现，而这也是微积分的一个基本思想。 （2）数形结合的思想 书本中在引入导数与微分概念时，也讨论了它们的几何意义，这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法，这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。 （3）极限的思想 不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。 （4）逻辑思维方法 在本章中，归纳法（从特殊到一般），分类（整合）法等逻辑思维方法都得到了充分的体现，理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。 第三章中值定理与导数的应用 主要的思想方法： 导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型，它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态；而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”，利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质，具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。
2014年大学高数学习方法总结 一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。篇二：高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结 大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。 高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。 首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。 （一）做题的方法和技巧 学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。 （二）考试后的反思
【总结2】定积分与不定积分 1.有关三角函数的不定积分的凑微分法 (1)??=);(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f (2)??-=);(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f (3);)(tan )(tan sec )(tan cos ) (tan 22???==x d x f xdx x f x dx x f (4);)(cot )(cot csc )cot (sin )(cot 22???-==x d x f xdx x f x dx x f (5)??=);(sec )(sec tan sec )(sec x d x f xdx x x f (6)??-=).(csc )(csc cot csc )(csc x d x f xdx x x f 2.利用下列微分关系式凑微分，求不定积分 (1))cos (sin 2cos x x d xdx = (2)?????-=-===) (cos )(cos cos 2)(sin )(sin sin 2cos sin 22sin 22x d x xd x d x xd xdx x xdx (3))()'()1()]([)](')([x x x xe d dx xe dx x e x xu d dx x xu x u ==+=+特别地，有 (4))1(122x d dx x x ±±=± (5))ln ()ln (x e d dx x e x e x x x =+ (6))ln ()ln 1(x x d dx x =+ (7) |)tan sec |(ln sec sin x x d xdx x dx +== (8)|)cot csc |(ln csc cos x x d xdx x dx -==
高等数学中的几种重要思想方法 中国地质大学（武汉）徐达 摘要:高等数学是工科类本科学生重要的基础课程，对同学们今后的学习、工作有极大帮助。本文通过列举并分析高等数学学习中的几种重要思想方法，并从这几种方法的原理、应用实例和适用条件等方面入手进行阐释，使高等数学的学习更科学、规范、高效。 关键词：高等数学；思想方法 Several important thinking methods of advanced mathematics XU Da Abstract: Advanced mathematics is an important basis course of engineering courses, which will be helpful for our study and work a lot in future. This article lists and analyzes several important thinking methods of mathematics learning and interprets some aspects of these methods including principles, using examples and suitable conditions. These will make advanced mathematics learning more scientific, normal and concentrated. Key words: advanced mathematics; important thinking methods 引言 高等数学的学习有着独特的复杂性。一方面，作为一门基础学科，高等数学在工科课程中有着无法替代的重要地位。另一方面，高等数学的内容较为繁多复杂，对学习者知识掌握的熟练性和知识运用的灵活性有很高要求，往往令很多同学感到困难或不易接受。因此，要想将高等数学学好，除了用功稳固知识的掌握，更要能学习这门学科的一些重要思想方法，以此为突破口，才能对课程内容及其延伸有更深的理解，才能将各部分的知识灵活运用，以达到事半功倍的效果。 本文着重总结了在高等数学中运用广泛，对学习者要求较高的四种思想方法，分别是函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论的思想和转化与化归的思想。如果能将以此为代表的思想方法深入研究、探讨，透彻理解，对高等数学的学习与知识运用有极大帮助。 一、函数与方程的思想 函数与方程的思想自始至终贯穿在高等数学的教材中.很好的掌握这种思想,用函数与方程的方法来解决高等数学中的一些问题,往往可以起到良好的效果.运用函数的方法,引入辅助函数,化静为动,化离散为连续,将所讨论的问题转化为函数与方程的问题加以解决,从而在更“一般”的角度上来解决“特殊”问题.这也正说明了用函数与方程的思想来解决问题,
高等数学各章知识结构 一．总结构 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分. 冯. 诺伊曼 注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.
微积分中重要的思想和方法： 1．“极限”方法，它是贯穿整个《微积分》始终。导数是一种特殊的函数极限；定积分是一种特殊和式的极限；级数归结为数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。所以，极限理论是整个《微积分》的基础。尽管上述各种概念都是某种形式的极限，但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容，这是《微积分》最有魅力的地方之一。 2．“逼近”思想，它在《微积分》处处体现。在近似计算中，用容易求的割线代替切线，用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积；用折线段的长代替所求曲线的长；用多项式代替连续函数等。这种逼近思想在理论和实际中大量运用。 3．“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。熟练掌握求极限、求导数和求积分的方法，学习《微积分》就不会遇到太多困难，甚至能做到得心应手。 4．“特色定理”是《微积分》的支柱。夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等是《微积分》中最深刻、最基本、最能体现《微积分》特色的定理，支撑起《微积分》的大厦。 5．“综合运用能力”是《微积分》学习的出发点和归宿。充分注重综合运用极限概念与方法的能力、综合运用导数与积分相结合的各种方法的能力、综合运用定积分思想方法解决问题的能力、综合运用一元和多元相结合方法的能力、综合运用各种方法解决实际问题的能力。
微积分的思想和方法 （部分讲义） 黄荣 第四讲 第四章定积分与不定积分 [教学目标] 1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质； 2、理解原函数与不定积分的概念； 3、掌握不定积分性质与其本积分公式； 4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式； 5、了解定积分在实际问题中的应用； 6、了解简单微分方程的概念。 [重点难点] 定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。 [学习建议] 1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。 2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。 3、牛顿一莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。 4、为了掌握计算技能，学员必须做适当的练习。 [课时分配]
面授8课时，自学16 课时。 [面授辅导] 1、不定积分 1.1不定积分定义 1.1.1原函数 ▲如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处都有：F1(x)=f(x) 或df(x)=f(x)dx 则称f(x)是f(x)的一个原函数。 下列是一些简单函数的原函数： 出数原函数 cosx sinx sinx -cosx ex ex en xn+1 ▲设函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a，b) 内。苦F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+c也是f(x)的原函数，c为常数。 例1：求2x的原函数F(x)，且使F(2)=7。 解：∵x2=2x ∴x2是2x的一个原函数。 2x的全体原函数为 F(x)=x2+c (c为常数) F(2)=22+c=7 c=3
∴F(x)=x2+3为所求。 例2：求sinx的原函数F(x)，且使F(0)=4。 解：由于(-cosx)=sinx 因此-cosx就是sinx的一个原函数。 sinx的全体原函数记为 F(x)=-cosx+c 依题意有：F(o)=-cosD+c=4 c=5 所求F(x)=-cosx+5 例3：求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函数。 解：f(x)的一个原函数为 x4-x3+x2+7x 则f(x)的全部原函数为 F(x)= x4-x3+x2+7x+c (c为常数) 1.1.2不定积分定义 函数F(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为(x) dx。 其中称为积分号，x称的积分变量，(x) 称为被积函数。 虽然(x)dx=F(x)+c (c为任意常数，称为积分常数) 注意：“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算。 v ，求自由落体的路程公式。例1已知自由落体的运动速度gt
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/cd4285835.html, 浅析高等数学学习中的辩证法思想 作者：卢伟程世娟 来源：《课程教育研究·上》2013年第11期 【摘要】高等数学中蕴含了十分深刻的唯物辩证法思想，用辩证法思想来指导高数教学，有助于培养学生良好的数学思维方式和分析问题解决问题的能力。所以高数教师掌握哲学原理并将其应用于教学是十分必要的。本文就哲学量变到质变，一般到特殊，具体到抽象等方面，讨论了辩证法思想在高数学习中的应用。 【关键词】高等数学辩证法函数 【基金项目】川油气科（SKB13-08）。 【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）11-0149-01 微积分为主要内容高等数学是非数学专业一门重要的公共基础课。不仅对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着重要的作用，而且对培养学生的抽象归纳能力、创新意识及创新能力有着重要的意义。但绝大多数学生面对高等数学里抽象繁多的概念理论，计算的复杂性加上授课时间短等特点而产生厌学头疼情绪。如何帮助学生学好这门课程，是所有工科数学老师面临的共同难题。 伟大的思想家、哲学家恩格斯说过：“要想表示事物运动状态、形成和发展过程，唯一可以实现或达到目的的只有微积分。”唯物辩证法是揭示事物本质矛盾的方法，是探求真理与知识的重要途径。尤其是辩证法的方法论指导我们要用辩证的思维去学习高等数学，会让原本枯燥无味理论知识变得具体生动有趣，从而有利于提高我们学生自身的观察能力、思维能力、推理能力和创新能力；增强分析问题解决问题的能力。本文就辩证法理论联系实际，一般到特殊、具体到抽象，量变到质变等方面，讨论辩证法思想在高数学习中的运用。 一、理论联系实际 马克思唯物主义讲究理论联系实际，只做不想或只想不做是行不通的。同样，在高数的学习中，我们也必须要学和用联系起来，这样才会使这门课程的学习生动活泼，饶有兴趣。微积分原本来源于实际生活。极限思想在圆周率，曲边三角形等近似计算中就有所体现，而导数概念则包含了物理和几何背景，是人们在实际中提出问题，理论上解决问题，最后把结果推广到各个领域加以运用。可以说微积分知识成就了各个领域的发展和完善。因此在高数学习中，一定要理论联系实际，只有这样才能学有所获，学有所用。如果将理论与实际应用脱离，学起来不但显得枯燥无味，兴趣黯然，而且不会领会其精神，更谈不上创新。 二、一般到特殊，具体到抽象
高等数学思想-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学思想方法 第一章函数与极限 主要的思想方法: (1)函数的思想 高等数学的核心内容是微积分,而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时, 首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系, 这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程, 体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。 (2)极限的思想 极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势, 是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势,即函数或者数列的极限,这是一种重要的数学思想方法。 第二章导数与微分 主要的思想方法: (1)微分的思想 微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化, 一般地, 求导的过程就称为微分 ; 导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出,在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现,而这也是微积分的一个基本思想。 (2)数形结合的思想 书本中在引入导数与微分概念时, 也讨论了它们的几何意义, 这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法, 这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。 (3)极限的思想 不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。 (4)逻辑思维方法 在本章中,归纳法(从特殊到一般) ,分类(整合)法等逻辑思维方法都得到了充分的体现,理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。 第三章中值定理与导数的应用 主要的思想方法:
浅谈微积分的极限思想 众所周知，微积分学是用来研究微分与积分性质与应用的一个数学分支，微积分学的产生是数学等方面的需要而提出的。其微积分学是数学中的基础分支；内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用。函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限。 历史上许多微积分先行者，如开普勒、费马、沃利斯、伽利略、笛卡尔、巴罗，以及后来的牛顿与莱布尼兹在苦思冥想中产生了一个又一个的思想与方法，最终形成了微积分学。微积分学的发展史和微积分理论表明，“极限思想”是微积分学从产生到发展的最基本的数学思想。假如将微积分的每一概念或定理视为一颗颗大小不一的珍珠的话，那么“极限思想”就如一条横穿珍珠的线绳，将它们有规则地联结了起来使极限理论有了严格的理论基础，从而使微积分的基础和思想方法日臻完善。微积分包含了很多思想，而极限就是其中一个较为重要的思想之一。 所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。无穷分割下的极限思想是微积分思想起源的关键所在，最能引起关于对无穷思索的是求曲边图形的面积。1615年，开普勒发表《测量酒桶体积的科学》，其大胆巧妙地将无穷小求和思想用于求平面图形面积。我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆的内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，其方法也就是我们今天所说的
极限思想。刘徽曾说过：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则于圆周合体而无所失矣。”他所说的这些都是对极限思想进行很生动的描述。 在现代数学中，极限是分析数学中最基本和最重要的概念,特别在数学分析中,其思想贯穿整个数学分析(微积分)的始终,并且在数学的其他领域中也有着重要作用。极限是用以描述变量在一定变化过程中的终极状态。因此，微积分学的极限思想，在初等数学向高等数学转化中，显示了数学的真正进步。其中所蕴含的价值在于它的严格性和严密性，既构成了分析数学的基础，成为表达和发展科学及其思想的最有效的工具，同时也为其它学科提供了深刻的思想养分和文化力量，在现代文明和文化的创造中发挥了重大作用。变量数学确定了变量之间的关系——函数关系,伴随着变量的变化,产生了极限概念。所以，极限就是在自变量的某变化过程中,因变量无限接近于某一确定的数,这个数称为在此变化过程中的极限。对于极限这一概念在数学上已给出了确切的描述,变量x 与y 之间的函数关系y=f(x),当x 趋于a 时,y 以A 为极限是指:无论A 的邻域V 怎样小，总是存在着a 这样一个邻域U ，使得对除x=a 以外的任何x ∈U,总有y ∈V 。 数列极限的定义:已知一数列{n a },以A 为极限是指:对于任意给 定的Ε>0(不论多么小),必然存在自然数N,使得当n>N 时,恒有 n a -A<Ε 成立。这一事实记为lim n x a A →∞=或n a →A(n→∞)。 函数极限的定义：设函数f(x)在点a 的某邻域内有意义，对于任
数学思想方法的解释有多种多样，其中胡炯涛《数学教学论》广西教育出版社，一书中指出数学思想方法则是数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识，它蕴藏在数学知识之中，需要学习者去挖掘[6]。数学思想方法分为两部分，一是数学思想，二是数学方法，其中数学思想是指我们对教材中理论知识及内容最本质的认识，而数学方法是数学思想的具体化形式，运用到实际的题目中[20]。下面就具体来阐述一下微积分习题中的数学思想方法： 5.1函数思想 函数思想是我们在中学阶段中常见的一种思想方法，是指用函数的概念、性质、特点去分析问题、转化问题和解决问题的一种思维，函数思想是一个基本的数学思想，方程，不等式问题可以在函数的观点下统一起来，数列是特殊的函数，集合论的知识作为建立函数的基础，也包括在其中[11]。在新版教材微积分的内容中，函数思想更为重要，其中一部分题目就是借助“微积分”这个工具，最后还是依据函数的基本性质去解决问题。例如： 一条长为l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？[12]（新版教材人教A 版选修2–2课本37页习题） 解：设其中一段铁丝的长度为x ，则另一段为x l -，面积为s 根据题意得： 整理得： 求导数，并令导数等于零，解得： 分析：这类题型在新版教材中为常见的一种题型，根据题意得到函数表达式， 借助“微积分”这个工具，结合函数的性质来解决问题。当 时导函数的函 数值为零，这时函数取得最小值（函数的性质）。 例如：有一家宾馆有50个房间共旅客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲，如果旅客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？ 分析：这是一个生活中实际的问题，解决方法，根据题意列出函数表达式，我们4444x l x l x x s -?-+?=162222l lx x s +-=2l x =2l x =
下面是我整理的一些自己学习数学的经验，在必要的时候我会结合具体例子来谈，希望不会让人觉得枯燥。 提到推荐用书，除了经典的两个方案，其实还有一套：《大学数学——概念、方法与技巧》，上册为高等数学部分，下册为线性代数与概率统计部分。清华大学出的，非常不错，我在图书馆借到过，但不能确定现在是否还在。个人觉得这套书，或者灯哥的，或者二李的，三选其一就足够了。 考研数学主要考查：基本概念、运算能力、综合分析的思维方法。而我们平时的学期考试基本只涉及前两部分。 先讲基本概念。 在接触辅导书之前最好先过一遍教材，以便大致有个了解，最好结合考纲，这样有针对性。06年的大纲要暑假时才出，先借05年的来看吧，数学不像政治那样一年一变，九成以上的东西是不会变的。同济版《高等数学》、浙大版《概率论与数理统计》大家应该都有，至于线代，我们本科学习时用的线代教材是同济版《线性代数》，但不推荐，因为这本书过于抽象干涩，建议用北大版《高等代数》（上册）代替。看教材时，所有定理的证明都可以跳过，比如第一章极限，看上去就让人头晕的“ε—δ”语言是数学系的同仁作的工作，不用管它，你只需要看到一个初等函数后会用“代入法”求其在某一点的极限就可以了，书上有很多东西写得很详细，看的时候要抓主要矛盾，有所取舍，具体说起来就是着重考纲中要求为“理解”和“掌握”的部分。但因为了解过程也有助于记忆结论，所以如果时间允许，也可以大致了解一下重要定理的证明思路。不管看不看过程，最终的目的只有一个：记得公式和定理。不同于高考，考研数学要求记忆的知识点非常多，所以必须要像学习英语单词那样时常回忆，加深印象。 记得知识点以后要做什么？自然是用于解题。这时候就出现了一个值得注意的问题，那就是定理和公式成立的条件，还是拿上面这个例子来说，函数能够代入某点的取值来求极限的条件是什么？那就是这个函数是连续函数，虽然说我们碰到的大部分函数都是连续的，但最好还是不要想当然。类似的例子还有很多，而且就我个人的经验以及和以前一起复习的同学交流的情况来看，很多人容易忽视这个环节。连续函数的若干性质，如最大值最小值定理、零点定理等，都是指的闭区间上连续函数的性质；中值定理那一章节里，很多定理成立的条件都是所给函数在闭区间上连续、开区间上可导；应用得非常多的格林公式和高斯公式成立的条件是对应的闭合曲线或闭合曲面所包围的区域内不含奇点，在所求积分区域不闭合时要用补线或补面的方法，当有奇点时要想办法把单连通区域转化成多连通区域，使得对应的多连通区域不含奇点后才能应用相应的定理。强烈建议大家在复习过