高等数学思想方法
第一章函数与极限
主要的思想方法:
(1)函数的思想
高等数学的核心内容是微积分,而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时, 首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系, 这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程, 体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。
(2)极限的思想
极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势, 是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势,即函数或者数列的极限,这是一种重要的数学思想方法。
第二章导数与微分
主要的思想方法:
(1)微分的思想
微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化, 一般地, 求导的过程就称为微分;
导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出,在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现,而这也是微积分的一个基本思想。
(2)数形结合的思想
书本中在引入导数与微分概念时, 也讨论了它们的几何意义, 这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法, 这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。
(3)极限的思想
不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。
(4)逻辑思维方法
在本章中,归纳法(从特殊到一般) ,分类(整合)法等逻辑思维方法都得到了充分的体现,理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。
第三章中值定理与导数的应用
主要的思想方法:
导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型, 它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态; 而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”, 利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质, 具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。
导数是一种工具, 而中值定理(微分基本定理) 则是微分学的理论基础, 它更加深刻地揭示了可导函数的性质。一方面, 在中值定理及其推导过程中, 不仅用到了演绎, 分析, 分类等数理逻辑方法(锻炼提升逻辑思维能力) , 而且包含了一些具体的数学方法,如辅助函数的构造(凑导数法,几何直观解题法,常数替代法,倒推法,乘积因子法) ,这就要求我们要培养直觉思维,发散思维等创新思维; 另一方面, 导数在解决实际问题中的应用广泛, 这要求我们要有应用数学的意识。
第四章不定积分
主要的思想方法:
积分法是微分法的逆运算,即已知函数的导数,求原函数问题(由一个函数的导数求这个函数) 。
不定积分的积分法:
(1)直接积分法:直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式和不定积分的性质求积分;
(2)换元积分法:1.第一类换元法(凑微分法) ; 2. 第二类换元法(主要有三角代换,根代换,倒代换) ;
(3)分部积分法;
(4) 几种特殊类型函数的积分:有理函数的积分, 三角函数有理式的积分,简单无理函数的积分;
(5)其它常见的积分方法:拆项法,加减项法,同乘以(或除以) 一因式法,降次法,先凑微分后化为同名函数法等。
第五章定积分
主要的思想方法:
定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a,b]的图形与x 轴所界定区域的面积。定积分完整地体现了积分思想——一种认识问题, 分析问题, 解决问题的思想方法, 定积分的概念借助极限工具, 以一种结构式的形式严格定义, 理解掌握这种通过“分割” , “近似” 。“求
和” , “取极限”的数学思想对后面重积分,曲线积分与曲面积分的学习有重要作用。定积分与微分学不仅是高等数学的重要内容,也是研究科学技术问题的数学工具。
“分割” , “近似” , “求和” , “取极限”所反映出来的积分思想是微积分的核心思想。
第六章定积分的应用
主要的思想方法:
定积分的应用实质上是运用定积分理论来分析与解决一些几何与物理学中的问题。
定积分解决实际问题的方法:
(1)根据定积分的定义,利用分割,近似替代,求和,取极限这四个步骤来推导出所求量的积分表达式;
(2) “元素法” :将实际问题(几何,物理)转化为定积分,如计算平面区域的面积,平面曲线的弧长,用截面面积计算体积,计算旋转体的体积,计算变力做功等。
在本章的学习中可以增强我们的应用数学的意识并且有助于我们提高我们应用定积分解决实际问题的能力。
第七章空间解析几何与向量代数
主要的思想方法:
空间解析几何借助于空间坐标, 建立空间的曲面曲线方程, 利用代数方法研究图形的几何性质; 向量代数在高等数学中为空间解析几何服务, 它实质是作为一种研究空间图形性质的重要工具。空间解析几何与向量代数是学习多元函数微积分的基础, 学习这部分知识的主要目的是为研究多元函数微积分理论提供一个直观的空间几何图形。
借助向量研究空间图形的性质, 建立空间图形的方程, 这是本章中体现的一种重要的数学思想方法, 我们要树立应用向量这一重要的数学工具研究与解决问题的意识;此外本章中最基本的数学思想是“数形结合”的思想。
第八章多元函数微分学
主要的思想方法:
多元函数微分学是一元函数微分学理论的推广与发展, 因此运用类比的思想方法来学习这一章内容会起到事半功倍的作用。我们要培养类比思想这一创新的思维。
第九章重积分
主要的思想方法:
本章中着重讨论的二重积分与三重积分的理论是多元函数积分学的重要内容。重积分与定积分一样, 都是某种特殊形式和的极限, 基本思想是“分割, 近似,求和,取极限” ,定积
分的被积函数是一元函数,积分区域是一个确定的区间,而二,三重积分的被积函数是二,三
元函数,积分区域是一个平面有界闭区域和一个空间有界闭区域,因此重积分是一元函数定
积分的推广与发展。重积分的计算方法中体现的基本思想是:将重积分化为累次积分, 而化为累次积分的关键是由被积函数的积分区域的特性来确定定积分的次序和积分限。
第十章曲线积分与曲面积分
主要的思想方法:
曲线积分与曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分, 对弧长的曲线积分和对面积
的曲面积分是定积分和二重积分的直接推广, 两者又均有物理学背景, 因此它们在解决几
何与物理学的实际应用问题中有重要作用。在计算上, 将平面或空间曲线积分化为定积分的计算, 将空间曲面积分化为投影区域上的二重积分的计算; 在理论上, 建立了平面闭曲
线上对坐标的曲线积分与该曲线围成的闭区域上的二重积分的关系, 建立了闭曲面上对坐
标的曲面积分与该闭曲面围成的空间闭区域上的二重积分的关系。这些就帮助我们更加深刻地掌握高等数学的思想方法。
格林公式的思想方法:格林公式实现了闭区域上的二重积分与区域的边界曲线上的曲
线积分的相互转化,它可视作是定积分中的牛顿-莱布尼茨公式的一个推广。
高斯公式的思想方法:高斯公式描述了在空间立体上的三重积分与其边界曲面上的曲
面积分之间的关系,它可视作是牛顿-莱布尼茨公式和格林公式的推广,同时它还是计算曲
面积分的一个重要手段。注意在曲面不封闭的情况下, 应先添补曲面构成封闭曲面,再利用
高斯公式,这是计算曲面积分的常用方法。
第十一章无穷级数
主要的思想方法:
无穷级数是一种研究与表示函数及数值计算的专门工具与重要方法,是高等数学的一
个重要组成部分。
在本章中,收敛与发散及其重要理论是建立在极限的基础之上的, 函数展开成幂级数的
主要依据是微分学中的泰勒定理, 幂级数的运算中要用到求导数与定积分的计算, 由此可见, 无穷级数与微积分的其它内容之间有非常紧密的联系。
第十二章常微分方程
主要的思想方法:
常微分方程是指含有一元未知函数及其导数或微分的方程, 它是研究函数的重要工具。
建立常微分方程要用到导数的概念, 而解常微分方程则要用到积分法,因此常微分方程是在微积分基础上的发展与应用。
每种类型的常微分方程都有广泛的实际背景, 因此我们要有应用数学的意识, 通过建
立数学模型来求解实际问题中的微分方程, 在求解前需要分析与明确常微分方程的类型,
并在掌握各种微分方程的相应的解法的基础上求解答案, 同时掌握变量替换法, 常数变易法, 待定系数法等具体的数学方法对求解微分方程有重要的作用。
七大基本数学思想方法
学习数学可以简要地分为三个层次(或称境界) :第一层次,深刻和熟练地掌握基础知识
和基本概念及其本质并且初步拥有运用数学思想方法的意识, 明确各类基础题型的解题方法与步骤, 在不断的练习中锻炼与加强自己的准确的抽象运算能力和严谨的逻辑推理能力; 第二层次, 在进一步加深对数学思想方法的理解的基础上, 进行专题性质的知识总结从中发现各部分数学内容内在的紧密联系并逐渐做到掌握与运用, 与此同时, 加强数学建模的意识与应用能力, 能够发现实际问题中的数学模型并凭此解决联系生产生活实际的应用问题; 第三层次, 深刻地理解与把握各类数学思想方法, 对某一具体问题有更加深层的研究(譬如求极限的方法的归纳总结, 涉及绝对值的问题, 高等数学中应用微积分证明不等式的探讨等等) ,在面对新情境新背景下的理论或实际问题时,既能快速明确问题中的知识载体, 也能在数学解题能力得到提升与强化的基础上, 能够综合运用基础知识与数学思想方法,
分析与解决具有综合性的新数学问题(平时就需要加强这一方面的能力) 或更高知识层次的数学问题(为此可略览硕士阶段数学知识做个大概的了解) 。以此提高数学思维品质(想象力,创新思维,抽象性, 灵活性,深刻性) 。
基本概念与基础知识是“载体” ,解题方法是“手段” ,数学思想才是“深化与核心” ,是分析与解决问题的“灵魂” ,深刻理解与熟练运用数学思想有助于我们锻炼与形成高层次的数学
思维,高水平的数学素质。
数学思想是指人们对数学理论与内容的本质的认识, 而数学方法则是数学思想的具体化形式,两者本质相同,因此通常混称为“数学思想方法” 。下面是七大基本的数学思想方法(前四个为常用的思想方法) :
一 . 函数与方程思想
1. 函数思想是对函数内容在更高层次的抽象,概括与提炼,它要求我们要用函数的概念与性质去分析问题,转化问题和解决问题;在实际问题中,
函数思想通过提出该问题中的数学特征, 建立与构造函数关系型的数学模型(方程, 不等式或方程与不等式的混合组) 并利用函数的性质, 最后通过求解函数解析式来解决问题。
2. 方程思想:实际问题~数学问题~代数问题~方程问题;方程思想是解决各类计算问题的基本思想,也是运算能力的基础。
二 . 数形结合思想
1. 数学研究的对象是数量关系与空间形式,即数与形两个方面,在高等数学中,关于空间解析几何的内容就是数形结合思想的体现。
2. 数形结合思想的实质:将抽象的数学语言与直观的几何图形有机
结合; 关键在于代数问题与几何图形之间的转化, 而代数问题几何化(数到形的转化) 相对简便, 几何问题代数化则需要严密的推理论证, 它考察我们的逻辑推理能力的高低。
3. 运用数形结合思想分析与解决问题的三点注意:掌握相关概念与
运算的几何意义及几何图形(曲线, 曲面) 的代数特征, 对具体题目而言, 要分析条件与结论的几何意义和代数意义; 恰当设参, 合理用参, 建立关系, 由数思形, 以形想数,完成数与形的转化;正确确定参数的取值范围。
三 . 分类讨论思想
1. 分类是自然科学研究中的一种逻辑方法, 是一种重要的数学思想,
也是一种重要的解题策略, 它体现了化整为零, 积零为整的思想与归类整理的方法。
2. 分类讨论分为三种情形:问题涉及的数学概念是分类进行定义
的,如绝对值问题,此为概念型分类讨论题型;问题所涉及的数学定理,公式与运算性质, 法则有范围或有条件限制抑或是分类给出的, 此为性质型分类讨论题型; 问题中含字母参数, 这需要根据参数的不同取值范围进行讨论, 此为含参型分类讨论题型。
3. 进行科学划分(不漏不重)是解决问题的手段,分类研究才是根本目的。
4. 解决分类讨论问题的基本方法与步骤为:首先确定讨论对象及所
要讨论对象的全体的范围; 其次具体问题具体分析, 选取适当的分类标准, 合理分类; 对所分类逐步进行讨论, 分级进行, 获得阶段性结果; 最后进行归纳总结, 综合得出结论。
四 . 化归与转化思想
1. 化归与转化的目的:将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为较易问题,将未解决的新背景下的陌生问题转化为已解决的熟悉问题。
2. 此数学思想灵活度高,具有多样性,无统一模式,我们要用动态思维来寻找有利于解决问题的变换(转化)途径与方法。
3. 常用的变换方法:一般与特殊的转化,繁与简的转化,灵活巧妙地构造转化,命题的等价转化。
4. 等价转化思想方法:它可以实现数与数,形与形,数与形的相互
转换; 在分析与解决实际问题的过程中, 实现普通语言向数学语言的翻译; 函数, 方程,不等式之间的恒等变形。消去法,换元法,数形结合法,求值求范围问题都体现了等价转化思想。
五 . 特殊与一般思想
1.特殊到一般的本质:通过对个例的认识与研究, 形成对事物本质的认知; 这是一个由浅入深, 由现象到本质, 由局部到整体, 由实践到理论的过程。
2. 该思想的具体应用:构造特殊函数,特殊数列;寻找特殊点,确立特殊位置;利用特殊值,特殊方程。
六 . 有限与无限的思想
1.解决无限问题:将无限问题转化为有限问题。
2. 实例:利用定积分的定义求曲边梯形的面积,先进行有限次分割, 再取近似,最后求和取极限,这是典型的有限与无限这一数学思想的应用。七 . 或然与必然的思想
1.随机现象两个最基本的特征:结果的随机性和频率的稳定性。
2. 从偶然中寻找必然,再用必然规律解决偶然。
3. 等可能性事件的概率;
互斥事件中有一个发生的概率;
相互独立事件同时发生的概率;
独立重复试验+随机事件的分布列+数学期望。
数学思想在教学中的运用 从小学数学过渡到初中数学，学习的内容、方法都是个转折，尤其是数学思想的运用要产生质的飞跃。初一数学教材蕴含了数学思想，这些数学思想在学生的数学学习中又要不断地运用与提高。因此把握好初一教材中的数学思想的运用是很严重的。 符号思想 用字母符号表示数是由分外到大凡的抽象，是中学数学中严重的代数方法。初一教材第一章代数初步知识的引言中，就蕴涵用字母符号表示数的思想。教师先让学生在引言实例中计算一些详尽的数值，启发学生归纳出用字母表示数的思想，认识到字母表示数具有问题的大凡性，也便于问题的研究和解决，由此产生从算术到代数的认识飞跃。 学生领会了用字母符号表示数的思想，就可顺利地进行以下内容的教学：用字母表示问题如代数式概念，列代数式；用字母表示规律如运算定律，计算公式，认识数式通性的思想；用字母表示数来解应用题等。因此，用抽象字母符号表示详尽数的思想，对指导学生学好代数、入门知识能起关键作用，为后续代数学习奠定基础。 分类思想 数学问题的研究中，常常根据问题的特点，把它分为若干种情形，以利于问题的研究和解决，这就是数学分类的思想。初一教材中的分类思想主要体现在：有理数的分类；绝对值的分类；整式分类。教学中，要向学生讲清分类的要求（不重、不漏），分类的方法（选择标准），使学生认识分类思想的意义和作用。 只有通过分类思想的教学，才能使学生真正明确：一个字母，在没有指明取值范围时，可以表示大于零、等于零、小于零的三种情形。这样，学生做一些有关分类讨论的题也就不易出错，使学生养成运用分类思想解题的习惯，培养严格分析问题的能力。 数形结合的思想
将一个代数问题用图形来表示，或把一个几何问题记为代数的形式，通过数与形的结合，可使问题转化为易于解决的情形，常称为数形结合的思想。初一教材第二章的数轴体现数形结合的思想。教学时，要讲清数轴的意义和作用，使学生明确数轴建立数与形之间的联系的合理性。任意一个有理数可用数轴上的一个点来表示，从这个数形结合的观点出发，利用数轴表示数的点的位置关系，使有理数的大小，有理数的分类，有理数的加法运算、乘法运算都能直观地反映出来，也就是借助数轴的思想，使抽象的数及其运算方法易于学生理解和接受。充分运用数形结合的思想，就可突破有理数及其运算方法的教学困难。数形结合还要求数学教学中要培养学生初步的空间观念，使学生对物体的形状、大小、位置、方向、距离等有明确的认识，对学过的形体以及接触过的物体、场地、河山等能够在头脑中形成表象，并借助表象进行思考，以解决数学问题。方程思想 方程的思想，就是一些求解未知的问题，通过设未知数建立方程，从而化未知为已知（有时又称代数解法）。代数解法从一开始就抓住包括已知数、未知数的整体，在这个整体中未知数与已知数的地位是同等的，通过等式变形，改变未知数与已知数的关系，最后使未知数成为一个已知数。而算术解法，往往是从已知数开始，一步一步向前探索，直到解题基本结束，才找出所求未知数与已知数的关系。这样的解法是从把未知数排斥在外的局部出发的，因此未知数对已知数来说其地位是分外的。与算术解法相比，代数解法显得居高临下，省时省力。通过方程思想的教学，学生对用字母表示数及代数解法的优越性得到深刻的认识，激发他们学好方程知识，运用方程思想去解决问题。由此，学生用代数方法解决问题和建立数学模型的能力得到了培养。 化归思想 化归思想是把一个新的（或较繁复的）问题转化为已经解决过的问题上来。它是数学最严重、最基本的思想之一。初一数学中化归思想主要体现在：1）用绝对值将两个负数大小比较化归为两个算术数的大小比较；2）用绝对值将有理数加法、乘法化归为两个算术数的加法、乘法；3）用相反数将有理数的减法化归为有理数的加法；4）用倒数将有理数除法化归为有理数的乘法；5）把有理数的乘方化归为有理数的乘法。教师如能这样的讲解，学生对有理数的各种运算关系就能透彻的理解，形成对数学问题的转化意识。通过这样的化
讲座题目高等数学的数学思想方法研究所属学科数学教育学 讲座时间2007年5月持续时间 最后学历研究生最后学位硕士 研究方向数学教育研究专长教育管理职称教授职务 学术特长及成果简介： 学术特长是数学教育学有关的课题和教育管理有关的课题。主要研究成果如下： 1、2006年9月完成了2004——2005年度中国职业技术教育学会科研规划项目《高职院校推进 学分制管理的研究与实践》，并获得结题证书。 2、论文《完善选课制是实行学分制的精髓》2005年12月发表在《长春教育学院学报》上。 3、论文《专升本院校实行学分制的几点思考》2006年10月发表在《中国育人杂志》上。 讲座内容介绍：（包括：选题意义和价值、研究现状、主要内容、观点和创新之处、主要 参考文献等。限2000字以内。） 一、选题意义和价值 为适应二十一世纪科技与社经的发展，培养大批具有高综合素质的创新型人才，我国正在进行从 应试教育向素质教育转轨的伟大改革，并提出在素质教育中着重培养学生的创新精神和实践能力的现 代教育目标。为实现这一目标，自九十年代初以来，高等数学教育也和其它学科教育一样，从教学思 想、教学内容、课程设置、教学方法和教学手段等方面进行了一系列的改革试验，并取得了初步的成 效。例如随着人们愈来愈认识到高等数学在大学人文素质教育中不可或缺的普遍和重要的作用，我国 许多重点的文史、外语和艺术等文科专业都开设了《大学数学》这一课程，又如为了加强教学建模和 运用计算机解决实际问题的能力，有些院校在高等数学中开设了《数学实验》或《数学建模》的课程，这是可喜的试验，但是高等数学的教育改革涉及面广，内容庞杂，矛盾和问题都较多，因此它的改革 是一项复杂的系统工程。当前如何把高等数学教育改革有序和有效地深入下去？当然这有许多方面的 工作要协同配合去做，我们认为其中根本的一项就是要改革在高等数学教学中相当普遍存在的形式主 义弊端——只注重纯数学知识与技能的传授而忽视对蕴涵于其中的数学思想方法的教学。为此必须认 真研究在高等数学教学全过程中，如何有效地加强数学思想方法教学的问题，提升一点来说，就是要 在所有数学教学活动中，结合具体的数学内容和活动形式，适当进行数学方法论的教育。 二、研究现状及主要内容 著名数学家和数学教育家徐利治教授认为“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法以及数学中的发现发明与创新法则的一门学问”。[1]自80年代初，徐教授倡导数学方法论以来，这一学科在国内至今已有了很大发展，取得了不少理论成果，出版了许多有关的著作，特别自90年代以来，不少数学教育工作者把它应用于指导中学数学教育改革的具体实践，取得了很大的成效[2]。至于应用数学方法论指导高校数学教育改革的研究与实践至今只看到少量个别的报导，看来这方面还 未引起高校广大数学教育工作者足够的重视，本讲座试图对高等数学加强数学思想方法教学的意义， 它包含那些基本的数学思想方法以及如何加强这方面的教学作一初步阐述。 三、观点和创新之处 1．首先，各方在思想上要真正重视，尽快把数学思想方法的教学正式纳入高等数学教学大纲。 要在大纲中明确规定数学思想方法的教学目标、基本教学内容和具体的要求。这是落实加强数学思想
反例在高等数学教学中的功能 发表时间：2014-08-22T11:01:32.153Z 来源：《素质教育》2014年6月总第154期供稿作者：韩召伟 [导读] 高等数学主要围绕数学知识的理论体系的建立来展开,然而解释概念、得出命题、阐明定理大都是从正面陈述的,对于反例的陈述少之又少。 韩召伟陕西师范大学数学与信息科学学院710062 摘要：高等数学是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科。在高等数学教学中, 恰当地开发和有效地利用反例,能起到事半功倍的效果。本文具体以多元微分学中极限、可偏导和可微之间的关系为例,剖析了高等数学教学中反例的功能。 关键词：高等数学多元函数反例 一、引言 高等数学主要围绕数学知识的理论体系的建立来展开,然而解释概念、得出命题、阐明定理大都是从正面陈述的,对于反例的陈述少之又少。因为缺乏反例的衬托,在学习过程中学生对数学概念内涵和外延理解上的偏差或对于命题的条件和结论认知的不充分,都将成为学生高等数学学习的屏障。构造适当的反例，一方面能帮助学生全面理解和正确掌握高等数学中的基本知识,激发学生的求知欲；另一方面对于提高学生的数学学习能力和数学思维能力将会起到十分重要的作用。因此,在高等数学教学中,充分发掘反例的教学功能,有效地构造和利用反例,教师应予以足够重视。 二、高等数学教学中反例的功能 1.反例是全面理解概念的基础。数学知识理论体系向来以思维严密和逻辑严谨而著称,教材主要由定义和定理等内容构成,比较注重学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析运算能力、解决问题方面能力的培养,而这些能力的取得都以深刻理解概念和准确掌握概念为基础，因此,在教学中只要求学生死背概念是不行的,必须注重理解其实质。高等数学中具有若干新概念,而要很好地理解这些新概念,正面的例子可起到了解、熟悉新概念的作用,而反例则可加深对新概念的理解。在高等数学教学中,教师不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点,而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质,弥补正面教学的不足,从而加深学生对知识的理解。
高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1
如何在小学数学教学中渗透思想品德教育肖玲 小学数学是义务教育阶段的一门重要学科，虽然不同于语文学科的思想性，但它依然具有教育性。也就是说，数学课的教学也应包含有思想品德的教育。 义务教育阶段小学数学新课程标准，对思想品德教育的内容、方法和要求都有具体的规定。标准明确指出：思想品德教育是小学数学教学必须完成的一项重要任务。要从一年级起贯穿在各年级的教学中。要根据数学的学科特点，对学生进行学习目的的教育，爱祖国、爱社会主义的教育，辩证唯物主义观点的启蒙教育，培养学生良好的学习习惯和独立思考、克服困难的精神。由此可以看出在小学数学教学中进行思想品德教育的重要性。 根据数学新课程标准的要求及数学的学科特点，我认为思想品德教育的内容主要包括以下四个方面：学习目的性教育、爱国主义教育、初步的辩证唯物主义观点的教育和良好的学习习惯教育。教育的方法要结合数学的教学内容和小学生年龄的特点恰当进行，把思想品德教育渗透在知识教学中。如果不联系实际，空洞的政治说教，不仅起不到教育的作用，而且会削弱数学基础知识的掌握和能力的培养。如何才能起到良好的教育效果？我认为应该重在“结合”二字上下功夫。 一、学习目的性教育 数学具有抽象性、逻辑严密性和应用广泛性的特点，因此在教学中不能单纯地进行知识的传授，而应结合数学在生产建设、日常生活、
科学技术等方面的广泛应用，激发学生的学习兴趣，向学生进行学习目的性教育。在学生学习每一种新知识之前，教师必须引导学生认识这些知识同实际的问题。如教小数、分数和百分数时，引导学生认识小数、分数和百分数在工农业生产、日常生活和科学研究中的应用。又如在学测量和几何图形计算时，使学生认识测量和几何图形在修铁路和桥梁、建造楼房时的应用。这样做不仅激发学生的学习积极性和自觉性，而且使学生对学习数学知识有更深刻的认识。 二、爱国主义教育 结合教材，讲祖国古今杰出科学家的事迹，激发学生为“四化”建设而勤奋学习。如在教学圆的周长时，给学生讲我国古代数学家祖冲之发明圆周率的故事，通过课堂讲述让学生知道我国古代数学的先进性。讲祖国的重大发明创造，激发学生的民族自豪感。如教算盘的认识时，教师向学生讲述算盘是中国首先发明的，用算盘计算又快又方便。通过讲述，让学生为之感到自豪，激发学生的学习兴趣。结合具体数字，讲祖国建设取得的巨大成就，社会主义经济发展日新月异。激发学生热爱党、热爱社会主义的感情，增强学生为社会主义而学习的信心。结合数学知识的教学，讲祖国文化科技与世界先进水平的差距，激发学生树立振兴中华的强烈责任感。 三、初步的辩证唯物主义教育 辩证唯物主义的启蒙教育，是小学数学中的一个重要思想内容。丰富多彩的数学现象，为辩证唯物主义的启蒙教育提供了有利的条件。教师要通过数和计量的产生和发展，数学概念之间的联系，如加
高等数学思想方法 第一章函数与极限 主要的思想方法： (1)函数的思想 高等数学的核心内容是微积分，而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时，首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系，这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程，体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。 （2）极限的思想 极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势，是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势，即函数或者数列的极限，这是一种重要的数学思想方法。 第二章导数与微分 主要的思想方法： （1）微分的思想 微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化，一般地，求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出，在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现，而这也是微积分的一个基本思想。 （2）数形结合的思想 书本中在引入导数与微分概念时，也讨论了它们的几何意义，这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法，这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。 （3）极限的思想 不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。 （4）逻辑思维方法 在本章中，归纳法（从特殊到一般），分类（整合）法等逻辑思维方法都得到了充分的体现，理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。 第三章中值定理与导数的应用 主要的思想方法： 导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型，它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态；而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”，利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质，具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。
论微积分的哲学原理 亮笔 “哲学不应当从自身开始。而应当从它的反面，从非哲学开始”①。自然科学是哲学的基础。数学、物理学、化学、生物学、天文学等等，蕴含着极其丰富哲学思想。微积分是研究变数的科学。从本质上看是辩证法在数学上的运用。因此，微积分中的哲学思想比起初等数学更丰富、更明显。如果将其全部抽象出来，可以构成一部完整的自然哲学。本文试从微积分与现实世界的关系及其辩证内容略作粗浅探讨。 关于微积分的本原问题 微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。唯心主义认为纯数学产生于纯思维。它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表②。牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。各自独立地创立了微积分。这个功劳是应该肯定的。但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界的亲缘关系。其运算出发点是先验的。所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”③。唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学。 恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的”④微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。生产实践对微积分的创立起着决定的作用。从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。这些问题归纳起来大致分为四类：一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。二是求曲线的切线。三是求函数的极大值、极小值。四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题。 上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。其中的量都在不断变化着。因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。生产和科研的需要，促使数学由研究常量向研究变量转化。于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经《解释几何》这个“助产婆”的接生“而分娩了”。所以，恩格斯说：“数学的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学。有了变数，辩证法进入了数学。有了变数，微分学和积分学也就立刻成了必要的了”⑤ 微积分不仅是适应生产和科学发展需要的产物。而且，它的概念、运算法则、定理、推论等在客观世界中都各有其现实的原型。微分与积分的现象在自然界中普遍存在。自然界的蒸发与凝结过程，就是微分与积分及其相互转化的辩证过程恩格斯是这样描述自然界中的微分与积分现象及其矛盾的相互转化： “如果一杯水的最上面一层分子蒸发了，那么水层的高度x就减少了dx。这样一层分子又
无穷极数中的几个典型反例 一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例 （1） 比值差别法： 例1： 1(1)3 n n ∞=+- 级数1(1)3n n ∞=+-发散，但极限1lim n n n u u +→∞并不存在 因为级数13n ∞=发散而级数1(1)3n n ∞=-∑ 收敛。所以级数1 (1)3n n ∞=+-发散。 而11n n n u u ++= 是摆动数列，故11lim n n n n n u u ++→∞=并不存在。 当然，p-级数∑∞ =11n n p 也是一个典型的反例, 1lim n n n u u +→∞=1,但当p>1时收敛; 1≤p 时,发散。 （2） 根值判别法： 例2： 1(1)3n n n ∞ =?-???∑ 级数1(1)3n n n ∞=?-???∑ 收敛，但(1)lim 3n n n →∞-=并不存在。 2(1)210 33n n n ????-≤≤ ??? ???? ? 而1 13n n ∞=?? ? ???∑收敛（公比小于1的等比级数）。 由比较判别法，1(1)3n n n ∞=?-??? ∑ (1)3n -=是摆动数列。 故(1)lim 3 n n n →∞-=不存在。 注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。 二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例
在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。 例3： n n ∞= n u =， 显而易见满足lim 0n n u →∞ =，而不满足。1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数 (1)(1)1(1)111n n n n n u n n n ?--??===----- 由级数2(1)1n n ∞=--∑ 收敛，而级数211n n ∞=-∑ 发散知，级数n n ∞=发散。 例4： n n n n )1(1)1(2-+-∑∞ = n n n n )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n n n n ， 根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞ =--221)1(n n n n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数 n n n n ) 1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。 注：例3与例4都是不满足n n u u <+1的情况，不能使用莱布尼兹判别法直接判定。 三、 幂级数中的反例 有些同学认为，如果幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R ≠0，那么一定有 n n n a a 1lim +∞→=L=1/R ，这是不对的，因为有可能n n n a a 1lim +∞→不存在。 例5： 求幂级数∑∞=-+1 2)1(2n n n n x 的收敛半径
2014年大学高数学习方法总结 一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。篇二：高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结 大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。 高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。 首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。 （一）做题的方法和技巧 学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。 （二）考试后的反思
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
浅谈小学数学教学中数学思想方法的渗透 小学数学教学内容贯穿着两条主线，数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字的形式写在教材里，反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，隐藏在基础知识的背后，需要教师加以分析、提炼才能使之显露出来。数学知识是对生活的提炼，数学思想方法是对数学知识的提炼。 美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。在一个人的一生中，最有用的不仅是数学知识，更重要的是数学的思想和数学的意识。因此在小学数学的教学中要不失时机地对学生进行数学思想方法的渗透，掌握数学思想方法是数学学习的最高境界。 一、通过学习数学史了解数学思想方法。 小学数学思想方法主要有：化归思想、优化思想、符号化思想、集合思想、函数思想、极限思想、分类思想、概率统计思想等；归纳与演绎，分析与综合，抽象与概括，联想与猜想等方法。 数学史本身就蕴涵一些重要的数学思想和方法。例如：向学生介绍十进制计数法的由来，介绍祖冲之关于圆周率的探索史等让学生了解数学知识产生的背景和发展的过程，知道来龙去脉，也就把握了知识本源和数学思想方法。 二、通过挖掘教材体验数学思想方法。
小学教材中数学思想方法呈现隐蔽形式，教师要认真分析和研究教材，理清教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴，建立各类概念、知识点之间的联系，归纳和揭示其蕴含在数学知识中的数学思想方法。 极限思想在教材中有许多地方渗透，如在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，初步体会“极限”思想。在循环小数这一部分内容，在教学l÷3＝0.333……是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的。在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。再如，在“圆的面积”这节中圆面积的求法：先把圆分成相等的两部分，再把两个半圆分成若干等分，然后把它剪开，再拼成近似于长方形的图形。如果把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。这时长方形的面积就越接近圆的面积了。这部分内容应让学生体会到这是一种用“无限逼近”的方法来求得圆面积的，也就是验极限思想的运用。 三、通过教学过程渗透数学思想方法。 如果在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历 知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中看到知识负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识就是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。 如，在“面积与面积单位”一课教学中，当学生无法直接比较两个图形面积的大小时，引进“小方块”，并把它一个一个地铺在被比较的两个图形上，这样，不仅比较出了两个图形的大小，而且，使两个图形的面积都得到了“量化”。使形的问题转化为数的问题。在这一过程中，学生亲身体验到“小方块”所起的作用。接着又通过“小方块大小必须统一”的教学过程，使学生深刻地认识到：任何量的量化都必须有一个标准，而且标准要统一。很自然地渗透了“单位”思想。
数学教学中对学生思想教育 数学思想是指在实现现实世界的空间形式和数量关系反应到人们自身的潜意识之中，并且通过一系列的思维活动而产生的一种结果，是解决数学问题的最基本方法。数学思想相对于数学概念来说会更加的抽象，更加难以让人理解，但是要是理解了数学思想的本质，就会使记忆更加的深刻，更加清晰的处理数学问题，所以加强对小学生的数学思想方法的教育是极其重要的。 1.数学思想在小学教学中的重要作用 在数学的教学思想中存在着许多不同的思想，例如：函数的思想方法，笛卡尔的方程思想方法，数形结合的思想方法，等价转化的思想方法等，这些思想方法不应该在初高中的教学中进行养成，而是应该在小学阶段就进行教育，不断的在不同的教学阶段就给学生们灌输这些思想的基础知识，并加强对这些知识点的引导，让学生不断的加强对这些概念的理解和应用。在一般的学校教学中老师们只会加强对学生们的解题过程，而不会对学生们的思想方法进行增强，这样会使得学生们的思想僵化，不会改变思路去思考，时间长了以后就会让学生产生一种逆反心理，使学生的学习反而不能够有所增强。所以将数学思想渗透到小学的教学中是极其重要的，这样能够加强学生们不断地构建对知识点的理解，拓
宽学生们的解题思路，让学生们对学习的教学点有更加深刻的印象，从而对以后的学习打下比较坚实基础，进一步提高学生们的学习质量和学习有效性。当今我们的社会情形下，初高中学校都进行了数学思想的改变，都对学生的思想进行强化，但是，仅对初高中进行改进是无法从根本解决现如今的不良现象的，应不断加强学校教辅人员对数学思想的重视程度，不断改进在教学过程中存在的一些错误方法，不断的增强练习，建立不同的科学引导体系，使数学思想能够推进到小学数学教学当中去。 2.数学思想渗透到小学教学中的方法 2.1转变领导层的思想方法从领导层改变对小学数学教学的思想，设定出适合班集体的教学方案，引导学生们在可以理解每一条不同的定律，由于学生们在理解新的知识点时，刚开始的观念理解不够充分，必须要有教师的关键的领导，所以，老师在领导过程中，渗透一些教学思想在其中，能够更加有效地提高孩子们对知识点的理解，从而为以后的更加有难度的知识点的学习鉴定了有效基础。 2.2制定科学的引导方法 在思想教学中要有一定的特色，引起学生们对这些思想方法的兴趣，在根本上喜欢这些思想方法，所有的思想方法都能够为以后的学习建设鉴定更加良好的基础，紧靠教师的强制性灌输是无法起到效用的，在教学计划规划时必须要有
【总结2】定积分与不定积分 1.有关三角函数的不定积分的凑微分法 (1)??=);(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f (2)??-=);(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f (3);)(tan )(tan sec )(tan cos ) (tan 22???==x d x f xdx x f x dx x f (4);)(cot )(cot csc )cot (sin )(cot 22???-==x d x f xdx x f x dx x f (5)??=);(sec )(sec tan sec )(sec x d x f xdx x x f (6)??-=).(csc )(csc cot csc )(csc x d x f xdx x x f 2.利用下列微分关系式凑微分，求不定积分 (1))cos (sin 2cos x x d xdx = (2)?????-=-===) (cos )(cos cos 2)(sin )(sin sin 2cos sin 22sin 22x d x xd x d x xd xdx x xdx (3))()'()1()]([)](')([x x x xe d dx xe dx x e x xu d dx x xu x u ==+=+特别地，有 (4))1(122x d dx x x ±±=± (5))ln ()ln (x e d dx x e x e x x x =+ (6))ln ()ln 1(x x d dx x =+ (7) |)tan sec |(ln sec sin x x d xdx x dx +== (8)|)cot csc |(ln csc cos x x d xdx x dx -==
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/406496166.html, 浅析高等数学学习中的辩证法思想 作者：卢伟程世娟 来源：《课程教育研究·上》2013年第11期 【摘要】高等数学中蕴含了十分深刻的唯物辩证法思想，用辩证法思想来指导高数教学，有助于培养学生良好的数学思维方式和分析问题解决问题的能力。所以高数教师掌握哲学原理并将其应用于教学是十分必要的。本文就哲学量变到质变，一般到特殊，具体到抽象等方面，讨论了辩证法思想在高数学习中的应用。 【关键词】高等数学辩证法函数 【基金项目】川油气科（SKB13-08）。 【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）11-0149-01 微积分为主要内容高等数学是非数学专业一门重要的公共基础课。不仅对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着重要的作用，而且对培养学生的抽象归纳能力、创新意识及创新能力有着重要的意义。但绝大多数学生面对高等数学里抽象繁多的概念理论，计算的复杂性加上授课时间短等特点而产生厌学头疼情绪。如何帮助学生学好这门课程，是所有工科数学老师面临的共同难题。 伟大的思想家、哲学家恩格斯说过：“要想表示事物运动状态、形成和发展过程，唯一可以实现或达到目的的只有微积分。”唯物辩证法是揭示事物本质矛盾的方法，是探求真理与知识的重要途径。尤其是辩证法的方法论指导我们要用辩证的思维去学习高等数学，会让原本枯燥无味理论知识变得具体生动有趣，从而有利于提高我们学生自身的观察能力、思维能力、推理能力和创新能力；增强分析问题解决问题的能力。本文就辩证法理论联系实际，一般到特殊、具体到抽象，量变到质变等方面，讨论辩证法思想在高数学习中的运用。 一、理论联系实际 马克思唯物主义讲究理论联系实际，只做不想或只想不做是行不通的。同样，在高数的学习中，我们也必须要学和用联系起来，这样才会使这门课程的学习生动活泼，饶有兴趣。微积分原本来源于实际生活。极限思想在圆周率，曲边三角形等近似计算中就有所体现，而导数概念则包含了物理和几何背景，是人们在实际中提出问题，理论上解决问题，最后把结果推广到各个领域加以运用。可以说微积分知识成就了各个领域的发展和完善。因此在高数学习中，一定要理论联系实际，只有这样才能学有所获，学有所用。如果将理论与实际应用脱离，学起来不但显得枯燥无味，兴趣黯然，而且不会领会其精神，更谈不上创新。 二、一般到特殊，具体到抽象
无穷极数中的几个典型反例 一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例 （1） 比值差别法： 例1： 1 (1) 3 n n ∞ =+-∑ 级数1 (1) 3 n n ∞ =+-∑ 发散，但极限1lim n n n u u +→∞ 并不存在 因为级数1 3 n ∞ =∑ 发散而级数1 (1)3 n n ∞ =-∑ 收敛。所以级数1 (1) 3 n n ∞ =+-∑ 发散。 而 11(1) n n n u u +++-= 11(1) lim lim n n n n n u u ++→∞ →∞ +-=并不存在。 当然，p-级数 ∑ ∞ =1 1n n p 也是一个典型的反例, 1lim n n n u u +→∞ =1,但当p>1时收敛; 1≤p 时,发散。 （2） 根值判别法： 例2： 1 (1)3n n n ∞ =? -??? ∑ 级数1 3n n ∞ =?? ∑ 收敛，但lim lim 3 n n →∞→∞ =并不存在。 (1)21 033n n n ? ???+-≤≤ ?? ? ???? ? 而113n n ∞ =?? ? ?? ? ∑收敛（公比小于1的等比级数）。 由比较判别法，1 (1)3n n n ∞ =?+-??? ∑ (1)3 n -= 是摆动数列。 故(1)lim lim 3 n n n →∞ →∞ -=不存在。 注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。 二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例
在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。 例3： 2 (1) n n ∞ =-∑ 1n u = 显而易见满足lim 0n n u →∞ =，而不满足。1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数 (1)(1)1(1)111n n n n n u n n n ?---??= ==----- 由级数2 1 n n ∞ =-∑ 收敛，而级数2 11 n n ∞ =-∑ 发散知，级数2 n n ∞ =∑ 发散。 例4： n n n n ) 1(1) 1(2 -+-∑∞ = n n n n ) 1(1) 1(2 -+-∑∞ == 1 11 )1(1 ) )1(()1(2 2 2 -- --= ----n n n n n n n n ， 根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑ ∞ =--2 2 1 )1(n n n n 收敛，而∑ ∞ =-2 2 1 1n n 收敛，所以原级数 n n n n ) 1(1) 1(2 -+-∑ ∞ =是收敛的。 注：例3与例4都是不满足n n u u <+1的情况，不能使用莱布尼兹判别法直接判定。 三、 幂级数中的反例 有些同学认为，如果幂级数∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径R ≠0，那么一定有 n n n a a 1lim +∞ →=L=1/R ，这是不对的，因为有可能n n n a a 1lim +∞ →不存在。 例5： 求幂级数∑ ∞ =-+1 2 ) 1(2n n n n x 的收敛半径
浅谈数学思想方法在小学数学教学中的渗透 太原市尖草坪区实验小学王军 所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。 重视思想方法的教学是以人为本的教育理念下培养学生素养为 目标的需要。正如布鲁纳所说“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”理论研究和人才成长的轨迹也都表明，数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面起着重要作用。 正是由于数学思想方法是如此的重要，数学教学不能单纯只教给学生它的概念、公式、定理、法则，更重要的要教给学生这些内容反映出来的数学思想方法。 接下来就如何在日常教学中渗透数学想方法的教学，谈谈本人粗浅的看法： 一．小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性 小学数学教材是数学教学的显性知识系统，许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。因此，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统，小学数学教学应包括显性和隐性两方面知识的教学。如果教师在教学中，仅仅依照课本的安排，沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程，即使教师讲深讲透，并要求学生记住结论，掌握解题的类型和方法，这样培养出来的学生也只能是“知识型”、“记忆型”的，将完全背离数学教育的目标。 在认知心理学里，思想方法属于元认知范畴，它对认知活动起着监控、调节作用，对培养能力起着决定性的作用。学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语），解题关键在于找到合适的解题思路，数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。 数学知识本身是非常重要的，但它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。21世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”。因此，向