.
反比例函数
一、经典内容解析
1. 反比例函数的概念
(1) (k ≠ 0) 可以写成 (k ≠ 0) 的形式，注意自变量 x 的指数为 -1 ，在解决 有关自变量指数问题时应特别注意系数
k ≠ 0 这一限制条件；
(2)
(k ≠ 0) 也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中
的 k ，从而得到反比例函数的解析式；
(3) 反比例函数
的自变量 x ≠ 0，故函数图象与 x 轴、 y 轴无交点 .
解析式
y
k
（ k 为常数，且 k 0 ）
x
自变量取值范围
x
0 的实数
双曲线
图
k 0
k 0
11
Y
11
图
象
10
Y
9
10
9
8
8
7
象
的
7 5
6
6
4
5
4 性
2
3
3
示意图
X
X
1
1
质
-8-7-6-5-4-3-2-1-101234 56 78 9
-8-7-6-5-4-3-2-1 012 3456 789
-2
-1
-3
-2 -3 -4
-4 -5 -5 -6
-6
-7
-7 -8
-8 -9
-9
位置 两个分支分别位于
两个分支分别位于
一、三象限
二、四象限 变化趋势
在每个象限内， y 随 x
在每个象限内， y 随 x
的增大而减小
的增大而增大
是轴对称图形，直线 y
x 是它的两条对称轴
对称性
是中心对称图形，对称中心为坐标原点
3. 反比例函数的性质 ( 与正比例函数对比 )
函数解析式
正比例函数 y=kx (k ≠ 0)
反比例函数
(k ≠ 0)
自变量的 取值范围 全体实数 x ≠ 0
图 象
直线，经过原点
双曲线，与坐标轴没有交点
图象位置 ( 性 质) 当 k ＞ 0 时，图象经过一、 三象限； 当 当 k ＞ 0 时，图象的两支分别位于一、 三
.
k＜0 时，图象经过二、四象限.象限；当k＜0时，图象的两支分别位
于二、四象限 .
(1) 当 k＞0 时，在每个象限内y 随 x
(1) 当 k＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大；
当 k＜ 0 时，在每个象
的增大而减小；
性质当 k＜ 0 时，y 随 x 的增大而减小 . (2)
限内 y 随 x 的增大而增大 . (2) 越大，
越大，图象越靠近y 轴.
图象的弯曲度越小，曲线越平直.
注：
(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不
能一概而论 .
(2) 正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；
当时，两图象必有两个交点，
且这两个交点关于原点成中心对称.
(3) 反比例函数与一次函数的联系 .
4. 反比例函数中比例系数k 的几何意义
(1) 过双曲线(k ≠ 0)上任意一点作x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积为.
(2) 过双曲线(k ≠ 0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角
形的面积为
二、典型例题分析
1.反比例函数定义
【例 1】如果函数 y kx2k2k 2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的
值是多少？
1. 反比例函数y 2
的图像位于（）x
A．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限
6
2. 若双曲线 y＝－x经过点 A（m，－ 2m），则 m的值为（）
A. 3
B. 3
C.± 3
D. ±3
3.已知某反比例函数的图象经过点（ m，n），则它一定也经过点（）
A. （m，－ n）
B. （n，m）
C. （－ m，n）
D. （︱ m︱，︱ n︱）4．（2007 陕西）在△ ABC 的三个顶点A(2，3)，B( 4，5)，C ( 3，2)中，可能在
反比例函数 y k
(k 0) 的图象上的点是．x
5.若点 P（ 4，m）关于 y 轴对称的点在反比例函 y= （x≠0）的图象上，则 m
的值是
2.反比例函数的表示
【例 2】已知y y1y2， y1与 x 成正比例， y2与 x 2成反比例，且
x2时和 x 3时， y的值都是 19，求 y与 x间的函数解析式
1. 若 y 与x成反比例，x与z成正比例，则 y 是z的（）
A、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数D、不能确定
2．已知y与( x2) 成反比例关系，且当x 1时，y 4 ，
则 y 关于x的函数解析式为
3．已知 y 与 x 成正比例（比例系数为 k ），y 与 x 成反比例（比例系数为k ），若函数y y1y2
1 1
2 2
的图象经过点（1， 2），（ 2，1
），则8k1 5k2 ．2
3.反比例函数的增减性问题 . 【例 3】在反比例函数 y 1
的图像上有三点 x1 ， y1 ， x2， y2， x3 ， y3。x
若 x1 x2 0 x3则下列各式正确的是（）
A．y3 y1 y2B． y3 y2 y1C． y1 y2 y3D． y1 y3 y2
1．在反比例函数图象上有两点A(，) ， B() ，当时，有，则 m的取值范围是 ( ).
A． m＜0 B ． m＞ 0 C ． m＜ 0.5D． m＞ 0.5
2：已知反比例函数的图象上两点A(，) ，B(，) ，当时，有，则 m的取值范围是 _________.
3：若反比例函数上，有三点A(，) ，B(，) ， C(，) ，且
，则，，的大小关系是________.
4. 设有反比例函数 y k 1 ，
( x1, y1)、( x2, y2)为其图象上的两点，若x10 x2 x
时， y1y2，则k的取值范围是___________
4. 反比例函数与图象的面积问题.
(1)求函数解析式
1．如图， P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为 3. 求这个反函数的解析式 .
2.（ 2007 山东枣庄）反比例函数y k
的图象如图所示，点M是该函x
数图象上一点， MN垂直于 x 轴，垂足是点 N，如果 S△MON＝ 2，则
k 的值为（）
(A)2(B)-2
(C)4(D)-4
(2) 求图形面积的问题
1. 图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B 两点，分别以 A、B 两点为圆心，画与 y 轴相切的两个圆，若点 A 的坐标为 (1 ， 2) ，求图中两个阴影面积的和.
(3)求特殊点组成图形的面积
1．如图，反比例函数y=与一次函数y=-x+2 的图象相交于A、 B 两点 .
(1) 求 A、 B 两点的坐标；
(2) 求△ AOB的面积 .
5. k 的几何意义及应用
1．点 P 为反比例函数图象上一点，如图，若阴影部分的面积是12 个（平方单位），则解析式为
2．如图，反比例函数y 5
y kx(k 0) 相交于 A、 B 的图象与直线
x
两点， AC ∥y轴， BC∥x轴，则△ ABC 的面积等于个面积单位 . ．如图，已知双曲线y k
3 (x＞ 0)经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F，交 BC 于点 E，且四边
x
形 OEBF 的面积为2，则 k＝ ______________。
y
y
A C E B
O
x
F B x
C O A
(第 2题图) (第 3题图)
6.反比例函数和一次函数的综合
例 1．函数 y=与y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
k
1. 已知反比例函数 y ＝ x （k ≠0），当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而增大，那么一次
函数 y ＝kx －k 的图象经过（
）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限
kb 2. 已知一次函数 y ＝kx ＋b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数 y ＝ x
的图象在（ ）
A. 第一、二象限
B. 第三、四象限
C. 第一、三象限
D. 第二、四象限
k
3．在同一坐标系中，函数 y x 和 y kx 3
的图像大致是
（ ）
A B C D
4. （2007 浙江宁波）如图，是一次函数 y=kx+b 与反比例函数
y= 2
的图像，则关于 x 的方程 kx+b= 2
的解为 ( )
x
x
(A)x l =1，x 2 =2 (B)x l
=-2 ， x 2 =-1 (C)x l =1，x 2 =-2 (D)x
l =2，x 2=-1
k
5. 已知反比例函数 y ＝x （ k ≠0），当 x ＜ 0 时， y 随 x 的增 大而增大，那么一次函数 y ＝kx － k 的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限
6. （ 2007 湖北潜江）如图，反比例函数 y
5
的图象与直线
y kx(k 0) 相
x
交于 B 两点， AC ∥ y 轴， BC ∥ x 轴，则△ ABC 的面积等于
个面积单位 .
例 2．如图，已知 A(-4 ，2) 、B(n ，-4) 是一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数的图象的两个交点 .
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围 .
解： (1)∵ 点A(-4，2)和点B(n，-4)都在反比例函数y=的图象上，
∴解得
又由点 A(-4 ， 2) 和点 B(2 ， -4) 都在一次函数y=kx+b 的图象上，
∴解得
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=-x-2.
(2)x 的取值范围是 x＞ 2 或 -4 ＜ x＜ 0 .
例 3．直线 y=k1x+b 与双曲线y=只有—个交点A(1 ，2) ，且与 x 轴、 y 轴分别交于B，C 两点， AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式.
解：∵点 A(1，2)在上
∴，∴
∴双曲线的解析式为
∵AD垂直平分OB，
∴O D=1， OB=2
∴B(2 ， 0)
.
∵A(1 ， 2) ， B(2 ， 0) 在直线上
∴
解得
∴直线解析式为.
例 4．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A 的横坐标为 4.
(1)求 k 的值；
(2) 若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△ AOC的面积；
解： (1) ∵点 A 横坐标为4，∴当= 4 时，=2.
∴点 A的坐标为 (4， 2).
∵点 A 是直线与双曲线的交点，
∴ k=4 × 2=8.
(2)解法一：如图，
∵点 C在双曲线上，当=8 时，=1
∴点 C的坐标为 (1 ， 8).
过点 A、 C 分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，
得矩形 DMON .
S 矩形ONDM=32， S△ONC=4，S△CDA=9， S△OAM=4.
.
S △AOC=S 矩形ONDM-S△ONC-S △CDA-S △OAM=32-4-9-4=15.
解法二：如图，
过点 C、 A 分别做轴的垂线，垂足为E、 F，
∵点 C在双曲线上，当= 8 时，=1.
∴点 C的坐标为 (1 ， 8).
∵点 C、 A 都在双曲线上，
∴S △COE= S △AOF=4.
∴S △COE+S 梯形CEFA=S△COA+S△AOF.
∴S △COA=S 梯形CEFA.
∵S 梯形CEFA = × (2+8) × 3=15，
∴ S △COA=15.
7.反比例函数图象上、下平移；关于坐标轴对称；关于坐标原点中心对称；绕原点顺（逆）
时针旋转 90 后的解析式
1．如图，一次函数y x b 与反比例函数 y k
A、B 两点，若已知一个交
的图象相交于
x
点为 A（2， 1），则另一个交点 B 的坐标为（）
A. （ 2，－ 1）
B.（－ 2，－ 1）
C. （－ 1，－ 2）
D. （ 1，2）
2
2．反比例函数的图象经过点M ( 3, ) ，将其图象向上平移
3
2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为
k
3．若将反比例函数y的图象绕原点O 逆时针旋转90 后经过点A（-2，3），则反比例
x
函数的解析式为：
8.反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合问题
1．已知 k1＜ 0＜k2，则函数 y＝ k1x 和y k2 的图象大致是（）．
x
y y y y
x x
x x
A B C D
y 2．如图，已知直线y1 x m 与x轴、y轴分别交于点A、B， B
（第 24 题图）
与双曲线 y 2
k
（ x<0）分别交于点
C 、
D ，且点 C 的坐标为（ - 1， 2）．
x
错误 ! 未找到引用源。 分别求出直线及双曲线的解析式； 错误 ! 未找到引用源。 求出点 D 的坐标；
错误 ! 未找到引用源。
利用图象直接写出当 x 在什么范围内取值时，
y 1 y 2 ．
9.求双曲线与直线交点问题；数形结合等思想方法的应用
1．反比例函数中 y= 5
，当 x<2 时， y 的取值范围是
；
x
当 y ≥- 1 时， x 的取值范围是
.
2．一次函数 y=kx+b 与反比例函数
y=
2
的图象如图，则关于 x 的
2
的解为(
x
方程 kx+b =
)
x
(B) x =- 2， x =- 1
(A) x =1， x =2
l
2 l
2
(C) x =1， x =- 2
(D) x =2， x =- 1
l
2
l
2
（第 26 题图）
3．如图，利用函数图象解不等式x
1
，
x
则不等式的解集为
4．不解方程，利用函数的图象判断方程
2 x
0 的
x
解的个数为 1
k
（第 27 题图）
5．如图，已知直线 x 与双曲线 (k 0) 交于 A ，B 两点，且点 A 的横坐标为 4 ．
y y （1）求 k 的值；
2 x
y
k
( k
（2）若双曲线 y
0) 上一点 C 的纵坐标为 8，
x
A
求 △ AOC 的面积；
（3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y
k
( k 0) 于 P 、Q
O
x
x
B
两点（ P 点在第一象限） ，若由点 A 、 B 、 P 、 Q 为顶点组 29 图
成的四边形面积为
24 ，求点 P 的坐标．
10．反比例函数中的综合问题及探究性问题
1．将 x 1
2
y
1 中，所得函数值记为 y 1，将 y 1 的值代入 x
y 1 1 中，
代入反比例函数 x
3
1
得到 x
2
x
y
y
y
的值；并将
中，所得函数值记为
2 的值
的值再次代入函数，再将
x
1
代入 x
y 2 1 中得到 x 3 ，并再次将 x 3 代入函数 y
y 3， ，
中，所得函数值记为
x
如此继续下去．
错误 !未找到引用源。 完成下表 .
y y 2 y 3 y
4
y
5
1
3 2
错误 !未找到引用源。 观察上表，你发现了什么规律？猜想
y 2007=
．
2．如图，已知点 A 在反比例函数的图象上，
（第 2 题图）
AB x 轴于点 B ，
点 C （ 0， 1），且 ABC 的面积是 3，求反比例函数的解析式 .
3．已知点 A (a, b), 且 ab 0 ， AM ⊥ y 轴于点 M ，点 N (c,0) 在
x 轴上， AMN 的面积是 3 个平方单位，探究点
A 在怎样
的函数图象上运动，并求出这个函数的解析式. （第 3 题图）
（通过举例实践、探究、认知）
4．如图，正方形 ABCD 的边长是 2，E 、F 分别在 BC 、CD 两边上，
且 E 、F 与 BC 、CD 两边的端点不重合，
AEF 的面积是 1，
设 BE=x ，DF=y ，求 y 关于 x 的函数解析式及自变量
x 的取值范围 .
5．已知点 (2, a) 在反比例函数 y
6 ( x 0) 的图象上．点 第 4题图
B 是
x
点 A (2, a) 关于直线 y
x 的对称点，
（ 1）求点 A 、 B 的坐标；
（ 2）光线由点 A 发出，照射到 x 轴上的点 C, 若反射光线恰好经过
点 B ，求点 C 的坐标 .
第5题图
6．如图，已知正方形 OABC 的面积为 9，点 O 为坐标原点，点 A 、C 分别在 x 轴、 y 轴上，
点 B 在函数 y
k
k
(k ＞ 0，x ＞0) 的图象上，点 P (m ，n)是函数 y
(k ＞0，x ＞ 0)的图象上任
x
x
意一点，过 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为 E 、F ，设矩形 OEPF 在正方形 OABC 以外
的部分的面积为 S.
⑴ 求 B 点坐标和 k 的值；
y
9
时，求点 P 的坐标；
⑵ 当 S
2
C
B
⑶ 写出 S 关于 m 的函数关系式 .
x
O A
n
第6题图
7．已知正比例函数 y kx (k
0) 和反比例函数
的图象交于点 A(a, b) ，点 B 在正比
y
x
例函数 y kx 的图象上， 点 C 在反比例函数 y
n
的图象上，且 B 、C 两点的纵坐标都是 k ，
x
（本题中所有的 k 都表示同一个量）设 BC 的长记作 S ， （1）当 k =2， a =3 时，求反比例函数的解析式；
（2）求 S 关于 a 的函数解析式及
a 的取值范围，并说明 S 与 k
无关 .
三、解答
第 7题图
1．已知一次函数 y=kx+b 的图象与双曲线 y=- 2
交于点（ 1，m ），且过点（ 0，1），
?求此一次函数的解析式．
x
2．如图，一次函数 y
kx b 的图像与反比
例函数 y
m
的图像相交于
A 、
B 两点，
x
（ 1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式
（ 2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围。
.
3. .在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，
当电阻 R=5欧姆时，电流 I=2 安培 . 则 I 与 R 之间的函数关系式？
4.已知函数y ax和 y 4 a
的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，x
则两个函数图象的交点坐标是多少？
5. 已知 y 2y1 y2， y1与 x 2 成正比例， y2与 5x 成反比例，且当 x 2 时，
y
9
；当 x 1时，y
1
；求 y 与 x 之间的函数解析式。
10 5
.
6．如图 13－8－7 已知一次函数y x 8 和反比例函数y k 图象在第一象限内
x
有两个不同的公共点A、B．
（ 1）求实数 k 的取值范围；（ 2）若AOB的面积 S＝24，求 k 的值．
7. 如果不等式 mx n 0 的解集是 x 4 , 点1, n在双曲线y 2
上, 那么一次函x
数 y n 1 x 2m 的图象不经过第几象限？
8．如右图， P 是反比例函数图象在第二
y 象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为 3，
则反比例函数的表达式是？Ｐ
Ｆ
ＥＯx
9. 已知直线y kx b 经过反比例函数y 8
的图象上两点 A 2, y1与B x2,2，x
则 b k是多少？
.
10. （ 2007 四川成都）如图，一次函数y kx b 的图象与反比例函数y m 的图
x 象交于 A( 21)，， B(1， n) 两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△ AOB 的面积．
．
初中反比例函数习题集合（经典） （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2 x y =-⑥13y x = ； 其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （4）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （6）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1； x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． （8）若反比例函数2 2)12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （9）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） （10）正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． （11）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ． （12）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． x y O x y O x y O x y O A B C D
初中数学反比例函数经典测试题及答案 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB
垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1 =1 k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象 上，∠ABO=30°，则 2 1 k k =（ ） A ．-3 B ．3 C ． 1 3 D ．- 13 【答案】A 【解析】 【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值． 【详解】 如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a. ∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90° 在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3 ∴点A 3a ，a ） 同理可得 点B 3，-3a ） ∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a ∴ 213333k a k a ==-. 故选A. 【点睛】
反比例函数知识点及典型例题 反比例函数这一章是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。 一、反比例函数知识要点点拨 1、反比例函数的图象和性质： 反比例函数 (0)k y k x = ≠ k 的符号 0k > 0k < 图象 性质 ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠． ②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每 个象限内，y 随x 的增大而减小． ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠． ②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象 限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大． 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． 2、反比例函数与正比例函数(0)y kx k =≠的异同点： 函数 正比例函数 反比例函数 x y O x y O
解析式 (0)y kx k =≠ (0)k y k x = ≠ 图象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点 自变量取值范围 全体实数 0x ≠的一切实数 图象的位置 当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限． 当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限． 性质 当0k >时，y 随x 的增大而增大； 当0k <时，y 随x 的增大而减小． 当0k >时，y 随x 的增大而 减小； 当0k <时，y 随x 的增大而增大． 二,、典型例题 例 1 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3 x y -=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.8 1=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）． 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，x k y =)0(≠k ， 它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，（4），（5）就是这两种形式． 例 2在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填 (正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)． (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）； (5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；
反比例函数练习题 一、精心选一选！ 1.下列 函数中，图象经过点(1,-1)的反比例函数解析式是( ) A.1y x = B.1y x -= C.2y x = D.2y x -= 2.反 比例函数2 k y x =-(k 为常数，0k ≠)的图象位于( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四角限 D.第三、四象限 3.已知反比例函数x k y 2 -= 的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是( )． A.k ＞2 B. k ≥2 C.k ≤2 D. k ＜2 4.反 比例函数x k y = 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为( )． A.2 B. -2 C.4 D. -4 5．对于反比 例函数x y 2 =，下列说法不正确．．．的是( )． A.点(-2,-1)在它的图象上 B.它的图象在第一、三象限 C.当0x >时，y 随x 的增大而增大 D.当0x <时，y 随x 的增大而减小 6．反比 例函数2 2)12(--=m x m y ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值时( )． A.±1 B.小于 2 1 的实数 C.－1 D.1 7．如 图，P 1、P 2、P 3是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形P 1A 1O 、P 2A 2O 、P 3A 3O ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则( )． A .S 1＜S 2＜S 3 B .S 2＜S 1＜S 3 C .S 3＜S 1＜S 2 D .S 1=S 2=S 3 8．在同一直角坐标系中,函数x y 2 - =与x y 2=图象的交点个数为( D )． A.3 B.2 C.1 D ．0 9．已知 甲、乙两地相距s (km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v (km/h)的函数关系图象大致是( )． 10．如图，直线mx y =与双曲线x k y =交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是( )． A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 二、细心填一填！ O A 1 A 2 A 3 P 1 P 2 P 3 x y
反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称 点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三 角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线 与双曲线的关系： 当 时，两图象没有交点； 当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
反比例函数经典中考例题解析一 一、 填空题（每空3分，共36分） 1、任意写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式:__________ 2、若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n x (n ≠0)的图象有一个交点为点(2,3)，则m =______，n =_________ . 3、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y= 3 x 的图象都过A （m ，1）点，求此正比例函数解析式为________,另一个交点的坐标为________. 4、已知反比例函数2k y x -=，其图象在第一、三象限内，则k 的值可为 。 （写出满足条件的一个k 的值即可） 5、已知反比例函数x k y = 的图象经过点)2 1 4(，，若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B （2，m ），求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为______________ 6、已知双曲线x k y = 经过点（－1，3），如果A (11,b a )，B (22,b a )两点在该双曲线上，且1a ＜2a ＜0，那么1b 2b ． 7、函数y=x 2的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平 移2个单位后，那么所得直线与函数y= x 2 的图象的交点共有 个 8、已知函数y kx =- (ｋ≠０)与ｙ＝4x -的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于ｙ轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为＿＿＿＿ （第9题）
9．如图,11POA V 、 212P A A V 是等腰直角三角形,点1P 、2P 在函数4 (0)y x x =>的图象上,斜边1OA 、12A A 都在x 轴上,则点2A 的坐标是____________. 10. 两个反比例函数x y 3= ，x y 6 =在第一象限内的图象如图 所示, 点P 1，P 2，P 3，…，P 2 005在反比例函数x y 6 = 图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2 005个连续奇数，过点P 1， P 2，P 3，…，P 2 005分别作 y 轴的平行线，与x y 3 = 的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2 005（x 2 005，y 2 005），则 y 2 005= ． 二、选择题（每题3分，共30分） 11、反比例函数k y x = 与直线2y x =-相交于点A ，A 点的横坐标为－1，则此反比例函数的解析式为（ ） A ．2y x = B ．12y x = C ．2y x =- D ．12y x =- 12、如图所示的函数图象的关系式可能是（ ）. （A ）y = x （B ）y =x 1 （C ）y = x 2 (D) y = 1x 13、若点（3,4）是反比例函数2 21m m y x +-=图象上一点，则此函数图象必须经过点 （ ）. O x y （第12题） 第10
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣ x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD． （1）求出双曲线的解析式； （2）连结CD，求四边形OCDB的面积． 【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F， ∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°， ∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10， ∴∠AOB=∠ABO=45°， ∴△CEO∽△DEB ∴= =3， 设D（10﹣m，m），其中m＞0， ∴C（3m，3m）， ∵点C、D在双曲线上， ∴9m2=m（10﹣m）， 解得：m=1或m=0（舍去） ∴C（3，3）， ∴k=9， ∴双曲线y= （x＞0） （2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，
∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB = ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17， ∴四边形OCDB的面积是17 【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x 和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案． 2．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2． （1）求双曲线的解析式； （2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________； （3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值． （4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得， 所以双曲线的解析式为y= ； （2）2 （3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2）， 抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9， 把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，
反比例函数经典中考例题解析二 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、反比例函数y ＝ x n 5 图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）． A 、－2 B 、－1 C 、0 D 、1 2、若反比例函数y ＝ x k （k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）． A 、（2，－1） B 、（－ 2 1 ，2） C 、（－2，－1） D 、（ 2 1 ，2） 3、(08双柏县)已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ） 4、若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（ ）． A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 D 、无法确定 5、一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝ x k 满足（ ）． A 、当x ＞0时，y ＞0 B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小 C 、图象分布在第一、三象限 D 、图象分布在第二、四象限 6、如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂 线PQ 交双曲线y ＝ x 1 于点Q ，连结OQ ，点P 沿x 轴正方向运动时， Rt △QOP 的面积（ ）． A 、逐渐增大 B 、逐渐减小 C 、保持不变 D 、无法确定 Q p x y o t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O A ． B ． C ． D ．
7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变． ρ与V 在一定范围内满足ρ＝ V m ，它的图象如图所示，则该 气体的质量m 为（ ）． A 、1.4kg B 、5kg C 、6.4kg D 、7kg 8、若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x 1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大 小关系是（ ）． A 、y 1＞y 2＞y 3 B 、y 1＜y 2＜y 3 C 、y 1＝y 2＝y 3 D 、y 1＜y 3＜y 2 9、已知反比例函数y ＝ x m 21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）． A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜2 1 D 、m ＞ 2 1 10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两 点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是（ ）． A 、x ＜－1 B 、x ＞2 C 、－1＜x ＜0或x ＞2 D 、x ＜－1或0＜x ＜2 二、填空题（每小题3分，共30分） 11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式 为 . 12、已知反比例函数 x k y = 的图象分布在第二、四象限，则在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”或“不变”）． 13、若反比例函数y ＝x b 3 -和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝ ． 14、反比例函数y ＝（m ＋2）x m 2 － 10的图象分布在第二、四象限内，则m 的值为 ．
反比例函数 知识点及考点： （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于 x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 练习：（1）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （2）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，）是否在这个函数图象上，并说明理由 （6）已知y 与2x －3成反比例，且4 1 =x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．
反比例函数知识点归纳总结与典型例题 （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，52， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，2- (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； （2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 -）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： 反比例函数的图象和性质： （1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =．
反比例函数练习题 一、精心选一选！（30分） 1．下列 函数中，图象经过点(11)-，的反比例函数解析式是（ ） A ．1 y x = B ．1y x -= C ．2y x = D ．2y x -= 2． 反 比例函数2 k y x =-（k 为常数，0k ≠）的图象位于（ ） Ａ．第一、二象限 Ｂ．第一、三象限 Ｃ．第二、四角限 Ｄ．第三、四象限 3．已知 反比例函数y ＝ x 2 k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ）． （A ）k ＞2 （B ） k ≥2 （C ）k ≤2 （D ） k ＜2 4．反 比例函数x k y = 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为（ ） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4 5．对于反比 例函数2 y x = ，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限 C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 6．反比 例函数 2 2)12(--=m x m y ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值时（ ） A 、±1 B 、小于 2 1 的实数 C 、－1 D 、1 7．如 图，P 1、P 2、P 3是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形P 1A 1O 、P 2A 2O 、P 3A 3O ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则（ ）。 A 、S 1＜S 2＜S 3 B 、S 2＜S 1＜S 3 C 、S 3＜S 1＜S 2 D 、S 1=S 2=S 3 8．在同 一直角坐标系中，函数x y 2 - =与x y 2=图象的交点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 9．已知 甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ） 10．如图，直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、 4
反比例函数的典型例题一 例 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3x y - =；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.8 1=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）． 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，x k y =)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式， （4），（5）就是这两种形式． 反比例函数的典型例题二 例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)． (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）； (5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）； (7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）； (9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）． 答： 说明：本题考查了 正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义． 反比例函数的典型例题三 例 已知反比例函数6 2)2(--=a x a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式． 分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为6 2)2(--=a x a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小， 所以???>--=-.02,162a a 解得???>±=. 2,5a a
X Y -9 -8-7-6-5-4-3-2-1 1110987654321 -8-7-6-5-4-3-2-1 9 876543210X Y -9 -8-7-6-5-4-3-2-1 11109876543 21 -8-7-6-5-4-3-2-19 8 7 6 5 4 3 2 1 0反比例函数 一、经典内容解析 1.反比例函数的概念 (1) (k ≠0)可以写成(k ≠0)的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关 自变量指数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件； (2) (k ≠0)也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k ，从而得到反比例函数的解析式； (3) 反比例函数 的自变量x ≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点. 解析式 x k y = （k 为常数，且0k ≠） 自变量取值范围 0≠x 的实数 图 象 图象的性质 双曲线 0k > 0k < 示意图 位置 两个分支分别位于 一、三象限 两个分支分别位于 二、四象限 变化趋势 在每个象限内，y 随x 的增大而减小 在每个象限内，y 随x 的增大而增大 对称性 是轴对称图形，直线x y ±=是它的两条对称轴 是中心对称图形，对称中心为坐标原点 3.反比例函数的性质(与正比例函数对比) 函数解析式 正比例函数 y=kx (k ≠0) 反比例函数 (k ≠0) 自变量的 取值范围 全体实数 x ≠0 图 象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点
图象位置 (性质) 当k＞0时，图象经过一、三象限；当 k＜0时，图象经过二、四象限. 当k＞0时，图象的两支分别位于一、三 象限；当k＜0时，图象的两支分别位 于二、四象限. 性质 (1) 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小. (2) 越大，图象越靠近y轴. (1) 当k＞0时，在每个象限内y随x的 增大而减小；当k＜0时，在每个象限 内y随x的增大而增大. (2) 越大，图 象的弯曲度越小，曲线越平直. 注： (1) 双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论， 不能一概而论. (2) 正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点； 当时，两图象必有两个交点， 且这两个交点关于原点成中心对称. (3) 反比例函数与一次函数的联系. 4.反比例函数中比例系数k的几何意义 (1)过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为. (2)过双曲线(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形
第十七章 反比例函数 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y = 还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函 数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4 5. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用二、例题 【例1】如果函数2 22 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y = ，（0≠k ）
即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0
反比例函数难题 1、如图,已知△Ｐ１OＡ1,△P2Ａ1A2，△P３Ａ２A3…△P n Aｎ-1Ａn都是等腰直角三角形，点P1、P 2、P３…Ｐn都在函 2、如图1，矩形ABCD的边BC在ｘ轴的正半轴上，点E(ｍ，１)是对角线BD的中点，点A、Ｅ在反比例函 数y= （１)求ＡB的长; (2)当矩形AＢCＤ是正方形时，将反比例函数y=k x 的图象沿ｙ轴翻折，得到反比例函数y= 1 k x 的图象(如 图2)，求k1的值; （3）在条件（２）下,直线ｙ=-x上有一长为2动线段ＭN，作MH、NP都平行ｙ轴交第一象限内的双曲线 y=k x 于点H、Ｐ，问四边形MＨPＮ能否为平行四边形(如图3)?若能，请求出点M的坐标;若不能，请说明 理由.
1.已知反比例函数y= 2k x 和一次函数ｙ=2x-1,其中一次函数的图象经过(ａ,b ），（ａ+k ，b+k+2）两点．?(1)求反比例函数的解析式； （2)求反比例函数与一次函数两个交点Ａ、B 的坐标: （３）根据函数图象，求不等式 2k x >2x －1的解集;?（4)在（2)的条件下，ｘ轴上是否存在点P,使△AOP 为等腰三角形?若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来;若不存在，请说明理由．
１．如图,在平面直角坐标系ｘOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (ｋ≠0)的图象与反比例函数y ＝ (ｍ≠0）的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA =5,E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝＼f （4，5). (1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AO Ｃ的面积. (1)过A 点作AD⊥ｘ轴于点D,∵ｓin ∠AO Ｅ= 错误!未定义书签。,ＯA ＝5， ∴在Ｒｔ△ADＯ中,∵siｎ∠AOＥ＝错误!未定义书签。 =错误!未定义书签。= 4 5, ∴AD＝4,DO=ＯA ２－ＤA2=3,又点A 在第二象限∴点Ａ的坐标为(-3，4）, x m
人教版初中数学反比例函数经典测试题附答案 一、选择题 1．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k x 上一点，k 的值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．24 【答案】C 【解析】 【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出 QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值． 【详解】 解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ， OABC Q 是正方形， 6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=?=∠， D Q 是AB 的中点， 1 2 BD AB ∴=， //BD OC Q ， OCQ BDQ ∴??∽， ∴ 1 2 BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ， OFQ OAB ∴??∽，
∴ 22 213 QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=? =，2 643 OF =?=， (4,4)Q ∴， Q 点Q 在反比例函数的图象上， 4416k ∴=?=， 故选：C ． 【点睛】 本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键． 2．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，4），顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数 k y x = (x>0)的图象经过顶点B ，则k 的值为 A ．12 B ．20 C ．24 D ．32 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 如图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ， ∵点C 的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4. ∴根据勾股定理，得：OC=5. ∵四边形OABC 是菱形，∴点B 的坐标为（8，4）.
-反比例函数经典题归纳
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反比例函数经典题归纳 一、 反比例函数的比较大小问题 1、 反比例函数y ＝k x 中，x,y,k 三个量中（知二求一）-----比较大小 例1：若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数y =图象上，则y 1与y 2的大小关系是：y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 2、 反比例函数y ＝k x 中，x,y,k 三个量中（知一）-----比较大小 （1） 若点P 1(?1,m ),P 2(?2,n)在反比例函数y =k x 的图象上，则比较m 与n 的大小。 （2）反比例函数2 y x -= 的图象上有两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若x 1＜x 2，请你比较y 1与y 2 的大小。
（3）已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4 x 的图象上的三点， 且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )． A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 1＜y 2＜y 3 D ．y 3＜y 2＜y 1 二、反比例函数与直线相交问题 类型一：反比例函数与正比例函数相交问题 直线y=mx 与双曲线y ＝k x 相交于A 、B 两点，A 点的坐标为（1，2） （1）求反比例函数的表达式；（2）计算线段AB 的长． （3）根据图象直接写出当mx ＞k x 时，x 的取值范围； 总结:
. 反比例函数 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称 （3）反比例函数与一次函数的联系．
反比例函数典型例题
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反比例函数的典型例题一 例 下面函数中,哪些是反比例函数？ (1）3x y - =;（2）x y 8-=;（３）54-=x y ;(４)15-=x y ；(5）.8 1=xy 解:其中反比例函数有(2）,(4）,（5)． 说明:判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义,x k y =)0(≠k ,它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式， （4）,(5)就是这两种形式. 反比例函数的典型例题二 例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填（正);若成反比例关系，填（反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填（非）. (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ); (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）; (3)圆面积与半径的关系 ( )； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）; (5)三角形底边一定时,面积与高的关系 ( ）; (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）; （7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 ( ); (8)在圆中弦长与弦心距的关系 ( ); （9）x 越来越大时,y 越来越小，ｙ与ｘ的关系 ( ）; （10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 ( ）. 答： 说明:本题考查了正比例函数和反比例函数的定义,关键是一定要弄清出二者的定义． 反比例函数的典型例题三 例 已知反比例函数6 2 )2(--=a x a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式． 分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为6 2 )2(--=a x a y 是反比例函数,且y 随ｘ的增大而减小, 所以???>--=-.02, 162a a 解得???>±=. 2,5a a 所以5=a ,解析式为x y 2 5-= ． 反比例函数的典型例题四