分式3
一、 例题
（1）分式的求值
1． 已知6ab x a b =+，求3333x a x b x a x b
+++--的值.
2． 设43223440(0,0)a a b a b ab b a b +-++=≠≠，求
b a a b
+的值.
3． 如果2
310a a -+=，那么3
61a a +的值是多少？
4． 已知0a b c ++=，求222
222222a b c a bc b ac c ab
+++++的值
5． 设a ，b ，c 是实数，且
222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，求分式 222(1)(1)(1)(1)(1)(1)
bc ac ab a b c ++++++的值；
（2）分式的恒等变形
6． 若1abc =，求证：
1111a b c a ab b bc c ca
++=++++++．
7． 若a ，b ，c ，d 是正实数，且44444a b c d abcd +++=，求证：a b c d ===；
8． 已知3a c b d
==，求证：222222()()a c b d a b c d a c b d a b c d ++++++=+++++
9． 若实数a ，b ，c 满足1111a b c a b c
++=++，求证： 7777771111a b c a b c
++=++.
10． 已知111x y z y z x +=+=+，其中x ，y ，z 互不相等，求证：2221x y z =.
11． 已知1,0x y z a b c a b c x y z
++=++=，求证：2222221x y z a b c ++=.
12． 已知0a b c b c c a a b
++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=---
二、练习题
1．已知4pq x p q =
+，求2222x p x q x p x q
+++--的值. 2．若213x x +=，则334413213x x x x +
+++的值是多少？
3．已知222
0a b c bc a ac b ab c ++=---，求证： 2222220()()()
a b c bc a ac b ab c ++=---
4．若
a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d -+-+-+的值是_______或________.
5．已知220a b -≠，且22abc abc a b M b c c a
-=-=++，求证： ()()()abc a b b c c a =+++，且2abc M c a b
=-+.
分式1 一、分式基本概念及性质 分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下两点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ （0 m≠）． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 【例 1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例 2】 ⑴x为何值时，分式 1 1 1 1x + + 有意义？ ⑵要使分式 24 13 1 2 a a a - + + 没有意义，求a的值． 【解析】⑴ 1 10 1x +≠ + 且10 x +≠，则2 x≠-且1 x≠- ⑵根据题意可得 13 10 2 a a + +=或20 a=，所以 1 5 a=-或0 a=
八年级奥数：分式的化简求值 解读课标 先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类． 给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件，不但要经常用到整式化简求值的知识、方法，而且还常常用到如下技巧策略： 1．适当引入参数； 2．拆项变形或拆分变形； 3．整体代入； 4．取倒数或利用倒数关系等． 问题解决 例1 已知，则_____________． 例2 a 、b 、c 为非零实数，且，若，则 等于（ ）． A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 例3 已知，求的值． 例4 已知，且，求x 的值． 012 =--x x =++5412x x x 0= /++c b a a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+abc a c c b b a ))()((+++11,11=+=+ c b b a a c 1+012 =--a a 1129322322324-=-++-a xa a xa a
例5 已知a 、b 、c 满足，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1． 数学冲浪 知识技能广场 1．请你先化简：=___________，再选取一个你喜爱又使原式有意义的数代人求值得_____________． 2．已知实数，则代数式的值为_____________． 3．若，且，则 的值为_______________． 4．若，则的值为_______________． 5．若，则的值为（ ）． 6．若的值为，则的值为（ ）． A ．1 B ．-1 C ． D ． 7．当时，代数式的值是（ ）． A ．-1 B ． C ． D ．1 12222 22222222=-++-++-+ab c b a ac b a c bc a c b 1 )111(2 2-÷-+x x x 01442=+-x x x x 212+2002,2003,2004222=+=+=+m c m b m a 24=abc c b a ab c ca b bc a 111---++a d d c c b b a ===d c b a d c b a +-+-+-31=+x x 1212++x x x 10.A 8.B 101.C 8 1.D 73222++y y 141 6412-+y y 17-15 6 1-=m 3339952122+--+÷----m m m m m m n m m 12-12
分式恒等变形 方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。 例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求 111a b c bc ca ab a b c ++---的值。 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222 a b c bc ac ab ++的值。 例3. @ 例4. 求证： 2220()()()()()() a bc b a c c ba a b a c a b b c c b a c ---++=++++++ 例5. 设正数x ，y ，z 满足不等式 2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+222 2z x y xz +->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长 例6. 求分式 24816 1124816 111111a a a a a a +++++ -+++++，当2a =时的值． ； 例7. 若1111a b c a b c ++= ++，求证：777777 1111 a b c a b c ++=++.
例8. 化简:()()()()()() a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． ！ 例9. 计算：2132x x x -++262x x ---210 4 x x -- -． 例10. 化简22 32233223222244 113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++-- +++-+--+-． 例11. # 例12. 化简： () () () () () () 2222222 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+ + +-+-+- 例13. 已知0a b c ++=，求证222222222 111 0b c a a c b b a c ++=+-+-+- 例14. 已知0a b c ++=，求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值 … 例15. 已知1,2xyz x y z =++=， 22216 x y z ++=，求代数式 111 222xy z yz x zx y +++++的值。
分式恒等变形 方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。 例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求 111 a b c bc ca ab a b c ++---的值。 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222 a b c bc ac ab ++的值。 例3. 求证： 2220()()()()()() a bc b a c c ba a b a c a b b c c b a c ---++=++++++ 例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式 2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+222 2z x y xz +->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长 例5. 求分式 24816 1124816 111111a a a a a a +++++ -+++++，当2a =时的值． 例6. 若1111a b c a b c ++= ++，求证：777777 1111 a b c a b c ++=++.
例7. 化简:()()()()()() a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． 例8. 计算：2132x x x -++262x x ---210 4 x x -- -． 例9. 化简22 32233223222244 113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++-- +++-+--+-． 例10. 化简： () () () () () () 2222222 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+ + +-+-+- 例11. 已知0a b c ++=，求证222222222 111 0b c a a c b b a c ++=+-+-+- 例12. 已知0a b c ++=，求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值 例13. 已知1,2xyz x y z =++=， 22216 x y z ++=，求代数式 111 222xy z yz x zx y +++++的值。
分式方程（组） 本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】 分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根． 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等． 列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一． 例题求解 一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程6 4534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如 7 2175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路． 2．用换元法解分式方程 【例2】解方程08131 821 8111 222=--+-++-+x x x x x x ． 解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++x y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解． 注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如a a x x 11+=+ 结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，a x 12=．
第一讲：分式的运算 【知识梳理】 一、分式的意义 形如B A （ B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。 当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。 二、分式的性质 （1）分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷=??=（其中M 是不为零的整式）。 （2）分式的符号法则： 分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。 （3）倒数的性质： 1、()()011011>=?≠=?a a a a a a ，； 2、若11=?a a ，则11=?? ? ???n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a a a 。 三、分式的运算 分式的运算法则有： bd bc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n n n b a b a bc ad d c b a bd ac d c b a =??? ??=÷=?，，（n 是正整数）。 四、分式的变形 分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。 【例题精讲】 【例1】（1）当=m ___________时，分式 ()()2 3312+---m m m m 的值为零；
（2）要使分式x x -11有意义，则x 的取值范围是_______________________。 思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。 【巩固】 1、若分式2231244 x x x -++的值为0，则x 的值为_____________； 2、若使分式a a a 23114 2++-没有意义，则a 的值为________________； 【拓展】当x 取何值时，分式 6 522+--x x x 有意义？ 【例2】化简下列分式： （1）1221422-+???? ??---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x （3） ()()()() ()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。 【巩固】化简： （1）12442222+--÷--+n m m n m n m m n n （2） 12 71651231222+-++-++-a a a a a a ；
分式奥数题Revised on November 25, 2020
分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值． 例1化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］ 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式． 例2当a=2时的值时,求分式 分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2- b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项． 例3若abc=1，求
分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 解法1因为abc=1，所 以a，b，c都不为零．解法2因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0． 例4化简分式： 分析与解三个分式 一齐通分运算量 大，可先将每个分 式的分母分解因式，然后再化简． 说明 互消 掉的一对相反数，这 种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧． 例5化简计算(式中a，b，c两两不相等)： 似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-
第四讲 一元二次方程5：高次、分式方程解法 一、 解方程的基础知识 1．整式方程 一般通过消元、降次等方法求解； 在处理二元二次方程时，还常把方程看作关于一个未知数的含字母的一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式及其它基本知识来各个击破。 特别地，对二元二次方程组，求解基本方法是“加减消元法”何“代入消元法”，在解二元二次方程组或特殊的方程组时，常把它们转化为对称方程组x y a xy b +=?? =?求解； 2．分式方程 一般通过去分母、换元法等，化分式方程为整式方程； 3．无理方程 一般通过两边平方、根式的定义性质、换元、构造等方法，化无理方程为有理方程. 二、 例题部分 1．高次方程 例1（★，1994年兰州初中数学竞赛）解方程2 2 2 (231)22331x x x x -+=-+ 【解】2 2 2 (231)11(231)100x x x x -+--++= 即2 2 [(231)1][(231)10]0x x x x -+--+-= 亦即2 2 (23)(239)0x x x x ---=，分解(23)(23)(3)0x x x x -+-= ∴121233 0;;;3;22 x x x x == =-= 例2（★，1957年北京数学竞赛题）解方程4 4 (4)626x x +-= 【解】设y ＝x －2，则原方程化为4 4 (2)(2)626y y ++-= 展开可得42 242970y y +-=，即2 2 (33)(9)0y y +-= ∵2330y +>，∴2 90,3y y -==± ∴125;1x x ==- 例3（★★，96年竞赛）解方程2 2 2 (32)3(32)2x x x x x =+-++-- 【解】设2 32y x x =+-，则2 32x y y =+- 上两式相减，得()()3()y x x y x y x y -=-++-，即()(4)0x y x y -++= ∴0x y -=或40x y ++=
八年级奥数分式题及答案 性质： 1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个 不为0的整式，分式的值不变。 2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为 分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。 3.分式的约分步骤： (1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。 (2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式， 再将公因式约去。 注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的公约数，字母 取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的 公因式。 4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称 为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。 5.根据分式的基本性质，异分母的分数能够通分，使几个分数的 的分母相同;同样，根据分式的基本性质，分式也能够实行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的值不变。 6.通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。 7.分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相对应扩大各自的分子。 注：最简公分母的确定方法： 系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的次幂及单独字母的幂的乘积。 注：(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质 (2)分式的约分和通分都是互逆运算过程。 概念： 形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 【注意】 掌握分式的概念应注意： 判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足： (1)分式的分母中必须含有字母。 (2)分母的值不能为零。若分母的值为零，则分式无意义。 因为字母能够表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 整式和分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式 无理式和有理式统称代数式[ 有意义的条件 (1)分式有意义条件：分母不为0;
条件分式求值的方法与 技巧 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
学科: 奥数 教学内容：条件分式求值的方法与技巧 求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题主要有以下三个方面： 一、将条件式变形后代入求值 例1已知 432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． 解：设4 32z y x ==＝k ， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ． ∴ 原式＝5 45443224322==+-?-?+k k k k k k k k ． 说明：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法． 例2已知的值求b a b a b ab a +-=-+,0622． 解：由0622=-+b ab a 有（a ＋3b ）（a －2b ）＝0， ∴ a ＋3b ＝0或a －2b ＝0， 解得a ＝－3b 或a ＝2b ． 当a ＝－3b 时，原式＝233=+---b b b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3 122=+--b b b b ． 二、将求值变形代入求值． 例3已知)11()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值． 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++a c b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵ a ＋b ＋ c ＝0， ∴ 原式＝－3． 例4已知31=+x x ，的值求1242++x x x ． 分析：∵ 1)1(11122 2224-+=++=++x x x x x x x ， ∴ 可先求值式的倒数，再求求值式的值． 解：∵ 1)1(12224-+=++x x x x x 8132=-=，
八年级数学上第一章<分式>奥数试题 1． a=___时，分式62 2-+-a a a 的值是0 2． 已知???=++=--0 2022z y x z y x 则分式2222 22z y x z y x ++--＝＿＿＿＿ 3． 若x 和分式1 23-+x x 都是整数，那么x=_______________ 4． 直接写出结果: ① x 21 2x ＋=(x+x 1)2-______ ②(x 2+21x +2)÷（x+)1x =____ ③ （x 2-2 1x ）÷（x+x 1）=__＿＿ ④（1＋)1x （1－)112x x +＝＿＿＿＿ 5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。 ＋＋ ＋ x 111111 6．x 取什么值时分式9 222---x x x 的值是零？是正数？是负数？ 7．计算：①14++x x ＋3 21432++------x x x x x x
②4214121111x x x x ++++++- ③4102124832 7622222-++--++-++++x x x x x x x x x x 8．解方程： （1） 6 75691089++-++=++-++x x x x x x x x （2）124 29122323-=++-++-+x x x x x x x ⑶ 3=--+--+--b a c x a c b x c b a x （其中)0111≠++c b a
9．已知xy ∶yz ∶z x=3∶2∶1, 求①x ∶y ∶z ② yz x ∶zx y 10．已知a ≠b ≠c 且z b a y a c x c b -=-=- 求证：ax+by+cz=0 11.已知：y x z x z y z y x +=+=+ 求：（x+y ）∶z 的值 12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？ 13．在保证分母不等于0的前提下，分式 5 3++bx ax 中的x 不论取什么值分式的值都不变，问a 和b 之间的关糸应满足什么条件？ 14. 已知p c n b m a == 求证：（a 2+b 2+c 2）(m 2+n 2+p 2)=(am+bn+cp)2
初二年级奥数分式方程试题及答案 1．下列是分式方程的是(D) A.xx＋1＋x＋43 B.x4＋x－52＝0 C.34(x－2)＝43x D.1x＋2＋1＝0 2．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力实行大 型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所 需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的分式方程为(A) A.400x＝300x－30 B.400x－30＝300x C.400x＋30＝300x D.400x＝300x＋30 3．已知x＝1是分式方程1x＋1＝3kx的根，则实数k＝16. 4．把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同 乘以(D) A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 5．解分式方程2x＋1＋3x－1＝6x2－1分以下几步，其中错误的 一步是(D) A．方程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1) B．方程两边都乘以(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6 C．解这个整式方程，得x＝1 D．原方程的解为x＝1
6．解分式方程1x－1＋1＝0，准确的结果是(A) A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．无解 7．已知x＝3是关于x的方程10x＋k－3x＝1的一个解，则k＝2．8．解下列方程： (1)2xx－2＝1－12－x； 解：方程两边同乘以(x－2)，得 2x＝x－2＋1.解得x＝－1. 经检验，x＝－1是原方程的解． (2)6x－2＝xx＋3－1； 解：方程两边同乘以(x－2)(x＋3)，得 6(x＋3)＝x(x－2)－(x－2)(x＋3)． 解得x＝－43. 经检验，x＝－43是原方程的解． (3)xx2－4＋2x＋2＝1x－2； 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得 x＋2(x－2)＝x＋2.解得x＝3. 经检验，x＝3是原方程的解． (4)23＋x3x－1＝19x－3. 解：方程两边同乘以9x－3，得 2(3x－1)＋3x＝1.解得x＝13.
41、简单方程的解法 【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。 解去分母，两边同乘以6，得 3（x-9）-2（11-x）=12 去括号，得3x-27-22+2x=12 移项，得3x+2x=12+27+22 合并同类项，得5x=61 【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步骤（或方法）是： （1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；
（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。 解方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得 5（x-2）=7x 解这个整式方程，得x=-5， 检验：当x=-5时， x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0， 所以，-5是原方程的根。 解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得 （x－2）2-16＝（x+2）2 解这个整式方程，得x=-2。 检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。
42、加法运算定律 【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。 加法交换律用字母表达，可以是 a+b=b+a。 例如：864+1，236=1，236+864=2，100 【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。 加法结合律用字母表达，可以是 （a+b）+c=a+（b+c）。 例如：（48928+2735）+7265 =48928+（2735+7265） =48928+10000 = 58928
例1．化简6 663 33112 11x x x x x x x x ? ???+-+- ? ?????????+++ ? ?? ??? 例2．化简分式：22222325345285 1223 a a a a a a a a a a a a ++-----+--+++-- 例3．已知abc=1，求111 a b c ab a bc b ca c ++ ++++++的值。 例4．若a b c a b c a b c c b a +--+-++== ，求()()()a b a c b c abc +++的值。 例5．已知a ＋b ＋c=0，求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值。
A 卷 一、填空题 01.代数式()22111 32211x y x y z x x x x y x x π-++-++ -+、、、、、中程分式的代数式是_____________。 02．使分式111213x + + +无意义的值共有__________个。 03.当x=__________时，分式3 412 x x -+的值为零。 04．53x y =，72y z =，x y y z -+=__________。 05.化简22212b b a ab a ab b a ab b ???? ?+- ??? +++???? =__________。 06.化简 ()3222 23321111 12m n m n m mn n m n m n m n ??-????+++÷?? ? ?++????+????=__________。 07.化简 ()()3 2 23233223231 231 x y x y y x x y x y x y ----- +--+--=__________。 08.若11123 x y -=，则23432x xy y x xy y +---=__________。 09.已知3a 2 +ab ?2b 2 =0(a ≠0，b ≠0)，，则22 a b a b b a ab +--=__________。 10.设211 x x mx =-+，则36 331x x m x -+=__________。 二、解答题 11.计算22222261011285 69943 x x x x x x x x x x ++-+++-++-++． 12.已知a+b+ c=0，求1111113a b c b c c a a b ?????? ++++++ ? ? ??????? 的值。 13.求 ()()2 219942000199439851995 1991199319961997 -+????的值。 B 卷 一、填空题
分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值． 例1 化简分式： 分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］ 说明本题的关键是正确地将假分 式写成整式与真分式之和的形式． 例2 当a=2时的值时,求分式 分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．
例3 若abc=1，求 分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零． 解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0． 例4 化简分式： 分析与解三个分式一 齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因 式，然后再化简．
说明 互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧． 例5 化简计算(式中 a，b，c两两不相等)： 似的， 对于这个 分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法． 解 说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用 例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求 分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解． 解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变 为 u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0． 由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有 说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．
分式奥数题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值． 例1化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］ 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式． 例2当a=2时的值时,求分式 分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2- b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项． 例3若abc=1，求
分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 解法1因为abc=1，所 以a，b，c都不为零．解法2因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0． 例4化简分式： 分析与解三个分式 一齐通分运算量 大，可先将每个分 式的分母分解因式，然后再化简． 说明 互消 掉的一对相反数，这 种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧． 例5化简计算(式中a，b，c两两不相等)： 似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-
八年级奥数：分式的运算 解读课标． 分式是表示具体情境中数量关系的工具，由于分式是分数的“代数化” ，所以其性质与运算是完 全类似的，类比分数学分式是学习分式的重要方法． 分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念、运算法则为基础，以整式的变形、因 式分解为工具．分式的加减运算是分式运算中的重点与难点，怎样合理地通分是化解这一难点 的关键，恰当通分的基本策略与技巧有： 1．分步通分； 2．分组通分； 3．先约分后再通分； 4．换元后通分等． 问题解决 例 1 （ 1）若分式3x2 12 的值为 0，则 x 的值为 ____________． x 2 4x 4 （ 2）如果整数 a（ a≠1）使得关于 x 的一元一次方程：ax 3 a2 2a x 的解是整数，则该方程所有整数解的和为____________． 例 2 已知实数 a、 b、c 满足a b c 0.abc 4. 1 1 1 ）．那么 b 的值（ a c A．是正数B．是零C．是负数 D ．可正可负例 3 计算 （1） 1 1 2 4 ; 1 x 1 x 1 x 2 1 x 4 （2） 1 1 1 1 ；x( x 1) (x 1)( x 2) (x 2)( x 3) ( x 99)( x 100)
例 4 分式中的欧拉公式 欧拉是 18 世纪瑞士著名数学家， 他的贡献遍及高等数学的各个领域， 同时，在初等数学 中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式，请证明． （ r 时） a r b r c r 0 0,1 （ 时） (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 1 r 2 a b c （ r 时） 3 . 例 5 A 、B 两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购 买的方式不同． 其中 A 家庭每次购买 25 千克， B 家庭每次用去 25 元，且不问购买大米各多少，问谁的购买方式合算？ 数学冲浪． 知识技能广场 1． 埃及算术古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识．整个埃及 数学最特异之处， 是一切分数都化为单分数， 即分子为 1 的分数． 在一部记录古埃及数学的 《赖因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“ 2 ”型分数分解成单分数的结果， n 如 2 1 1 , 2 1 1 , 2 1 1 ，则 2 1 1 ．更一般地，有 5 3 15 7 4 28 9 5 45 11 ( ) ( ) 2 11 ( n 取大于 2 的自然数） ． 2n 1 ( ) ( ) 2 4 2．（ 1）要使分式 a 的值为 ___________． 1 1 3a 没有意义，则 2a (m 1)(m 3) （ 2）当 m=__________时，分式 m 2 的值为零． 3m 2 3．已知 x a 与 b 4x 2 x 2 的和等于 x 2 4 ，则 a=__________，b=__________． 4．化简 1 x y x 2 y 2 __________ ． x 3y 2 6xy 9 y 2 x
B-a 有关分式的计算问题 B- a-l 如果使分式11 7++bx ax 有意义的一切x 的值都使这个分式的值是一个定值，那么a ，b 应满足的条 件是____． B- a -2 已知,022 1 =/+= + b a b a 则 b a 为 ( ) 1.-A 1.B 2.C D ．不能确定 B- a -3 已知,0=/abc 且,0=++c b a 则代数式ab c ca b bc a 2 2 2 ++的值是 ( ) 3.A 2.B 1.C 0.D B –a -4 已知,31+=x 那么 - -+ +4 12 12 x x 2 1-x 的值等于 B -a-5若,11=- x x 则3 3 1x x - 的值为 ( ) 3.A 4.B 5.C 6.D B-a -6 当1986=x 时，分式 , 4)4(162 2 2 4 x x x -+-4 82 3 +-x x 和 4 4422 2 +-+-x x x x 的积是 ( ) 1986.A 1988.B 1.C 1.-D B- a -7 已知 ,122 4 32 +- -= --+x B x A x x x 其中A ，B 为常数，则4A -B 的值为 ( ) 7.A 9.8 3.C 5.D B-a-8 已知+ +++= +++1 1 1062 2 4 3 x x B Ax x x x x ,1 2 +-+x x D Cx 其中A ，B ，G ，D 为常数，则+++C B A =D B -a- 9 实数a ，b 满足,0=/ab 且使得b a b a b b a a +++= ++ +111求b a +的值是____． B –a -10 已知,,2,2,22 31 21 y y y y x y = ==,. 2.11y y = 则=?19861y y B- a -11 设a ，b 都是正实数，且 - +b a 11,01=-b a 那么， a b 的值为 ( ) 25 1.+A 2 5 1. -B 2 5 1. + -C 2 5 1. - -D B -a - 12 已知 22238 23122 523=-++-= -+++= +--+b a c a c c b c b b a b a 则 =++--++7 34232c b a c b a
学科：奥数 教学内容：分式 经验谈： 分式常常因为其复杂的结构使人望而生畏，成为考试中的难点。灵活的运用相关的方法是解决这类问题的唯一途径--加之以灵巧的"拔"，通过分析来例证，则可以使分式悄然变成考试中的亮点。 【内容综述】 一般地，有A，B 表示两个整式，则式子就叫做分式，注意B有两点要求：①B 中含有字母，②B≠0。 要解决有关分式的问题，就必须准确掌握分式的概念，分式的基本性质、分式的四则运算等知识，本讲主要讲述分式的变形和求值的技巧。 【要点讲解】 ★★例1 已知a,b 为整数，且满足（）（）。 求a+b 的值。 思路先把已知等式的左边化简，然后考虑求出、b的值。 解左边= = = =
=4 而a,b为整数且不相等，故3b-2,3a-2只可能取值1，4或-1，-4.不妨设b 即 比较系数，得 解得 A=1，B=2，所以 原式＝ 说明将一个真分式表示成若干个真分式的代数和的恒等变形叫做将分式化为部分分式，待定系数法是化部分分式的常用方法。这种变形在有关分式计算等方面运用较多。 ★★★例4 化简……+. 思路先研究通项的分解变形情况. 解设(k=1,2,…1999).则 即 比较系数,得 解得 A=1,B=-1,所以 原式=…… 变形⑴化简…… 第五讲分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值． 例1 化简分式： 分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］ 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式． 例2 求分式 当a=2时的值． 分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)， 可将分式分步通分，每一步只通分左边两项． 例3 若abc=1，求 分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零． 解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0． 例4 化简分式： 分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简． 说明 互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧． 例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)： 似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法． 解 说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用 例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求 分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解． 解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为 u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0． 由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有 说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化． 例7 化简分式：奥数第五讲 分式的化简与求值
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