细说旋转变换在几何证明中的运用
将平面图形绕某一点旋转一定角度，到另一个新位置，这种图形变换称之为旋转变换。它能使某些线段或角相对集中，为解决问题带来极大的方便。下面略举几例说明它在几何中的运用。
1、 如图：E 为等边三角形ABD 的BD 边上一点，是AE 延长线上一动点， 问∠BCD 等于多少度时，有CD+BC=AC.
2、如图：∠ABC=30O ，∠ADC=600，AD=CD 。 求证： 2
2
2
BC
AB BD +=
3、在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=900，P 为形内一点，且PB=1,PC=2,PA=3, 求：∠BPC 的度数。
4、已知点E,F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠DAF=∠EAF, 求证：DF+BE=AE 。
5、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD, ∠BAE=∠BCD=1200,
∠ABC+∠AED=1800,求证：AD平分∠CDE。
6、如图，E、F为△ABC中BC边的三等分点，BM是AC边的中线，
AE、AF分BM为x、y、z三部分，（x＞y＞z）,求x：y：z。
7、在△ABC中，∠A=200,AB=AC, ∠DBC=500∠ECB=600,
求∠DEC。
旋转及旋转变换
1.如图，王虎使一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A 位置变化为
12A A A →→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成
30°角，
则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为（ ） A ．10cm B ．4cm π C ．72
cm π D ．52cm
2.（2003 黄冈市）如图4－4－10，把直角△ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AC=3，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线与直线l 围成的面积为________．
3.如图：已知ABC △中，AB AC =
，
90BAC =∠，直角EPF ∠的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①AE CF =②APE CPF =∠∠③
EPF △是等腰直角三角形④EF AP =
⑤1
2
ABC AEPF S S =△四边形．当EPF ∠在ABC △内绕顶点P 旋
转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序
号有 ．
4. 如图，直线y=33
-x +2与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ．
将△ AOB 绕点O 按顺时针方向旋转α角(0°<α≤360°)，
可得△COD.
(1)求点A ，B 的坐标；
(2)当α=30° (如图2)，CD 与OA ，AB 分别相交于点P ，M ，
OD 与AB 相交于点N ，试求△COD 与△AOB 的重叠部分 (即四边形OPMN)的面积．
A 2
A 1
A
╮
A
A
A
B
C C 3
B 1
图4－4－10
l
A C
F
E
5. 如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，
较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C 与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）
（图1）（图2）（图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG 的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦
DH
（图4）（图5）（图6）
6. 如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠
AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合).以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2＋CE2=DE2.
（2）在旋转过程中,(1)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
G
y
x
O
F
E
D C
B
A
7.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，
AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN 为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都．请直接
．．．写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．
8. 如图，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的
中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
(1)在图①中，DE交AB于M，DF交BC于N．
①证明：DM=DN；
②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是
否发生变化?若发生变化，请说明是如何变化的?若不发生变化，求出其面积．
(2)继续旋转至如图②的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立?若成立，请
给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)继续旋转至如图③的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立?若成立，请
直接写出结论，不用证明．
图①图②图③
A
·
B
C
D E
F
·
·
N
M F
E
D
C
B
A
N
M F
E
D
C
B
A
·
9.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过B (1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，图2中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)
（1）（2）（3）
10.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形
ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图
3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb(a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=1
2
，求22
BE DG
+的值．