大一学的时候自始自终就没明白过这门课到底要用来干嘛。。加上小可爱老师更加让人难以理解的讲课方式。导致我自从进入大学就对数学产生了一种非常深刻的无力感。如果不能理解一门课到底有什么现实意义而硬学硬背公式的话。。实在是对心灵的一种摧残。分享给迫于考研不得不重新拾起这门课的同学们。
以下为文章正文。不知道搬过来算不算某种侵权。感谢下作者先。
6.27更新。因为收到了一些同学的留言表示很感兴趣，也有些同学有提示文章出处，在google 强大的搜索引擎下，终于找到了原始的刊登地址和信息。在次郑重声明。本文原始作者为孟岩，本文原始地址为https://www.doczj.com/doc/c718115353.html,/myan/article/details/647511
前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。
可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！
线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不
清楚。比如说：
* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？
* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？
* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？
* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？
* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？
* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？
* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？
这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？
我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。
自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副
作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。
对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚升教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。
因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。
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今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。
总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，
上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空
间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：
1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？
2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？
我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：
L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。
L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。
所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。
下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。
线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。
是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）
可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系
上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。
不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：
“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。
可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。
一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：
“矩阵是线性空间里的变换的描述。”
到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：
T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，
那么就称T为线性变换。
定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。
接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。
好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”
理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。
比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。
好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：
A = P-1BP
线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。
而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。
这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉.
数值线性代数课程设计 线性方程组的直接解法 数理学院 09405011班 0940501120 沈骁 摘要：如何利用电子计算机来快速、有效的求解线性方程组的问题是数值线性代数的核心问题。本文将主要介绍解线性方程组的基本的直接法——高斯消去法，平方根法，并用实例来验证此方法的有效性。 关键字：高斯消去法，顺序消去法，选主元消去法，平方根法，消元过程，回代过程,主元数和乘数 引言：因为各种各样的科学与工程问题往往最终都要归结为一个线性方程组的求解问题。本文在比较着几个方法的基础上，通过一道实例来得到最方便最有效的方法。 基本原理：工程计算和科学研究中的许多问题，最终归结为线性代数方程组的求解。求解的方法也有很多，如高斯消去法（顺序消去法，选主元消去法），平方根法。高斯消去法是目前求解中小规模线性方程组最常用的方法；平方根法是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。为了更快速、更方便的求解线性方程组，下面我们比较一下这几种方法哪种更好。 一、高斯（Causs ）消去法就是逐步消去变元的 系数，将原方程组Ax b =化为系数矩阵为三角形的等价方程组Ux d =，然后求解系数矩阵为三角形的方程组而得出原方程组解的方法。把逐步消元去变元的系数，将方程组化为以系数矩阵为三角形的等价方程组的过程称为小院过程；把求系数矩阵为三角形的方程组解的过程称为回代过程。最初求解方程组的高斯消去法也称为顺序消去法，它由消元过程和回代过程组成。 顺序消去法 1． 消元过程 考虑一般方程组，为了推导过程方便，记系数矩阵A 的元素ij a 为(0) ij a ，右端向量b 的元素i b 记为(0) ,1i n a +，于是方程组 11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++ +=??+++=????++ += ? （1.1）成为 ()()()() () () ()()()()()()000 111122111 000 211222221 000 1122 1 n n n n n n n n nn n nn a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++?+++=?+++=??? ?+++= ?假设 (0)11 0a ≠，将第1个方程乘以(0)1 (0)11 ()i a a -加到第i 个 方程(2)i n ≤≤,得到第1个导出方程组(0)(0)(0)(0)111122111(1)(1)(1) 222221 (1)(1)(1)221n n n n n n n nn n nn a x a x a x a a x a x a a x a x a +++?++=?+=?? ? ?+= ? 其中：(0)(1)(0)(0)1 1(0)11i ij ij j a a a a a =-， 2i n ≤≤，21j n ≤≤+。由于因子(0)1 (0)11 i a a 不止一次地用到，常 记为,1i l 。再假设(1) 220a ≠，由第1个导出方程组 的第2个方程乘以(1)2 (1)22 ()i a a -加到第i 个方程 (3)i n ≤≤，得到第2个导出方程组 ()()()()()()()()() ()()()()()()00000111122133111 1111222233221 222333*********n n n n n n n n n n nn n nn a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++?++++=?+++=???++=?? ?++= ? 类似地记：(1)2 2(1)22 i i a l a =，则第2个导出方程组的元素 (1)(2)(0)(1)(1)(1)(1) 222(1) 22 i ij ij j ij i j a a a a a l a a =- =-， 3i n ≤≤，31j n ≤≤+。重复上述过程1n -次，得到 1n -个导出方程组 ()()()()()()()()() ()()()()()00000111122133111 1111222233221 222333331111n n n n n n n n n n n nn n nn a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a +++--+?++++=?+++=???++=?? ?= ? （1.2）其中第k 个导出方程组的元素的递推关 系是(1) (1)k ik ik k kk a l a --=，()(1)(1) k k k ij ij ik kj a a l a --=- （1.3）
《线性代数》教学中若干难点的探讨- 摘要：在《线性代数》的教学过程中，有很多抽象的概念学生很难理解，比如线性相关、线性无关，极大线性无关组、向量组的秩等等。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，化抽象为具体，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩 《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 一、线性相关性与线性无关性 线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。
线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。例如，对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解为b=（λ1，λ2，…，λs）这样的一个行向量。如果向量组有两个列向量构成，即α1，α2，则b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，则经过变换可以得到α1=■，这说明α1和α2共线。对于有三个向量构成的向量组，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，经变换得到α1=■+■，这说明α1，α2，α3三个向量共面。 对于两个向量，线性相关指两向量平行（或者说是共线），此时只是在线上的关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，确定了一个二维平面。线性无关提供了另一种维度，使得向量所在空间增加了一维。对于三个向量，线性相关指三向量共面，研究的是二维平面，而线性无关指三向量不共面，使得向量所在空间增加了一维，即三个向量若线性无关，那么它们不共面，存在于三维立体空间中。四个向量，五个向量，…，研究方法类似。结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念，学生更易于接受，而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 二、极大线性无关组及向量组的秩
言语模块概述 1.各类考试中言语所占比重 2.言语模块总分 3.言语模块作答要求 言语理解与表达模块 1. 考查能力： 2. 考查题型及题量： 3. 时间管理： 4. 题型综述： 片段阅读 语句表达 1.主旨概括题 2.意图判断题 3.标题填入题 4.细节理解题 5.态度观点题 6.词语理解题 7.代词指代题 1.语句排序题 2.语句衔接题 3.结语推断题 逻辑填空 1.实词辨析题 2.成语辨析题 5. 考试学相关的命题原理： （1）题干的来源和选择 （2）提问方式的设置 （3）正确答案和干扰选项的设置 6. 做题顺序 （1）审设问——读题干——选答案 （明确题型分类）（寻找正确答案的标志） （2）正确答案的标志——精简压缩/同义替换 【原文 1】和谐的一个条件是对于多样性的认同 【选项 1】差异是和谐的必要条件 【原文 2】气候变暖对世界经济的负面影响是主要的
（3）干扰选项的设置 ① 无中生有 ② 概念混搭 ③ 曲解文意（各种偷换，如概念、主体、时态等等） 言语秒杀十五大技法 言语技法 TOP1：主体排除法 言语技法 TOP2：成分分析法 言语技法 TOP3：指代引导法 言语技法 TOP4：表达倾向法 言语技法 TOP5：标点符号法 言语技法 TOP6：分步解题法 言语技法 TOP7：替换压缩法
言语技法 TOP8：背景铺垫法言语技法 TOP9：援引观点法言语技法 TOP10：举例论证法言语技法 TOP11：反面论证法言语技法 TOP12：原因推断法言语技法 TOP13：选项差异法言语技法 TOP14：排同求异法言语技法 TOP15：相对绝对法一、逻辑填空
一主旨概括题 主旨概括题，要求考生通过阅读一段文字进行概括、把握中心主旨。纵观近年的国家公务员考试真题，可以发现主旨概括题一直占有十分重要的比重，因此值得考生重点复习。 通常带有“主旨”、“主要”、“核心”、“主题”、“中心”、“概括”等提法的题目可以看做主旨概括题。 【提问方式】：“这段话的主旨是……”、“这段话主要讲述的是……”、“这段话主要谈的是……”、“对这段文字概括准确的是……”、“这段文字主要介绍了……”等。 对于主旨概括题的正确选项要： 一方面要能表达出文中的核心观点；另一方面又要兼顾其他语句的表述容，并进行高度概括总结。 主旨概括题可以从两个方面寻找解题思路，即： 一通过行文结构寻找主旨句； 二通过文段容寻找关键词。 下面分别对其进行论述。 一、通过行文结构寻找主旨句 能够承载文段主要容并表明重点的核心语句，我们称之为主旨句。对于主旨概括题，有些我们可以从文段中寻找到主旨句，然后再从备选项中选出一项与主旨句意思最大程度上的匹配，就能得到这道题目的正确答
案。 文段的主旨句有不同的存在形式。主要有： (一)转折式 主旨句出现在表示转折关系的关联词之后，如“但是”、“可是”、“只是”、“不过”、“然而”、“却”、“其实”、“事实上”、“实际上”等。这个道理不难理解，语言在表达的过程中是讲求策略的，通过转折这一方式引起对方注意恰好符合这种语用策略。因此考生只要在浏览文段的过程中迅速寻找到表示转折关系的关联词，进而找到主旨句即可准确作答。 (二)总分式 总分式通常有以下三种：总领式、总结式和总分总式。 第一种总领式，一般是主旨句出现在段落前面部分，起到总领本段容的作用。 第二种总结式，一般是出现在段尾部分，在一段话结束后都要用结论性的语句总结概括，从而达到重申重点的目的。通常用表示结论关系的关联词表达出来，如“因此”、“所以”、“因而”、“可见”、“总之”、“言而总之”、“综上所述”、“概而言之”等。 第三种总分总式：这种结构是总领和总结的复合形式，即段首部分总起，中间部分进行分点论述，段尾再进行总结。在总结的位置出一般作为文段的主旨表述出来。考生在阅读文段的过程中就要有意识地去寻找结论型的表述语句，这些语句往往就是该文段的主旨句。 (三)递进式
《数值代数》课程设计 评分标准 (1) 交作业的内容 (1) 附录1 论文结构撰写规范 (2) 附录2 (2) 参考论文1 (2) 参考论文2 (13) 参考论文3 (16) 参考论文4 (21) 1. 2-3两天查资料; 2. 1-2天论文构思,列出提纲; 3. 2-3确定计算方法和计算程序的详细内容和设计步骤； 写课程设计报告； 论文内容: 问题背景介绍, 建立正确的数学模型, 求解模型的数学原理, 计算过程,编写计算程序, 解释计算结果. 论文字数: 1800-2200字. 注: 字数是指正文的字数. 标题、摘要、关键字、目录、图表说明、参考文献、程序等不算入字数统计. 论文格式: 5号字体,A4版面, 上下左右各留2cm,单倍行距,页面设置选为无网格; 编页码; 图形尺寸：长度不超过4cm.一行可以放若干张图. 文稿中数据保留3位小数点. （1）要有勤于思考、刻苦钻研的学习精神和严肃认真、一丝不苟、 有错必改、精益求精的工作态度，对有抄袭他人设计论文或找他人代设计、 代做论文等行为的弄虚作假者一律按不及格记成绩。 （2）要敢于创新，勇于实践，注意培养创新意识。 （3）掌握课程的基本理论和基本知识，概念清楚，设计计算正确， 结构设计合理，实验数据可靠，软件程序运行良好，绘图符合标准，
论文撰写规范，答辩中回答问题正确。 附录1 论文结构撰写规范 （1）题目、院系、班级、学生姓名。 （2）摘要 摘要是论文内容的简短陈述，一般不超过150字。 关键词应为反映论文主题内容的通用技术词汇，一般为4个左右，一定要在摘要中出现。 （3）正文 正文应按目录中编排的章节依次撰写，要求计算正确，论述清楚，文字简练通顺， 插图简明，书写整洁。文中图、表及公式不能徒手绘制和书写。 （4）参考文献（资料） 参考文献必须是学生在课程设计中真正阅读过和运用过的，文献按照在正文中的出现顺序排列。 各类文献的书写格式如下： a．图书类的参考文献 序号作者名·书名·（版次）·出版单位，出版年：引用部分起止页码。 b．翻译图书类的参考文献 序号作者名·书名·译者·（版次）出版单位，出版年：引用部分起止页码。 c．期刊类的参考文献 序号作者名·文集名·期刊名·年，卷（期）：引用部分起止页码。 附录2 数值代数课程设计题 参考论文1 《数值线性代数》课程设计 信息与计算科学0440501106 蔡云 摘要： Gauss消去法是目前求解中小规模线性方程组（即阶数不要太高，例如不超过1000）常用的方法，它一般用于系数矩阵稠密（即矩阵的绝大多数元素都是非零的）而没有任何特殊结构的线性方程组。选主元Gauss消去法弥补了不选主元的Gaauss消去法的不足，但是也付出了昂贵的代价。平方根是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。 关键词：Gauss 消去法，选主元Gauss 消去法，平方根法 正文： 一，问题背景： 在古代数学和近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组都是重要的课题。西方的Gauss 消元法在求解未知数多的大型线形方程组则是在20世纪中叶电子计算机问世后才成为现实。这次实验将充分运用各种数值计算方法，及计算机的强大数值计算功能来解决所遇到的问题。 二，问题提出： 1.先用你所熟悉的计算机语言讲不选主元和列主元Gauss消去法编写成通用的子程序，然后用你所编写的程序求解下面的84阶方程组
自考《线性代数》重难点解析 2011-02-17 11:09:49 | 作者: min | 来源: 考试大 | 查看: 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│ 2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│ 3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1 若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1 4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法）
1）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题 1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法
言语理解核心知识点系统总结 第一章片段阅读 第一节中心理解 一.提问方式 辨识标志：主旨、主要、主题、核心、中心、重在、强调、概括 意在、想、推出、告诉、意图 具体提问方式：这段话的主旨是 这段话主要讲述的是 这段话的意思是在强调 这段文字重在说明 对这段文字概括最准确的是 这段文字意在说明 这段文字想表达的是 等等…… 二、解题思路 中心句匹配选项 中心句的特点： 1.表达观点——观点句 2.提出对策——对策句 原则：忠于原文，先判断话题，再纠结选项 三、解题技巧 关联词： 1.转折：典型格式：虽然A，但是B。 替换词语：虽然=虽是、尽管、虽说、固然 但是=可是、不过、然而、却 其实、事实上、实际上 答题要点： 1）转折之后是重点。 2）同一主体，不同时间段，强调前后转变。 3）引用+转折，注意把握前后话题。 2.因果：典型格式：因为A，所以B。 替换词语：因为=由于 所以=因此=因而=故而=总之=言而总之=综上所述=概而言之=概而论之
=照此看来 答题要点： 1）重点关注结论。 2）宏观指代词，有时同样具有总结作用 3. 条件关系 a.必要条件：典型格式：只有A，才B。 替换词语：必须、需要、应该、应当、务必 答题要点：条件（对策）是重点 注意：关联词省略的情况 同义替换： 只有A才B = A是B的必要条件/ 必然要求 =A是B的前提/ 基础/ 保障/ 途径/ 方式/ 方法 =不A则不B b.周遍条件：典型格式：无论A，都B。 答题要点：“无论”对前文有总结作用，后边结果是重点 4.并列关系：显性并列： （1）单用：而=又=同样=同时=与此同时=另外=此外= 再说=并且=加上等。 （2）双用：也……也……；又……又……；既……又……；一边……一边……； 有的……有的……；一方面……另一方面…… 隐性并列：标点符号、段落分层、相同句式 答题要点：不分主次、不可偏颇、全面概括 拓展一：引导对策的表述 1.直接引导对策：需要、应该、要求、亟需、应当、务必 2.间接引导对策：为了、如何 3.反面论证法引导对策 拓展二：主体排除法 1.主体：文段反复重现，着重论述的人、物、概念 2.话题：与主体相关的事件 3.答题要点：抓住主体/话题——匹配选项 行文脉络 1.总-分-总：总起-分说-总结/ 提出问题-分析问题-解决问题 （1）中心句居首尾。中间为阐释。 （2）对策是重点 2.总-分：中心句+ 解释说明 中心句居首句，承载段落核心。 3.分-总：各种列举+ 总结 中心句居尾句。多为结论或对策。 4.分-总-分：各种列举+ 总结+ 解释说明 背景铺垫举例论证
线性代数易错及重点知识点 翔翔总结，不晓得大家看得懂不 3 24712432的余子式是327134722412，而不是23271 上三角和下三角行列式都是a1a2a3.....an=A 反三角行列式为A*（-1）^n(n-1)/2 行列式的一行的代数余子式分别乘以另一行元素，值为零。 正反三角行列式如果不记得公式了，可以通过上下换行的形式变成正三角行列式。 克莱姆法则D=222112 11a a a a ,D1=22 2121a b a b D2=22211211a a a a x1=D1/D 同理x2=D2/D 范德蒙法则：行列式的值=(x n -x n-1)(x n -x n-2)……(x n -x 1)(x n-1-x n-2……)(x 2-x 1) 若一个线性方程组有非零解，则它的行列式式值等于零。 行列式中行叫c ，列叫r 写行列式变换过程中要在等号上写变换方法，如c2-c3.不然老师看不懂步骤，无法给分 化三角行列式先化第一列，在化第二列，按顺序来化，这样才不会出现问题。 n 维向量分横向量和列向量。 写向量时一定要记得在上面加箭头 任意一个n 维向量都能由n 个n 维单位向量线性表示 如果b1=k1a1+k2a2+k3a3,线性表示不一定要求k1,k2,k3不全为零。 如果一个向量a 线性相关，则a=0 由一个非零向量构成的向量组一定线性无关。即a ≠0则a 这个向量组线性无关。 含有零向量的向量组一定线性相关 例a1=（1，1）a2=（2，3）求这两个向量组是否线性相关 解：k1a1+k2a2=0 k1(1,1)+k2(2,3)=0 K1+2k2=0 k1+3k2=0 3 121≠0所以k 全是零解，所以线性无关 a3=a1+a2,则a1,a2,a3线性相关 一个向量组中的一个向量可由其他向量线性表示，那么这个向量组线性相关，能线性表示不一定要k 不全为零，但是线性相关一定要不全为零 两个向量线性相关除非他们对应分量成比例。 如果一个向量组一部分向量线性相关，则，整个向量组线性相关。 一个向量组线性无关，那么它的一部分也线性无关 向量组线性相关，减少其中几维一样线性相关，向量组线性无关，增加几维向量一样无关。 应用：要证线性相关，则增加维，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少维，如果减少后无关，则原向量组无关。 要证线性相关，则增加向量个数，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少向量个数，如果减少后无关，则原向量组无关。 向量个数大于维数一定线性相关 一个向量组的每个最大线性无关组中的向量个数一定相等 向量空间：线性无关组ab ……n 若a+b ……n 属于v Ramada a 属于v 则v 为向量空间v 的维数就是向量组的秩，a b ……n 称为空间的基
言语理解与表达（审设问，读题干，选答案） 题型 片段阅读和选词填空（国考） 篇章阅读和语句表达（省考） 一．片段阅读（重点） 1阅读顺序：审设问——读题干——选答案 审设问——考官出题要点 通过这段文字想表达的主要意思是（言外之意） 这段文字表达的主要意思是（原文主要内容 读题干——寻找同义替换的选项（很重要） 2题型分类 第一类主旨概括题 1提问方式： A主旨类（找重点）：主要强调和说明，核心意思，主要意思，观点，表明，说明，主要讨论谈论，主旨，主要含义，支持的观点，直接论述的观点，旨在说明 B概括类（突出重点，兼顾其他）：概括，复述，归纳，总结（主旨最准确的概括） 所谓重点就是解决问题的对策。 2做题原则：寻找文段中的重点（主题句），通常主题句是解决问题的对策，或者是核心的观点，在选项中找到重点的同义替换，不能是引申（一般意图推断类：提问应该是作者最想表达的观点） 3做题方法（两个方面） A从微观入手寻找关联词（标志） 考点一递进关系 不但而且（递进强调后者），既又（并列无强调）不但而且甚至（两级递进强调最后项） a递进之后是重点 b不但=-不仅，不只，不单，不独，不光 而且=也，还，并且，还 更=尤其，特别，甚至，重要的是，核心的是，关键的是 c一级递进和二级递进同时，二级递进是重点 d不但可以省略，而且不能省（因此要学会找到而且），有不但一定有而且，有而且不见得有不但。 反面论证（要强调否则前面的内容） a通过反面的论证来加强正面的内容，本身不重要（阅读时可以省略） b标志：否则，不然，如果不（直接可以往前看） 句子成分分析法——长难句找主谓宾 必须，只有，除非——通常引出解题的对策（同义替换，差异=多样性，必须=必不可少） 不是而是是并列，不是转折 考点二因果关系 a结论之后是重点 b因为和由于引导原因，问原因时才看，结论才是重点 c之所以，是因为是倒装，强调原因，原因是主旨重点 d导致，后面是结论，是重点 e所以=可见，看来，因而，因此 考点三举例（数据型，文字型） 目的是论证观点（阅读时可以省略） 标志：例子，例如，以为例，为一个例证 选项：涉及例子的不选。 考点四冒号和破折号（解释说明） 如果没有问到解释的内容，就不用看了，不是重点。
《线性代数》课程教学大纲 课程编号：课程类别：学分数：学时数： 适用专业：应修基础课程： 一、本课程的地位和作用 《线性代数》在高等学校的教学计划中是一门必修的基础理论课，是计算机专业的重要基础课之一，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。所以该课程的地位与作用也更为重要。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的理论与方法，可以培养和提高学生的抽象思维能力、创新能力和解决实际问题的能力，并为为后续课程的学习及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、本课程的教学目标 通过该课程的学习，要求学生把握线性代数的基本内容。如：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间等。把握线性代数的体系结构。从知识的扩充层面上，发展自身的创新思维。并且要求学生掌握线性代数的基本计算方法，较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。 三、课程内容和基本要求 按教学顺序提出课程各部分教学内容，并具体到知识点，用“*”明确难点内容，用“Δ”明确重点。“*”或“Δ”一律写在课程内容的前面。“*”与“Δ”可以并用，表明此内容既是重点又是难点。在各部分课程内容的前面，首先写明该部分内容须要了解、理解、熟练掌握、应用等层次的教学基本要求。其格式为： 第一章预备知识 1、教学基本要求 （1）了解集合与映射的基本概念及有理系数多项系的有理根的求法 （2）理解数域的概念及排列与对换 2、教学内容 （1）集合与映射
自考《线性代数》重难点解析与全真练习 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1若A为n阶方阵，则|kA| = kn | A I 2、若A、B均为n阶方阵,AB丨=| A |。丨B丨 3、若A为n阶方阵，则|A* | = | A | n-1 若A为n阶可逆阵，则|A-1 | = | A | -1 4、若A为n阶方阵，入i （i=1 , 2,…，n）是A的特征值，| A | =口入i 四、题型及解题思路 1 、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1 ）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法,多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D = | A |丰0,则Ax=b有解，即 x1=D1/D, x2= D2/D ,…, xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式A 判别方程组解的问题 1）当| A | = 0时，齐次方程组Ax= 0有非零解；非齐次方程组解,也可 能有无穷多解） 2）当| A |丰0时，齐次方程组Ax= 0仅有零解；非齐次方程组克莱姆法则求出。 、重点 1 、理解：矩阵的定义、性质, 几种特殊的矩阵（零矩阵,上（下）对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法Ax= b 不是解（可能无Ax= b 有解,此解可由三角矩阵,对称矩阵,
言语理解之复习总结（By Plucky） 序言 言语理解一般主要考查两种能力：理解能力和表达能力。其中理解能力主要通过片段阅读和篇章阅读来考查，而表达主要通过逻辑填空和语句表达来考察。时间上，我们一般控制在30-45秒/题，40题一共用20-30分钟。 具体说来，言语理解部分一共可以分为三大模块： 一、片段阅读 二、语句表达 三、逻辑填空 接下里我们看一下上述题型分别包括什么题型。 一、题型综述 （一）片段阅读题主要包括以下题型： 1，主旨概括题 2，意图判断题 3，细节理解题 4，态度观点题 5，词语理解题 6，代词指代题 7，标题填入题 其中前三种题型是必考题型，后四种题型是选考题。 （二）语句表达题主要包括以下题型： 1，语句排序题 2，结语推断题 3，语句衔接题 其中语句排序题一般是2-3题，语句衔接题1题，结语推断题偶尔会出现。（三）逻辑填空题主要包括以下题型 1，虚词辨析题 2，实词辨析题 3，成语辨析题 题型看完了，那么接下来我们说一下做题顺序： 二、做题顺序 1，审题干 2，读题面 3，看选项 先审题干的原因是我们先看一下题干，可以了解我们要做的题目是什么题型，从而有针对性的阅读，采用相关的技巧，从而快速解题。 三、正确答案的标志 正确答案一般是对原文主要内容的一种替换，替换可以采用2种形式： 1，同意替换比如是否=也许，差异=不同 2，精简压缩 了解了上述基本内容后，接下来，我们对上述题型逐一进行一个分析，首先看一下片段阅读。
第一部分片段阅读 通过之前的分析，我们知道片段阅读里有其中题型，其中主旨阅读题是最重要的，也是做其他题的基础，那么我们首先分析一下主旨概括题。 一、主旨概括题 （一）主旨概括的辨别标志 1，这段话主要讲述（谈论、强调、说明、阐明、阐述、分析、介绍等）的是？2，这段文字的主旨、关键词、中心议题、旨在说明？ 3，对这段文字概括（复述、归纳、总结）最准确的是？ 通过上面的辨别标志，我们可以发现，主旨题主要让我们对原文进行概括，主要、主旨、概括等是这种题型的显著标志。 （二）做题原则 1，找重点，即文章的主题句 2，对比选项进行转换（同义替换或精简压缩） 3，通常为对策或核心观点 4，优选忠于原文的选项 （三）解题技巧 宏观（行文脉络）+微观（关联词语） 宏观上主要是文章结构，微观主要是逻辑标志。 接下来，我们就将对微观方法进行一个剖析。 （四）微观法 1、递进复句 递进复句的典型关联词是：不但…而且…，这是一重递进，在考试过程中我们还经常遇到二重递进，即：不但…而且…甚至…。 在关联词语上，还有如下的对等词语： 不但=不仅=不单=不独=不只=不光 而且=并=并且=也=还 甚至=更=特别=尤其=重要的是=关键的是=核心的是 上述同义替换是必背的。 总结：1，递进复句重点在递进之后 2，一级递进和二级递进同时出现时，二级递进是重点。 穿插技巧1：反面论证法 反面论证的作用是论证正面的观点。 主要有2种类型： 1）正+反（否则、不然） 2）（正）+反（如果不/没有，就/则） 其中第2种类型省略了正面论证，我们可以从正面论证推出反面论证。 注意：围绕反面论证的论述不是主旨题的答案。 观点引导词： 显示、表明、指出、说明等常引导观点句。 穿插技巧2：表达倾向法 1）正确答案的倾向性要与原文保持一致 2）积极的倾向性一般可以从文中看出
言语理解与表达 题型： 1.片段阅读（重点)、 2.选词填空（重点）、3。篇章阅读、4。语句表达 一．片段阅读(重点) 片段阅读实战技法: ( 1分步解题法 2替换压缩法 3成分分析法４背景铺垫法５表达倾向法 6援引观点法 7举例论证法 8原因推断法 9反面论证法１0标点符号法１1指代引导法 12选项差异法１3主体排除法１4排同求异法 1５相对绝对法）(15） 一、分步解题法:审设问——读题干——选答案 考生应该首先从“问题”的角度入手，根据提问方式快速确定考查题型与考查要点，之后有的放矢地阅读原文,在阅读过程中有意识地寻找与问题相关的语句和答案所在，最后查看选项进行对比，选择最大程度地吻合原文的选项为正确答案。 二、替换压缩法： 命题人通常会将原文中需要命题的语句用另外一种语言形式表达出来。主要的命题思路有两种:一种是“同义替换”,另外一种是“精简压缩”。 “同义替换”:即通过同义语句替换的方式来增加考生辨识选项匹配度的思考时间。如:第一位=首们、消极=负面、能否=也许、差异=多样性，等等。 “精简压缩”：即将原文中表述较长的命题语句进行主要成分的提炼与压缩，将长句的主要意思用更为精炼的短句进行概括归纳，变为选项。此时考生需要注意对长句的主要成分---—主语、谓语、宾语等进行有效提炼。 三、成分分析法: 分析句子的主干成分即主语、谓语、宾语,在压缩提炼的过程中将修饰的定状补成分删去,简洁明了地把握住该句的核心观点。 四、背景铺垫法： 在阅读文段的过程中,针对社会现实类文体而言,其大多在材料之初首先交代一个大的背景,或者大的趋势，抑或客观陈述一下现实问题.接着可能会引出作者想要表达的观点，或者对于现实问题的解决对策. 在这类文段,考生要明确哪一部分才是阅读重点:通常材料之初的大背景、大趋势公公是为了引出之后的主题，因此可心称之为“背景铺垫”,并非阅读重点。一方面考生可以快速浏览,明确之后的语句为重点内容；另一方面，如果有选项是围绕大背景、大趋势进行陈述的，也应排除在正确选项之外。此法被称为“背景铺垫法”。 对于背景的铺垫,常用的句式如下: “形势分析":随着……的变化／的提高/下降／紧缺／发展/日益突出(6个）等,在这样的背景/趋势/形势/情况下……语句重点。 “时间状语”：近年来、改革开放以来、目前、日前、当下、当前(6个）……的变化／
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
言语理解与表达 言语理解与表达概述 【考查能力】 理解→片段阅读+ 篇章阅读 表达→选词填空+ 语句表达 【做题顺序】 审题干→读题面→看选项作对比 【正确答案的标志】 转换的两种模式： ▲同义替换 ▲精简压缩 片段阅读 知识点：主旨概括题 【辨别标志】 ▲这段话的主旨是、这段话主要讲述（谈论、强调、说明、阐明、阐述、分析、介绍主要等）的是？ 主旨类：找重点 ▲对这段文字概括（复述、归纳、总结）最准确的是？ 概括类：突出重点，兼顾其他（重点是第一位的，其他其次，择优原则） 【做题原则】 ▲找重点，即文段主题句。 ▲对比选项进行转换（同义替换、精简压缩）。 ▲忠于原文，无需引申。 ▲通常为对策或核心观点。 【解题技巧】 宏观（行文脉络）▲文章结构 微观（关联词语）▲逻辑标志 知识点：递进复句 【典型格式】不但……，而且……。如：大别山区不但矿产很丰富，而且自然景色很美。【关联词语】不但=不仅=不单=不独=不只=不光 而且=并=并且=也=还 甚至=更=特别=尤其=重要的是=关键的是=核心的是 【多重递进】不但……，而且……，甚至…… 【典型例句】 1）黄金不只是一种名贵的金属，也是一种不需要翻译的万能语言。 2）寿昌不仅学习戏里的唱腔身段，还从母亲那里弄些碎布学剪戏中的人物。 3）犯罪官员们所面对的不单是牢狱之灾，他们似锦的前程也毁了。 4）来这家大型食品超市购物的不仅有当地的家庭主妇，而且有附近街区的居民，甚至京津地区也有驱车前来采购的。 【总结】 ▲递进复句重点在递进之后。 ▲一级递进与二级递进同现时，二级递进是重点。 【技术链接】▲反面论证法
▲反面论证的作用是为了加强之前正面的观点，本身不重要，阅读可省略。 ▲反面论证的作用是为了加强之前正面的观点，本身不重要，阅读可省略。 ▲标志词：否则、不然、如果不、如果没有等。 ▲围绕反面论证的不是主旨题的答案。 {“否则”，反面论证，起到再次强调先前论述的正确性，之前的内容也就是文章重点所在。} 知识点：成分紧缩法 ▲长难句就找主谓宾，宾语通常是一个复合结构或小句。 ▲标志词：的→定语（前置）（重点）地→状语（前置）得→补语（后置） 知识点：转折复句 【典型格式】虽然……，但是……（强转折） 其实=事实上=实际上=只是=当然（弱转折） 【关联词语】虽然=尽管=虽说=固然 但是=可是=不过=然而=却 【总结】 ▲转折复句重点在转折之后。 ▲弱转折与强转折同现时，强转折是重点。 知识点：观点援引法 ▲援引目的：为了引出之后作者的观点，援引之后的语句很重要。 ▲援引类型：正向援引（如：正如） 反向援引（一家之言，如有一种看法认为、有一种观点认为、有些人认为、 人们认为、传统认为） 知识点：因果复句 【典型格式】因为……，所以…… 【关联词语】因为=由于 所以=因此=因而=可见=看来=总之=故而=言而总之=综上所述=概而言之 =概而论之 【特殊格式】之所以……是因为、导致、造成、使得、致使 【总结】 ▲正常语序下，原因为结论服务，结论之后是重点。 ▲“之所以……是因为”通过倒装的形式来强调原因，符合汉语核心语义置后的原则。 ▲注意不能因果倒置。 【技术链接】▲举例论证法 ▲例子的作用是证明前后出现的观点，本身不重要，阅读可省略。 ▲例子可以由数据、故事、事例等来充当。 ▲标志词：例如、比如、、、、为例、、、、就是一个例证等。 ▲围绕举例论证的不是主旨题的答案。 知识点：必要条件复句 【典型格式】只有……，才…… 【关联词语】显性：只有=必须=需要=应该=应当=务必=除非=如何=怎样等 隐性：才{尤其要注意“才”，其实是隐含了“只有……才”这样的结构} 【典型例句】 1）传统相声艺术只有回到群众，回归生活，才能获得新的生命力。
课程设计任务书 学生姓名：董航专业班级：电信1006班 指导教师：阙大顺，李景松工作单位：信息工程学院 课程设计名称：Matlab应用课程设计 课程设计题目：Matlab运算与应用设计5 初始条件： 1.Matlab6.5以上版本软件； 2.课程设计辅导资料：“Matlab语言基础及使用入门”、“Matlab及在电子信息课程中的应 用”、线性代数及相关书籍等； 3.先修课程：高等数学、线性代数、电路、Matlab应用实践及信号处理类相关课程等。 要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求） 1.课程设计内容：根据指导老师给定的7套题目，按规定选择其中1套完成； 2.本课程设计统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析， 针对具体设计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结。具体设计要求包括： ①初步了解Matlab、熟悉Matlab界面、进行简单操作； ②MA TLAB的数值计算：创建矩阵矩阵运算、多项式运算、线性方程组、数值统计； ③基本绘图函数：plot, plot3, mesh, surf等，要求掌握以上绘图函数的用法、简单图形 标注、简单颜色设定等； ④使用文本编辑器编辑m文件，函数调用； ⑤能进行简单的信号处理Matlab编程； ⑥按要求参加课程设计实验演示和答辩等。 3.课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括： ①目录； ②与设计题目相关的理论分析、归纳和总结； ③与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析； ④程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结； ⑤课程设计的心得体会（至少500字）； ⑥参考文献（不少于5篇）； ⑦其它必要内容等。 时间安排：1.5周（分散进行） 参考文献： [1](美)穆尔,高会生,刘童娜,李聪聪．MA TLAB实用教程(第二版) . 电子工业出版社,2010. [2]王正林,刘明．精通MA TLAB(升级版) .电子工业出版社,2011. [3]陈杰. MA TLAB宝典(第3版) . 电子工业出版社,2011. [4]刘保柱,苏彦华,张宏林. MA TLAB 7.0从入门到精通(修订版) . 人民邮电出版社,2010. 指导教师签名：年月日 系主任（或责任教师）签名：年月日
言语题脉络知识点 1、言语模块（以A形式题居多） A、主旨概括题：基于原文重点的同义替换 意图推断题：言外之意 B、词语理解题：定位原文，临近原则 代词指代题：定位原文，临近原则 C、语句衔接题：关联词搭配，小语境逻辑关系 语句排序题：关联词搭配，小语境逻辑关系 言语模块题型综述 （一）主旨概括题（题目1——56） 1、关联词语（有重点部分） A、递进：不但、而且、甚至 B、结论：因为····所以 C、转折：弱——其实。强——但是 D、必要条件：只有、必须、应该，“才”之前 2、关联词语（无重点部分） A、并列（a+b形式，全面概括） 宏观行文脉络（用宏观的行文脉络确定主题句，然后用微观的关联词语找重点，多用于多个关联词的文段中） 1、类型 A、总-分-总 B、总-分（例题46——53） C、分-总 2、特点 A、首尾原则，文章段落以及段落之间的首尾句很重要 B、辅政原则：地位为辅，作用为证。（辅政不重要，阅读时可省略，用辅政去寻找前后的 观点，围绕辅政表述的不是主旨题的答案） a 举例：例如、比如、以····为例。例证——看前后（例题46——50） b 原因：因为、由于——看前后（例题51——53） c 反证：否则、不然、如果···不——看之后 关联词语 1. 并列复句 知识要点：1、没有重点，前后均为重点。主旨题应概括全面，不可偏颇。正确答案应该为A+B形式。 2、关联词可以省略，用其他表示。（用标点符号表示有“；。，”使用逗号时需要句式相同） （1）表示相关的几种情况并存。（同类项关系，互为解释，补充说明） 【关联词语】单用的“又、同样、同时”等，这些词语多用在后续分句中。双用的“也……，也……”，“又……，又……”，“既……，又……”，“一边……，一边……”“有的……，有的……”。也可以不用关联词，而用两句结构一致的句子表示并列关系。 （2）表示两种相反或相对的情况。（反义项，从不同角度对同一事物展开讨论）