摘要
在现代控制理论中,状态反馈设计是控制系统设计的重要方式之一。目前,常用的设计方法是极点配置方法。在进行线性系统状态反馈设计的过程中,从表面看它的步骤比较简单,但真正计算起来还是很困难的。因为在整个计算流程中,不仅要对系统的可控性进行判定,还需对线性控制系统进行矩阵变换以及对期望极点进行选择。而这整个的过程不但需要大量的计算,且对设计者的要求相对来说比较苛刻。对于简单的线性控制系统设计是有效的,但当系统阶数较多时,计算量非常巨大,操作过程将会很繁琐。本文在简要介绍了对线性控制系统进行状态反馈设计的方法即极点配置与线性二次型最优控制两种方法之后,提出了基于差分演化算法的控制系统状态反馈设计方法。本文根据引入状态反馈后闭环系统的阶跃响应的性能指标,以误差积分指标作为适应度函数,直接对状态反馈设计中的状态反馈矩阵以及前馈增益矩阵进行选择,以使适应度函数获得最优解。当适应度函数得到最优解时,选择的状态反馈矩阵及前馈增益矩阵就是较优的。本文分别针对单输入-单输出系统、多输入-多输出系统、完全可控系统以及不完全可控系统分别列举多个实例并采用差分演化算法进行状态反馈设计及仿真。通过仿真,证实了基于差分演化算法的状态反馈控制系统可有效地改进系统性能,优于传统极点配置状态反馈控制。而且,基于差分演化算法的状态反馈设计提供了一种可能的更有效的新的状态反馈设计的简便途径。最后,本文将差分演化算法进一步应用于状态反馈解耦控制,发现利用差分演化算法进行状态反馈解耦控制是有效的,这进一步证明了将差分演化算法应用于状态反馈有许多可取之处
关键字：状态反馈极点配置最优解控制
目录
1.问题重述 (1)
1.1问题分析 (1)
2.数学模型的建立 (3)
2.1状态反馈和输出反馈 (3)
2.2能控性、能观性分析 (5)
2．3系统的稳定性分析 (7)
2.4劳斯判据 (8)
3.模型的MATLAB建模 (10)
3.1模型的建立程序： (10)
3.1.1）脉冲响应实验程序： (10)
3.1.2）系统的能控性，能观测性，稳定性试验程序： (10)
4.模型的求解结果 (13)
4.1模型的求解结果 (13)
4.1.1）脉冲响应实验程序实验结果： (13)
4.1.2）系统的能控性，能观测性与稳定性判别的实验结果： (14)
4.1.3）U=Fy给予稳定的实验结果： (16)
4.1.4）闭环系统的极点配置的实验结果： (16)
4.1.5) y=at斜坡输入配置实验结果： (19)
5.1实验方法的优点： (23)
5.2实验方法的缺点 (23)
5.3实验的收获 (23)
6.参考文献 (24)
连续系统性能分析及闭环调节器设计
1.问题重述
系统参数：
设某调节对象状态空间方程描述为
设计要求：
分析原系统的性能，根据要求设计状态反馈阵及系统给定，满足设计要求。
设计主要内容：
（1）求原系统的状态脉冲响应。
（2）分析系统的能控性、能观测性、稳定性。
（3）分析此调节对象可否通过给予稳定，为什么？
（4）利用状态反馈进行设计，使得闭环系统的极点配置在处，并对对设计的系统进行仿真，分析系统的性能。
（5）如果输出量y需以斜坡函数形式变化，即要求，根据第4小题之分析，对应的闭环系统给定量应为何值？对设计的结果进行仿真验证。
1.1问题分析
题目要求观察系统的稳定性，如果系统不稳定，则通过状态反馈和输出反馈进行极点配置来得到稳定的系统。为此我们首先要找到合适的数学方法与模型来观察系统是稳定的还是不稳定的。当系统是不稳定的时候，根据题目要求配置相关的极点来得到稳定的系统构造。通过使用matlab工具来进行验证观察系统
配置后是否符合稳定性的要求，得到相应的阶跃响应曲线图形，并对系统的性能进行分析说明。
2.数学模型的建立
2.1状态反馈和输出反馈
1)状态反馈与输出反馈的比较。
定义一个线性离散系统
x(t+1)=Ax(t)+bu(t)
y(t)=Cx(t)(1一1
可控可观。首先，我们来考虑使用状态反馈来解决这个问题，由于我们不知道系统确切的x(t)的全部状态，故我们需要利用可观的数据对系统建立观测
器，来估计系统的各个状态，在这里观测器为
因此，由(1-2)(1-3)两组方程我们可以解得Z;中的各个状态。然而，由于观测
器(全维)的引入，方程由n维变为2n维，大大增加了计算量。在工程中，这
样的计算会削减系统的实时性，而且增加的维数在实际观测器构建中还是有很大的难度的。
接下来，我们来看输出反馈的情况，对于系统，存在
u(t)=Ky(t)
K为lxp的参数矩阵。因此
x(t+1)=(A+bKC)x(t)
这样，我们就把求解状态的问题转化成lxp的参数矩阵K的参数整定问题。就状态反馈而言，如图1-1可以有效实现极点配置，然而这种方法要求
原系统各部分参数是精确确定的，因此在一般不知道系统内部精确参数的时候，我们就需要建立状态观测器来逼近原系统，由于所建立的观测器的内部参数我们是知道的。为达到控制原系统的目的，我们采用极点配置的方法，对这个模拟原系统的观测器进行控制。然而，由于加入了观测，使得系统的维数加倍，因此系统建模变的更加复杂。
对于输出反馈而言，如下图1-2所示，这是一种简单的方法，但是极点
图1-2输出反馈
的配置受到一定限制。输出反馈本身只利用输出数据中及其有限的状态信息对原系统进行修正，可用的信息量是极为有限的，较少的信息量即使形成闭环回路也可能无法控制原系统达到稳定，但把复杂的观测器设计转换成K 矩
阵的参数整定问题，又使这种方法的优势显现出来，调参在工程中要比建立复杂的观测器可靠有效得多。输出反馈能够提供的状态信息较少，我们可以借助控制器的设计来解决。
2.2能控性、能观性分析
1、系统能控性、能观性分析
（1-1）设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个
分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t
1-t
）内，能把任一给定的初态x(t
)
转移至预期的终端x(t
1
)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。
能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。
状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
输出能控性判别式为：
（2-1）状态能控性判别式为：
（2-2）
系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,如果对t
时刻
存在t
a ，t
a <，根据[t ,t a ]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t 时刻的任意初始状态x 0，则称系统在t 时刻是状态完全能观测的，或简称系统 在[t 0,t a ]区间上能观测。 状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。 状态能观测性判别式为： （2-3）系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。其中，当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。 2．3系统的稳定性分析 如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。可见，稳定性是系统在去掉扰动以后，自身具有的一种恢复能力，所以是系统的一种固有特性。这种特性只取决于系统的结构、参数而与初始条件及外作用无关。 由上所述，稳定性所研究的问题是当扰动消失后系统的运动情况，显然可以用系统的脉冲响应函数来描述。如果脉冲响应函数是收敛的，即 系统是稳定的。 由于单位脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统的脉冲 响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。 设系统闭环传递函数为 式中,,…,为闭环零点；,,…,为闭环极点。 脉冲响应函数的拉氏变换式，即为 (3-38) 如果闭环极点为互不相同的实数根，那么把方程(3-38)展开成部分分式 式中为待定常数。对上式进行拉氏反变换，即得单位脉冲响应函数 根据稳定性定义 考虑到系数的任意性，必须使上式中的每一项都趋于零，所以应有 (3-39) 其中为常值，式(3-39)表明，系统的稳定性仅取决于特征根的性质。 并可得到，系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部，或者说都位于［s ］平面的左半平面。 2.4劳斯判据 劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程： 55 3(0 0122110->=++???+++---a a S a S a S a S a n n n n n 检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。 可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。 2）按系统的特征方程式列写劳斯表 3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。 通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。 劳斯判据特殊情况: · I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表 如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。 · II ）劳斯表中出现全零行 表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。 例如：控制系统的特征方程为 0161620128223456=++++++s s s s s s 列劳斯表 16 38 1662480 00161220 161221620810 1 23456S S S S S S S 由于3 s 这一行全为0，用上一行组成辅助多项式 s s ds s dF 248)(3 +=，由 上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S 右半平面上没有特征根。令F(s)=0， )4)(2(2)86(216122)(222424=++=++=++=s s s s s s s s F 得1,2 3,42, 2 s j s j =±=±. 求得两对大小相等、符号相反的根 2,2j j ±±，显然这个系统处于临界稳定状态。 3.模型的MATLAB建模 3.1模型的建立程序： 3.1.1）脉冲响应实验程序： A=[0 1 0;0 0 1;-2 1 2]; B=[0;0;1]; C=[3 0 0]; D=0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)%将状态空间模型转换成传递函数sys=tf(num,den)%求传递函数 impulse(sys)%脉冲响应 3.1.2）系统的能控性，能观测性，稳定性试验程序： A=[0 1 0;0 0 1;-2 1 2]; B=[0;0;1]; C=[3 0 0]; D=0; n=length(A);%求系统的阶次 qc=[B A*B A^2*B] %能控性判别矩阵 nc=rank(qc) if n==nc,disp('system is controllable') else disp('system is uncontrollable') end qo=[C;C*A;C*A^2]%能观测矩阵 no=rank(qo) if n==no,disp('system is observable') else disp('system is unobservable') end [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1)%从A,B，C,D求系统的零点z,极点p和增益k，以此判断系统的稳定性 3.1.3)U=Fy给予稳定的程序： A=[0 1 0;0 0 1;-2 1 2]; B=[0;0;1]; C=[3 0 0]; D=0; syms F S;%声明两个变量 AO=A+B*F*C; BO=B; CO=C; DO=0; sys=det(s*eye(3)-AO) %用U=Fy配置后系统的传递函数 3.1.4）闭环系统极点配置的实验程序： A=[0 1 0;0 0 1;-2 1 2]; B=[0;0;1]; C=[3 0 0]; D=0; disp('原系统的极点为') p=eig(A)' P=[-1;-2;-3]; K=place(A,B,P) disp('配置后系统的极点为') p=eig(A-B*K)' disp('极点配置后的闭环系统为') %极点配置后的闭环系统为sysnew=ss(A-B*K,B,C,D) step(sysnew/dcgain(sysnew)) %极点配置后系统的阶跃响应曲线3.1.5）y=at的斜坡输入实验程序： A=[0 1 0;0 0 1;-2 1 2]; B=[0;0;1]; C=[3 0 0]; D=0; p1=[-1,-2,-3]; %期望极点 k=place(A,B,p1) p2=eig(A-B*k) %配置后的极点 [num,den]=ss2tf(A-B*k,B,C,D) sys=ss(A-B*k,B,C,D) step(sys/dcgain(sys)) syms s a; disp(‘系统的传递函数为：’) sys=tf(num,den) %系统的传递函数 y=1/s^2; %y=at的拉氏变换 disp('输入为：') R=ilaplace(y/sys1) 4.模型的求解结果 4.1模型的求解结果 4.1.1）脉冲响应实验程序实验结果： num = 0 0 0 3 den = 1.0000 - 2.0000 -1.0000 2.0000 sys = 3 ------------------- s^3 - 2 s^2 - s + 2 实验图形： 分析：由脉冲响应是发散的可知系统是不稳定的。 4.1.2）系统的能控性，能观测性与稳定性判别的实验结果：qc = 0 0 1 0 1 2 1 2 5 nc = 3 system is controllable%系统是能控的 qo = 3 0 0 0 3 0 0 0 3 no = 3 system is observable%系统能观测z = Empty matrix: 0-by-1 p = 2.0000 1.0000 -1.0000 k = 3 分析：从程序的运行结果可得：零点为空，极点P=2.0000,1.0000，-1.0000易知极点中有两个为正即位于右半平面，故系统不稳定，且系统能观能控。 4.1.3）U=Fy给予稳定的实验结果： 由实验的程序得到用U=Fy反馈的系统的传递函数为：sys =s^3 - 2*s^2 - s - 3*F + 2 建立劳斯表如下： S^3 1 -1 S^2 -2 3F+2 S^1 3F 0 S^0 0 根据劳斯判据判断系统的稳定性及根的分布： 由于表中的第一列出现了负数-2，可以判定方程sys =s^3 - 2*s^2 - s - 3*F + 2的根并非都在s左半平面，因此该系统是不稳定的。即此调节对象不能通过U=Fy给予稳定。 4.1.4）闭环系统的极点配置的实验结果： 原系统的极点为 p = 2.0000 1.0000 -1.0000 K = 4.0000 12.0000 8.0000 配置后系统的极点为 p = -1.0000 -2.0000 -3.0000 极点配置后的闭环系统为 sysnew = a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -6 -11 -6 b = u1 x1 0 x2 0 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 3 0 0 d = u1 y1 0 极点配置后系统的阶跃响应曲线： 分析：通过配置后的阶跃响应曲线可以看出，经过极点配置后系统将趋于稳定了。 闭环极点配置的Simulink仿真图： 数值线性代数课程设计 线性方程组的直接解法 数理学院 09405011班 0940501120 沈骁 摘要：如何利用电子计算机来快速、有效的求解线性方程组的问题是数值线性代数的核心问题。本文将主要介绍解线性方程组的基本的直接法——高斯消去法，平方根法，并用实例来验证此方法的有效性。 关键字：高斯消去法，顺序消去法，选主元消去法，平方根法，消元过程，回代过程,主元数和乘数 引言：因为各种各样的科学与工程问题往往最终都要归结为一个线性方程组的求解问题。本文在比较着几个方法的基础上，通过一道实例来得到最方便最有效的方法。 基本原理：工程计算和科学研究中的许多问题，最终归结为线性代数方程组的求解。求解的方法也有很多，如高斯消去法（顺序消去法，选主元消去法），平方根法。高斯消去法是目前求解中小规模线性方程组最常用的方法；平方根法是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。为了更快速、更方便的求解线性方程组，下面我们比较一下这几种方法哪种更好。 一、高斯（Causs ）消去法就是逐步消去变元的 系数，将原方程组Ax b =化为系数矩阵为三角形的等价方程组Ux d =，然后求解系数矩阵为三角形的方程组而得出原方程组解的方法。把逐步消元去变元的系数，将方程组化为以系数矩阵为三角形的等价方程组的过程称为小院过程；把求系数矩阵为三角形的方程组解的过程称为回代过程。最初求解方程组的高斯消去法也称为顺序消去法，它由消元过程和回代过程组成。 顺序消去法 1． 消元过程 考虑一般方程组，为了推导过程方便，记系数矩阵A 的元素ij a 为(0) ij a ，右端向量b 的元素i b 记为(0) ,1i n a +，于是方程组 11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++ +=??+++=????++ += ? （1.1）成为 ()()()() () () ()()()()()()000 111122111 000 211222221 000 1122 1 n n n n n n n n nn n nn a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++?+++=?+++=??? ?+++= ?假设 (0)11 0a ≠，将第1个方程乘以(0)1 (0)11 ()i a a -加到第i 个 方程(2)i n ≤≤,得到第1个导出方程组(0)(0)(0)(0)111122111(1)(1)(1) 222221 (1)(1)(1)221n n n n n n n nn n nn a x a x a x a a x a x a a x a x a +++?++=?+=?? ? ?+= ? 其中：(0)(1)(0)(0)1 1(0)11i ij ij j a a a a a =-， 2i n ≤≤，21j n ≤≤+。由于因子(0)1 (0)11 i a a 不止一次地用到，常 记为,1i l 。再假设(1) 220a ≠，由第1个导出方程组 的第2个方程乘以(1)2 (1)22 ()i a a -加到第i 个方程 (3)i n ≤≤，得到第2个导出方程组 ()()()()()()()()() ()()()()()()00000111122133111 1111222233221 222333*********n n n n n n n n n n nn n nn a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++?++++=?+++=???++=?? ?++= ? 类似地记：(1)2 2(1)22 i i a l a =，则第2个导出方程组的元素 (1)(2)(0)(1)(1)(1)(1) 222(1) 22 i ij ij j ij i j a a a a a l a a =- =-， 3i n ≤≤，31j n ≤≤+。重复上述过程1n -次，得到 1n -个导出方程组 ()()()()()()()()() ()()()()()00000111122133111 1111222233221 222333331111n n n n n n n n n n n nn n nn a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a +++--+?++++=?+++=???++=?? ?= ? （1.2）其中第k 个导出方程组的元素的递推关 系是(1) (1)k ik ik k kk a l a --=，()(1)(1) k k k ij ij ik kj a a l a --=- （1.3） 习题1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下： 注意到 我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程 便可求得 [注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法： 算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法） ３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。 [解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss 变换的逆矩阵。事实上 注意到，则显然有从而有 ４．确定一个Gauss变换L，使 [解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下 ５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。 [证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是 注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单 位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即， 从而 即A的LU分解是唯一的。 17．证明定理1·3·1中的下三角阵L是唯一的。 [证明] 因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异。为证明L的唯一性，不妨设有和使 那么 注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此，只能是对角阵，即 从而 于是得知 19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主子阵正好是A的i阶顺序主子阵的Cholesky因子。 [证明] 将A和L作如下分块 其中：为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。。显然 线性代数基础知识点 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ??????? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 （即：所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵.记作：() ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A * -= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ?--???? 1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 《数值代数》课程设计 评分标准 (1) 交作业的内容 (1) 附录1 论文结构撰写规范 (2) 附录2 (2) 参考论文1 (2) 参考论文2 (13) 参考论文3 (16) 参考论文4 (21) 1. 2-3两天查资料; 2. 1-2天论文构思,列出提纲; 3. 2-3确定计算方法和计算程序的详细内容和设计步骤； 写课程设计报告； 论文内容: 问题背景介绍, 建立正确的数学模型, 求解模型的数学原理, 计算过程,编写计算程序, 解释计算结果. 论文字数: 1800-2200字. 注: 字数是指正文的字数. 标题、摘要、关键字、目录、图表说明、参考文献、程序等不算入字数统计. 论文格式: 5号字体,A4版面, 上下左右各留2cm,单倍行距,页面设置选为无网格; 编页码; 图形尺寸：长度不超过4cm.一行可以放若干张图. 文稿中数据保留3位小数点. （1）要有勤于思考、刻苦钻研的学习精神和严肃认真、一丝不苟、 有错必改、精益求精的工作态度，对有抄袭他人设计论文或找他人代设计、 代做论文等行为的弄虚作假者一律按不及格记成绩。 （2）要敢于创新，勇于实践，注意培养创新意识。 （3）掌握课程的基本理论和基本知识，概念清楚，设计计算正确， 结构设计合理，实验数据可靠，软件程序运行良好，绘图符合标准， 论文撰写规范，答辩中回答问题正确。 附录1 论文结构撰写规范 （1）题目、院系、班级、学生姓名。 （2）摘要 摘要是论文内容的简短陈述，一般不超过150字。 关键词应为反映论文主题内容的通用技术词汇，一般为4个左右，一定要在摘要中出现。 （3）正文 正文应按目录中编排的章节依次撰写，要求计算正确，论述清楚，文字简练通顺， 插图简明，书写整洁。文中图、表及公式不能徒手绘制和书写。 （4）参考文献（资料） 参考文献必须是学生在课程设计中真正阅读过和运用过的，文献按照在正文中的出现顺序排列。 各类文献的书写格式如下： a．图书类的参考文献 序号作者名·书名·（版次）·出版单位，出版年：引用部分起止页码。 b．翻译图书类的参考文献 序号作者名·书名·译者·（版次）出版单位，出版年：引用部分起止页码。 c．期刊类的参考文献 序号作者名·文集名·期刊名·年，卷（期）：引用部分起止页码。 附录2 数值代数课程设计题 参考论文1 《数值线性代数》课程设计 信息与计算科学0440501106 蔡云 摘要： Gauss消去法是目前求解中小规模线性方程组（即阶数不要太高，例如不超过1000）常用的方法，它一般用于系数矩阵稠密（即矩阵的绝大多数元素都是非零的）而没有任何特殊结构的线性方程组。选主元Gauss消去法弥补了不选主元的Gaauss消去法的不足，但是也付出了昂贵的代价。平方根是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。 关键词：Gauss 消去法，选主元Gauss 消去法，平方根法 正文： 一，问题背景： 在古代数学和近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组都是重要的课题。西方的Gauss 消元法在求解未知数多的大型线形方程组则是在20世纪中叶电子计算机问世后才成为现实。这次实验将充分运用各种数值计算方法，及计算机的强大数值计算功能来解决所遇到的问题。 二，问题提出： 1.先用你所熟悉的计算机语言讲不选主元和列主元Gauss消去法编写成通用的子程序，然后用你所编写的程序求解下面的84阶方程组 上机习题 1.先用你所熟悉的的计算机语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序；然后用你编写的程序求解84阶方程组；最后将你的计算结果与方程的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss 消去法的看法。 Sol ： （1）先用matlab 将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，得到P U L ,,： 不选主元Gauss 消去法：[])(,A GaussLA U L =得到U L ,满足LU A = 列主元Gauss 消去法：[])(,,A GaussCol P U L =得到P U L ,,满足LU PA = （2）用前代法解()Pb or b Ly =，得y 用回代法解y Ux =，得x 求解程序为()P U L b A Gauss x ,,,,=（P 可缺省，缺省时默认为单位矩阵） （3）计算脚本为ex1_1 代码 %算法（计算三角分解：Gauss 消去法） function [L,U]=GaussLA(A) n=length(A); for k=1:n-1 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); end U=triu(A); L=tril(A); L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n)); end %算法计算列主元三角分解：列主元Gauss消去法） function [L,U,P]=GaussCol(A) n=length(A); for k=1:n-1 [s,t]=max(abs(A(k:n,k))); p=t+k-1; temp=A(k,1:n); A(k,1:n)=A(p,1:n); A(p,1:n)=temp; u(k)=p; if A(k,k)~=0 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); else break; end end L=tril(A);U=triu(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n)); 2009年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则 (1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则 (1)2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则 4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积 (1) 2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C = =-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶 主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法； 《线性代数》课程教学大纲 课程编号：课程类别：学分数：学时数： 适用专业：应修基础课程： 一、本课程的地位和作用 《线性代数》在高等学校的教学计划中是一门必修的基础理论课，是计算机专业的重要基础课之一，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。所以该课程的地位与作用也更为重要。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的理论与方法，可以培养和提高学生的抽象思维能力、创新能力和解决实际问题的能力，并为为后续课程的学习及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、本课程的教学目标 通过该课程的学习，要求学生把握线性代数的基本内容。如：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间等。把握线性代数的体系结构。从知识的扩充层面上，发展自身的创新思维。并且要求学生掌握线性代数的基本计算方法，较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。 三、课程内容和基本要求 按教学顺序提出课程各部分教学内容，并具体到知识点，用“*”明确难点内容，用“Δ”明确重点。“*”或“Δ”一律写在课程内容的前面。“*”与“Δ”可以并用，表明此内容既是重点又是难点。在各部分课程内容的前面，首先写明该部分内容须要了解、理解、熟练掌握、应用等层次的教学基本要求。其格式为： 第一章预备知识 1、教学基本要求 （1）了解集合与映射的基本概念及有理系数多项系的有理根的求法 （2）理解数域的概念及排列与对换 2、教学内容 （1）集合与映射 数值线性代数习题解答 习题1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下： 注意到 我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程 便可求得 [注意]考虑到存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法： 算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法） ２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组 是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。 [解]因，故为求解线性方程组 ，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下： 算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为） （2）计算上三角矩阵。运算量大约为. （3）用回代法求解方程组：.运算量为； （4）用回代法求解方程组：运算量为。 算法总运算量大约为： ３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。 [解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下 面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上 注意到，则显然有从而有 ４．确定一个Gauss变换L，使 [解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有 功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下 ５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。 [证明]设，其中都是单位下三角阵， 都是上三角阵。因为A非奇异的，于是 注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等， 故此，它们都必是单位矩阵。即，从而 即A的LU分解是唯一的。 ６．设的定义如下 证明A有满足的三角分解。 [证明]令是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下 容易验证： ７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式 证明仍是对称阵。 [证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为 课程设计任务书 学生姓名：专业班级： 指导教师：工作单位： 题目: 通信系统课群综合训练与设计 初始条件：MATLAB 软件，电脑，通信原理知识 要求完成的主要任务: 1、利用仿真软件（如Matlab或SystemView），或硬件实验系统平台上设计完 成一个典型的通信系统 2、学生要完成整个系统各环节以及整个系统的仿真，最终在接收端或者精确或 者近似地再现输入（信源），计算失真度，并且分析原因。 指导教师签名：年月日 系主任（或责任教师）签名：年月日 目录 摘要 (3) Abstract (4) 1.引言 (1) 1.1通信系统简介 (1) 1.2 Matlab简介 (1) 2.系统设计 (2) 2.1通信系统原理 (2) 2.2 系统整体设计 (3) 3.子系统设计 (4) 3.1脉冲编码调制（PCM） (4) 3.1.1抽样（Samping） (5) 3.1.2量化（Quantizing） (5) 3.1.3编码（Coding） (6) 3.2 Manchester码编解码 (7) 3.2.1曼切斯特编码原理 (8) 3.2.2曼切斯特解码原理 (8) 3.3循环码编解码 (9) 3.3.1循环码编码原理 (10) 3.3.2循环码解码原理 (11) 3.3.3纠错能力 (11) 3.4 ASK调制与解调 (12) 3.5 衰落信道 (13) 4软件设计及结果分析 (14) 4.1 编程工具的选择 (14) 4.2 软件设计方案 (14) 4.3 编码与调试 (15) 4.4 运行结果及分析 (16) 5心得体会 (21) 参考文献 (21) 附录 (22) 摘要 在数字通信系统中，需要将输入的数字序列映射为信号波形在信道中传输，此时信源输出数字序列，经过信号映射后成为适于信道传输的数字调制信号，并在接收端对应进行解调恢复出原始信号。本论文主要研究了数字信号的传输的基本概念及数字信号传输的传输过程和如何用MATLAB软件仿真设计数字传输系统。首先介绍了本课题的理论依据，包括数字通信，数字基带传输系统的组成及 线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 Matalab课后作业 学院：电气信息工程及其自动化 班级： 学号： 姓名： 完成日期： 2012年12月23日 1、 matlab 软件主要功能是什么？电气工程及其自动化专业本科生主要用到哪 些工具箱，各有什么功能？ 答：（1）主要功能：工业研究与开发； 数学教学，特别是线性代数；数值分析和科学计算方面的教学与研究；电子学、控制理论和物理学等工程和科学学科方面的教学与研究； 经济学、化学和生物学等计算问题的所有其他领域中的教学与研究；符号计算功能；优化工具；数据分析和可视化功能；“活”笔记本功能；工具箱；非线性动态系统建模和仿真功能。 （2）常用工具箱： （a ） MATLAB 主工具箱：扩充matlab 的数值计算、符号运算功能、图形建模仿真功能、文字处理功能以及与硬件实时交互功能。 （b ）符号数学工具箱：符号表达式、符号矩阵的创建；符号可变精度求解；因式分解、展开和简化；符号代数方程求解；符号微积分；符号微分方程。 （c ） SIMULINK 仿真工具箱： Simulink 是用于动态系统和嵌入式系统的多领域仿真和基于模型的设计工具。对各种时变系统，包括通讯、控制、信号处理、视频处理和图像处理系统，Simulink 提供了交互式图形化环境和可定制模块库来对其进行设计、仿真、执行和测试。 （d ）信号处理工具箱：数字和模拟滤波器设计、应用及仿真；谱分析和估计；FFT 、DCT 等 变换；参数化模型。 （e ）控制系统工具箱：连续系统设计和离散系统设计；状态空间和传递函数以及模型转换；时域响应（脉冲响应、阶跃响应、斜坡响应）；频域响应（Bode 图、Nyquist 图）；根轨迹、极点配置。 2、设y=23e t 4-sin(43t+3 ),要求以0.01秒为间隔，求出y 的151个点，并求出其导数的值和曲线。 程序如下： clc clear x=0:0.01:1.5; y=sqrt(3)/2*exp(-4*x).*sin(4*sqrt(3)*x+pi/3); y1=diff(y); subplot(2,1,1) plot(x,y) subplot(2,1,2) plot(x(1:150),y1) 曲线如下图所示： 课程设计任务书 学生姓名：董航专业班级：电信1006班 指导教师：阙大顺，李景松工作单位：信息工程学院 课程设计名称：Matlab应用课程设计 课程设计题目：Matlab运算与应用设计5 初始条件： 1.Matlab6.5以上版本软件； 2.课程设计辅导资料：“Matlab语言基础及使用入门”、“Matlab及在电子信息课程中的应 用”、线性代数及相关书籍等； 3.先修课程：高等数学、线性代数、电路、Matlab应用实践及信号处理类相关课程等。 要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求） 1.课程设计内容：根据指导老师给定的7套题目，按规定选择其中1套完成； 2.本课程设计统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析， 针对具体设计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结。具体设计要求包括： ①初步了解Matlab、熟悉Matlab界面、进行简单操作； ②MA TLAB的数值计算：创建矩阵矩阵运算、多项式运算、线性方程组、数值统计； ③基本绘图函数：plot, plot3, mesh, surf等，要求掌握以上绘图函数的用法、简单图形 标注、简单颜色设定等； ④使用文本编辑器编辑m文件，函数调用； ⑤能进行简单的信号处理Matlab编程； ⑥按要求参加课程设计实验演示和答辩等。 3.课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括： ①目录； ②与设计题目相关的理论分析、归纳和总结； ③与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析； ④程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结； ⑤课程设计的心得体会（至少500字）； ⑥参考文献（不少于5篇）； ⑦其它必要内容等。 时间安排：1.5周（分散进行） 参考文献： [1](美)穆尔,高会生,刘童娜,李聪聪．MA TLAB实用教程(第二版) . 电子工业出版社,2010. [2]王正林,刘明．精通MA TLAB(升级版) .电子工业出版社,2011. [3]陈杰. MA TLAB宝典(第3版) . 电子工业出版社,2011. [4]刘保柱,苏彦华,张宏林. MA TLAB 7.0从入门到精通(修订版) . 人民邮电出版社,2010. 指导教师签名：年月日 系主任（或责任教师）签名：年月日 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110 l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ． () 00l x ＝1， ()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组12312312 20223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C === ，那么() 3 3C = 4. 因为方程 ()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满 足 ，所以 ()0 f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公 式 . 填空题答案 1. 通讯录的制作 【问题描述】 设计一个通讯录管理程序。 【基本要求】 1) 每条信息至包含：姓名（NAME ）、性别(GENDER)、电话（TEL）、城市（CITY）邮编（EIP）几项。 2) 作为一个完整的系统，应具有友好的界面和较强的容错能力 要求： 显示提示选单。根据选单的选项调用各函数，并完成相应的功能。 能对通讯录的末尾，写入新的信息，并返回选单。 能查询某人的信息，如果找到了，则显示该人的信息，如果未找到，则提示通讯录中没有此人的信息，并返回选单。（能按姓名、电话、城市3种方式查询） 能修改某人的信息，如果未找到要修改的人，则提示通讯录中没有此人的信息，并返回选单。（按姓名、电话） 能删除某人的信息，如果未找到要删除的人，则提示通讯录中没有此人的信息，并返回选单。（按姓名、电话） 能显示通讯录中的所有记录。 通讯录信息以文件形式存盘。 2. 图书管理系统 【问题描述】 设计一个计算机管理系统完成图书管理基本业务。 【基本要求】 1) 每种书的登记内容包括书号、书名、著作者、现存量和库存量； 2) 对书号建立索引表（线性表）以提高查找效率； 3) 系统主要功能如下： 采编入库：新购一种书，确定书号后，登记到图书帐目表中，如果表中已有，则只将库存量增加； 借阅：如果一种书的现存量大于0，则借出一本，登记借阅者的书证号和归还期限，改变现存量； 归还：注销对借阅者的登记，改变该书的现存量。 【进一步完成内容】（选做） 1) 系统功能的进一步完善； 2) 索引表采用树表。 3.简单的职工管理系统 【问题描述】 设计简单的职工信息管理程序。对单位的职工进行管理，包括插入、删除、查找、排序等功能。职工对象包括姓名、性别、出生年月、工作年月、学历、职务、住址、电话等信息。【基本要求】 （1）新增一名职工：将新增职工对象按姓名以字典方式职工管理文件中。 《数值线性代数》课程设计 题目 学生 指导教师 徐州师范大学 课程设计任务书 院班学生 课程设计课题： 矩阵的QR 分解 课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、参考资料等）： ? 来源与意义: 本课题来源于教材第三章第三节——正交化算法，目的是通过QR 分解求解方程Ax=b ，以求解最小二乘问题。 ? 基本要求: 1. 要求自编程序； 2. 掌握编程思想，学会一门编程语言； 3. 报告要有较强的理论分析；有较强说服力的数据表或图像； 4. 对结果进行分析； 5. 给出相应结论。 ? 参考资料: 《数值线性代数》：徐树芳 高立 张平文 指导教师签字： 一、 问题提出： 在探究最小二乘问题时，我们得出结论，求解最小二乘问题等价于求 2min ||||T T Q Ax Q b 的问题，其中Q 为正交矩阵，因此，我们希望通过选取适当的正交矩阵Q ，使原问题转化为较易求解的最小二乘问题。这里，我们将讨论对任意A 的QR 分解的方法。 二、理论基础 1、QR 分解定理：设()m n A R m n ?∈≥，则A 有QR 分解： 0R A Q ??=???? ， 其中m m Q R ?∈是正交矩阵，n n R R ?∈是具有非负对角元的上三角阵；而且当m n =且A 非奇异时，上述分解还是唯一的。 3）说明：在这个定理的基础上，我们就可以放心的研究任意矩阵的QR 分解，因为它总是存在的。 2、Householder 变换： 1) 定义：设n R ω∈满足21ω=，定义n n H R ?∈为 2T H I ωω=-， 则称H 为Householder 变换。 2）作用：H x ?可以将12 n x x x x ?? ?? ??=?? ?? ?? 化成(1)100x x ??????=???????? 的形式。 3）说明：利用Householder 变换，我们可以将A 的对角线下元素逐列的消为0。 3、Givens 变换 1）定义：形如G=11i c s j s c i j ?? ? ? ? ? ? ?- ? ? ??? 的矩阵称为Givens 矩阵。 2）作用：G x ?可以将12 n x x x x ?? ?? ??=?? ?? ?? 化成0 0i x j ? ???????=?? ???? ?? ???? 的形式。 3）说明：利用Givens 变换，我们可以将A 的对角线下元素逐个消为0。 学号：0120909320404 课程设计 题目基于matlab的图像滤波器设计 学院信息工程学院 专业通信工程 班级 姓名 指导教师 2011 年10 月27 日 课程设计任务书 学生姓名：专业班级： 指导教师：工作单位：武汉理工大学 题目: 基于matlab的图像滤波设计 初始条件： （1）Matlab应用软件的基本知识以及基本操作技能 （2）高等数学、线性代数等基础数学中的运算知识 要求完成的主要任务: 采用MATLAB选用适当的函数或矩阵进行如下计算 （1）极限的计算、微分的计算、积分的计算、级数的计算、求解代数方程、求解常微分方程； （2）矩阵的最大值、最小值、均值、方差、转置、逆、行列式、特征值的计算、矩阵的相乘、右除、左除、幂运算； （3）多项式加减乘除运算、多项式求导、求根和求值运算、多项式的部分分式展开、多项式的拟合、插值运算。 基于MATLAB的图像滤波设计 （1）读入图像并分别加入高斯噪声、椒盐噪声和乘性噪声，并比较结果。 （2）设计巴特沃斯低通滤波对图像进行低通滤波处理，显示结果。 （3）设计高斯高通滤波器对图像进行处理，显示结果。 （4）采用维纳滤波和中值滤波对图像进行处理，显示结果 时间安排：答辩时间:十月二十七日 指导教师签名：年月日 系主任（或责任教师）签名：年月日 目录 1绪论 (3) 1.1matlab基础知识介绍 (3) 1．2滤波器知识介绍 (4) 1.3matlab中数学运算的重要意义 (5) 2 matlab的基本运算 (5) 2.1基础微积分运算 (5) 2.1.1极限的计算: (5) 2.1.2微分的计算： (6) 2.1.3积分的计算 (6) 2.1.4级数的计算： (7) 2.1.5求解代数方程： (7) 2.1.6求解常微分方程： (8) 2.2矩阵的基本计算 (9) 2.2.1矩阵的最大值、最小值 (9) 2.2.2矩阵的均值、方差 (10) 2.2.3矩阵的转置 (11) 2.2.4矩阵的逆、行列式 (11) 2.2.5矩阵特征值的计算 (12) 2.2.6矩阵的相乘 (12) 2.2.7 矩阵右除和左除 (13) 2.2.8矩阵的幂运算 (14) 2.3多项式的基本计算 (15) 2.3.1多项式的加减乘除运算 (15) 2.3.2多项式的求导、求根、求值 (16) 2.3.3多项式的部分分式展开 (17) 2.3.4多项式的拟合 (18) 2.3.5多项式插值运算 (19) 3基于matlab的图像滤波设计 (20) 3.1读入图像并加入高斯噪声、椒盐噪声和乘性噪声，并比较结果 (20) 3.2设计巴特沃斯低通滤波器对图像进行低通滤波处理显示结果 (21) 3.3设计高斯高通滤波器对图像进行处理，显示结果 (23) 3.4采用维纳滤波和中值滤波对图像进行处理，显示结果 (25) 4心得体会 (27) 5参考文献 (28) 《数值线性代数课程设计》 专业：信息与计算科学 班级： 13405011 学号： 1340501123 姓名：邢耀光 实验日期： 2016.05.09 报告日期： 2015.05.13 实验地点：数理学院五楼机房 超定方程组的求解 邢耀光 （班级：13405011 学号1340501123） 摘要：在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。 形象的说，就是在无法完全满足给定条件的情况下，求一个最接近的解。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。 关键字：最小二乘问题，残量，超定方程组，正则化方程组，Cholesky 分解定理。 正文： 最小二乘法的背景： 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函 数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法经常运用在交通运输学中。 交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。 最小二乘问题： 最小二乘问题多产生于数据拟合问题。例如，假定给出m 个点1,...,m t t 和这m 个点上的实验或观测数据1,...,m y y ， 并假定给出在i t 上取值的n 个已知函数1(),...,()n t t ψψ。考虑i ψ 的线性组合 1122(;)()()...()n n f x t x t x t x t ψψψ=+++ ， （1） 我们希望在1,...,m t t 点上(;)f x t 能最佳的逼近1,...,m y y 这些数据。为此，若定义残量 1 ()()n i i j j i j r x y x t ψ==-∑ ， 1,...,i m = ， （2） 则问题成为：估计参数1,...,n x x ，使残量1,...,m r r 尽可能地小。（2）式可用矩阵-向量形式表示为 ()r x b Ax =- ， （3） 其中 1111()(),()()n m n m t t A t t ψψψψ?? ?= ? ??? 1,m y b y ?? ?= ? ??? 1(,...,),T n x x x = 1()((),...,()).T m r x r x r x = 当m n =时，我们可以要求()0r x =，则估计x 的问题就可以用第一章中讨论的方法解决。当m n >时，一般不可能使所有残量为零，但我们可要求残向量()r x 在某种范数意义下最小。最小二乘问题就是求x 使残向量()r x 在2范数意义下最小。 定义1：给定矩阵m n A R ?∈及向量m b R ∈，确定n x R ∈，使得数值线性代数课程设计高斯消去法
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