(A) 4,3,2,1,0,15
)(==x x
x p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==
x x p ； (D) 5,4,3,2,1,25
1
)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）
(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=- (C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D
4、设随机变量),(~2
σμN X ，则随着σ的增大，概率()
σμ<-X P （ ）。 (A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定
5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2
σμN X 的一个样本，X 与2
S 分别为样本均值与样
本方差，则下列结果错误．．
的是（ ）。 （A ）μ=X E ； （B ）2
σ=X
D ；（C ）())1(~122
2
--n S n χσ
； （D ）()
)(~22
1
2
n X
n
i i
χσμ∑=-。
三、（本题满分12分） 试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只有１个答案是正确的。任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选１个答案。设考生会解这道题的概率为０.８，求：（１）考生选出正确答案的概率？
（２）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率？
四、（本题满分12分）设随机变量X 的分布函数为??
???>≤≤<=1
1100
)(2
x x Ax
x x F ，试求常数A 及X 的概率密度函数)(x f 。
五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为x
e x
f -=2
1)(，)(+∞<<-∞x ，试求数学期望)(X E 和方差)(X D 。
六、（本题满分13分）设总体X 的密度函数为???
??<≥=-0
01)(22
x x xe
x f x
σσ ，其中0>σ 试求σ的矩估计量和极大似然估计量。
七、（本题满分12分）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
设测定值总体服从正态分布,但参数均未知，问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。（已知6041.4)4(995.0=t ）
八、（本题满分8分）设)X ,,X ,(X 1021 为来自总体)3.0,0(2
N 的一个样本，求
?
?????>∑=101244.1i i X P 。
（987.15)10(2
9.0=χ）
概率试统计模拟一解答
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、0.6；
2、
2719； 3、34； 4、21； 5、)10(2
n χ；6、
)1(22
1--n t n S α 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、Ｄ； 2、Ｃ； 3、Ｂ； 4、Ｃ； 5、Ｂ
三、（本题满分12分）解：设Ｂ－考生会解这道题，Ａ－考生解出正确答案 （１）由题意知：8.0)(=B P ，2.08.01)(=-=B P ，1)(=B A P ，25.04
1
)(==
B A P ， 所以85.0)()()()()(=+=B A P B P B A P B P A P , （２）941.0)
()()()(≈=
A P
B A P B P A B P
四、（本题满分12分）解：A A f F =?==+2
1)1()01(，而0
11)1lim()1()01(+→===+x f F ，
1=A
对)(x F 求导，得??
?≤≤=其它0
1
02)(x x x f
五、（本题满分10分）解：0)(=X E ；2=DX
六、（本题满分13分）矩估计：X dx e
x EX x ===
-
∞
+?
σσσ
σ
,1
2202
,
极大似然估计：似然函数()n x n
i x x x e x L n
i i 2121
2
1,∑
??? ??==-
σ
σσ,
()∑-∑+-===n
i i n
i i i x x n x L 12
12ln ln ,ln σ
σσ
()02,ln 12
2=∑+-=??=n i i i x n x L σ
σσσ， ∑==n i i x n 1221σ
七、（本题满分12分）解：欲检验假设 0100:,25.3:μμμμ≠==H H
因2
σ未知，故采用t 检验，取检验统计量n S
X t 0
μ-=
，今5=n ，252.3=x ，013.0=S ，
01.0=α，=--)1(2/1n t α6041.4)4(995.0=t ，拒绝域为
≥-=
n s
X t 0
μ=--)1(2/1n t α6041.4，因t 的观察值
6041.4344.05
/013.025.3252.3<=-=
t ，未落入拒绝域内，故在01.0=α下接受原假设。
八、（本题满分8分）因)3.0,0(~2
N X i ，故)10(~3.02
2
10
1χ∑=??
? ??i i X
{}
1.016)10(3.0/44.13.0/44.121012221012=>=?
??
???>=??????>∑∑==χP X P X P i i i i
概率统计模拟题二
本试卷中可能用到的分位数：
8595.1)8(95.0=t ，8331.1)9(95.0=t ，306.2)8(975.0=t ，2662.2)9(975.0=t 。
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、设事件B A ,互不相容，且,)(,)(q B P p A P ==则=)(B A P .
2、设随机变量X 的分布函数为：???
?
??
?
≥<≤<≤--<=2
1
216.0113.01
0)(x x x x x F
则随机变量X 的分布列为 。
3、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)2,1(N 和)1,0(N ，则
(1)P X Y +≤= 。
4、若随机变量X 服从[1,]b -上的均匀分布，且有切比雪夫不等式2
(1),3
P X ε-<≥
则 b = ,ε= 。
5、设总体X 服从正态分布)1,(μN ，),,,(21n X X X 为来自该总体的一个样本，则
∑=-n
i i
X
1
2)(μ服从 分布
二、选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、设()0,P AB =则有（ ）。
(A)A B 和互不相容 (B)A B 和相互独立；(C)()0P A =或()0P B =；(D)
()()P A B P A -=。
2、设离散型随机变量X 的分布律为：()(1,2),k
P X k b k λ===且0b >，则λ为
（ ）。 (A)
11b +； (B) 1
1
b -； (C) 1b +； (D) 大于零的任意实数。 3、设随机变量X 和Y 相互独立，方差分别为6和3，则)2(Y X D -=（ ）。 (A) 9；(B) 15； (C) 21；(D) 27。
4、对于给定的正数α，10<<α，
设αu ，)(2n αχ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2
n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α分位数，则下面结论中不正确．．．
的是（ ） （A ）αα--=1u u ； （B ）)()(2
2
1n n ααχχ-=-；（C ）)()(1n t n t αα--=； （D ）)
,(1),(122
11n n F n n F αα=
-
5、设),,,(21n X X X (3≥n )为来自总体X 的一简单随机样本，则下列估计量中不是．．总体期望μ的无偏估计量有（ ）。
(A)X ； (B)n X X X +++ 21； (C))46(1.021X X +?； (D)321X X X -+。 三、（本题满分12分）
假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：
（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
四、（本题满分12分） 设随机变量X
的分布密度函数为1()1x f x ?
0, x
试求： （1）常数A ； （2）X 落在11
(,)22
-内的概率； （3）X 的分布函数)(x F 。
五、（本题满分12分）
设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出了二维随机变量),(Y X 的联合分布律及关于X 和
Y 边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。
六、（本题满分10分）设一工厂生产某种设备，其寿命X (以年计)的概率密度函数为：
()???
???
?<≥=-0
00
414x x e x f x
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 七、（本题满分12分）
设),,,(21n X X X 为来自总体X 的一个样本，X 服从指数分布，其密度函数为
??
?<≥=-0,
00
,);(x x e x f x λλλ，其中0>λ为未知参数，试求λ的矩估计量和极大似然估计量。 八、（本题满分12分）
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。
模拟二参考答案及评分标准 [基本要求：①卷面整洁，写出解题过程，否则可视情况酌情减分；
②答案仅供参考，对于其它解法，应讨论并统一评分标准。] 一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、q p --1；
2、???
? ??-4.03.03.0211；3、21)0(=Φ；4、2,3==εb ；5、)(2
n χ
注：第4小题每对一空给2分。
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、D ；2、A ；3、D ；4、B ；5、B 三、（本题满分12分）解：设A={甲河流泛滥}，B={乙河流泛滥}……………………………1分 (1)
由题意，该地区遭受水灾可表示为B A ，于是所求概率为：
)()()()(AB P B P A P B A P -+= ……………………………2分
)/()()()(A B P A P B P A P ?-+=……………………………2分 27.03.01.02.01.0=?-+=…………………………………2分
(2))()()/(B P AB P B A P =
…1分 )
()
/()(B P A B P A P ?=………2分 15.02
.03
.01.0=?=
………………………………………………2分 四、（本题满分12分）解：(1)由规范性 dx x f ?
+∞
∞
-=)(1………………1分
dx x
A ?
--=
1
1
2
1……1分 πA x A =-=1
1
arcsin …1分 1=∴A ………………………………………………………1分
(2)dx x
X P ?--=<<-2121211
1}2121{π ……………………………………2分 31arcsin 1
2
121
=-
=
x
π
……………………………………2分
(3)00)(1==-
∞-x
dx x F x ，时 ……………………………………………1分 )2
(arcsin 1
11
1
)(111
2
π
π
π+
=
-=≤≤-?
-x dx x
x F x x
，
时………………1分
111
1
)(11
1
2
=-=>?
-dx x x F x π，
时………………………………………1分
??
???>≤≤-+-<=∴
1
111)
2(arcsin 11
)(x x x x x F X π
π
的分布函数为………………1分 五、（本题满分12分）
解： 241
81616181=-=?=+
a a …………………………………………………1分 43
411141=-=?=+e e ……………………………………………………1分
121
81241414181=--
=?=++b b a …………………………………………2分 2
1
4814181=?=??=f f ……………………………………………………2分
83
812181=-=?=+c f c …………………………………………………2分 3
1
412141=?=??=g g b ……………………………………………………2分
4
1
12131=-=?=+d g d b …………………………………………………2分
六、（本题满分10分）
解：设一台机器的净赢利为Y ，X 表示一台机器的寿命，……………………1分
??
?
??
≤≤<-=->=00102003001001100X X X Y ……………………………………………………3分
{}41
14
411P -∞
-=?e dx e X x ＋＝＞……………………………………………………2分
{}41104
14
110---==≤
()64.331200100414
1=???
? ??--=--
e e
E η………………………………………………2分 七、（本题满分12分） 解：(1)由题意可知 λ
λ1
);()(=
=?
+∞
∞
-dx x f X E …………………………………2分
令 11A m =，即X =λ
1
，…………………………………………………………2分
可得X 1=
λ，故λ的矩估计量为 X
1?=λ
………………………………………2分 （2） 总体X 的密度函数为???<≥=-0,
00
,);(x x e x f x λλλ……………………1分
∴ 似然函数 ??
???≥=∏=-其它
，00
,,)(211
n n
i x x x x e L i
λλλ，……………………………2分
当),2,1(0n i x i =≥时，取对数得 ∑=-=n
i i
x
n L 1
ln )(ln λ
λλ，…………………1分
令
01)(ln 1=-=∑=n i i x n d L d λλλ，得x
1
=λ………………………………………1分 ∴ λ的极大似然估计量为 X
1?=λ
………………………………………………1分
八、（本题满分12分）
解：由题意，要检验假设 18:;18:10≠=μμH H ……………………………2分 因为方差未知，所以选取统计量 n
S X T 0
μ-=
…………………………………2分
又 306.2)8(,5.12,21,9,18975.00=====t s x n μ……………………2分 得统计量T 的观测值为 55.23
5.1218
21≈-=
t ……………………………………2分
)8(975.0t t > ，即落入拒绝域内，……………………………………………2分
∴ 能以95%的概率推断该市犯罪的平均年龄不是18岁。……………………2分
2009-2010 学年第 一 学期末考试试题3（A 卷）概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
0.975(8) 2.3060t =，2622.2)9(975.0=t ,0.975 1.96u =，0.9 1.282u =
一、填空题（本题满分15分，每空3分） 1、设111
(),(|),(|)432
P A P B A P A B =
==，则)(B P = 。 2、设随机变量X ~)1,0(N ，)(x Φ为其分布函数，则)()(x x -Φ+Φ=__________。
3、设随机变量X ~)5(E (指数分布)，其概率密度函数为50
5,()0
0,x x e f x x ->?=?≤?,用切比雪
夫不等式估计{}
2P X EX -≥≤ 。
4、设总体X 在(1,1)μμ-+上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。
5、设随机变量X 的概率密度函数为 1,[0,1]32,
[3,6]()90,.
x x f x ?∈???∈=?
????
若若其他 若k 使得{}2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________。
二、单项选择题（本题满分15分，每题3分）
1、A 、B 、C 三个事件不都．．发生的正确表示法是（ ）。 （A ）ABC （B ）
ABC （C ）A B C ?? （D ）A B C ??
2、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）。
（A ）+∞<<∞+=x x x F －,11)(2
1 （B ）200()0
1x F x x
x x
≤??=?>?+?
（C ）-3()e ,-x F x x =∞<<+∞ （D ）431
()arctan ,-42F x x x π
=+∞<<+∞ 3、设1)(=X E ，()2D X =，则=+2
)2(X E （ ）。
（A ）11 （B ）9 （C ）10 （D ）1
4、设0121,,,X X X 是来自总体）
，90(~N X 的一部分样本，则210
22
1X 3X
X +服从（ ）。
（A ）)1,0(N （B ）)3(t （C ）)9(t （D ）)9,1(F
5、设总体X ～),(2
σμN ，其中2
σ已知，)(x Φ为)1,0(N 的分布函数，现进行n 次独立
实验得到样本均值为x ，对应于置信水平1-α的μ的置信区间为x x εε-+（，），则ε由（ ）
确定。 （A
）1/2αΦ=-??
（B
）1/2αΦ=-?? （C
）1αΦ=-?? （D
）αΦ=??
三、（本题满分12分）某地区有甲、乙两家同类企业，假设一年内甲向银行申请贷款的概率为0.3，乙申请贷款的概率为0.2，当甲申请贷款时，乙没有申请贷款的概率为0.1； 求：（1）在一年内甲和乙都申请贷款的概率？
（2）若在一年内乙没有申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率？ 四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为(1)01
()0
kx x x f x -<
常数0>k ，
试求：（1）k ；（2）?
?????<<-
2121
X P ；（3）分布函数()F x . 五、（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为
求：（1）()Y X ,的联合分布律； （2）Y X Z =
的分布律； （3）??
?
??Y X E . 六、（本题满分
12
分）设
()
Y X ,的联合概率密度为
()其他
1
0,100)1(,<<<
?
?-=y x y
x A y x f ,
（1） 求系数A ;
（2） 求X 的边缘概率密度()x f x ，Y 的边缘密度()y f y ； （3） 判断X 与Y 是否互相独立； （4） 求{}1P X Y +≤. 七、（本题满分12分）
正常人的脉搏平均72次/每分钟，现在测得10例酏剂中毒患者的脉搏，算得平均次数为67.4次，样本方差为2
5.929。已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中毒患者与正常人脉搏有无显著差异?（0.05α=）
八、（本题满分10分）1．已知事件A 与B 相互独立，求证A B 与也相互独立. 2. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1,,n X X 是X 的简单随机样本，已知样本方差2
S 是总体方差的无偏估计，试证：
()
22
1
S X +是λ的无偏估计. 2009-2010 学年第 一 学期期末考试试题答案及评分标准3（A 卷）概率论与数理统计 一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、
6
1
； 2、1；3、1001；4、X ；5、[]31，
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、 D ；2、B ；3、A ；4、C ；5、A
三、（本题满分12分）
解：A ={甲向银行申请贷款 } B ={乙向银行申请贷款} （1）()()(()(1()))P A P B A P P AB A P B A ==-
3
分
0.3(10.1)0.27=?-= 3
分 （2）
()(|)
(|)()
P A P B A P A B P B =
3分
380
= 3分
四、（本题满分12分）解 （1） 由?
??+∞
∞
-=-=-==
1
1
26/)()1()(1k dx x x k dx x kx dx x f .
得 6k =.
3分
（2）?=-=??????<<-21
021)1(6212
1
dx x x X P
3分
（3）()?
∞
-=
x
dt t f x F )( 2分, 当0≤x 时 =)(x F 0 1分
当10<)(x F 320
23)1(6x x dx x x x
-=-?
1分 当1≥x 时 =)(x F 1
1
分
23
0,0()32,011,1x F x x x x x ≤??=-<≤??>?
… 1分
五、（本题满分12分） （1）（X ，Y ）的联合分布为：
4分
（2） X
Z =
的分布律为：
4分 （3）?
?
?
??Y X E =1522 4分
六、（本题满分12分） 解：（1）由于
1),(=??
+∞∞-+∞
∞
-dydx y x f
2分
所以：21210011[][]122A x x y -
=,11
122
A ??=, A =4 1分 （2）当10<21
00
1()4(1)4(1)[
]2(1)2
x f x x ydy x y x =-=-=-?
所以：
??
?<<-=其他0
1
0)1(2)(x x x f X 2分
当10<21
00
1()4(1)4[]22
y f y x ydx y x x y =-=-
=?
所以：???<<=其他0
1
02)(y y x f Y
2分
（3）
所有的,(,)x y ∈-∞+∞，对于(),()()x y f x y f x f y =都成立
∴X 与Y 互相独立 2分 （4） {}1
1
14(1)x P X Y x dx
ydy -++≤=-?
?
2分
1210014(1)[]2x x y dx -+=-?1
3
14(1)2x dx =-?
223341012112[]2334x x x x x x =-
-++-11242
=?= 1分 七、（本题满分12分） 解：由题意得，),(~2
σμN X
H 0：720==μμ H 1：720=≠μμ 2分
)1(~/0
-μ-=
n t n
S X T
3分
0H 的拒绝域为{()}1/29W t t α-=>
3分
其中 929.5,4.67,10===S X n 代入 2622.2)9(453.210
/929.5724.67975.0=>=-=
t t
2分
所以，拒绝H 0 ，认为有显著差异。 2分
八、（本题满分10分）
1 、
A 与
B 相互独立 ()()()P AB P A P B ∴=）
1分
从而()
()P AB P A
B =1()P A B =-
1[()()()]P A P B P AB =-+-
2分
()
p AB ()()()()1P A P B P A P B =--+ ()()()]P A P B P A =-[1-()()()
1P A P B =- 因此：A 与B 相互独立 2分
2、X 服从参数为λ的泊松分布，则λλ==)(,)(X D X E
n
X D X E λ
λ=
=)(,)(
2分
λ=)(2
S E ，2
2)(λλ+=i X E ，故()
λ=??
?
?
??+221S X E ， 2
分
因此
()
22
1
S X +是
λ
的无偏估计.
1分
期末考试试题4
试卷中可能用到的分位数：0.975(25) 2.0595t =，0.975(24) 2.0639t =，0.975 1.960u =，
645.195.0=u
一、单项选择题（每题3分，共15分）
1、设()0.3P A =，()0.51P A B ?=，当A 与B 相互独立时，()P B =（ ）. A. 0.21 B. 0.3 C. 0.81 D. 0.7
2、下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）.
A. 11,01,()0,x F x ≤≤?=??其它
B. 21,
0,(),01,1, 1.x F x x x x -
=≤
C. 30,0,(),01,1, 1.x F x x x x
D. 40,0,(),01,2, 1.x F x x x x
=≤
3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则()E X =（ ）. A.
14 B. 1
2
C. 2
D. 4 4、设随机变量X 与Y 相互独立，且~(0,9)X N ，~(0,1)Y N . 令2Z X Y =-，则()D Z =（ ）.
A. 5
B. 7
C. 11
D. 13 5、设12,,,n X X X 是来自正态总体2
(0,)X
N σ的一个样本，则统计量
2
2
1
1
n
i
i X
σ
=∑服从
（ ）分布.
A. (0,1)N
B. 2
(1)χ C. 2
()n χ D. ()t n
二、填空题（每题3分，共15分）
1、若()0P A >，()0P B >，则当A 与B 互不相容时，A 与B .（填“独立”或“不独立”）
2、设随机变量2
~(1,3)X N ，则{24}P X -≤≤= .（附：(1)0.8413Φ=） 3、设随机变量(,)X Y 的分布律为：
则a b += .
4、设X 的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计{|()|5}P X E X -≥≤ .
5、某单位职工的医疗费服从2
(,)N μσ，现抽查了25天，测得样本均值170x = 元，样本方差2
2
30S =，则职工每天医疗费均值μ的置信水平为0.95的置信区间 为 .（保留到小数点后一位） 三、计算题（每小题10分，共60分）
1、设某工厂有,,A B C 三个车间，生产同一种螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%和40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，现从该厂产品中抽取一件，求：(1) 取到次品的概率；(2) 若取到的是次品，则它是A 车间生产的概率.
2、设连续型随机变量X 的分布函数为2e ,0,()0,0x A x F x x -?->=?≤?
.
试求：(1) A 的值；(2) {11}P X -<<；(3) 概率密度函数()f x . 3、设二维随机变量(,)X Y 的分布律为：
（1）求X 与Y 的边缘分布律； （2）求()E X ；
（3）求Z X Y =+的分布律.
4、设相互独立随机变量X 与Y 的概率密度函数分别为：
2,01,()0,x x f x <
?其它 2,01,
()0,
y y f y <
{0,1}24
P X Y <<
<<. 5、设总体X 的概率密度函数为：1,01,
()0
,x x f x θθ-?≤≤=??其它
其中，0>θ为未知参数. 12,,,n X X X 为来自总体X 的一个简单随机样本，求参数θ的矩
估计和极大似然估计.
6、已知某摩托车厂生产某种型号摩托车的寿命X （单位：万公里）服从2
(10,0.1)N ，在采用新材料后，估计其寿命方差没有改变. 现从一批新摩托车中随机抽取5辆，测得其平均寿命为10.1万公里，试在检验水平0.05α=下，检验这批摩托车的平均寿命μ是否仍为10万公里？
四、证明题（10分）设12,X X 是来自总体(,1)N μ(μ未知)的一个样本，试证明下面三个估
计量都是μ的无偏估计，并确定哪一个最有效
1122133X X μ∧
=+，2121344X X μ∧=+，31211
22X X μ∧=+.
X 学年第 一 学期末考试试题5 概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
3406.1)15(90.0=t ，3368.1)16(90.0=t ，7531.1)15(95.0=t ，7459.1)16(95.0=t
8413.0)1(=Φ ， 6915.0)5.0(=Φ ，5.0)0(=Φ
一、填空题 (每小题3分，本题共15分) 1、设,A B 为两个相互独立的事件, 且)()(,9
1
)(B A P B A P B A P ==
，
则=)(A P 。 2、设随机变量X 的分布函数为00()sin 0212
x F x x x x ππ??
?
=≤≤??
?
>??，则{||}6P X π<= 。
3、若随机变量),2(~p B X ，),3(~p B Y ，若9
5
}1{=
≥X P ，则=≥}1{Y P 。 4、设,,,n X X X ???12是n 个相互独立且同分布的随机变量，()i E X μ=，
()(,,,),i D X i n ==???812对于∑==n
i i X n X 1
1，根据切比雪夫不等式有
{4}P X μ-<≥ 。
5、设（12,X X ）为来自正态总体2
~(,)X N μσ的样本，若122CX X +为μ的一个无偏估
计, 则C = 。
二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
1、对于任意两个事件A 和B , 有()P A B -等于（ ） （A ）()()P A P B - （B ）()()P A P AB - （C ）()()()P A P B P AB -+ （D ）()()()P A P B P AB +-
2、下列)(x F 中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）。
(A)?????≥<≤<=11108
.00
5.0)(x x x e x F x (B)????
?
????
≥<≤--<=01
02sin 20)(x x x x x F ππ (C)???????≥<≤<≤<=21212.0103.000)(x x x x x F (D)????
???≥<≤<≤<=61
654.0501.000
)(x x x x x x F
3、设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,)k P X k b k λ===???，且b 0,>则λ为（ ）
（A ）大于零的任意实数 （B ）1b λ=+ （C ）11b λ=+ （D ）1
1
b λ=- 4、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则随机变量32Z X =-的数学期望为（ ）
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5、设随机变量X 与Y 相互独立，都服从正态分布)3,0(2
N ，
）（921,,,X X X 和),,,(921Y Y Y 是分别来自总体X 和Y 的样本，则29
22
2
1
921Y
Y Y X X X U +++++=
服从（ ）
(A) )8(~t U (B) )9,9(~F U (C))9(~t U (D) )8(~2
χU 三、（本题满分12分）某工厂有三部制螺钉的机器A 、B 、C ，它们的产品分别占全部产品的25%、35%、40%，并且它们的废品率分别是5%、4%、2%。今从全部产品中任取一个，试求：（1）抽出的是废品的概率；（2）已知抽出的是废品，问它是由A 制造的概率。 四、（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度函数为||
(),()x f x Ae x -=-∞<<+∞，求:
（1）常数A; （2）}10{<()201,01
,0x y x y f x y --≤≤≤≤?=?
?
其它，试求：（1）,X Y 的边缘概率密度函数(),()X Y f x f y ；（2）判断,X Y 是否相互独立,是否相关。
六、（本题满分10分）设随机变量X 服从正态分布)2,3(2
N ，试求: (1) }52{≤。 (3) 若X 与Y 相互独立，Y 服从正态分布(2,4)N ，求(321)D X Y -+。
七、（本题满分12分）设总体),10(~p B X , 其中10<
八、（本题满分12分） (1)从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）的均值
125.2=x ，标准差01713.02==s s 。假设钉子的长度),(~2σμN X ，求总体均值μ的
置信水平为90.0的置信区间。
(2)设),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，X 与Y 相互独立，而）（m X X X ,,,21 和),,,(21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的样本，若),(~b a N Y X -，求b a ,。
X 学年第一学期期末考试试题5答案及评分标准 概率论与数理统
计
一、填空题（本题满分15分，每小题3分） 1、
32；2、12； 3、2719；4、1
12n
-；5、-1
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分）
2、 B ；2、A ；
3、C ；
4、D ；
5、C 三、（本题满分12分）
解：设A 1={抽出的产品由A 制造}，A 2={抽出的产品由B 制造}，
A 3={抽出的产品由C 制造}, B={抽出的产品是废品} ········· 1分
由全概率公式：)()()(3
1
i i i A B P A P B P ∑== 4分
%%%%%=?+?+?255354402％ ().=
69
003452000
6分 由贝叶斯公式：)
()
()(11B P B A P B A P =
9分
)()()(11B P A B P A P ?=
%%?=255692000
().=25
036269 12分
四、（本题满分12分）解：（1） 由于
||()1x f x dx Ae dx +∞
+∞
--∞
-∞
==?
?
2分
即 0
21x A
e dx +∞
-=?
故 1
2
A =
3分 （2）1
01{01}2x
P x e dx -<<=? 5分 = 110.3162
e --≈ ··········· 6分
（3）||
1()2x
x F x e dx --∞=
?
当0x <时，11()22x x x
F x e dx e -∞==? ·················· 9分
当0x ≥时，00111()1222
x x x x
F x e dx e dx e ---∞=+=-?? ········· 12分
五、（本题满分12分） 解：（1）1
03(2)01()(,)2
0X x y dy x x f x f x y dy +∞
-∞
?--=-≤≤?
=
=???
??
其它 ······ 2分 1
03(2)01
()(,)2
0Y x y dx y y f y f x y dx +∞
-∞
?--=-≤≤?==???
??
其它 ········· 4分 （2）因为()()(,)X Y f x f y f x y ≠，所以X ，Y 不独立。 ············ 5分
1035
()()()212X E X xf x dx x x dx +∞
-∞==-=?
? ················ 7分 1035
()()()212Y E Y yf y dy y y dy +∞-∞==-=?? ·················
9分 11001
()(,)(2)6
E XY xyf x y dxdy dx xy x y dy +∞+∞-∞-∞==--=???? ······· 11分
因为2
15(,)()()()()0612
Cov X Y E XY E X E Y =-=-≠，所以X 与Y 相关。 ·· 12分
六、（本题满分10分）解： (1) )2,3(~2
N X
∴ }52{≤（2）由}{}{c X P c X P ≤=> 有}{c X P ≤=0.5=)2
3
(
-Φc ····················· 5分 302
3
=?=-∴
c c 7分 （3）(321)D X Y -+ =94DX DY + =52 10分
七、（本题满分12分）
解：（1）??10,1010
X
EX p X p
p ==?= ················ 5分 (2)i i i n
x x 10x 10
i 1
L(p)C
p (1p)-==
-∏ ······················ 7分
ln L(p)＝1
1
1
ln
ln (10)ln(1)i n
n
n
x n
i i i i i c
x p n x p ===++--∑∑∏ ·········· 9分
概率论与数理统计习题集及答案
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
《概率论与数理统计》实验报告答案
《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期
实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????-
概率论与数理统计知识点总结详细
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
《概率论与数理统计》在线作业
第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题
您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题
您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题
您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题
概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它
概率论与数理统计实验报告
概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》
实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数
a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。
概率论与数理统计必考大题解题索引
概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=
概率论与数理统计习题解答
第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；
（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B
（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==
概率论与数理统计实验报告
概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1>
plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果：
概率论与数理统计习题答案
习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,
概率论与数理统计试题与答案
概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<概率论与数理统计复习题--带答案
概率论与数理统计复习题--带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
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§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19
概率论与数理统计数学实验
概率论与数理统计数学实验 目录 实验一几个重要的概率分布的MATLAB实现 p2-3 实验二数据的统计描述和分析 p4-8 实验三参数估计 p9-11 实验四假设检验 p12-14 实验五方差分析 p15-17 实验六回归分析 p18-27
实验一 几个重要的概率分布的MATLAB 实现 实验目的 (1) 学习MATLAB 软件与概率有关的各种计算方法 (2) 会用MATLAB 软件生成几种常见分布的随机数 (3) 通过实验加深对概率密度，分布函数和分位数的理解 Matlab 统计工具箱中提供了约20种概率分布，对每一种分布提供了5种运算功能，下表给出了常见8种分布对应的Matlab 命令字符，表2给出了每一种运算功能所对应的Matlab 命令字符。当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令。 例1 求正态分布()2,1-N ，在x=1.2处的概率密度。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： normpdf(1.2,-1,2) 结果为： 0.1089 例2 求泊松分布()3P ，在k=5，6，7处的概率。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： poisspdf([5 6 7],3) 结果为： 0.1008 0.0504 0.0216 例3 设X 服从均匀分布()3,1U ，计算{}225P X .-<<。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： unifcdf(2.5,1,3)-unifcdf(-2,1,3) 结果为： 0.75000
例4 求概率995.0=α的正态分布()2,1N 的分位数αX 。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： norminv(0.995,1,2) 结果为： 6.1517 例5 求t 分布()10t 的期望和方差。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： [m,v]=tstat(10) m = 0 v = 1.2500 例6 生成一个2*3阶正态分布的随机矩阵。其中，第一行3个数分别服从均值为1，2，3；第二行3个数分别服从均值为4，5，6，且标准差均为0.1的正态分布。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： A=normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) A = 1.1189 2.0327 2.9813 3.9962 5.0175 6.0726 例7 生成一个2*3阶服从均匀分布()3,1U 的随机矩阵。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： B=unifrnd(1,3,2,3) B = 1.8205 1.1158 2.6263 2.7873 1.7057 1.0197 注：对于标准正态分布，可用命令randn(m,n);对于均匀分布()1,0U ,可用命令rand(m,n)。
概率论与数理统计考试试卷与答案
0506 一.填空题(每空题2分，共计60 分) 1、A、B 是两个随机事件，已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ，则p(A B) 0.6 , p(A -B) 0.1 ，P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25 。( 3)若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55 。 3、设随机变量X 服从B(2，0.5)的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分 布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ， 方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、 0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取 一件。 ( 1)抽到次品的概率为：0.12 。 2)若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 6、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 ， Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ，16 )。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1 ，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则：E(2X Y) - 4 ，D(2X Y) 6 。 8、设D(X) 25 ，D( Y) 1，Cov( X ,Y) 2，则D(X Y) 30 9、设X1, , X 26是总体N (8,16)的容量为26 的样本，X 为样本均值，S2为样本方 差。则：X~N(8 ，8/13 )，25S2 ~ 2(25)，X 8 ~ t(25)。 16 s/ 25 10、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之概率论与数理统计作业与解答
概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹?设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示? 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为 E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC; 或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ). (和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB) 2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率 ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率 A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝. C 6 (C 2 )6 32 C 8C 4(C 2)4 80 0.2238, P(B) 8 皆 0.5594, P(A) 8 /143 ★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品?现从中任取3件?求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99 ⑴冷 0.724.⑵虫产 0.2526. C 50 1960 C 50 392 5. 从1?9九个数字中?任取3个排成一个三位数?求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率? 4 (1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-, 9 ⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5, 9 或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝. 1 1 2 C m C M m C m m(2M - m -1) M (M -1) 6 — C 16 143 P(C)二 C 8 CJC 2 ) 30 0.2098. 143 C 16
概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案
. 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=
10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）
