考试时间120分钟班级姓名学号
题号一二 (1)二(2)二(3)二 (4)二 (5)三四五总分
成绩
成绩评卷人
一 .填空题（每题 3 分，共 24 分）
1．设 A 、 B 为随机事件，P (A)=0.5 ， P(B)=0.6 ，P(B A)=0.8.则 P(B U A) .
2.三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、 1/4、 1/3，此密码能被译出的概率是=.
3.设随机变量X :(,2)，Y e X，则 Y 的分布密度函数为.
4.设随机变量X :(,2 ) ，且二次方程 y 2 4 y X0 无实根的概率等于，则.
5.设D(X )16, D(Y)25，XY0.3 ，则 D(X Y) =.
6.掷硬币n次，正面出现次数的数学期望为.
7.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是 1两，标准差是两 .则 100个该型号螺丝钉重量不超过斤的概率近似为（答案用标准正态分布函数表示）.
8.设X1, X2,L X5是来自总体X :(0,1) 的简单随机样本，统计量
C(X1X2) / X32X 42X52 ~ t (n) ，则常数 C =,自由度n.
二计算题（共 50 分）
成绩评卷人
1.（ 10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽) ，从
袋中任取一只硬币，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率
是多少？
成绩评卷人
2.（ 10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概
率密度函数为
某顾客在窗口等待服务，若超过 10分钟，他就离开 .他一个月到银行 5 次 .以Y表示一个月内他未等到服
务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求P{Y 1} .
成绩评卷人 3.（ 10分）设二维随机变量( X , Y) 在边长为 a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：
(1)求随机变量 X ,Y 的边缘概率密度；
(2) 求条件概率密度 f X |Y (x | y) .
.
成绩评卷人
4.（ 10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从(160,202) 分布，随机的选
取四只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
成绩评卷人 5.（ 10分）某车间生产的圆盘其直径在区间( a, b) 服从均匀分布,试求圆盘面积的数学期望 .
成绩评卷人
三.（10分）设
X1, X 2,L X n是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为
其中,0 是未知参数，x1, x2 ,L , x n是一组样本值，求：
（ 1）
（ 2）
, ,
的矩法估计；
的极大似然估计 .
成绩
评卷人
四 .（ 8 分）假设 ?
是 的无偏估计，且有 D (
?
) 0 试证
?2
( ?
) 2 不是 2 的无偏估
计 .
成绩
评卷人
五（. 8 分）设 X 1, X 2 ,L
, X n 是来自总体 X~N(
1 ,
1
2
) 的一组样本， Y 1, Y 2 ,L , Y n
2
1
是来自总体 Y ~ N( 2,
2
2
) 的
一组样本，两组样本独立
.其样本方差分别为 S 12
, S 22
，且设
1, 2,
12 , 22
均为未知 .欲检验假设
2
2
2 2
事先给定 .试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点
H 0: 1
2，H 1:
1
2 ，显着性水平
由分位点给出） .
评分标准
一：填空题 :( 每小题 3 分 )
1. 0.7;
1/( 2 y).exp{
1/(2 2 ).[ln y ]2 } y 0
(2) 3/ 2 二：计算题
1. 解：记 A: 取得正品硬币； B ：投掷 r 次，每次都得到国徽；
取 { A, A} 作为样本空间的划分 . 2. 解：某一次在窗口等待时间超过
10 分钟的概率记为
P ，
注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为
e 2 .
所以 Y ~ B(5, e 2 ) ，即 3. 解：
a / 2 |x|
2
2
(1)
f X ( x) f ( x, y)dy
1/ a dy
a 2 (a / 2 | x |) | x | a / 2
a / 2 | x|
其它
由对称性
(2) 当 | y | a /
2 时，有
4. 解：记取出的四只电子管寿命分别为 X 1,X 2,X 3, X 4 ，所求概率为
P ，则
5. 解：记圆盘面积为 S ，圆盘直径为
R ，则 S
(1/ 4) R 2 ，
由随机变量函数的数学期望的计算方法有 三：解：
（ 1） 矩法估计量
E(X) ( ) X 令
2 )
(
)
2
2
A
E( X
2
解之得
,
的矩法估计量 :
（ 2） 极大似然估计
ln L
n
? min{ x 1 ,L x n }
>0, 故 ln L 是
的递增函数，故
由 ln L
0 得 ? x min{ x 1 ,L , x n } ，
所以极大似然估计量为
? min{
X 1 , X n } ， ?
X min{ X 1 ,L , X n }
L
四：证明：
由方差的计算公式有：
E( ?2
)
E[( ?)2
] D( ?
)
[E( ?
)]2 ，
再由 ?
是 的无偏估计可得：
易见当 D(
?
) 0时，
?2
( ?)2 不是
2
的无偏估计 .
五：构造检验统计量 F S 12
2
，
S 2
当 H 0为真时， F
S 12
~ F (n 1 1,n 2 1),
S 2
2
2
2
2
当
H 0不真而 H 1 为真时，由 F
S 1 S 1 / 1 . 1
，即一个 F (n 1
1,n 2 1)
的统计量乘以一个小于1
2
2
/ 2
2
S 2 S 2 2
2
的数， F
S 12
有偏小的趋势 .所以当 F
S 12
偏小时我们拒绝
H 0 而接受 H 1 ，拒绝域的形式
2
2
S 2 S 2
是 S 12
K .
: F
S 22
由H 0为真时 F
S 12 ~ F (n 1,n 1)确定常数 K ，得拒绝域为：
F S 12
F
(n
1,n 1).
S 22
1
2
S 22 1 1 2