一、填空题(每小题3分,共30分)
1、设,,A B C 为3个事件,则这三个事件中不多于两个发生可表示为 .
2、已知()0.8P A =,()0.6P B =,()0.7P A B =,则()
P AB = ? . 3、设随机变量X 的概率密度为
+∞<<∞-+=
x x
A
x f ，2
1)( 则=A 1/pi . 4、若离散型随机变量X 的分布律为
123113
4
k
X
x x x p a
则a = 5/12 .
5、设~(0,1),~(3,4),X N Y N 且,X Y 相互独立,32,Z X Y =-则()E Z = -6 ,()D Z = 25 .
6、若随机变量()~0,1X N ,则{}0P X ≥= 0.5 .
7、随机变量X 的概率密度为
()01212
0x
x f x x x ≤≤??
=-≤≤???
其它
则{}1.5P X ≤= 0.875 .
8、设X 与Y 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为
1,01
()0,X x f x ≤
?其它, ,0()0,0y Y e y f y y -?>=?≤?
则(,)X Y 的联合概率密度(,)f x y = . 9、设随机变量2
~(,),X N μσ2
S 是容量为n 的样本方差,则
2
2
(1)n S σ-服从自由度为 n-1 的
X^2 分布.
10、设总体()2~,0.04X N μ,根据来自X 的容量为16的样本,测得样本均值为x =10.05,则
μ的置信水平为0.95的置信区间为 (已知(1.96)0.975Φ=).
[解答]：1、ABC 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ++++++ 2、0.1 3、1π
4、
5
12
5、-6,25
6、0.5
7、0.875
8、,01,0
(,)0,y e x y f x y -?≤<>=??其它
9、21,n χ- 10、()10.0304,10.0696
二、(本题12分)两台机床加工同类型的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第
二台出现废品的概率为0.02,加工出来的零件放在一起,且各占一半.求 (1)从中任意取一件零件为合格品的概率;
(2)若取出的零件已知为废品,它是第二台机床加工的概率.
三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为
6(1)01()0,x x x f x -<
?，其它
求21Y X =+的概率密度。
[解答]
二、设(本题12分)两台机床加工同类型的零件,第一台出现废品的概率为0.03,
第二台出现废品的概率为0.02,加工出来的零件放在一起,且各占一半.求 (1)从中任意取一件零件为合格品的概率;
(2)若取出的零件已知为废品,它是第二台机床加工的概率.
解 设i A 表示取出的产品为第i 台机床生产(1,2i =),B 表示取出的零件为废品,则
由已知有
12121
()(),(|)0.03,(|)0.02
2P A P A P B A P B A ====
2分
(1)由全概率公式得
112211
()()(|)()(|)0.030.020.025
22P B P A P B A P A P B A =+=?+?= 5分
故任意取出的一件零件为合格品的概率为 ()1()0.975=-=P B P B 7分 (2)由贝叶斯公式得
2221
0.02
()()2()0.4
()0.025P A P B A P A B P B ?=== 12分
三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为
6(1)01
()0,x x x f x -<
?，其它
求21Y X =+的概率密度.
解 函数()21y g x x ==+在[0,1]的值域为[1,3]且()20g x '=>, 2分 其反函数
1()(1)2h y y =-,
1
()2h y '=
4分 于是随机变量Y 的概率密度为
[()](),13
()0,Y f h y h y y f y '?<<=?
?其他
8分
[]6()1()(),130
,h y h y h y y '?-<<=?
?
其他
2
3(43),13=40,y y y ?--+<
12分
四、(本题12分)设二维随机变量)(Y ,X 联合概率密度为
),(y x f =(23),0,00x y ce x y -+?>>?
?，其它
(1) 确定常数c .
(2) 求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ,并问X 与Y 是否独立,为什么? (3) 求)201(0≤<≤ (1)由密度函数的性质有 (23)0 (,)1 6x y c f x y dxdy ce dxdy +∞+∞ +∞ +∞ -+-∞ -∞ ===?? ? ? 故6c =. 3分 (2)如果0x ≤,则 ()(,)0 X f x f x y dy +∞ -∞ ==? ; 如果0x >,则 (23)20 ()(,)62x y x X f x f x y dy e dy e +∞ +∞ -+--∞ ===? ? 故X 的边缘密度数为 22,0 ()0,0x X e x f x x -?>=? ≤? 5分 如果0y ≤,则 ()(,)0 Y f y f x y dx +∞ -∞ ==? ; 如果0y >,则 (23)30 ()(,)63x y y Y f y f x y dx e dx e +∞ +∞ -+--∞ ===? ? 故X 的边缘密度数为 33,0 ()0,0y Y e y f y y -?>=? ≤? 7分 由于(,)()()X Y f x y f x f y =,故X 与Y 相互独立.. 9分 (3) 21 00(01,02)=(,)P X Y f x y dx dy ??<≤<≤?????? 21 (23)006x y e dx dy -+??=?????? 26(1)(1)e e --=-- 12分 五、(本题12分)设随机变量X 的分布律为 1012 0.20.50.20.1 k X p - 求: (1)()221E X -; (2)()221D X -. 解 (1) 22222()(1)0.200.510.220.10.8E X =-?+?+?+?= ....................... 3分 ()()22212120.810.6E X E X -=-=?-= ................................. 6分 (2) 44444()(1)0.200.510.220.12E X =-?+?+?+?= ......................... 9分 ()()22214D X D X -= (){ }2 42 4()??=-??E X E X 2 420.8??=-?? 5.44= ................................................... 12分 六、(本题12分)设随机变量X 的密度函数为 )(θ,x f =?? ?<<-其它0101x ,x θθ 其中0>θ为未知参数,n X ,...,X ,X 21是X 的简单随机样本,n x ,...,x ,x 21是X 的样本 观察值,求参数θ的极大似然估计值. 解 似然函数 1 11 ()(),(01) n n n i i i i i L f x x x θ θθ -====<<∏∏. 4分 取对数 1 ln ln (1)ln (01) n i i i L n x x θθ==+-<<∑ 6分 令1 ln ln 0n i i d L n x d θθ==+=∑ 得 1 ?ln θ==- ∑n i i n x 10分 所以θ的极大似然估计值为1 ?ln θ==- ∑n i i n x 12分 七、(本题10分)某厂生产的某种电子元件的寿命2~(,),X N μσ其中2 ,μσ都是未知 的参数,现在观测25个样本,得样本观察值 1,,, n x x 计算得22 1832,500x s ==. 试问该厂的这种电子元件的平均使用寿命在显著水平0.02α=下是否为 2000μ=(小时)? 附表:0.010.010.01(23) 2.4999,(24) 3.4922,(25) 2.4851t t t === 解 总体 () 2~,X N μσ,总体方差未知,检验总体期望值μ是否等于2000. (1) 提出待检假设 0010:2000;:2000.H H μμμμ==≠= 1分 (2) 选取统计量 X T = ,在0H 成立的条件下1)T ~t(n - 2分 (3) 对于给定的检验水平0.02α=,查表确定临界值 /20.01(1)(24) 3.4922 t n t α-==, 于是拒绝域为(, 3.4922)(3.4922,).W =-∞-+∞ 5分 (4) 根据样本观察值计算统计量t 的观察值:由已知1832,500x s ==,故 0 1.68x t = ==- 8分 (5)判断: 由于00.01(24)t t <,故接受H0,即这种电子元件的平均使用寿命为 2000小时. 10分 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ++++++ 2、0.1 3、1π 4、 5 12 5、-6,25 6、0.5 7、0.875 8、,01,0 (,)0,y e x y f x y -?≤<>=??其它 9、21,n χ- 10、()10.0304,10.0696 二、设(本题12分)两台机床加工同类型的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废 品的概率为0.02,加工出来的零件放在一起,且各占一半.求 (1)从中任意取一件零件为合格品的概率; (2)若取出的零件已知为废品,它是第二台机床加工的概率. 解 设i A 表示取出的产品为第i 台机床生产(1,2i =),B 表示取出的零件为废品,则由已知有 12121 ()(),(|)0.03,(|)0.022 P A P A P B A P B A ==== .................................. 2分 (1)由全概率公式得 112211 ()()(|)()(|)0.030.020.02522 P B P A P B A P A P B A =+=?+?= ................ 5分 故任意取出的一件零件为合格品的概率为 ()1()0.975=-=P B P B ................................................................ 7分 (2)由贝叶斯公式得 2221 0.02 ()()2()0.4()0.025 P A P B A P A B P B ?=== ............................................ 12分 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 6(1)01 ()0,x x x f x -< ? ，其它 求21Y X =+的概率密度. 解 函数()21y g x x ==+在[0,1]的值域为[1,3]且()20g x '=>, ............................ 2分 其反函数 1()(1)2h y y =-, 1 ()2 h y '= ........................................................... 4分 于是随机变量Y 的概率密度为 [()](),13 ()0,Y f h y h y y f y '?<<=?? 其他 .................................................... 8分 []6()1()(),13 0,h y h y h y y '?-<<=?? 其他 2 3(43),13 =40,y y y ?--+< 其他 .................................................. 12分 四、(本题12分)设二维随机变量)(Y ,X 联合概率密度为 ),(y x f =(23),0,0 0x y ce x y -+?>>? ?， 其它 (1) 确定常数c (2) 求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ,并问X 与Y 是否独立,为什么? (3) 求)201(0≤<≤ (23) 00 (,)16 x y c f x y dxdy ce dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞===???? 故6c =. ......................................................................................... 3分 (2)如果0x ≤,则 ()(,)0X f x f x y dy +∞-∞ ==? ; 如果0x >,则 (23)20 ()(,)62x y x X f x f x y dy e dy e +∞ +∞ -+--∞ ===? ? 故X 的边缘密度数为 22,0 ()0 ,0 x X e x f x x -?>=? ≤? .............................................................. 5分 如果0y ≤,则 ()(,)0Y f y f x y dx +∞-∞ ==?; 如果0y >,则 (23)30()(,)63x y y Y f y f x y dx e dx e +∞+∞ -+--∞ ===? ? 故X 的边缘密度数为 33,0 ()0 ,0y Y e y f y y -?>=?≤? .............................................................. 7分 由于(,)()()X Y f x y f x f y =,故X 与Y 相互独立.. ....................................... 9分 (3) 2 1 00(01,02)=(,)P X Y f x y dx dy ??<≤<≤???? ?? 21 (23)006x y e dx dy -+??=???? ?? 26(1)(1)e e --=-- ............................................... 12分 五、(本题12分)设随机变量X 的分布律为 10120.20.50.20.1k X p - 求: (1)()221E X -; (2)()221D X -. 解 (1) 22222()(1)0.200.510.220.10.8E X =-?+?+?+?= ................................ 3分 ()()22212120.810.6E X E X -=-=?-= ............................................ 6分 (2) 44444()(1)0.200.510.220.12E X =-?+?+?+?= .................................. 9分 ()()22214D X D X -= (){} 2 424()??=-??E X E X 2420.8??=-?? 5.44= ...................................................................... 12分 六、(本题12分)设随机变量X 的密度函数为 )(θ,x f =?? ?<<-其它0 1 01x ,x θθ 其中0>θ为未知参数,n X ,...,X ,X 21是X 的简单随机样本,n x ,...,x ,x 21是X 的样本观察值,求参数θ的极大似然估计值. 解 似然函数 1 11 ()(),(01)n n n i i i i i L f x x x θ θθ -====<<∏∏. ............................................. 4分 取对数 1ln ln (1)ln (01)n i i i L n x x θθ==+-<<∑ .............................................. 6分 令 1 ln ln 0n i i d L n x d θθ==+=∑得1 ?ln θ==-∑n i i n x ............................................... 10分 所以θ的极大似然估计值为1 ?ln θ ==-∑n i i n x .................................................... 12分 七、(本题10分)某厂生产的某种电子元件的寿命2~(,),X N μσ其中2,μσ都是未知的参数,现 在观测25个样本,得样本观察值1,,,n x x 计算得221832,500x s ==.试问该厂的这种电子元件的平均使用寿命在显著水平0.02α=下是否为2000μ=(小时)? 附表:0.010.010.01(23) 2.4999,(24) 3.4922,(25) 2.4851t t t === 解 总体()2~,X N μσ,总体方差未知,检验总体期望值μ是否等于2000. (1) 提出待检假设0010:2000;:2000.H H μμμμ==≠= .............................. 1分 (2) 选取统计量 X T = ,在0H 成立的条件下1)T ~t(n - .......................... 2分 (3) 对于给定的检验水平0.02=,查表确定临界值 /20.01(1)(24) 3.4922t n t α-==, 于是拒绝域为(, 3.4922)(3.4922,).W =-∞-+∞ ............................................. 5分 (4) 根据样本观察值计算统计量t 的观察值:由已知1832,500x s ==,故 0 1.68x t ===- ................................................ 8分 (5)判断: 由于00.01(24)t t <,故接受H 0,即这种电子元件的平均使用寿命为 2000小时. ...................................................................................... 10分 ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
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