2019届初中数学总复习微专题 构造母子型相似解决阿氏圆题型
何求2019.6.10
阿氏圆题型是这几年在中考中也是逐渐火热,出题频率越来越高,成为近几年中考填空、解答的压轴热点题型。阿氏圆题型,很多同学感觉困难,但是掌握了特点和方法,困难就能迎刃而解! 一、阿氏圆题型：
例、在Rt △ABC 中,∠AOB=90°,AO=3,BO=4，⊙O 的
半径为2，P 为⊙O 上一动点,则1
2
PA PB 的最小值为 .
二、阿氏圆题型特点：动点P 在圆 (圆弧)上运动且圆心O 到动点P 的距离OP 与圆心O 到定点B 的距离OB 的比值为定值k ,求PA+k ·PB (k ≠1)最小值的题型. 三、阿氏圆解题方法：
初中数学解决阿氏圆问题,要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。构造母子型三角形相似，结合两点之间线段最短进行求解就是解决阿氏圆题型的核心武器!
步骤如下：（口诀：找母作子定最值）
1.找母三角形：标出半径（圆心到动点的线段OP ）与定线段(圆心到定点的线段OB)及其夹角(∠BOP )的三角形；
2.作子三角形：利用标出两边的夹角,构造一条线段,使其长度与半径比为K,构造出子三角形,由于共角,那么母子三角形相似;
3. 得到去除系数k 的线段,结合两点之间线段最短进行求解.
例1、在Rt △AOB 中,∠AOB=90°,AO=3,BO=4，⊙O 的半径
O
B
P
为2，P 为⊙O 上一动点,则12
PA PB +的最小值为 . 基本思路：
构造母子型三角形相似，将(1/2)PB 转化成(PE/PB)=(1/2), 只需求PA+PE 最小，结合两点之间线段最短进行求解. 解：在OB 上截取OE=(1/2)OP,连接PE. ∵(OP/OB)=(OE/OP)=(1/2),∠POB=∠EOP ∴△POB ∽△EOP ∴PE=(1/2)PB=1 ∴PA+(1/2)PB=PA+PE
当点E 、P 、A 三点共线时，PA+PE 最小，
即PA+(1/2)PB 的最小值为√((1^2)+(3^2))=√(10)
练习1、已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2点P 是 圆B 上的个动点,求PD+?PC 的最小值 .
练习2、在正方形ABCD 中,G 为正方形内一点,AD=4,
P 为BC 中点,且BG=BP,则1
2
DG GC +的最小值是 .
例2、在平面直角坐标系中,A （2,0）,B(0，2),C （4,0）,D(3，2),P 是 △AOB 外部的第一象限内一动点,且∠BPA=135°,则2PD+PC 的最小值是 .
B A
P C
B
G
O
B
P E
练习3、如图,已知菱形ABCD 的边长为4,∠B=60°,点E 、F 分别是AB 、BC
EPF=150°，则12
PD PC +的最小值为 .
练习4、练习4、如图,菱形ABCD 的边长为2，∠ABC 为60°,⊙A 与BC 相切于 点E,在⊙A 上任取一点P,则PB+
2
3
PD 的最小值为 .
拓展题：
拓展1、如图,点A 、B 在⊙A 上，且OA=OB=12，OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点, 点D 在OB 上，OD=10，动点P 在⊙O 上,则12
PC PD +的最小值为 y x
C A
B
D
O
P
E
P
B
A
D
P
拓展2、如图,抛物线
()()0332
≠+++=a x a ax y 与x 轴交于点A(4,0),与y 轴交于点B.在x 轴上有一动点E(m,0)(0 126 5 C C =,求m 的值; (3)如图2.在(2)的条件下,将线段0E 绕点0逆时针旋转得到OF,旋转角为a (0° FA FB +的最小值. y x N M P A B O E y x F N M P A B O E 附：阿氏圆定理: （定理内容较为抽象，了解即可.） 一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m:n,则P点的轨迹,是以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.(这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.) 最值二 1、已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°BC=1,AC=2 2,点P是AC上的个动点, 则3BP+AP的最小值 . C P B 2、如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,延长BC至D使CD=BC, 连接AD. (1)求证:△ABD是等边三角形; (2)若E为线段CD的中点,且AD=4,点P为线段AC上一动点,连接EP,BP. ①求EP+0.5AP的最小值; ②求2BP+AP的最小值. P B 母子型相似三角形 【知识要点】 一、直角三角形相似 1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 基本图形(母子三角形）举例: 1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，C Ｄ为斜边AB 上的高． 结论:（1）△ＡCD ∽△C ＢD ，△BDＣ∽△BCA ，△CDA∽△BCA (2）△ACＤ∽△ＣBD 中，2 CD AD BD = △BＤＣ∽△ＢＣＡ中，2 BC BD AB = △CDA∽△BCA 中，2 AC AD AB = 2、条件:如图，已知∠ＡCD=∠ＡB Ｃ 结论:△AＣD ∽△ABC 中，2 AC AD AB = 【例题解析】 类型一:三角形中的母子型 【例1】1.如图，ΔABＣ中，∠A=∠ＤBC ，BC= ,SΔＢCD ∶SΔABC=2∶3,则ＣD ＝_＿____. D C B A 【练】如图，D 是 △ＡBC 的边ＡB 上一点,连结CD ．若AD ＝ ２,B Ｄ = 4, ∠ACD ＝∠B 求AC 的长. 【例2】如图,在△ABC 中，A Ｄ为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交ＡD 于E,交BC 的延长线 于Ｆ,求证： FC FB FD ?=2 A D C B A D C B 【练】已知C Ｄ是ABC ?的高,,DE CA DF CB ⊥⊥，如图３-１，求证：CEF CBA ??∽ 类型二：直角三角形中的母子型 【例１】．如图，在△AＢC 中，AD 、B Ｅ分别为B Ｃ、ＡC 边上的高,过Ｄ作AB 的垂线交A Ｂ 于F,交BE 于G,交AC 的延长于H ，求证：2 DF FG FH =? H G F E D C B A 【练】如图５,R ｔΔABＣ中,∠AC Ｂ=９０°,CD ⊥AB,AC ＝8，ＢC=6,则ＡＤ=____，CD ＝__＿___＿. 【例2】如图1,∠AD Ｃ＝∠ＡＣB ＝９０°,∠１=∠B,AC=5,AB=6,则ＡD=＿___＿_． A 【练】如图,CD 是 Rt △ＡBC 斜边上的高.若A Ｄ= 2，BD = 4, 求C Ｄ的长. 类型三:四边形中的母子型 【例1】1.如图,矩形ＡB ＣＤ中，B Ｈ⊥A Ｃ于H ，交ＣD 于G,求证:2 BC CG CD =?。 H A E A C B F 2.如图,菱形ＡB ＣD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交ＢD 于E,求证: 21 2AD DE DB = ?。 类型四：圆中的母子型 【例1】1.如图,△ABC 内接于⊙Ｏ,∠B ＡC 的平分线交B Ｃ于Ｄ,交⊙O 于Ｅ， 构造相似辅助线（1）——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长． 8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D 点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D. 10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。 6.答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限 过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴ ∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况，图象经过第二、四象限 过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴ 建筑构造(上册)知识 点总结 建筑构造（上册）知识点总结 第一章绪论 1、建筑的物质实体一般由承重结构、围护结构、饰面装饰及附属部件组合构成。 2、建筑的物质实体按其所处部位和功能的不同，又可分为基础、墙和柱、楼盖层和地坪层饰面装饰、楼梯和电梯、屋盖、门窗等。 3、建筑按使用功能分类：居住建筑、公共建筑。 4、构件的耐火极限，是指在标准耐火试验条件下，建筑构件、配件或结构从受到火的作用起，到失去稳定性、完整性或隔热性时止的这段时间。 5、构件的燃烧性能分为三类：不燃烧体、燃烧体、难燃烧体。 6、基本模数：1M=100mm。 7、导出模数：扩大模数、分模数。 扩大模数的基数：3、6、12、15、30、60M。 分模数的基数：M/10、M/5、M/2。 8、模数数列的幅度应符合下列规定： 水平基本模数的数列幅度为1-20M。 竖向基本模数的数列幅度为1-36M。 水平扩大模数的数列幅度为：3M为3-75M，6M为6-96M，12M为12-120M，15M为15-120M，30M为30-360M，60M为60-360M。 竖向扩大模数数列的幅度不受限制。 分模数数列的幅度：M/10数列为M/10-2M、M/5数列为M/5-4M、M/2数列为M/2-10M。 9、模数数列的适用范围： 水平基本模数数列：门窗洞口、构配件断面尺寸。 竖向基本模数数列：建筑物层高、门窗洞口、构配件。 水平扩大模数数列：建筑物的开间或柱距、进深或跨度、构配件尺寸和洞口尺寸。 竖向扩大模数数列：建筑物高度、层高、门窗洞口尺寸。 分模数数列：缝隙、构造节点、构配节点、构配件断面尺寸。 10、定位轴线：确定主要结构位置关系的线，如确定开间或柱距、进深或跨度的线。 11、标志尺寸：用以标注建筑定位轴线、定位线之间的距离 12、构造尺寸：建筑构件、建筑组合件、建筑制品的设计尺寸。标志尺寸扣除预留缝即为构造尺寸。 第二章墙体 1、块材墙中常用的块材有各种砖和砌块。 2、砖的强度等级按其抗压强度平均值分为：MU30、MU25、MU20、MU15、MU10、MU7.5。 3、常用的实心砖规格为240mm*115mm*53mm，加上砌筑时所需的灰缝尺寸，正好形成4:2:1的尺寸关系。 4、砌块是利用混凝土、工业废渣（炉渣、粉煤灰等）或地方材料制成的人造块材。 5、建筑砂浆通常使用的有水泥砂浆、石灰砂浆和混合砂浆三种。 相似三角形与圆综合 第一部分：例题分析 例1、已知:如图，ＢＣ为半圆Ｏ的直径,AD⊥ＢC,垂足为D，过点Ｂ作弦BF交ＡD于点Ｅ，交半圆O于点F，弦A Ｃ与BF交于点Ｈ,且AE=BE．求证：（1)错误!=错误!；(2）AＨ·BC＝2AB·BE. 例2、如图，PＡ为圆的切线,A为切点，ＰBＣ为割线,∠APC的平分线交AB于点D,交AＣ于点E，求证：(1)ＡＤ=A Ｅ；(2）ＡB·AE=AC·DＢ. 例３、ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点C在⊙O上,∠BAＣ＝６0°,Ｐ是OB上一点,过P作AB的垂线与ＡC的延长线交于点Q,连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D. (１)求证：△CDＱ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值. 例4、△ＡBＣ内接于圆O，∠BＡC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于Ｆ,连结ＢＤ，ＣＤ. 求证:(１)ＢＤ平分∠CBE;(2)ＡＢ·BF=AF·DC. 例３、⊙O内两弦AB，ＣD的延长线相交于圆外一点E,由Ｅ引AD的平行线与直线BC交于Ｆ,作切线FG，Ｇ为切点,求证：EＦ=FG. 第二部分:当堂练习 1.如图，AＢ是⊙O直径，ED⊥ＡB于D，交⊙O于G,ＥA交⊙O于C，CB交ED于Ｆ，求证：DG2=ＤE?DF 2.如图,弦EF⊥直径MN于H,弦MＣ延长线交EF的反向延长线于A,求证:MA?ＭC＝MB?ＭＤ D C B A O M N E H 3.如图,ＡB 、AC 分别是⊙Ｏ的直径和弦，点Ｄ为劣弧AC 上一点,弦E Ｄ分别交⊙Ｏ于点E ，交A Ｂ于点Ｈ,交AC 于点F ，过点Ｃ的切线交ＥD 的延长线于点Ｐ. （1)若PC ＝P Ｆ,求证：AB ⊥ED ； （2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD ２ =D Ｅ·DF ，为什么？ 4.如图(1)，AD 是△ABC 的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径,则有结论：AB · AC ＝AE · A Ｄ成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角,其它条件不变，如图(2），则上述结论是否仍然成立？ 5．如图,AD 是△A ＢＣ的角平分线，延长AD 交△A ＢC 的外接圆O 于点E ，过点C 、D 、E 三点的⊙O 1与AC 的延长线交于点F ，连结E Ｆ、DF ． (１)求证:△A ＥF ∽△F ＥD ; （2)若AD =8,DE ＝４，求EF 的长. ６．如图，ＰC 与⊙O 交于B ,点A 在⊙O 上，且∠PCA =∠B ＡＰ. (1）求证:P A 是⊙O 的切线. (2)△ＡＢP 和△CAP 相似吗?为什么？ (3）若ＰB :BC =2:3，且P Ｃ=20,求ＰA 的长. D C B A O E 7.已知：如图, AD 是⊙O 的弦，ＯB ⊥A Ｄ于点Ｅ，交⊙O 于点C ，ＯE =1,BE =8，A Ｅ:A Ｂ=1:３． (１）求证:ＡB 是⊙O 的切线; (2)点F 是A ＣD 上的一点,当∠AOF =2∠Ｂ时,求AF 的长． ８.如图,⊿AB Ｃ内接于⊙O ，且BC 是⊙O 的直径,AD ⊥B Ｃ于D ，Ｆ是弧ＢC 中点,且AF 交BC 于E ,A Ｂ=6,AC ＝8，求CD ,DE ，及EF 的长. 9． 已知：如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=,4AC =,43BC =，以AC 为直径的O 交AB 于点D ,点E 是BC 的中点,连结OD ，OB 、DE 交于点Ｆ． A C P E D H F O 相似三角形（2） 教学目标： 1．知识目标：能识别基本图形母子三角形并能熟练应用 2．能力目标：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用 3．情感目标： 教学重难点 重点：让学生能识别基本图形母子三角形并能熟练应用 难点：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用 【知识要点】 一、直角三角形相似 1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似 2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 基本图形（母子三角形）举例： 1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =g △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =g △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =g 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC 结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =g 【例题解析】 类型一：三角形中的母子型 【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠ DBC,BC=2,:BCD ABC S S V V =2∶3,则CD=______. 2.D 是 Rt △ABC 直角边BC 上的一点,且满足∠CAD =∠B,若AC= 2，BD = 3, 求CD 的长. D C B A A D C B A D C B 求AC的长. D C B A 【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FC FB FD? = 2 【练】已知CD是ABC ?的高，, DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ?? ∽ 类型二：直角三角形中的母子型 【例1】如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长于H，求证：2 DF FG FH =? H G F E D C B A 【练】如图,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过 点B作射线BB1∥AC．动点D 从点A 出发沿射线AC方向 以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E 从点C沿射线 AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥ AC交射线BB1于F，G是EF中点， 连接DG．设点D 运动的时间为t 秒． （1）当t 为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB 相似时，求t 的值． 点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运 动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P点到达B点时，Q 点随之停止运动．设运动 的时间为x． （1）当x 为何值时，PQ∥ BC？ （2）△APQ 与△CQB能否相似？若能，求出AP的长； 若不能说明理由． 2.如图，在△ ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m， 动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移 动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向 点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移 动．设移动的时间为t 秒． （1）① 当t=2.5s 时，求△ CPQ的面积； ② 求△ CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数 解析式； （2）在P，Q 移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形 时，求出t 的值． 5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿 AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q 同 时出发，用t（s）表示移动的时间（0< t <6）。 （1）当t 为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？（2） 当t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 3.如图1，在Rt△ ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB交边BC 于点E， EM⊥ BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD 时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD 为何值时，△BME与△CNE相似？ 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（2，1）， 正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个 正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB= ，AC=4， BC=2，以AB 为边在 C点的异侧作△ABD，使△ABD 为等腰直角三角形， 4.如图所示，在△ ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm ， 建筑材料与构造（串讲整理） （建筑构造部分） 一、 建筑防火的有关问题 1.结构材料的防火划分 （燃、难、非） 2.耐火极限的定义 （从受到火的作用起，到失掉支撑能力或发生穿透性裂缝、或背火一面温度高到220℃时所延续的时间）3.耐火等级的划分（多层、高层民用建筑） 多层：一二级，≤9层住宅&≤24m公建，150m，2500㎡； 三级，5层，100m，1200㎡； 四级，2层，60m，600㎡。 高层：一类，公建（医院，高级旅馆，h>50m&A>1000㎡商业、展览、综合楼、电信、财贸金融，h>50m&A>1500㎡商住楼，中央&省广播大楼，网局级和省级电力调度，省级邮政楼&防灾调度指挥楼，＞100万册图书馆&书库，>50m教学楼、普通旅馆、办公楼、科研楼、档案楼），≥19层住宅； 二类，10～18层住宅，除一类以外的公建。 4.如何确定一个建筑物的耐火等级 5.建筑构件、建筑配件的耐火极限（P94～98表21-7） 规律： 竖向构件强于水平构件；水平构件强于平面构件。（如一级防火，柱、墙为3.00h；梁为2.00h；楼板为1.50h） 与结构设计“强柱弱梁”、“强剪弱弯”的要求基本相同。 选用结构材料的规律： 1.能满足结构要求的，防火基本没问题（240墙耐火极限5.50h）； 2.重型材料优于轻型材料（120砖墙耐火极限2.50h；120轻质混凝土砌块墙耐火极限 1.50h）； 3.空心材料优于实心材料（120粘土空心砖墙耐火极限8.00h；120混凝土墙耐火极限2.50h） 4.非预应力构件优于预应力构件（非预应力圆孔板耐火极限0.9~1.5h；预应力圆孔板耐火 极限0.4~0.85h） 二、 基础与地下防水的有关问题 （一）基础的分类 1.天然地基(承载力>180KPa) 岩石、碎石土、砂土、粉土、粘性土 2.人工地基 人工填土（必须加固：压实换土、打桩） （二）基础的类型 1.无筋扩展基础（刚性基础）：必须满足刚性要求 A.灰土基础 B.砖基础 C.毛石基础 D.三合土基础 E.混凝土基础 F.毛石混凝土基础 2.柔性基础：不受刚性条件的限制 中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题附答案解析 一、相似 1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证： （1）∠OAE=∠OBE； （2）AE=BE+ OE． 【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点， ∴OB⊥AC， ∴∠AOB=90°， ∵∠AEB=90°， ∴A，B，E，O四点共圆， ∴∠OAE=∠OBE （2）证明：在AE上截取EF=BE， 则△EFB是等腰直角三角形， ∴，∠FBE=45°， ∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点， ∴∠ABO=45°， ∴∠ABF=∠OBE， ∵， ∴， ∴△ABF∽△BOE， ∴ = ， ∴AF= OE， ∵AE=AF+EF， ∴AE=BE+ OE． 【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。 （2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为，再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF= OE，由AE=AF+EF，可证得结论。 2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由； （4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形， 在中， 分别是的中点， 相似三角形解题方法、技巧、步骤 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ①；②；③. 三、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例三边对应 成比例，两三角形相似 找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例判定定理1或判定定理 4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BA AC AF AE = （判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 例1、 已知：如图，△ABC 中，∠ ACB=900 ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。 求证：CD 2 =DE ·DF 。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 六、过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． 1、 等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ． 分析： 2、 等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 例2：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于点F ． 求证：AB DF AC AF =． a)已知一对等b)己知两边对应成比 c)己知一个直d)有等腰关 （2）当 BE 5 圆与相似综合专题 1、 如图，在⊙O 中，弦 AB 、CD 相交于 AB 的中点 E ，连 A D 并延长至点 F ，使 DF=AD ，连 BC 、 BF 。（△1）求证： CDE ∽△AFB ； CB = 时，求 的值。 FB 8 AD E 2、平行四边形 ABCD 中，以 AB 为直径的⊙O 交 CD 于 M ，交 AD 于 E ，且 AM 平分∠BAD ，连接 BE 交 AM 于 F 。 （1）求证：DM=CM ； D M （2）若 AD=5，AM=8，求 MF 的长。 E C A O B 3、已知：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，AC 为⊙O 直径，AE ⊥BD 于 E ，CF ⊥BD 于 F 。 （1）求证：BF=DE ； （2）若 DE=2，AE=6，DF=12。求⊙O 的直径。 D E C F O A B 4、如图，AB 是半圆 O 的直径，E 是弧 BC 上的一点，OE 交弦 BC 于 点 D ，过点 C 作⊙O 的切线交 OE 的延长线于点 F ，连接 BF 。已知 CF 2=FD F ?FO，BC=8，DE=2。 C （1）求证：FB 是⊙O 的切线； E （2）连接 AF ，求 AD AF 。 A O D B B 5、如图，点 O 为 △R t ABC 斜边 AB 上的一点，点 D 是 AC 边 O H G N P C D A 上的一点，BD平分∠ABC，⊙O经过眯D，与BC交于点G。（1）求证：AC为⊙O的切线； （2）过点G作BD的垂线，交AC的延长线于眯P， 垂足为H，若⊙O的半径为5，CG∶PC=1：2，求AD的长。 6、如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的 平行线交AC于点E，交过点A的直线于眯D，且∠D=∠BAC。C （1）求证：AD是半圆O的切线； D （2）若BC=2，CE=2，求AD的长。E B O A 7、如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H。（1）求证：AH?AB=AC2； （2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O 相交于点F，求证：AE?AF=AC2； （3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，若AH=1，AB=4，请直接写出AP?AQ的值（不必写过程） C A H E O B 8、如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=1 2 F D ED，延长DB到点F， 使FB=1 2BD，连接AF。A C （△1）证明：BDE∽△FDA；E （2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明。 F B D O 9、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，BD平分∠ADC， BD与OC相交于E。 相似三角形解题思路赏析（3.29） 姓名_______ 评价 内容解读：人们在对两个物体或图形的形状和大小进行认识时，全等和相似的感知是伴生的．在数学上全等和相似是特殊与一般、共性与个性的关系，形状相同是二者的共性．全等形是相似比等于1时的相似形；同时我们应学会应用两个三角形相似的判定方法去解决问题。 例题讲解： 1、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 2、已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的 1 9 ？ （2）是否存在时刻t ，使以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △ 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 3、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ． （1）求证：ABF COE △∽△； （2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求 OF OE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出 OF OE 的值． 4、已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB = （如图1所示）． B A D E C O F 图2 B A C E D 图1 F 第1章 绪论 建筑物按使用功能分类 楼地面 楼梯，电梯，自动扶梯，门窗，遮阳，阳台 栏杆，隔断，花池，台阶，坡道，雨篷 1） 居住建筑：住宅、宿舍、公寓等。 2） 公共建筑：教育建筑、托幼建筑、医疗建筑、观演建筑、体育建筑、办公建筑、商业建筑 3） 工业建筑 4 ）农业建筑 建筑物主要组成部分 1） 基础 建筑底部与地基接触的承重构件。 作用：把建筑上部的荷载传给地基 。 必须坚固稳定可靠。 2） 墙或柱 ① 支承荷载及自重；② 分隔空间（墙体）；③ 围合与保护（墙体）。 1 ?承重：承受建筑物由屋顶或楼板层等水平构件传来的荷载，并将这些荷载传给基础； 2 ?围护：外墙起着抵御自然界各种因素对室内的侵袭的作用； 3 ?分隔：内墙起着分隔房间、创造室内舒适环境的作用。 设计要求：根据墙体功能的不同，分别具有足够的强度、稳定性、保温、隔热、隔声、防水、防火等能 力，并具有一定的耐 久性和经济性。 3） 楼盖层和地平层 楼板层和地坪（楼地层）是楼房建筑中水平方向的承重构件和分隔构件。 作用： 1 ?承重：承受楼板层本身自重及外加荷载（家具、设备、人体的荷载） ，并将这些荷载传给墙（或柱） 2 .分隔楼层：按房间层高将整栋建筑物沿水平方向分为若干层； 3 ?对墙身起着水平支撑的作用。 设计要求： 1. 具有足够的强度、刚度和隔声能力； 2 ?具有防潮、防水、防火能力。 地坪是建筑底层房间与下部土层相接触的部分，它承担着底层房间的地面荷载。由于地坪下面往往是夯实 的土壤，所以强度要求比楼板低。不同地坪，要求具有耐磨、防潮、防水和保温等不同的性能。 ① 提供使用者在建筑物中活动的各种平面； ② 将荷载传递到支承它们的垂直构件上去。 ③ 包括：楼板，梁，设备管道，顶棚 4） 饰面装修作用：美化建筑表面、保护结构构件、改善建筑物理性能。 应满足美观、坚固、热工、声学、光学、卫生等要求。 5） 楼梯电梯 建筑物上下楼层之间联系的交通枢纽。 作用： 1．供人们上下楼层的垂直交通联系和紧急疏散； 2．起着重要的装饰作用。 设计要求： 建 筑 构 造 组 成 附属部件组合构成 '外围护墙 围护结构 “ 内墙 饰面装修 “屋面 顶棚 f 承重结构 基础 承重墙体 内外墙面 中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及详细答案 一、相似 1．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ． （1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF?AD； （2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ． 【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90° ∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ; ②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°， ∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ， 由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ ∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP， (本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP) （2）证明：由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°， ∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90° ∴tan∠CPQ= , 由①得AP=CQ, 又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ= ， 由②得∠CBQ=∠CPQ， ∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= . 【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ，再由△ABP≌△CBQ可证得∠APF=∠ABP，从而证出△APF∽△ABP，由相似三角形的性质得证；（2）由△ABP≌△CBQ可得∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可 得tan∠CPQ=，由AP:PC=1:3，AP=CQ，可得tan∠CPQ=，再由∠CBQ=∠CPQ可求出答 学员学校：年级：初三课时数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课类型T-手拉手模型C-子母型相似 教学目标1. 掌握字母型相似基本性质和构建 2. 探索、拓展类习题练习 授课日期及时段 年月日—— 教学内容 知识结构 母子型相似三角形 【知识要点】 一、直角三角形相似 1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 基本图形（母子三角形）举例： 1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB = 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC 结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB = A D C B A D C B 【例1】1.如图,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______. 【练】如图，D 是△ABC的边AB上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC的长. D C B A 【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FC FB FD? = 2 【练】已知CD是ABC ?的高，, DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ?? ∽ 类型二：直角三角形中的母子型 【例1】.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE 于G，交AC的延长于H，求证：2 DF FG FH =? H G F E D C B A 【练】如图5,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______. 构造相似基本恩图形，为解题打开一扇智慧之门 相似三角形问题解答时，常遇到或构造一个重要解题基本图形，这个基本图形构成元件非常简单，但是这个图形的解题内涵非常丰富，能为很多问题的破解提供强有力的方法支撑.一起走进这个基本图形. 一、认识基本图形 如图1，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC上的点，且DE∥BC.则△ADE∽△ABC. 常见基本结论： 一“=”型比例式： AD:BD=AE:EC；AD:AB=AE:AC；AD:AE=BD:CE. 连“=”型比例式： AD:AB=AE:AC=DE:BC. 二、基本图形的解题应用 （一）.直接应用型 1.1探求被截线段的长度 例1 （2019年四川内江市）如图2，在△ABC中，DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2，则AC的长为（） A．6 B．7 C．8 D．9 解析：因为DE∥BC，所以=，即=，所以AE=6，所以AC=AE+EC=6+2=8． 所以选C． 点评：这是平行线分线段成比例定理的简易图形，是定理的一个重要缩影，更是解题的一个重要工具性图形，识记图形是基础，活用图形解题是根本，据图正确选择比例式是解题的关键. 1.2探求与截线平行线段的长度 例2 （2019年广西贺州市）如图3，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC等于（） A．5 B．6 C．7 D．8 解析： 因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以=，即=，解得：BC=6，所以选B． 点评：基本图形中，当求与截线平行的线段长时，要转换解题思路，把平行线分线段成比例定理转型为“A”字型的三角形相似问题解决，这种转化思想很重要． 1.3探求非比例线段，非平行线段的线段的长度 例3 （2019年广西贵港市）如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6，则线段CD的长为（） A．2B．3C．2D．5 解析：设AD=2x，BD=x，所以AB=3x，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以=，所以=，所以DE=4，=，因为∠ACD=∠B， ∠ADE=∠B，所以∠ADE=∠ACD，因为∠A=∠A，所以△ADE∽△ACD， 所以=，设AE=2y，AC=3y，所以=，所以AD=y， 所以=，所以CD=2，所以选：C． 点评：在“A”字型基本图形中解题，实现三个维度的目标：一是三角形相似，构造连等比例式；二是巧妙引进未知数表示未知线段，化抽象线段为具体表达线段，利于计算；三是依托基本图形为基础，提供新条件，为新三角形的相似奠基，为问题的最终解决搭桥． 1.4 甄别比例式 例4 （2019年浙江省杭州市）如图5，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M 为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（） A．=B．=C．=D．= 第1章 绪论 建筑物按使用功能分类 1）居住建筑：住宅、宿舍、公寓等。 2）公共建筑：教育建筑、托幼建筑、医疗建筑、观演建筑、体育建筑、办公建筑、商业建筑 3）工业建筑 4）农业建筑 建筑物主要组成部分 1）基础 建筑底部与地基接触的承重构件。 作用：把建筑上部的荷载传给地基。 建筑 构造 组成 基础 围护结构 饰面装修 附属部件组合构成 承重结构 承重墙体 楼梯，电梯，自动扶梯，门窗，遮阳，阳台 栏杆，隔断，花池，台阶，坡道，雨篷 内外墙面 楼地面 屋面 顶棚 内墙 外围护墙 必须坚固稳定可靠。 2）墙或柱①支承荷载及自重；②分隔空间（墙体）；③围合与保护（墙体）。 1．承重：承受建筑物由屋顶或楼板层等水平构件传来的荷载，并将这些荷载传给基础； 2．围护：外墙起着抵御自然界各种因素对室内的侵袭的作用； 3．分隔：内墙起着分隔房间、创造室内舒适环境的作用。 设计要求：根据墙体功能的不同，分别具有足够的强度、稳定性、保温、隔热、隔声、防水、防火等能力，并具有一定的耐久性和经济性。 3）楼盖层和地平层 楼板层和地坪（楼地层）是楼房建筑中水平方向的承重构件和分隔构件。 作用： 1．承重：承受楼板层本身自重及外加荷载（家具、设备、人体的荷载），并将这些荷载传给墙（或柱）； 2．分隔楼层：按房间层高将整栋建筑物沿水平方向分为若干层； 3．对墙身起着水平支撑的作用。 设计要求： 1．具有足够的强度、刚度和隔声能力； 2．具有防潮、防水、防火能力。 地坪是建筑底层房间与下部土层相接触的部分，它承担着底层房间的地面荷载。 由于地坪下面往往是夯实的土壤，所以强度要求比楼板低。不同地坪，要求具有耐磨、防潮、防水和保温等不同的性能。 ①提供使用者在建筑物中活动的各种平面； ②将荷载传递到支承它们的垂直构件上去。 ③包括：楼板，梁，设备管道，顶棚 圆与相似三角形专题训练 27、如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB 。【2005成都】 ⑴求证：DE 是⊙O 的切线；⑵若AB ＝6，AE ＝ 24 5 ，求BD 和BC 的长。 27、已知：如图，⊙O 与⊙A 相交于C 、D 两点，A 、O 分别是两圆的圆心，△ABC 内接于⊙O ，弦CD 交AB 于点G ，交⊙O 的直径AE 于点F ，连结BD 。【2006成都】 （1）求证：△ACG ∽△DBG ；（2）求证：2 AC AG AB =? ； （3）若⊙A 、⊙O 的直径分别为15，且CG ：CD ＝1：4，求AB 和BD 的长。 E O D G C A E F B P 27．如图,A 是以BC 为直径的O e 上一点,AD BC ⊥于点D ，过点B 作O e 的切线,与CA 的延长线相交于点 E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点 F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．【2007成都】 （1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是O e 的切线； （3）若FG BF =，且O e 的半径长为32，求BD 和FG 的长度． 27. 如图，已知⊙O 的半径为2，以⊙O 的弦AB 为直径作⊙M ，点C 是⊙O 优弧? AB 上的一个动点（不与点A 、点B 重合）.连结AC 、BC ，分别与⊙M 相交于点D 、点E ，连结DE.若AB=23.【2008成都】 (1)求∠C 的度数；（2）求DE 的长； （3）如果记tan ∠ABC=y ，AD DC =x （0 母子型相似三角形 （三）母子型 A B C D C A D 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别 交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证： FC FB FD ?=2． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB A C D E B 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE · DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积． A C B P D E （第25题图） G M F E H D C B A母子型相似三角形模型 典型
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