相似三角形之母子三角形
【知识要点】
一、直角三角形相似
1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：
1、条件：如图，已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高．（射影定理）
结论：（1）△ACD∽△CBD，△BDC∽△BCA，△CDA∽△BCA
（2）△ACD∽△CBD中，2 Array =
CD AD BD
△BDC∽△BCA中，2
=
BC BD AB
△CDA∽△BCA中，2
=
AC AD AB
2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC（母子）
结论：△ACD∽△ABC中，2
AC AD AB
=
【例题解析】
类型一：三角形中的母子型
【例1】1.如图,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.
【练】如图，D 是△ABC的边AB上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC的长.
D
C
B
A
【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FC
FB
FD?
=
2
【练】已知CD是ABC
?的高，,
DE CA DF CB
⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA
??
∽
类型二：直角三角形中的母子型
【例1】.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D 作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长于H，求证：2
DF FG FH
=?
H
G
F
E
D
C
B
A
【练】如图5,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.
【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.
A
类型三：四边形中的母子型
【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：
2BC CG CD =?。
H
A
C
2.如图，菱形ABCD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，求证：
21
2
AD DE DB =?。 E D
A
C
B
F
【练】如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H，求证：QH⊥DH．
类型四：圆中的母子型
【例1】1.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，
求证：2
EB DE AE
=?。
D
O
B C
E
2.如图，PA切⊙O于A，AB为⊙O的直径，M为PA的中点，连BM交⊙O于C，
求证：（1）2
AM MC MB
=?（2）∠MPC=∠MBP。
P
B
【练】1.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于D，弧AC=弧CE，AE交CD于F，求证：2
=?。
CE AF AE
A
B
2.如图，点A是⊙O上一点，以A为圆心的圆交⊙O于B、C两点，E 为⊙O上一点，AE与BC相交于点D，求证：2
=?
AB AD AE
E
3.如图11，点O是四边形AEBC外接圆的圆心，点O在AB上，点P 在BA的延长线上，且∠PEA＝∠ADE，CD⊥AB于点H，交⊙O于点D。（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若D
为劣弧
BE的中点，且AH＝16，BH＝9，求EG的长．
【家庭作业】
1、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DE AB
⊥交AB于E，且AD=，则DE= （）
A、 B、 C、 D、
2、如图1-1，在Rt ABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）条线段的长，就可以求其他线段的长.
A、1
B、2
C、3
D、4
3、在Rt ABC中，90
BAC
∠=，AD BC
⊥于点D，若
3
4
AC
AB
=，则
BD
CD
=（）
O
P H
G
E
D
B
A
A 、34
B 、43
C 、
169 D 、916
4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1
,3
DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则EDB ∠=（ ）
A 、22.5
B 、30
C 、45
D 、60
5、ABC ?中，90A ∠=，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ，22:AB AC = 。
6、如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=，CD AB ⊥， AC=6，AD=，则BC= ．
7、已知90CAB ∠=，AD CB ⊥，ACE ?，ABF ?是正三角形，求证：
DE DF ⊥
8、如图，AB
是⊙O 的直径，AC 是弦，点E 是弧CB 的中点，EF ⊥AC
于F.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接CE、AE、CO，AE交CO于N，若CE=6，AE=8，求AN
NE
的值.