相似三角形之母子三角形
【知识要点】
一、直角三角形相似
1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应
成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：
1、条件：如图，已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高．（射影定理）
结论：（1）△ACD∽△CBD，△BDC∽△BCA，△CDA∽△BCA
（2）△ACD∽△CBD中，CD2=AD g BD
△BDC∽△BCA中，BC2=BD g AB
△CDA∽△BCA中，AC2=AD g AB
2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC（母子）
A
C
A
D
D B
结论：△ACD∽△ABC中，AC2=AD g AB
【例题解析】
类型一：三角形中的母子型
B C 【例1】1.如图,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,
S
S
ΔBCD∶ΔABC=2∶3,则CD=______.
【练】如图，D是△ABC的边AB上一点,连结CD.若AD=2，BD=4,∠ACD=∠B求AC的
长.
C
A D B
【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长
线于F，求证：FD2=FB?FC
【练】已知CD是?ABC的高，DE⊥CA,DF⊥CB，如图3-1，求证：?CEF∽?CBA
类型二：直角三角形中的母子型
【例1】.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长于H，求证：DF2=FG FH
A
E
F G
B D C
H
【练】如图5,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.
【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
D
C
【练】如图，CD 是 Rt△ABC 斜边上的高.若 AD= 2，BD = 4, 求 CD 的长.
C
A
D B
类型三：四边形中的母子型
【例 1】1.如图，矩形 ABCD 中，BH⊥AC 于 H ，交 CD 于 G ，求证： BC 2 = CG CD 。
G
H
A
B
2.如图，菱形 ABCD 中，AF⊥BC 于 F ，AF 交 BD 于 E ，求证： AD 2 =
D
C
A
E F
1
2
DE DB 。
B
【练】如图，P 、Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB 、BC 上的点，且 BP=BQ ，BH⊥PC 于 H ，求证： QH⊥DH ．
类型四：圆中的母子型
【例 1】1.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交 BC 于 D ，交⊙O 于 E ， 求证： EB 2 = DE AE 。
D C
A
B
O
E
2.如图，PA 切⊙O 于 A ，AB 为⊙O 的直径，M 为 PA 的中点，连 BM 交⊙O 于 C ，
求证：（1） AM 2 = MC MB
（2）∠MPC=∠MBP 。
A
M
C
O
P
B
【练】1.如图，AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB 于 D ，弧 AC=弧 CE ，AE 交 CD 于 F ，求证：
CE 2 = AF AE 。
C
E
F
A
D O
B
2.如图，点 A 是⊙O 上一点，以 A 为圆心的圆交⊙O 于 B 、C 两点，E 为⊙O 上一点，AE 与 BC 相交于点 D ，求证： AB 2 = AD AE
B
O
D
A
C
E
3.如图 11，点 O 是四边形 AEBC 外接圆的圆心，点 O 在 AB 上，点 P 在 BA 的延长线上，且∠
PEA＝∠ADE，CD⊥AB于点H，交⊙O于点D。
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若D为劣弧BE的中点，且AH＝16，BH＝9，求EG的长．
D
E
G
P A O H B
C
图11
【家庭作业】
1、已知直角三角形V ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DE⊥AB交AB 于E，且AD=，则DE=（）
A、B、C、D、
2、如图1-1，在Rt V ABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）条线段的长，就可以求其他线段的长.
A、1
B、2
C、3
D、4
3、在Rt V ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于点D，若
AC3BD
=，则=（）
AB4CD 34169
A、B、C、D、
43916
1
4、如图1-2，在矩形ABCD中，DE⊥AC,∠ADE=∠CDE，则∠EDB=（）
3
A、22.5o
B、30o
C、45o
D、60o
5、?ABC中，∠A=90o，AD⊥BC于点D，AD=6，BD=12，则CD=，AC=，AB2:AC2=。
6、如图，在Rt?ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，
AC=6，AD=，则BC=．
7、已知∠CAB=90o，AD⊥CB，?ACE，?ABF是正三角形，求证：DE⊥DF
8、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E是弧CB的中点，EF⊥AC于F.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接CE、AE、CO，AE交CO于N，若CE=6，AE=8，求AN
NE的值.