成都外国语学校高2013级11月月考
数 学 试 卷
命题人： 杜仕彪 审题人：张玉忠
（试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120 分钟。）
第Ｉ卷 （选择题 共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。 一、选择题：（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.
已知{{}
,sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则=P Q （ ）C
A.?
B. {}0
C. {}1,0-
D. {- 2．设i 是虚数单位，复数
12ai
i
+-为纯虚数，则实数a 为 （ ）D A. 12- B. 2- C. 1
2
D.2
3．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形. （第3题图）
则该几何体的体积为( )B A ．16 B ．48 C ．60
D ．96
4. 若命题“2
,(1)10x R x a x ?∈+-+<使”是假命题，则实数a 的取值范围为（
A ．13a ≤≤
B ．11a -≤≤
C ．
33a -≤≤ D ．
13
a
-≤≤
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )A
A B C ．D ．0
6．函数)42(cos 2)
2
1()(1
≤≤-+=-x x x f x π的所有零点之和等于 （ ）C
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 7.如图是函数
在一个周期内的图像，M、N 分别
是最大值、最小值点，且，则A ? ω的值为( ) C
A.
B.
C.
D.
8．数列{}{},n n a b 满足*1
1111,2,n n n n
b a b a a n N b ++==-=
=∈，则数列{}
n a b 的前10项和为（D ） 第5题图
正视图
俯视
侧视图
A.
()94413- B. ()104413- C. ()91413- D. ()101
413
-
9．过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作4
22
2a y x =+的切线，切点为E ，
延长FE 交双曲线右支于点P ，若(2
1
OP +=
，则双曲线的离心率为（ ）A A ．
210 B ．5
10 C ．10 D ．2 10. 如右图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内
一点D ,若OC xOA yOB =+
，则（ C ）
A ．01x y <+<
B ．1x y +>
C ．1x y +<-
D ．10x y -<+<
11. (理科)．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3
张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ）C A ．232 B ．252 C ．472 D ．484 (文) 如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB
内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A A ．21π
- B ．112π- C ．
2
π D ．
1π
12. 12. 已知定义在R 上的函数)(x f
满足
且当
,则
等于（ ）B
A.
B.
C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13．已知圆C 的圆心是抛物线2
116
y x =
的焦点。
直线4x-3y-3=0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|=8，则圆C 的标准方程为 。22(4)25x y +-=
14．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==
，BC =
则球O 的表面积等于 ．4π
15.()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数，若()()0f x f x '-<，若2012
(0)a e
f = 、2011(1)b e f =、
1000(1012)c e f = ，则,,a b c 的大小关系是 a b c >>
16．在数列{}n a 中，如果对任意的*n ∈N ，都有
21
1n n n n
a a a a λ+++-=（λ为常数）
，则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题，其中所有真命题的序号是_________________．1,4
①若数列{}n F 满足11F =，21F =，12n n n F F F --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列； ②若数列{}n a 满足1(1)2n n a n -=-?，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差2λ=； ③等差数列是常数列是成为比等差数列的充分必要条件；
（文）④数列}{n a 满足：n n n a a a 22
1+=+，21=a ，则此数列的通项为1
-n 2
3
=n a ，且{}n a 不是比
等差数列；
(理）④数列｛a n ｝满足：a 1＝32
，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－，则此数列的通项为=n a n
n n 331
?－
且{}n a 不是比等差数列。
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6
A π
=
，(12c b =．
（1）求C ；
（2
）若1CB CA ?=
a ,
b ，
c ．
解：（1
）由(12c b = 得
1sin 2sin b B
c C
=+=
则有
55sin()
sin
cos cos sin 666sin sin C C C
C
C
π
ππ
π-
--=
=11cot 2222C +=+ 得cot 1C = 即4
C π
=
.
（2）
由1CB CA ?= 推出
cos 1ab C =+；而4
C π
=,
1ab =+ 则有
12(12sin sin ab c b a c
A C =+???
+=???=??
解得
12a b c ?=??=??=??
18.(理科)某射手每次射击击中目标的概率是
2
3
，且各次射击的结果互不影响。 （1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（2）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的期望。
（1）解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ~25,
3B ??
???
.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率40243
P =
（2）解：由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6
3
12311(0)()327
P P A A A ζ??
==== ???
123123123(1)()()()P P A A A P A A A P A A A ζ==++
=22
21121122
33333339
?????+??+?= ? ?????
1232124
(2)()33327
P P A A A ζ===??=
123123(3)()()P P A A A P A A A ζ==+=2
2
21118333327????
?+?= ? ?????
123(6)()P P A A A ζ===3
28327??
= ???
所以ξ的分布列是
86
27
E ξ=
18. （文）（本小题满分12分） 某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1
（1）求这5天的平均感染数；
（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为,x y 用(,)x y 的形式列出所有的基本事件, 其中(,)(,)x y y x 和视为同一事件,并求||9x y -≥的概率． 19. 解：（1）这5天的平均感染数为
2332242917
255
++++=； --------3分
（2）(,)x y 的取值情况有(23,32),(23,24),(23,29),(23,17),(32,24),(32,29),
(32,17),(24,29),(24,17),(29,17)基本事件总数为10。 --------8分
设满足||9x y -≥的事件为A 。
则事件A 包含的基本事件为(23,32),(32,16),(28,16)， --------10分 所以3()10P A =．故事件||9x y -≥的概率为3
10
． --------12分 19.如图
5，在椎体P ABCD -中
，ABCD 是边长为
1的菱形，且
060DAB ∠=
,PA PD ==2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点，
（1） 证明：AD DEF ⊥平面 （2）求二面角P AD B --的余弦值。
【解析】法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。
因PA=PD ，有P G A D ⊥，在ABD ?中，1,60AB AD DAB ==∠=?，有ABD ?为等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥?=，所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥
又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ?=，所以AD ⊥平面DEF 。
（2）,PG AD BG AD ⊥⊥ ，PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，
在222
7
,4
Rt PAG PG PA AG ?=-=
中
在2
Rt ABG ???中,BG=AB sin60=
222734
cos 2722
PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-
? 法二：（1）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥
又,60,AB AD DAB ABD =∠=??为等边三角形，因此，BG AD ⊥，从而AD ⊥平面PBG 。 延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ?平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ?= 所以PO ⊥平面ABCD 。
以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD 的直线为
y 轴，建立如图所示空间直角坐标系。
设1
1(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).22
P m G n A n D n -则
||||sin 60GB AB =?=
11(,0,0),((,0),(,,).22222422
n m B n C n E n F ∴+
+++
由于(0,1,0),(()2242
n m
AD DE FE ===+-
得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ?=?=⊥⊥?=
AD ∴⊥平面DEF 。
（2
）1(,,),()22
PA n m PB n m =--=+
-
22,1,2
m m n ====解之得
取平面ABD 的法向量1(0,0,1),n =-设平面PAD 的法向量2(,,)n a b c =
由220,0,0,0,2222b b PA n a c PD n a c ?=--=?=+-= 得由
取22
n =
12cos ,7n n -
∴<>=
=- 20． 设数列{}n a 的前n 项的和1913
3888
n n n S a +=
-?+，n N *∈ （1）求首项1a 与通项n a ；
(2)设32log (9)n
n n b a =+-，1tan tan ,n n n c b b +=?求数列{}n c 的前n 项和n T .
解：（I ）2111913
3888a S a ==
-?+，解得：16a =…………………………2分 由1119911338888
n n
n n n n n a S S a a +--=-=--?+? ，
得1139(3)n n n n a a --+=+ ， 即93n n
n a =-。………………………6分
（2）1tan tan tan(2)tan(3)n n n c b b n n +=?=+?+，1n ≥………………………8分 又tan(3)tan(2)
tan[(3)tan(2)]tan11tan(2)tan(3)
n n n n n n +-++-+=
=++?+
tan(3)tan(2)
tan(2)tan(3)1tan1
n n n n +-+∴+?+=
-………………………9分
所以数列{}n c 的前n 项和为
…………tan(12)tan(13)tan(22)tan(23)tan(2)tan(3)
tan(13)tan(12)tan(23)tan(22)tan(3)tan(2)
tan1tan1tan1
tan(2)tan 3tan1n T n n n n n n n
=+?+++?++++?++-++-++-+=
+++-+-=-……………
………12分
21.已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2
22:1x C y m
+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ?，12BF F ?的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
（Ⅰ）解：因为直线:l 202
m x my --=
经过2F ，
22m =,得2
2m =，
又因为1m >
，所以m =
l
的方程为10x -=。
（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。 由2
222
21
m x my x y m ?=+????+=??，消去x 得22
2104m y my ++-= 则由2
228(1)804
m m m ?=--=-+>，知28m
<，且有212121
,282
m m y y y y +=-=
- 。 由已知，点O 在以GH 为直径的圆内，0OG OH ?<
,即12120x x y y +<
而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++ 22
1(1()82m m =+-）所以21082
m -<
即2
4m <又因为1m >且0?>所以12m <<。所以m 的取值范围是(1,2)。 22．（本小题满分14分） 已知函数2()ln(1)f x ax x =++．
（1）当1
4
a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
（文）（Ⅲ）利用ln(1)x x +≤，求证：12482ln (1)(1)(1)[1]1233559(21)(21)n
n n
-??+++??+
（其中*n ∈N ，e 是自然对数的底数）．
（Ⅲ）求证：12482(1)(1)(1)[1]e 233559(21)(21)
n
n n
-+++??+
22．解析：（Ⅰ）当14a =-时，21
()ln(1)4
f x x x =-++（1x >-），
11(2)(1)
()212(1)
x x f x x x x +-'=-+=-
++（1x >-）， 由()0f x '>解得11x -<<，由()0f x '<解得1x >．
故函数()f x 的单调递增区间为(1,1)-，单调递减区间为(1,)+∞． ······ 4分 （Ⅱ）因当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，设2()ln(1)g x ax x x =++- （0x ≥），只需max ()0g x ≤即可． ········· 5分
由1()211g x ax x '=+
-+[2(21)]
1
x ax a x +-=
+， （ⅰ）当0a =时，()1
x
g x x -'=+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，故
()(0)0g x g ≤= 成立．
························· 6分 （ⅱ）当0a >时，由[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+，因[0,)x ∈+∞，所以1
12x a
=-，
①若1102a -<，
即12
a >时，在区间(0,)+∞上，()0g x '>，则函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，()g x 在[0,)+∞ 上无最大值（或：当x →+∞时，()g x →+∞），此时不满足条件；
②若1102a -≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(0,1)2a -上单调递减，在区间1(1,)2a
-+∞上单调
递增，同样()g x 在[0,)+∞上无最大值，不满足条件． ··········· 8分
（ⅲ）当0a <时，由[2(21)]
()1
x ax a g x x +-'=+，∵[0,)x ∈+∞，∴2(21)0ax a +-<，
∴()0g x '<，故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立．
综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞． ················ 10分 （Ⅲ）据（Ⅱ）知当0a =时，ln(1)x x +≤在[0,)+∞上恒成立 ······· 11分 又11211
2()(21)(21)2121
n n n
n n --=-++++， ∵12482ln{(1)(1)(1)[1]}233559(21)(21)
n n n -+++??+???++
12482ln(1)ln(1)ln(1)ln[1]233559(21)(21)
n
n n -=++++++++???++
12482233559(21)(21)n n n -<++++???++ 111111111
2[()()()()]2335592121n n -=-+-+-++-++ 11
2[()]1221
n =-<+，∴12482(1)(1)(1)[1]e 233559(21)(21)n n n -+
++??+