菲涅尔衍射常用计算方法的研究
菲涅尔衍射积分有多种计算方法，其中常用的三种计算方法有傅里叶变换算法、卷积算法和角谱衍射算法，本节在对菲涅尔衍射深入研究的基础上，对上述常用的三种计算方法进行了较为详细的研究和比较，得出了在相同条件下，从运算时间的角度来看，角谱衍射算法具有一定优势的结论[36]。
2.4.1 傅里叶变换算法（S-FFT 算法）
由式（3.1.11）知，菲涅尔衍射公式是一个傅里叶变换过程
()()()()()222200000exp j j ,exp y 2j ,exp 2kd k U x y x jd d k U x y x y d λ???
=
+????
?
????+??
?????
? （2.4.1）
式中，?表示傅里叶变换。这种算法只需要一次傅里叶变换便能完成衍射计算，称之为傅里叶变换算法，以下我们简称S-FFT 算法（single fast Fourier transform algorithm ）。如果对式（2.4.1）进行离散化处理，则
()()()()()()()()(
)
2
2
22000000000exp j j ,exp j 2j ,exp 2kd k U m x n y m x n y d d
k
U m x n y m x n y d λ?????=
?+?????
?
???????+???
?
????
?
（2.4.2）
式中，0x ?，0y ?是衍射面的抽样间隔，x ?，y ?是观察面的抽样间隔，0m ，0n ，
m ，n 分别为衍射面和抽样面的某抽样点数，且001,2,,m M =L ，001,2,,n N =L ，01,2,,m M =L ，01,2,,n N =L 。0M ，0N 和M ，N 分别为衍射面和观察面上的
总抽样点数。
在进行S-FFT 计算时，通常衍射面的尺寸、取样点数、衍射距离和光波波长都是已知的，只需要确定观察面尺寸。现在仅讨论沿x 轴方向的情况，其结果可直接扩展到y 轴方向。如果实际空间长度为0x L 米的空间取样且有x N 个抽样点，
由抽样定理得知，得到其最高空间频率为
max 2x
x N u L =
(2.4.3)
这些衍射光对应的空间频率方向为
max
max cos 1u X αλ
=
=
(2.4.4)
图2.4.1衍射屏最大尺寸示意图
由图2.4.1和式（）得
max sin(π/2)
u αλ
-=
=
（2.4.5）
由式（2.4.3）和式（）联立可得观察面的最大计算尺寸为
max x L =
（2.4.6）
因为是傍轴计算，式（2.4.5）还可以近似为
()
max max sin π/2/21.x L u d
αλ
λ-=
≈
（2.4.7） 同样的式（2.4.6）可以化简为
max 0
x x x N d L L λ=
（2.4.8）
这个结果表明：使用S-FFT 计算法，衍射观察面的尺寸不但是波长的函数，而且是取样点数和衍射距离的函数，当衍射距离d 很小时，如果保持取样数不变，则再现结果只对应观察面上临近光轴的很小区域。因此，该算法主要适用于衍射距离d 较大的情况。
0/x L
为了期望衍射计算结果满足奈奎斯特抽样定理，所以抽样间隔必须满足
20x
d
x N λ
?≤
（2.4.9）
2x
d
x N λ?≤
（2.4.10）
将式（2.4.10）代入式（）得
20x
d
x N λ?≥
（2.4.11）
式（2.4.9）和式（）是一对矛盾，只有当
0x
d
x x N λ?=?= （2.4.12）
才能完全满足奈奎斯特抽样定理。同理，y 轴方向采样间隔应满足
0y
d
y y N λ?=?= （2.4.13）
数值模拟计算时，取衍射面计算尺寸为005mm x y L L ==，抽样点数512512?，衍射图像为一“光”字，如下图2.4.1所示
图2.4.1衍射物
用一束波长632.8nm λ=的平行光照射，且衍射距离取80mm d =，则由式（3.2.8）观察面尺寸0
5mm x x x N d
L L λ=
= 05mm y y y N d L L λ==，则模拟计算得到衍射图像为
图2.4.2 衍射图
2.4.2 T-FFT 算法
由式（2.4.1）知，我们可以通过使用卷积的形式对菲涅尔衍射积分进行化简，由卷积定理得知，空域的卷积运算可以由傅里叶变换转化为空域的乘积来进行计算，具体计算步骤如下：
第一步，进行傅里叶变换，转换到频域进行计算，得到乘积结果
()(){}()22000j ,,exp 2k U U x y x y d ξη????
??=?+???????? （2.4.14）
第二步，将乘积结果逆傅里叶变换回到空域，完成衍射计算
()()
(){}-1exp j ,,j kd U x y U d
?ξηλ=
? （2.4.15） 式（2.4.14）和（）中，,ξη是频域坐标，-1
?表示逆傅里叶变换。整个运算过程采用了三次傅里叶变换，称为卷积算法，以下我们简称T-FFT 算法（triple fast Fourier transform algorithm ）。
在T-FFT 算法中，观察面的尺寸与衍射面的尺寸是相同的，主要是因为
()000,U x y 与()22j exp 2k x y d ??
+?
???
的频谱在里相乘，要求是相同频率的频谱成分相
乘，其最高频率也就必须相等，由于抽样数是一样的，当然要求对应的几何尺寸相等，即
00,x x y y L L L L == （2.4.16）
对于T-FFT 算法 ，仅考虑菲涅尔传递函数的傅里叶变换式的离散抽样，根
据奈奎斯特抽样定理得22
0,x
y
d
d
x
y N N λλ?≤?≤
。
数值模拟计算时，取与S-FFT 同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸5mm x y L L ==，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为
图2.4.3 衍射图
2.4.3 D-FFT 算法
经研究表明，
()()22exp j j exp j 2kd k x y d d ?λ??
??+???????
?可以直接通过计算得到 ()()222,exp j 12H kd λξηξη??????
=-+??????????
（2.4.17）
所以，菲涅尔衍射积分公式化简为
()()}{
()2-1
22000,exp j 12U x,y U x y kd λ??ξη??????????=-+????????????????
（2.4.18）
由于在计算过程中，需要进行一次傅里叶变换和一次逆傅里叶变换，被称为角谱重建算法，以下我们简称D-FFT 算法（Double fast Fourier transform algorithm ）。同样的，其观察面的尺寸需满足式（2.4.16）[33-36]。
数值模拟计算时，取与S-FFT 同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸5mm x y L L ==，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为
图2.4.4衍射图
菲涅尔衍射常用计算方法的研究 菲涅尔衍射积分有多种计算方法，其中常用的三种计算方法有傅里叶变换算法、卷积算法和角谱衍射算法，本节在对菲涅尔衍射深入研究的基础上，对上述常用的三种计算方法进行了较为详细的研究和比较，得出了在相同条件下，从运算时间的角度来看，角谱衍射算法具有一定优势的结论[36]。 2.4.1 傅里叶变换算法（S-FFT 算法） 由式（3.1.11）知，菲涅尔衍射公式是一个傅里叶变换过程 ()()()()()222200000exp j j ,exp y 2j ,exp 2kd k U x y x jd d k U x y x y d λ ??? = +?? ?? ? ????+?? ????? ? （2.4.1） 式中，?表示傅里叶变换。这种算法只需要一次傅里叶变换便能完成衍射计算，称之为傅里叶变换算法，以下我们简称S-FFT 算法（single fast Fourier transform algorithm ）。如果对式（2.4.1）进行离散化处理，则 ()()()()()()()() () 2 2 2 2 000000000exp j j ,exp j 2j ,exp 2kd k U m x n y m x n y d d k U m x n y m x n y d λ ?????= ?+?? ??? ? ???????+???? ???? ? （2.4.2） 式中，0x ?，0y ?是衍射面的抽样间隔，x ?，y ?是观察面的抽样间隔，0m ，0n ， m ，n 分别为衍射面和抽样面的某抽样点数，且001,2,,m M = ，001,2,,n N = ， 01,2,,m M = ，01,2,,n N = 。0M ，0N 和M ，N 分别为衍射面和观察面上的 总抽样点数。 在进行S-FFT 计算时，通常衍射面的尺寸、取样点数、衍射距离和光波波长都是已知的，只需要确定观察面尺寸。现在仅讨论沿x 轴方向的情况，其结果可直接扩展到y 轴方向。如果实际空间长度为0x L 米的空间取样且有x N 个抽样点，由抽样定理得知，得到其最高空间频率为
南京航空航天大学 高等光学期末报告 题目：基于Matlab的单缝菲涅尔衍射实验仿真 学院 专业 姓名 学号 2014 年12 月30 日
基于Matlab的菲涅尔衍射仿真 摘要 光学试验中衍射实验是非常重要的实验. 光的衍射是指光在传播过程中遇到障碍物时能够绕过障碍物的边缘前进的现象, 光的衍射现象为光的波动说提供了有力的证据. 衍射系统一般有光源、衍射屏和接受屏组成, 按照它们相互距离的大小可将衍射分为两大类, 一类是衍射屏与光源和接受屏的距离都是无穷远时的衍射, 称为夫琅禾费衍射, 一类是衍射屏与光源或接受屏的距离为有限远时的衍射称为菲涅尔衍射。 本文用Matlab软件主要针对单缝菲涅尔衍射现象建立了数学模型，对衍射光强分布进行了编程运算，对衍射实验进行了仿真。 关键字：Matlab；单缝菲涅尔衍射；仿真;光学实验 Abstract Optical diffraction experiment is a very important experiment. is the diffraction of light propagation of light in the obstacles encountered in the process to bypass the obstacles when the forward edge of the phenomenon of light diffraction phenomenon of the wave theory of light provides a strong Evidence. diffraction systems generally have light, diffraction screen and accept the screen composition, size according to their distance from each other diffraction can be divided into two categories, one is the diffraction screen and the light source and the receiving screen is infinity when the distance between the diffraction Known as Fraunhofer diffraction, one is diffraction screen and the light source or accept a limited away from the screen when the diffraction is called Fresnel diffraction. In this paper, Matlab software on a typical phenomenon of a mathematical model of single slit Fresnel diffraction, the diffraction intensity distribution of the programming operation, the diffraction experiment is simulated. Key word: matlab；single slit Fresnel diffraction; simulation; optical experiment
菲涅尔圆孔衍射光强测定的实验分析 xx （xx学院物理系 10级物理2班云南玉溪 653100） 指导教师：xx 摘要：本文主要分析了菲涅尔圆孔衍射图样的特点，设计实验对光强分布规律进行验证，通过对比证明理论值与实际值之间存在一定偏差。 关键词：菲涅尔圆孔衍射；光强 1.引言 “衍射”是生活中一种普遍的光学现象，但不常被人们发现和熟知。光的衍射现象是光的波动性的重要体现。姚启钧先生在第四版《光学教程》中指出，衍射是指光在传播过程中遇到障碍物，会绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象，这种现象我们就将其称为光的衍射[1]。衍射又可根据障碍物到光源和考察点到障碍物的距离的不同分为两种，障碍物到光源和考察点的距离都是有限的，或其中之一为有限，这就称为菲涅尔衍射，又称近场衍射，另一种是障碍物到光源和考察点的距离可以认为是无限远的，则称为夫琅禾费衍射，又称远场衍射[1]。 衍射实验大多集中在夫琅禾费衍射的研究，直到近些年对菲涅尔衍射光强测定的探究才日益多了起来。顾永建曾对菲涅尔圆孔衍射中心场点光强的表示方法和分布特点做出过研究，其分别从矢量图解法和积分法推导出菲涅尔圆孔衍射中心场点的光强的表示方法和分布特点[2]。侯秀梅，郭茂田，郭洪三人曾对菲涅尔圆孔衍射的轴上光强分布做出过研究，其从惠更斯——菲涅尔原理出发，在球面波入射的情况下，导出菲涅尔圆孔衍射时轴上光强分布的解析表达式，并对轴上光强分布进行定量分析讨论[3]。陈修斌也曾对平行光的菲涅尔圆孔衍射实验进行过探究，他通过实验观察到衍射图样的中心可亮可暗，并用“菲涅尔半周期带”原理加以分析，解释，通过分析总结出圆孔衍射图像的中心光强的变化规律[4]。范体贵，吕立君利用计算机对菲涅尔衍射问题进行了数值模拟，给出了接收屏上完整的衍射图样，计算结果
菲涅尔衍射Matlab仿真 ——《高等物理光学》实验报告 学院：物理学院 姓名：廖宝鑫 学号：20
目录 1.菲涅尔衍射衍射原理2 2.实验想法及步骤 (3) 实验思路 (3) 实验步骤 (3) 3.程序源代码： (3) 4.运行结果展示 (4) 5.结论 (6)
1. 菲涅尔衍射衍射原理 假设一个有限孔径，设孔径屏的直角坐标系为（x0,y0），并且观察平面与孔屏平行，两个平面间的间距为z ，观察平面的坐标系为（x,y ），这时，观察平面上的场可以表示为 ()( )()()0000000,,,,0exp{j2} x y x y U x y z df df dx dy U x y f x x f y y π∞ -∞ ∑ =???-+-????（1） 根据近轴近似条件 ()2221 12 x y f f λ≈-+ （2） 同时利用傅里叶变换关系先对,x y f f 进行积分，得到如下的菲涅尔公式 ()()()()()22 0000000exp jkz ,,,exp{j }U x y z dx dy U x y x x y y j z z πλλ∑??= ?-+-???（3） 令()()()()22 exp jkz ,exp{j }h x y x y j z z πλλ??= +? ? 则式（3）可以写为 ()()()()()0000000,,,,y ,,y U x y z U x y h x x y dx dy U x y h x ∑ =--=*? （4） 对（4）做傅里叶变换可以得到 ()()()0,,,,,x y x y x y A f f z A f f H f f z = （5） 式中：()(){} 00,,x y A f f FFT U x y = 对于单位振幅入射平面波()(){} 00,,x y A f f FFT t x y = ()(){},,x y H f f FFT h x y = 2.实验想法及步骤 实验思路 根据以上原理，传递函数() ,x y H f f 已知，只需要求得透射孔径的透过率函数()0,t x y ，然后对透过率函数进行傅里叶变换得，并与传递函数相乘得到() ,,x y A f f z ，最后做一个逆傅
3.菲涅尔衍射 (2)单缝 菲涅尔单缝衍射的相对光强分布公式为： 2 12212)]()([)]()([),(ββββ-+-=S C y x I ， 其中，菲涅尔积分为： dt t dt t C )21 sin()(S )21cos()(20 20παπαα α??==、， 此外),(/2),(/211y W z y W z +-=+-=μμλβλβ其中W η为缝的半宽度，z 为接收屏距离。 程序如下： clear lam=600e-9; %设置波长为600mm a=0.2e-3; %设置半缝宽为0.2mm z=1e-1; %设置接收屏距离为0.1m N=301; %将屏幕分成301块 ym=1e-3; y=linspace(-ym,ym,N); beta1=-(2/(lam*z))^0.5*(a+y); %求β1 beta2=(2/(lam*z))^0.5*(a-y); %求β 2 syms t ; cc=cos(0.5*pi*t^2); %C(α)表达式 ss=sin(0.5*pi*t^2); %S(α)表达式 for i=1:N %由于单缝，从屏幕底到上依次求光强 c2(i)=double(int(cc,t,0,beta2(i))); %C(β2)的值 c1(i)=double(int(cc,t,0,beta1(i))); %C(β1)的值 s2(i)=double(int(ss,t,0,beta2(i))); %C(β2)的值 s1(i)=double(int(ss,t,0,beta1(i))); %C(β1)的值 I(i)= ((c2(i)-c1(i)).^2+(s2(i)-s1(i)).^2); %B(i)所在条纹的光强 end N=255; subplot(1,2,1) image(y ，y ，0.25*N*I); %画出衍射图像 colormap(gray(N)); subplot(1,2,2) plot(I,y) %画出光强分布图 通过改变程序中的a ，可以改变半缝宽度。令a 分别等于0.2e-3和0.3e-3，运行程序，得到如下模拟结果：
1. 菲涅耳衍射实验的历史回顾 早在17世纪，意大利的格里马第（F. M. Grimaldi，1618-1663）就发现了光的衍射现象在点光源照明下，如果在狭窄的光束路径上放置一物体，那么在置于其后的屏幕上就不是轮廓分明的影子，其影子不但比较模糊而且沿着影子边缘还出现彩带。格里马第称这种现象为“衍射”。后来，英国科学家胡克（R. Hooke, 1635-1703）也观察到类似的现象，但他们都未能对衍射现象作出正确的解释。 菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel，1788-1827）法国物理学家。1788年5月10 日生于布罗利耶，1827年7月14日卒于阿夫赖城。先后毕业于巴黎工艺学院与巴黎桥梁与公路学校。一直在法国政府的一些部门当工程师。他在1823年当选为法国科学院院士，1825年为英国皇家学会会员。 菲涅耳的科学成就主要有两个方面。一是衍射，他以惠更斯原理和干涉原理为基础，用新的定量形式建立了以他们的姓氏命名的惠更斯-菲涅耳原理。以此加上其巧妙的半波带法，他简单而定量地预言和说明了光的直狭缝、圆孔、圆屏及直边等的衍射（亮度分布及变化）的现象，有力地击败了当时在法国权威界盛行的光的微粒说。他改进了杨氏双缝类的分波前干涉而设制出干涉效果好得多的双面镜与双棱镜干涉装置，还制出了有如透镜聚焦作用的半波带片。他的另一成就是在光的偏振方面：他与D .F. J.阿拉戈一起研究了偏振光的干涉，肯定了光是横波；他发现了圆和椭圆偏振光，用波动说解释了偏振光的左右旋和旋光现象；他用光的固体弹性波理论推导出介质表面上反射与折射光的在不同振向的振幅和强度的菲涅耳公式，从理论上得到分振幅干涉中出现的半波损失问题；解释了E.-L. 马吕斯的反射光偏振现象和双轴晶体中的双折射现象，从而建立了晶体光学的基础。菲涅耳是较早研究运动介质中光学问题的人，为此他对以太在运动媒介中的状态作了必要的提议；这在以太问题的讨论中曾产生过影响，他提出地球（或相对以太运动的介质）运动时部分地曳引其中的以太的观点，并给出了相应的曳引系数〔即相对以太的速度为v而折射率为n的介质中的光速。这点为后来A. H. L.菲佐的拖曳实验所证实，但却与以前和以后的一些别的有关以太的实验结果相矛盾，导致后来经典动体光学和电学中的种种困难，这些直到A.爱因斯坦的相对论出现之后才被解决。 最先对光的衍射现象作出正确解释的是菲涅耳。他1806年从巴黎工科学校毕业，后来又在巴黎桥梁与道路专科学校学习三年，毕业后从事道路修理工作，当了八年工程师，由于他在光学研究方面崭露头角，菲涅耳就专门从事科学研究，自1814年开始，研究光的干涉和衍射现象.当时他并不知道英国科学家托马斯·杨（Thomas Young，1773-1829）的工作，但与杨氏一样，他把这些现象看作是光的波动说的证据。 1817年法国科学院举办了一次科学竞赛，要求参加者用精确的实验来演示光的全部衍射效应，并建立相应的理论。菲涅耳决定参加这次竞赛，他写了一篇叙述自己研究工作的论文，并于次年交给科学院.菲涅耳做过一系列光的衍射实验，他更精细地演示了格里马第