菲涅尔衍射常用计算方法的研究
菲涅尔衍射积分有多种计算方法,其中常用的三种计算方法有傅里叶变换算法、卷积算法与角谱衍射算法,本节在对菲涅尔衍射深入研究的基础上,对上述常用的三种计算方法进行了较为详细的研究与比较,得出了在相同条件下,从运算时间的角度来瞧,角谱衍射算法具有一定优势的结论[36]。
2、4、1 傅里叶变换算法(S-FFT 算法)
由式(3、1、11)知,菲涅尔衍射公式就是一个傅里叶变换过程
()()()()()222200000exp j j ,exp y 2j ,exp 2kd k U x y x jd d k U x y x y d λ???
=
+????
?
????+??
?????
? (2、4、1)
式中,?表示傅里叶变换。这种算法只需要一次傅里叶变换便能完成衍射计算,称之为傅里叶变换算法,以下我们简称S-FFT 算法(single fast Fourier transform algorithm)。如果对式(2、4、1)进行离散化处理,则
()()()()()()()()
()
2
2
2
2
000000000exp j j ,exp j 2j ,exp 2kd k U m x n y m x n y d d
k
U m x n y m x n y d λ?????=
?+?????
?
???????+????
????
?
(2、4、2)
式中,0x ?,0y ?就是衍射面的抽样间隔,x ?,y ?就是观察面的抽样间隔,0m ,0n ,m ,n 分
别
为
衍
射
面
与
抽
样
面
的
某
抽
样
点
数
,且
001,2,,m M =L ,001,2,,n N =L ,01,2,,m M =L ,01,2,,n N =L 。0M ,0N 与M ,N 分
别为衍射面与观察面上的总抽样点数。
在进行S-FFT 计算时,通常衍射面的尺寸、取样点数、衍射距离与光波波长都就是已知的,只需要确定观察面尺寸。现在仅讨论沿x 轴方向的情况,其结果可直接扩展到y 轴方向。如果实际空间长度为0x L 米的空间取样且有x N 个抽样点,由抽样定理得知,得到其最高空间频率为
max 2x
x N u L =
(2、4、3)
这些衍射光对应的空间频率方向为
max
max cos 1u X αλ
=
=
(2、4、4)
图2、4、1衍射屏最大尺寸示意图
由图2、4、1与式(2、4、4)得
max sin(π/2)
u αλ
-=
=
(2、4、5)
由式(2、4、3)与式(2、4、5)联立可得观察面的最大计算尺寸为
max x L =
(2、4、6)
因为就是傍轴计算,式(2、4、5)还可以近似为
()
max max sin π/2/21.x L u d
αλ
λ-=
≈
(2、4、7) 同样的式(2、4、6)可以化简为
max 0
x x x N d L L λ=
(2、4、8)
这个结果表明:使用S-FFT 计算法,衍射观察面的尺寸不但就是波长的函数,而且就是取样点数与衍射距离的函数,当衍射距离d 很小时,如果保持取样数不变,则再现结果只对应观察面上临近光轴的很小区域。因此,该算法主要适用于衍射距离d 较大的情况。
为了期望衍射计算结果满足奈奎斯特抽样定理,所以抽样间隔必须满足
0/x L
20x
d
x N λ?
≤
(2、4、9)
2x
d
x N λ?≤
(2、4、10)
将式(2、4、10)代入式(2、4、8)得
20x
d
x N λ?≥
(2、4、11)
式(2、4、9)与式(2、4、11)就是一对矛盾,只有当
0x
d
x x N λ?=?= (2、4、12)
才能完全满足奈奎斯特抽样定理。同理,y 轴方向采样间隔应满足
0y
d
y y N λ?=?= (2、4、13)
数值模拟计算时,取衍射面计算尺寸为005mm x y L L ==,抽样点数512512?,衍射图像为一“光”字,如下图2、4、1所示
图2、4、1衍射物
用一束波长632.8nm λ=的平行光照射,且衍射距离取80mm d =,则由式(3、2、8)观察面尺寸0
5mm x x x N d
L L λ=
= 05mm y y
y N d L L λ==,则模拟计算得到衍射图像为