二次函数必考点题型总结
必考点1二次函数的概念
掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
例题1已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解析】②④是二次函数，共2个，故选：B．
【小结】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．
变式1下列各式中，一定是二次函数的有（）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=12?3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【解析】①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
?3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；
②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；③y=1
x2
④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，不是二次函数；
⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，含有两个自变量，不是二次函数；
⑦y＝m2x2+4x﹣3，含有两个自变量，不一定是二次函数．∴只有②④一定是二次函数．故选：B．
变式2若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝．
【解析】由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，
变式3函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它
为一次函数；当m时，它为二次函数．
【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．
【解析】m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，
故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；
故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2
必考点2一次函数与二次函数图象
判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判断一次函数及二次函数的系数关系．
例题2一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
【小结】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
变式4在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）
A．B．C．D．
【解析】A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y 轴负半轴的同一点，故B 错误；
C 、二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a ＞0，b ＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y 轴负半轴的同一点，故C 正确；
∵D 、二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a ＞0，b ＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y 轴负半轴的同一点，故D 错误；故选：C ． 变式5 已知a ，b 是非零实数，|a |＞|b |，在同一平面直角坐标系中，二次函数y 1＝ax 2+bx 与一次函数y 2＝ax +b 的大致图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】{y =ax 2+bx y =ax +b 解得{x =?b a y =0
或{x =1y =a +b ．故二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（?b a ，0）或点（1，a +b ）．
在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，?b a ＜0，a +b ＞0，故有可能； 在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象知，a ＞0，b ＜0，由|a |＞|b |，则a +b ＞0，有可能； 在C 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，a +b ＜0，故选项C 有可能； 在D 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＞0，二次函数图象知，a ＜0，b ＞0，由|a |＞|b |，则a +b ＜0，不可能； 故选：D ．
变式6 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ＝ax 2+（a +c ）x +c 与一次函数y ＝ax +c 的大致图象．正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．
【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而解答本题．
【解析】令ax 2+（a +c ）x +c ＝ax +c ，解得，x 1＝0，x 2=?c a ，
∴二次函数y ＝ax 2+（a +c ）x +c 与一次函数y ＝ax +c 的交点为（0，c ），（?c a ，0），
选项A中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，不符题意，
选项B中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，
选项C中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项C符合题意，
选项D中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax+c中a＞0，c＜0，不符题意，
故选：C．
必考点3二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
例题3已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
【解析】y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），对称轴是直线x=??2a
2a
=1，即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），
∵2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故选：A．
变式7已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（√3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【解析】抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（√3，y3）四点，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=?3+1
2
=?1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|√3+1|∴y3＞y2＞y1，故选：D．
变式8若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D （√2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解析】∵二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象过点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1），
∴抛物线的对称轴直线x满足5＜2x+1＜6，即2＜x＜2.5，抛物线的开口向上，∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，
∵D（√2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y2＜y1＜y3，故选：D．
变式9已知抛物线y=m
2x
2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x
0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则
y0与y1的大小关系为（）
A．y0＜y1B．y0＝y1C．y0＞y1D．不能确定
【解析】∵抛物线y=m
2x
2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=??m
2×m2
=1，
∵x0＜1＜x1，∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，
若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0+x1＝2，不合题意；
若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0+x1＜2，不合题意；
若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0+x1＞2，符合题意；故选：A．
必考点4二次函数图象与几何变换
解决二次函数图象与几何变换类型题，需要掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
例题4抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3是由抛物线y＝﹣x2经过怎样的平移得到的（）
A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【解析】原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（1，﹣3），
∴是抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，向下平移3个单位得到，故选：C．
变式10将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5
【解析】∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．故选：D．
【小结】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．
变式11已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（）
A．1，3B．3，﹣4C．1，﹣3D．3，﹣3
【解析】∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），则向左平移h个单位，再向下平移k个单位后的坐标为：（﹣2﹣h，﹣1﹣k），∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+2+h）2﹣k﹣1．
又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．∴2+h＝3，﹣k﹣1＝﹣4，∴h＝1，k＝3，故选：A．
变式12将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35
C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+3
【解析】y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．故选：A．
必考点5二次函数图象与系数关系
二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
例题5在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（）
①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=?b
2a
=?1，∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴当x＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b）（m为实数），所以④错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以⑤正确．故选：D．
变式13二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；
③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=?b
2a
=1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③错误；∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=?b
a，又∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤共4个．故选：C．
变式14抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为个．
【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x=?b
2a
=?1，∴b＝2a，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．综上所述，共有3个正确结论，
变式15函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．正确的是（填序号）
【分析】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c ＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解析】∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；
当x＝1时，y＝1+b+c＝1，故②错误；又∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．
故答案为③④．
【小结】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
必考点6 二次函数与一元二次方程的关系
例题6 已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c +32
=0的根的情况是（ ）
A ．无实数根
B ．有两个相等实数根
C ．有两个异号实数根
D ．有两个同号不等实数根 【解析】函数y ＝ax 2+bx +c 向上平移32个单位得到y ′＝ax 2+bx +c +32，
而y ′顶点的纵坐标为﹣2+32=?12，故y ′＝ax 2+bx +c +32
与x 轴有两个交点，且两个交点在x 轴的右侧， 故ax 2+bx +c +32=0有两个同号不相等的实数根，故选：D ．
变式16 已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x 的方程ax 2+bx +c +m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x 的方程ax 2+bx +c +n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A ．﹣2或0
B ．﹣4或2
C ．﹣5或3
D ．﹣6或4 【解析】∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，
∴当y ＝0时，0＝ax 2+bx +c 的两个根为﹣3和1，函数y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝﹣1，
又∵关于x 的方程ax 2+bx +c +m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax 2+bx +c +m ＝0（m ＞0）的另一个根为﹣5，函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向下，
∵关于x 的方程ax 2+bx +c +n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2，故选：B ． 变式17 已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（x 1，0）与（x 2，0），其中x 1＜x 2，方程ax 2+bx +c ﹣a ＝0的两根为m 、n （m ＜n ），则下列判断正确的是（ ）
A ．m ＜n ＜x 1＜x 2
B ．m ＜x 1＜x 2＜n
C ．x 1+x 2＞m +n
D ．b 2﹣4ac ≥0
【解析】当a ＞0，∵方程ax 2+bx +c ﹣a ＝0的两根为m 、n ，
∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝a 的交点在x 轴上方，它们的横坐标分别为m 、n ，∴m ＜x 1＜x 2＜n ； 当a ＜0，∵方程ax 2+bx +c ﹣a ＝0的两根为m 、n ，
∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝a 的交点在x 轴下方，它们的横坐标分别为m 、n ，∴m ＜x 1＜x 2＜n ． 故选：B ．
变式18对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）
A．0＜x1
x3＜1B．
x1
x3
＞1C．0＜
x2
x4＜1D．
x2
x4
＞1
【解析】由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x 的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x=?
?10
2×(?1)
=?5，∴x3＜x1＜﹣5，由图象可知：0＜x1x
3
＜1一定成立，故选：A．
必考点7二次函数与解不等式
二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
例题7数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比
如，求不等式x﹣1＞2
x的解集，可以先构造两个函数y1＝x﹣1和y2=
2
x，再在同一平面直角坐标系中画出这
两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）两点，
当﹣1＜x＜0或x＞2时，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1＞2
x的解集为﹣1＜x＜0或x＞2．
根据上述说明，解答下列问题：
（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先构造出函数y1＝x2+3x和函数y2＝；
（2）图2中已作出了函数y1＝x2+3x的图象，请在其中作出函数y2的图象；
（3）观察所作函数的图象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．
【分析】（1）由题干材料中的方法可得答案；
（2）根据y2＝x+3过点（﹣3，0）和（1，4），利用两点确定一条直线画出函数的图象即可；
（3）根据（2）中图象即可得出答案．
【解析】（1）根据题意可得y2＝x+3；（2）作出函数y2的图象如下：
（3）∵由图可知：函数y1和y2的图象交于（1，4）和（﹣3，0）两点，当x＜﹣3或x＞1时，y1＞y2，∴不等式x2+3x＞x+3的解集为x＜﹣3或x＞1．
【小结】本题考查了一次函数、二次函数与不等式，数形结合并明确函数与不等式的关系是解题的关键
变式19二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）和一次函数y＝kx+m（k，m为常数，且k≠0）
的图象如图所示，交于点M（?3
2，2）、N（2，﹣2），则关于x的不等式ax
2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是．
【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】当?3
2＜x＜2时，ax
2+bx+c＜kx+m，
所以不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＜0的解集为?3
2＜x＜2．
【小结】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观
求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
变式20如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B 在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是．
【解析】抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），
∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，
变式21【变式7-3】（2020秋?张家港市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为．
【解析】∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴ax2+bx+c＜x，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0．
∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故答案为1＜x＜3．
必考点8构建二次函数解决最值问题
例题8如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．
【解析】设P（x，x2﹣x﹣4），
四边形OAPB周长＝2P A+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
当x ＝1时，四边形OAPB 周长有最大值，最大值为10．
变式22 如图，抛物线y ＝x 2+5x +4与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接AC ，点P 在线段AC 上，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，则线段PQ 长的最大值为 ．
【解析】当y ＝0时，x 2+5x +4＝0，解得x 1＝﹣4，x 2＝﹣1，则A （﹣4，0），B （﹣1，0），
当x ＝0时，y ＝x 2+5x +4＝4，则C （0，4），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，
把A （﹣4，0），C （0，4）代入得{?4k +b =0b =4，解得{k =1b =4
，∴直线AC 的解析式为y ＝x +4， 设P （t ，t +4）（﹣4≤t ≤0），则Q （t ，t 2+5t +4），∴PQ ＝t +4﹣（t 2+5t +4）＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4， ∴当t ＝﹣2时，PQ 有最大值，最大值为4．故答案为4．
变式23 如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （2，0），与y 轴交于点C （0，4），点P 是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP 的面积为S ，求S 的最大值．
【解析】（1）∵A （﹣1，0），B （2，0），C （0，4），
设抛物线表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣2），将C 代入得：4＝﹣2a ，解得：a ＝﹣2，
∴该抛物线的解析式为：y ＝﹣2（x +1）（x ﹣2）＝﹣2x 2+2x +4；
（2）连接OP ，设点P 坐标为（m ，﹣2m 2+2m +4），m ＞0，∵A （﹣1，0），B （2，0），C （0，4），
（3）可得：OA ＝1，OC ＝4，OB ＝2，
∴S ＝S 四边形CABP ＝S △OAC +S △OCP +S △OPB =12×1×4+12×4m +12×2×（﹣2m 2+2m +4）＝﹣2m 2+4m +6 当m ＝1时，S 最大，最大值为8．
变式24 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y ＝x +m 与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在轴y 上．
（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；
（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ．
①求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
②线段PE 的长h 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x 值；若不存在，请说明理由？
【解析】（1）∵点A （3，4）在直线y ＝x +m 上，∴4＝3+m ．∴m ＝1．
设所求二次函数的关系式为y ＝a （x ﹣1）2．∵点A （3，4）在二次函数y ＝a （x ﹣1）2的图象上， ∴4＝a （3﹣1）2，∴a ＝1．∴所求二次函数的关系式为y ＝（x ﹣1）2．即y ＝x 2﹣2x +1．
（2）①设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E ．∴PE ＝h ＝y P ﹣y E ＝（x +1）﹣（x 2﹣2x +1）＝﹣x 2+3x ． 即h ＝﹣x 2+3x （0＜x ＜3）．
②存在．∵h ＝﹣（x ?32）2+94，又∵a ＝﹣1＜0，∴x =32时，h 的值最大，最大值为94． 必考点9 二次函数新定义问题
例题9 我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ） ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；
③当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x ＝3时，函数的最小值是0； ⑤当x ＝1时，函数的最大值是4，
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【解析】①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x ＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大，③也是正确的； ④函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，根据y ＝0，求出相应的x 的值为x ＝﹣1或x ＝3，④正确 ⑤从图象上看，当x ＜﹣1或x ＞3，函数值要大于当x ＝1时的y ＝|x 2﹣2x ﹣3|＝4，因此⑤是不正确的； 故选：A ．
变式25 定义[a 、b 、c ]为二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m ＜0时，函数在x ＞14
时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点，正确的结论是 ．
【解析】把m ＝﹣3代入，得a ＝﹣6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝﹣6x 2+4x +2，利用顶点公式可以求出顶点为（13，83
），①正确；函数y ＝2mx 2+（1﹣m ）x +（﹣1﹣m ）与x 轴两交点坐标为（1，0），（?m+12m ，0），
当m ＞0时，1﹣（?m+12m ）=32+12m ＞32，②正确；
当m ＜0时，函数y ＝2mx 2+（1﹣m ）x +（﹣1﹣m ）开口向下，对称轴x =14?14m ＞14，
∴x 可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，③错误；
y ＝2mx 2+（1﹣m ）x +（﹣1﹣m ）＝m （2x 2﹣x ﹣1）+x ﹣1，若使函数图象经过同一点，m ≠0时，应使2x 2﹣x ﹣1＝0，可得x 1＝1，x 2=?12，当x ＝1时，y ＝0，当x =?12时，y =?32，则函数一定经过点（1，0）和（?12，?32），④正确．故答案为：①②④．
变式26 对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M ，对于任意的函数值y ，都满足y ≤M ，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y ＝﹣（x +1）2+2，y ≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y ＝﹣2x +1（m ≤x ≤n ，m ＜n ）的上确界是n ，且这个函数的最小值不超过2m ，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ≤13
B ．m ＜13
C ．13＜m ≤12
D ．m ≤12 【解析】∵在y ＝﹣2x +1中，y 随x 的增大而减小，∴上确界为﹣2m +1，即﹣2m +1＝n ，
∵函数的最小值是﹣2n +1≤2m ，解得m ≤12，又∵m ＜n ，∴m ＜﹣2m +1．
解得m ＜13，综上，m ＜13故选：B ．
必考点10二次函数的应用（抛物线形建筑问题）
例题10图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种建系方法．
方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy；
方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
【分析】方法一：根据顶点坐标为（4，4），设其解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，0）代入求出a的值即可得；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨3m后，即y＝﹣1时x的值即可得．
【解析】方法一、根据题意知，抛物线与x轴的交点为（0，0）、（8，0），其顶点坐标为（4，4），
设解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，0）代入，得：16a+4＝0，解得：a=?1 4，
则抛物线解析式为y=?1
4（x﹣4）
2+4=?1
4x
2+2x，
当y＝3时，?1
4x
2+2x＝3，解得：x＝2或x＝6，则水面的宽减少了8﹣（6﹣2）＝4（m）．
方法二：由题意知，抛物线过点（4，﹣4），
设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入，得：16a＝﹣4，解得：a=?1 4，
所以抛物线解析式为y=?1
4x 2，
当y＝﹣1时，?1
4x
2＝﹣1，解得：x＝2或x＝﹣2，则水面的宽减少了8﹣4＝4（m）．
【小结】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．
变式27 如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB 为26m ，当水位上涨1m 时，抛物线拱桥的水面宽CD 为24m ．现以水面AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m 时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m ，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？
【分析】（1）设抛物线解析式的一般形式，取对称轴为y 轴，将抛物线的位置特殊化，简化抛物线解析式，根据图形选取两个点坐标求解析式；
（2）根据解析式解决实际问题．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），
∵对称轴为y 轴，∴y =?b 2a
=0，∴b ＝0， ∴y ＝ax 2+c ，由题意得，抛物线过点（13，0），（12，1），
把 {x =13y =0，{x =12y =1，代入得 {169a +c =0144a +c =1，解得 {a =?125c =16925，∴抛物线的解析式为y =?125x 2+16925； （2）由题意得，把x ＝5代入y =?125x 2+16925=y =?125×25+16925=14425，
∴点F 的坐标为F （5，
14425），∴MH ＝OM ﹣OH =16925?14425=1m ，∵1m ＜1.5m ，∴此时水面超过警戒水位．
变式28 某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC ＝6m ，跨度AB ＝20m ，有5根支柱：AG 、MN 、CD 、EF 、BH ，相邻两支柱的距离均为5m ．
（1）以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，支柱CD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；
（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每
辆坦克长4m ，宽2m ，高3m ，行驶速度为24km /h ，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m 的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？
【解答】【解】（1）设y ＝ax 2+c ，把C （0，6）、B （10，0）代入得a =?350，c ＝6．∴y =?350x 2+6．
（2）当x ＝5时，y =?
350×52+6=92，∴EF ＝10?92=112，CD ＝10﹣6＝4， 支柱的总造价为2（2×112
+2×10+4）＝70（万元）． （3）∵坦克的高为3米，令y ＝3时，?350x 2+6＝3，解得：x ＝±5√2，∵7＜5√2＜8，坦克宽为2米，
∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），
坦克的行驶速度为24km /h ＝400米/分，∴通过隧道的最短时间为1000+160400=2.9（分）．
变式29 如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA ＝12米，OB ＝4米，抛物线顶点D 到地面OA 的垂直距离为10米，以OA 所在直线为x 轴，以OB 所在直线为y 轴建立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m ，最高处与地面距离为6m ，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m ，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m ，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【解析】（1）根据题意，顶点D 的坐标为（6，10），点B 的坐标为（0，4），
设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣6）2+10，把点B （0，4）代入得：36a +10＝4，解得：a =?16，
即所求抛物线的解析式为：y =?16
（x ﹣6）2+10，
（2）由图象可知，高度越高，两排等间的距离越近，
把y ＝8代入y =?16（x ﹣6）2+10得：?16（x ﹣6）2+10＝8，
解得：x 1＝6+2√3，x 2＝6﹣2√3，所求最小距离为：x 1﹣x 2＝4√3，答：两排灯的水平距离最小是4√3米，
（3）根据题意，当x ＝6.25+4＝10.25时，y =?16（10.25﹣6）2+10=67196＞6.5，∴能安全通过隧道， 必考点11 二次函数的应用（抛物线形运动问题）
例题11 周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）的几组值后，发现h 与t 满足的函数关系式是h ＝20t ﹣5t 2．
（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t 在什么范围时，飞行高度不低于15m ？
【解析】（1）h ＝20t ﹣5t 2．∵﹣5＜0，故h 有最大值，当t =?202×(?5)=2，此时h 的最大值为20， ∴当t ＝2s 时，最大高度是20m ．
（2）令h ≥15，则h ＝20t ﹣5t 2≥15，解得：1≤t ≤3，∴1≤t ≤3时，飞行高度不低于15m ．
变式30 九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平
距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？
【分析】（1）观察函数图象可知：抛物线经过点（0，209
），顶点坐标是（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．设
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
二次函数 一、二次函数概念： １.二次函数的概念:一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数. 2． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是２． ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1． 二次函数基本形式:2y ax =的性质: ａ 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3． ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 ４. ()2 y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下 : 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2． 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小; 当2b x a >- 时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -．
一、二次函数的定义 1. 下列函数中属于一次函数的是（），属于反比例函数的是（），属于二次函数的是（） A. y = x（x + 1） B . xy = 1 C . y = 2x2—2（x + 1）2 D. y 3x21 2. 当m _________ 时，函数y= （m—2）x2+4x—5（m是常数）是二次函数. 2 3. 若y （m23m）x m 2m 1是二次函数，贝U m= ____________________ . 4. 若函数y = 3x2的图象与直线y=kx + 3的交点为（2，b），则k= ____ ，b= _— 5. 已知二次函数y二一4x2—2mx+m与反比例函数y 亜上的图象在第二象限内的 x 一个交点的横坐标是一2，则m的值是____ . 二、二次函数的图象与性质 2配方2 y ax bx c y a（x h） k 公式 开口向上： 在对称轴左侧，y随x增大而减小; 在 对称轴右侧，y随x增大而增大. 开口 向下： 在对称轴左侧，y随x增大而增大; 在对称轴右侧，y随x增大而减小.（或将x代入求y）1. 对于抛物线y= ax2，下列说法中正确的是（） A . a越大，抛物线开口越大 B. a越小，抛物线开口越大 C . | a |越大，抛物线开口越大 D.| a |越小，抛物线开口越大 2. 下列说法中错误的是（） A. 在函数y = —x中，当x= 0时，y有最大值0 B. 在函数y = 2x2中，当x > 0时，y随x的增大而增大 C. 抛物线y = 2x2，y = —x2，y ￡x2中，抛物线y = 2x2的开口最小，抛物线y= —x的开口最大 D. 不论a是正数还是负数，抛物线y = ax2的顶点都是坐标原点 3. 二次函数y=2 （x —3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（） A .开口向下，对称轴x= —3,顶点坐标为（3,5） B .开口向上，对称轴x= 3,顶点坐标为（3，5） C .开口向上，对称轴x= —3,顶点坐标为（一3,5） D .开口向下，对称轴x= —3,顶点坐标为（一3, —5） 4. 已知抛物线的解析式为y=（x —2）2+1,则抛物线的顶点坐标是（） A . （—2, 1） B . （2 , 1） C . （2 , —1） D . （1 , 2） 5. 已知二次函数y = x2—4x + 5的顶点坐标为（） A . （—2,—1） B . （2,1） C . （2 , —1） D . （—2,1） 6. 抛物线y=x2+2x-1的对称轴是_____ ，当x _____ 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. 7. 抛物线y 3x2 bx c的顶点坐标为Q ,0），则b= ,c= ______ 3 开口方向a 顶点（ b 2a 2 4ac b 4a 对称轴：x b 2a 最值：当x 开口方向a 顶点（h,k） 对称轴：x h 最值：当x h时, 最大（小）值y k 最大（小）值y 4ac b2 4a
x 人教版九年级数学二次函数 1.抛物线3 )2 (2+ - =x y的对称轴是（） A. 直线3 - = x B. 直线3 = x C. 直线2 - = x D. 直线2 = x 2.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如右图，则点) , ( a c b M在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知二次函数c bx ax y+ + =2，且0 < a，0 > + -c b a，则一定有（） A. 0 4 2> -ac b B. 0 4 2= -ac b C. 0 4 2< -ac b D. ac b4 2-≤0 4.把抛物线c bx x y+ + =2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 5 3 2+ - =x x y，则有（） A. 3 = b，7 = c B. 9 - = b，15 - = c C. 3 = b，3 = c D. 9 - = b，21 = c 5.已知反比例函数 x k y=的图象如右图所示，则二次函数2 2 2k x kx y+ - =的图象大致为（） 6.下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y+ + + =) ( 2与一次函数c ax y+ =的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）
D 7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 二次函数知识点 12. 二次函数的性质 函 数二次函数y ax bx c =++ 2 a、b、c为常数，a≠0 y a x h k =-+ ()2（a、h、k为常 数，a≠0） a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 图象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向 下无限延伸 (1)抛物线开口向 上，并向上无限 延伸 (1)抛物线开口向 下，并向下无限 延伸 性 (2)对称轴是x＝- b a2， 顶点是 （- - b a ac b a 2 4 4 2 ， ） (2)对称轴是x＝ - b a2， 顶点是 （ - - b a ac b a 2 4 4 2 ， ） (2)对称轴是x＝ h，顶点是（h，k） (2)对称轴是x＝ h，顶点是（h，k） 质 (3)当x b a <- 2时，y随x 的增大而减小；当 x b a >- 2时，y随x的增 大而增大(3)当 x b a <- 2时，y随x 的增大而增大；当 x b a >- 2时，y随x的增 大而减小 (3)当x h <时，y 随x的增大而减 小；当x＞h时， y随x的增大而增 大。 (3)当x＜h时，y 随x的增大而增 大；当x＞h时， y随x的增大而 减小 (4)抛物线有最低点，当 x b a =- 2时，y有最小 值，y ac b a 最小值 = - 4 4 2 (4)抛物线有最高点，当 x b a =- 2时，y有最大 值， y ac b a 最大值 = - 4 4 2 (4)抛物线有最低 点，当x＝h时， y有最小值 y k 最小值 = (4)抛物线有最高 点，当x＝h时， y有最大值 y k 最大值 = 二次函数练习 一、选择题 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() 九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位，得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ，顶点坐标为 ________ ，它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ，对称轴为 ，顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位，就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位，就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ，函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同，？开口方向相同，则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时，？有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时，函数值相等，则x 取x 什X 2时，函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元，则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中，错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交； 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同，位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3 二次函数基础练习题 1.抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0． 2. 抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 过第一、二、四象限，则a 0，b 0，c 0． 3．已知抛物线c x ax y ++=22与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （c a ,）在第 象限． 4.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a 0， b 0， c 0， b 2 -4ac 0，a ＋b ＋c 0，a －b ＋c 0； 5. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则a 0， b 0， c 0 6.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么下列四个结论： ①a <0 ；②c >0 ； ③ac b 42 ->0 ;④a b <0中， 正确的结论有( )个 7. 已知：抛物线 （a ＜0）经过点（－1，0），且满足4a ＋2b ＋c ＞0．以下结论： ①a ＋b ＞0；②a ＋c ＞0；③－a ＋b ＋c ＞0；④ ＞ 0 ．其中正确的个数有（ ）个 8.已知二次函数c bx ax y ++=2 中0,0,0<> . : .: 增大而减小随在对称轴右侧，增大而增大；随在对称轴左侧，开口向下增大而增大随在对称轴右侧，增大而减小；随在对称轴左侧，开口向上x y x y x y x y 一、二次函数的定义 1.下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( ) A ．y ＝x(x ＋1) B ．xy ＝1 C ．y ＝2x 2 －2(x ＋1) 2 D ．132 +=x y 2.当m 时，函数y ＝(m －2)x 2 ＋4x －5(m 是常数)是二次函数． 3.若1 222 )3(---=m m x m m y 是二次函数，则m ＝ ． 4.若函数y ＝3x 2 的图象与直线y=kx ＋3的交点为(2，b)，则k= ，b ＝ . 5.已知二次函数y ＝―4x 2－2mx+m 2与反比例函数24 m y x +=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2，则m 的值是 ． 二、二次函数的图象与性质 ) (44)()(22),() 44,2)(2 2 2 2 y x a b a c y k y h x a b x h x a b x k h a b a c a b a a k h x a y c bx ax y 代入求或将值小最大值小最大时，最值：当时， 最值：当对称轴：对称轴：顶点顶点（开口方向开口方向公式-===-==- =--↓↓+-=→----++= 1.对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( ) A ．a 越大，抛物线开口越大 B ．a 越小，抛物线开口越大 C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大 D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 2.下列说法中错误的是( ) A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时，y 有最大值0 B ．在函数y ＝2x 2 中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 C ．抛物线y ＝2x 2，y ＝－x 2，22 1x y -=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线 y ＝－x 2的开口最大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点 3.二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向上，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5） 4.已知抛物线的解析式为y=(x －2)2+1，则抛物线的顶点坐标是 ( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D ．(1，2) 5.已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(－2,1) 6.抛物线y=x 2+2x-1的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小． 7.抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为)0,3 2 (，则b= ,c= . 8.函数y ＝x 2―2x －l 的最小值是 ；函数y ＝-x 2+4x 的最大值是 . 9.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a = . 配方 人教版九年级数学二次函数 1. 抛物线 y (x 2) 2 3 的对称轴是（ ） A. 直线 x 3 B. 直线 x 3 C. 直线 x 2 y D. 直线 x 2 2. 二次函数 y ax 2 bx c 的图象如右图，则点 M ( b, c ) 在（ ） O x a A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 y ax 2 bx c ，且 a 0 ， a b c 0 ，则一定有（ ） A. 2 4ac 0 B. b 2 0 C. 2 4ac 0 2 ≤ 0 b 4ac b D. b4ac 4. 把抛物线 y x 2 bx c 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是 y x 2 3x 5 ，则有（ ） y A. b 3， c 7 B. b 9 ， c 15 O x C. b 3， c 3 D. b 9 ， c 21 5. 已知反比例函数 y k 的图象如右图所示，则二次函数 y 2kx 2 x k 2 的图象大致为 x （ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 6. 下 面 所示 各图 是在 同一直 角 坐标 系内 ，二 次函数 y ax 2 (a c)x c 与 一次 函数 y ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） 1 y y y O x O x O x A B C 7.抛物线 y x22x 3 的对称轴是直线（） A.x2 B.x 2 C.x1 8.二次函数 y( x1) 2 2 的最小值是（） A.2 B. 2 C.1 9.二次函数 y ax 2bx c 的图象如图所示，若M4a2b 则（） A.M0 ， N0 ， P0 B.M0 ， N0 ， P0 C.M0 ， N0 ， P0 D.M0 ， N0 ， P0 二、填空题： 10.将二次函数y x2 2 x3配方成 y O x D D.x 1 D. 1 c N a b c ， P 4a b， y -1O12x y(x h) 2k 的形式，则 y=______________________. 11.已知抛物线y ax 2bx c 与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程 ax 2bx c0 的根的 情况是 ______________________. 12.已知抛物线y ax 2x c 与 x 轴交点的横坐标为1，则a c =_________. 13.请你写出函数y(x1)2与 y x2 1 具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线 x 4 ； 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 2 专项训练三 二次函数 一、选择题 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝ax 2＋bx ＋c C ．s ＝2t 2－2t ＋1 D ．y ＝x 2＋1x 2．二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象的对称轴为( ) A ．x ＝4 B ．x ＝－4 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 3．将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－2(x ＋1)2 B ．y ＝－2(x ＋1)2＋2 C ．y ＝－2(x －1)2＋2 D ．y ＝－2(x －1)2＋1 4．某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( ) A ．6cm B ．12cm C ．24cm D ．36cm 5．(兰州中考)点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 3＞y 2＞y 1 B ．y 3＞y 1＝y 2 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＝y 2＞y 3 6．(毕节中考)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 7．(兰州中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝－1，有以下结论： ①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a ＋b ＝0；④a －b ＋c ＞2.其中正确的结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、 BC ，则tan ∠CAB 的值为( ) A.12 B.55 C.255 D ．2 二、填空题 9．(河南中考)已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是________． 10．若二次函数y ＝x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是________． 11．(大连中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A 、B (m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是________． 第11题图 第14条图 12．(台州中考)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向 九年级数学《二次函数》综合练习题及答案 一、基础练习 1．把抛物线y=2x 2 向上平移1个单位，得到抛物线_______，把抛物线y=-2x 2 ?向下平移3 个单位，得到抛物线________． 2．抛物线y=3x 2 -1的对称轴是_____，顶点坐标为________，它是由抛物线y=3x 2 ?向_______平移______个单位得到的． 3．把抛物线2 向左平移1个单位，得到抛物线_________，把抛物线2 ?向右平移3个单位，得到抛物线________． 4．抛物线y=x-1）2 的开口向________，对称轴是______，顶点坐标是_________， ?它是由抛物线x 2向______平移______个单位得到的． 5．把抛物线y=-13（x+ 12 ）2向_____平移______个单位，就得到抛物线y=- 13 x 2． 6．把抛物线y=4（x-2）2向______平移_______个单位，就得到函数y=4（x+2）2的图象． 7．函数y=-（x-13 ）2 的最大值为________，函数y=-x 2 -13 的最大值为________． 8．若抛物线y=a （x+m ）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x 2的形状相同，?开口方向相同，则点（a ，m ）关于原点的对称点为________． 9．已知抛物线y=a （x-3）2过点（2，-5），则该函数y=a （x-3）2当x=________?的时候，?有最____值______． 10．若二次函数y=ax 2+b ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则x 取x 1+x 2时，函数的值为________． 11．一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x ，两年后这台机器的价格为y?万元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y=50（1-x ）2 B ．y=50（1-x ）2 C ．y=50-x 2 D ．y=50（1+x ）2 12．下列命题中，错误的是（ ） A ．抛物线2x 2-1不与x 轴相交; B ．抛物线2x 2-1与2 （x-1）2形状相同，位置不同; C ．抛物线y=12（x-12）2的顶点坐标为（ 12 ，0）; D ．抛物线y= 12 （x+ 12 ）2 的对称轴是直线x= 12 二次函数常考题型专题练习 1. 将二次函数 的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新的 二次函数解析式为（ ） A ． B ． C ． D ．2. 设A （﹣2，y1），B （1，y2），C （2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A ．y1＞y2＞y3 B ．y1＞y3＞y2 C ．y3＞y2＞y1 D ．y3＞y1＞y2 3. ．已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结 论： ①abc ＜0；②3a+c ＞0；③4a+2b+c ＞0；④2a+b=0；⑤b 2＞4ac 其中正确的结论的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 函数的图像如图所示，那么关于x 的方程c bx ax y ++=2 的根的情况是（ ） 032=-++c bx ax A 、有两个不相等的实数根 B 、有两个异号实数根 C 、有两个相等的实数根 D 、无实数根5. 若抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式 2y x =是（ ） A 、 B 、 C 、 D ()223y x =++()223y x =-+()223y x =+-()2 23y x =--6. 已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（） A ．y=2x 2+x+2 B ．y=x 2+3x+2 C ．y=x 2﹣2x+3 D ．y=x 2﹣3x+2 7. 二次函数y=2x 2+3x ﹣9的图象与x 轴交点的横坐标是（） A ．和3 B ．和﹣3 C ．﹣和2 D ．﹣和﹣2 8. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论： ①abc ＜0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＜m （am+b ），（m ≠1的实 数） 其中正确的结论的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9. 若函数 是二次函数，则m 的值为 ___________ ． 10. 在函数中，若，那么函数的最大值是 ； 222-+-=x x y 52≤≤x y 11. 某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h (m)与时间t (s)的关系可以用公式h =-5t 2+150t +10表示．经过______s ，火箭达到它的最高点． 12. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．13. 已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y 随x 的增大而 二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点) ,(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 c bx ax y ++=2，且0+-c b a ， 则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（） A. 2- = x B. 2 = x C. 1- = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则 （） A. 0 > M，0 > N，0 > P B. 0 < M，0 > N，0 > P C. 0 > M，0 < N，0 > P D. 0 < M，0 > N，0 < P 二、填空题： 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成 k h x y+ - =2) (的形式，则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -，则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4 = x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 专题：二次函数 一、二次函数的定义 1.下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( ) A ．y ＝x(x ＋1) B ．xy ＝1 C ．y ＝2x 2 －2(x ＋1) 2 D ． 2.当m 时，函数y ＝(m －2)x 2 ＋4x －5(m 是常数)是二次函数． 3.若 是二次函数，则m ＝ ． 4.若函数y ＝3x 2 的图象与直线y=kx ＋3的交点为(2，b)，则k= ，b ＝ . 5.已知二次函数y ＝―4x 2 －2mx+m 2 与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是― 2，则m 的值是 ． 二、二次函数的图象与性质 1.对于抛物线y ＝ax 2 ，下列说法中正确的是( ) A ．a 越大，抛物线开口越大 B ．a 越小，抛物线开口越大 C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大 D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 2.下列说法中错误的是( ) A ．在函数y ＝－x 2 中，当x ＝0时，y 有最大值0 B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 C ．抛物线y ＝2x 2 ，y ＝－x 2 ，2 2 1x y - =中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y ＝－x 2的开口最大. D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2 的顶点都是坐标原点 3.二次函数 y=2（x －3）2 +5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向上，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5） 4.已知抛物线的解析式为y=(x －2)2 +1，则抛物线的顶点坐标是 ( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D ．(1，2) 5.已知二次函数y ＝x 2 －4x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(－2,1) 6.抛物线y=x 2 +2x-1的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小． 7.抛物线 的顶点坐标为)0,3 2(，则b= ,c= . 8.函数y ＝x 2―2x －l 的最小值是 ；函数y ＝-x 2 +4x 的最大值是 . 9.已知抛物线的顶点在坐标轴上，则a = . 二次函数的对称性 二次函数 ： （1）此函数的对称轴为直线a b x 2- =； （2）若函数与x 轴相交于点 ，则对称轴可表示为2 2 1x x x += ； （3）若函数与x 轴相交于点 （特点是纵坐标相同），则对称轴可表示为22 1x x x += . 10.抛物线的一部分图象如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分 与x 轴交点坐标是 . 11.如图，抛物线的对称轴是x=1，与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为， 则点A 的坐标是 . 12.抛物线 与x 轴交于 两点， 则线段AB 的长 . 13.已知二次函数，若点 在此函数的图象上， 且 ，则 的大小关系是 . 二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 ①②③ . ①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝ 4秒时，该物体所经过的路程为 88m 。 3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于m 的二次函数，则m 的取值范围为 ___ 。 4、已知函数 是二次函数，则m ＝ -3 。 5、若函数 是关于x 的二次函数，则m 的值为 -2 。 6、已知函数y=(m －1)x m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 -1 二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 24a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 0或-1 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ -2 ，c ＝ -2 . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( C ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （1）4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( B )? B. 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( A ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ -3 . 7．抛物线y=x 2 +2x －3的对称轴是 x=-1 。 8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ -6 。 9．当n ＝___2___，m ＝__2____时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点 在原点，此抛物线的开口____向上____. 10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a 3或-1 时，该函数y 的最小值为0？初三数学九上二次函数所有知识点总结和常考题型练习题
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