.
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.:
增大而减小随在对称轴右侧，增大而增大；随在对称轴左侧，开口向下增大而增大随在对称轴右侧，增大而减小；随在对称轴左侧，开口向上x y x y x y x y 一、二次函数的定义
1.下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )
A ．y ＝x(x ＋1)
B ．xy ＝1
C ．y ＝2x 2
－2(x ＋1)
2
D ．132+=x y
2.当m 时，函数y ＝(m －2)x 2＋4x －5(m 是常数)是二次函数．
3.若1
222
)3(---=m m
x m m y 是二次函数，则m ＝ ．
4.若函数y ＝3x 2的图象与直线y=kx ＋3的交点为(2，b)，则k= ，b ＝ .
5.已知二次函数y ＝―4x 2－2mx+m 2与反比例函数24
m y x
+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2，则m 的值是 ．
二、二次函数的图象与性质
)
(44)()(22),()
44,2)(2
2
22y x a
b a
c y k
y h x a b
x h
x a b
x k h a
b a
c a b a a
k
h x a y c bx ax y 代入求或将值小最大值小最大时，最值：当时，
最值：当对称轴：对称轴：顶点顶点（开口方向开口方向公式-=
==-==-
=--↓↓+-=→----++=
1.对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( ) A ．a 越大，抛物线开口越大 B ．a 越小，抛物线开口越大 C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大 D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大
2.下列说法中错误的是( )
A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时，y 有最大值0
B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
C ．抛物线y ＝2x 2，y ＝－x 2，22
1x y -=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线 y ＝－x 2的开口最大
D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点
),1(3y
C ),
,2(),,1(21y B y A -
-3.二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5）
B ．开口向上，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5）
C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5)
D ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5）
4.已知抛物线的解析式为y=(x －2)2+1，则抛物线的顶点坐标是 ( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D ．(1，2)
5.已知二次函数y ＝x 2
－4x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(－2,1)
6.抛物线y=x 2+2x-1的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小．
7.抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为)0,3
2
(，则b= ,c= .
8.函数y ＝x 2―2x －l 的最小值是 ；函数y ＝-x 2+4x 的最大值是 .
9.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a = .
二次函数的对称性
二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y ：
（1）此函数的对称轴为直线a
b x 2-
=； （2）若函数与x 轴相交于点)0,(),0,(21x B x A ，则对称轴可表示为2
2
1x x x +=
； （3）若函数与x 轴相交于点),(),,(21n x B n x A （特点是纵坐标相同），则对称轴可表示为
22
1x x x +=
.
10.抛物线2)1(2
++=x a y 的一部分图象如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点坐标是 .
11.如图，抛物线的对称轴是x=1，与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为
)0,3(，则点A 的坐标是 .
12.抛物线)0()1(2
≠+-=a k x a y 与x 轴交于)0,3(),0,(1B x A 两点，则线段AB 的长 . 13.已知二次函数c x x y ++-=22
，若点),(),,(2211y x B y x A 在此函数的图象上，且
121< 14.已知二次函数c ax x y ++-=2 的对称轴是直线1=x ，若点在此函数的图象 上，则321,,y y y 的大小关系是 15.已知二次函数c bx ax y ++=2 中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表： 点),(),,(2211y x B y x A 在函数的图象上，则当211< 2121212 1....y y D y y C y y B y y A ≥≤<> 三、二次函数的平移、旋转与对称 1.把抛物线2 y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（ ） 3)1(.3 )1(.3 )1(.3 )1(.2 2 2 2 -+-=---=++-=+--=x y D x y C x y B x y A 2.抛物线2)1(32 -+-=x y 经过平移得到抛物线2 3x y -=，平移的方法是 A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 3.在平面直角坐标系中，如果2 3x y =的图象不动，而把坐标轴分别向上平移2个单位，向右平移3个单位，那么新坐标系中此抛物线的解析式为 . 4.将抛物线6422 ++-=x x y 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的解析式为 . 5.将抛物线c bx x y ++=2 的图象向右平移2个单位再向下平移2个单位，所得图象的关系式为322 --=x x y ，则b= ,c= . 6.已知抛物线5422 --=x x y ， （1）将其绕着顶点旋转180°后抛物线关系式是 . （2）关于y 轴对称的抛物线关系式是 ; （3）关于x 轴对称的抛物线关系式是 ; （4）关于原点对称的抛物线关系式是 . 四、确定二次函数的表达式 用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：()()21x x x x a y --=.已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交 点式. 1.顶点为（—1，—3），与y 轴交点为（0，—5）. 2.与x 轴交于A （—1,0）、B （1,0），并经过点M(0,1). 3.图像经过点A(0，1)、B(1，2)、C(2，1). 4.顶点坐标为（1,3）且在x 轴上截得的线段长为4. 5.图象经过点（1,0）、（0，-3），且对称轴是直线x=1. 6.已知抛物线c bx x y ++-=2如图所示，求它对应的表达式. 五、二次函数的应用 知识铺垫：最值问题 （一）开口向上 1.当对称轴a b x 2- =在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值； 2.当对称轴a b x 2- =不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值. （二）开口向下 1.当对称轴a b x 2- =在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点30m 处取得最小值； 2.当对称轴a b x 2- =不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值. 1.当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值． 2.当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值． 3.当0≥x 时，求函数)2(x x y --=的最大值和最小值． 几何问题 4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB=x m,那么AD 边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ （3）若将矩形改为图2所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？ 5.用长为80 m 的栅栏，再借助外墙围城一个矩形羊圈ABCD ，已知房屋外墙长50 m ，设矩形ABCD 的边AB=x m ，面积为S m 2. （1）写出S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围； （2）当AB,BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ C 40m 6.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20 m，当水位上升3 m时，水面宽CD=10 m. （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以5 km/h的速度向此桥径直行来，当船距离此桥35 km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25 m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？最大利润问题 7.某旅馆有客房120间，每间客房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅馆将每天的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？ 8.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?最大利润是多少？ 9.某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出. （1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式. （2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由. 六、二次函数与一元二次方程 二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程02=++c bx ax 的根的关系： 1.当?>0时,抛物线与x 轴有两个交点，这两个交点的横坐标是方程02=++c bx ax 的两个不相等的实数根； 1 x 2 x 1 x 1 x 2.当?=0时,抛物线与x 轴有一个交点，这个交点的横坐标是方程02=++c bx ax 的两个相等的实数根，并且这一个交点即为抛物线的顶点； 3.当?<0时，抛物线与x 轴没有交点，这时方程02=++c bx ax 没有实数根. 当a >0时，当1x x <或2x x >时，0>y ；当21x x x <<时，0 5.当?=0时，图象与x 轴只有一个交点)0,(1x . 当a >0时，x 为任何实数时，函数值0≥y ； 当a <0时，x 为任何实数时，函数值0≤y ； 6.当?<0时，图象与x 轴没有交点. 当a >0时，图象落在x 轴的上方，x 为任何实数时，都有y>0； 当a <0时，图象落在x 轴的下方，x 为任何实数时，都有y<0. 1.抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 . 2.抛物线y=x 2+bx+4与x 轴只有一个交点则b= . 3.二次函数y=x 2-2(m+1)x+4m 的图象与x 轴（ ） A.没有交点 B.只有一个交点 C.只有两个交点 D.至少有一个交点 4.二次函数 y=kx 2－7x －7的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 . 5. 已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表： 则下列判断中正确的是（） A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴、 C．当x＝4时，y＞0 D．方程0 2= + +c bx ax的正根在3与4之间 6.抛物线c bx x y+ + - =2的部分图象如图所示，若y>0，则x 的 取值范围是（） A．-4 七、二次函数中c b a, ,的意义 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式 a b x 2 - =判断符号，左同右异． （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；过 原点，c=0． （4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交 点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c的符号；当x= -1时，可确定a-b+c的符号； 当x=2时，可确定4a+2b+c的符号，当x=-2时，可确定4a-2b+c的符号． （6）由对称轴公式 a b x 2 - =与x=1和x= -1比较，可确定2a+b，2a-b的符号． 1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（） A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③ 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个 结论： ①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴 的右侧，则m的取值范围是（） A. m＞2 B. m＜3 C. m＞3 D. 2＜m＜3 4.如图为二次函数y=ax2＋b x＋c的图象，在下列说法中正确的说法有. ①ac＜0；②方程ax2＋b x＋c=0的根是x1=－1, x2= 3③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大. 5.二次函数y=ax2＋b x＋c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.有以下结论： (1)abc>0; (2)4ac A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第4题 第5题 -第6题 6.如图所示，二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(12)-，，且与x 轴交点的横坐标分别为12x x ，，其中121x -<<-，201x <<，下列结论中正确的有（ ） ①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④2 84b a ac +>． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7.如图，二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 2 1，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2 =4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中：①b ＞ 0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c ）2＜b 2 ，其中正确的个数是 （ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.已知抛物线y=ax 2 +bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A B C D 10.如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，给出下列说法：①ab ＜0； ②方程ax 2 +bx+c=0的根为x 1=﹣1，x 2=3；③a+b+c ＞0；④当x ＜1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，x ＜﹣1或x ＞3．其中，正确的说法有（ ）A.①②⑤ B.①②④ C.①③⑤ D.②④⑤ 八、二次函数与几何图形 （一）二次函数与三角形 类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或与坐标轴平行 这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相 关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。 1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5）. （1）求抛物线解析式； （2）求抛物线与x 轴的交点A 、B 坐标，与y 轴交点C 坐标； （3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD. 2.如图，二次函数y=ax 2＋b x ＋c 与x 轴交于两点)0,(),0,(21x B x A )(21x x ，与y 轴负 半轴交于点C ，若抛物线顶点D 的横坐标是1，A 、B 两点间的距离是4，且△ABC 的 面积是6. （1）求A 和B 两点的坐标； （2）求此二次函数的表达式； （3）求四边形ACDB 的面积. 类型二：三角形三边均不与坐标轴平行，作三角形的铅垂高（歪歪三角形拦腰截） 1.关于2 铅垂高 水平宽?= ?S 的知识点：如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的 三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部 线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2 1 =?， 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 2.①铅垂高：横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，表示为D C y y CD -=； ②水平宽：两个点的横坐标差的绝对值，表示为B A x x AB -=. 1.如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时， 求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?； （3）是否存在一点P ，使S △PAB =8 9 S △CAB ，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由. 如2. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋 转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐坐 标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若 有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 3.如图，已知直线y=3x ﹣3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y=x 2 +bx+c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC 的面积； （3）在抛物线的对称轴 上，是否 存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 4.如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y 轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2． （1）求二次函数的解析式； （2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x 轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
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