数列导学案
§ 数列的概念及简单表示（一）
【学习要求】
1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．
2．探索并掌握数列的几种简单表示法．
3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
【学法指导】
1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念．
2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．
3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式．
【
【知识要点】
1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项．
2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ．
3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列．
4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式．
【问题探究】
探究点一 数列的概念
问题 先看下面的几组例子：
（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…；
（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，15；
（3）π精确到1,,,，…的不足近似值排成一列数：3,,,，…；
（4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；
（5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，….
请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．
探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质
探究点二 数列的几种表示方法
问题 数列的一般形式是什么回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法
探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整．
（1）数列：1,3,5,7,9，…
①用公式法表示：a n ＝ ；
！
②用列表法表示：
（2）数列：1，12，13，14，15，…
①用公式法表示：a n ＝ .
②用列表法表示：
③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：
探究点三 数列的通项公式
问题 什么叫做数列的通项公式谈谈你对数列通项公式的理解
探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗
数列
通项公式 &
－1,1，－1,1，…
a n ＝ 1,2,3,4，…
a n ＝ 1,3,5,7，…
a n ＝ 2,4,6,8，…
a n ＝ 1,2,4,8，…
a n ＝ 》
1,4,9,16，…
a n ＝ 1，12，13，14，… a n ＝
【典型例题】
例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项．
（1）a n ＝cos n π2；
（2）b n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1
. 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．
跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．
:
（1）a n ＝2n ＋1；（2）b n ＝2)1(1n
-+
例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
（1）1，－3,5，－7,9，…；
（2）12，2，92，8，252，…；
（3）9,99,999,9 999，…；
（4）0,1,0,1，….
小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式：
（1）212，414，618，8116，…； {
（2）,,, 9，…；
（3）－12，16，－112，120，….
例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝
－1n n ＋12n －12n ＋1
. （1）写出它的第10项；
（2）判断233是不是该数列中的项．
小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．
跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋2
(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项． 【当堂检测】
；
1．下列叙述正确的是 ( )
A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }
C ．数列0,1,0,1，…是常数列
D ．数列{n n ＋1
}是递增数列 2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，….
3．已知下列数列：
（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，12，23，…，n －1n ，…；
（3）1，12，14，…，12n －1，…； （4）1，－23，35，…，－1n －
1·n 2n －1
，…； （5）1,0，－1，…，sin n π2，…； （6）6,6,6,6,6,6.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上) 【拓展提高】
*
4．写出下列数列的一个通项公式：
（1）a ，b ，a ，b ，…；
（2）－1，85，－157，249，….
【课堂小结】
1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．
3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．
、
…
)
）
§数列的概念及简单表示（二）
【学习要求】
1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．
2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．
【学法指导】
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1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．
2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．
【知识要点】
1．如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的公式．
2．数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列．
3．一般地，一个数列{a n}，如果从起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果数列{a n}的各项都，那么这个数列叫做常数列．
4．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝1，则a n＝，从单调性来看，数列是单调数列．【问题探究】
公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子
也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{a n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，a n ＋1＝a n ＋a n －1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢这一节我们就来学习数列的递推公式．
探究点一 数列的函数特性
&
问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面谈谈你的认识． 探究1 数列的单调性
下面给出了一些数列的图象：
a n ＝2n －1
a n ＝1n
a n ＝(－1)n
观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这