必修五数列导学案
§2.1 数列的概念及简单表示（一）
【学习要求】
1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法．
3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
【学法指导】
1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．
3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】
1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ．
3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列． 4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式．
【问题探究】
探究点一 数列的概念
问题 先看下面的几组例子：
（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； （2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，1
5
；
（3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； （4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；
（5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．
探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法
问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？ 探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． （1）数列：1,3,5,7,9，…
①用公式法表示：a n ＝ ； ②用列表法表示：
（2）数列：1，12，13，14，1
5，…
①用公式法表示：a n ＝ . ②用列表法表示：
③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式
问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？
探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要
数列
通项公式 －1,1，－1,1，… a n ＝ 1,2,3,4，… a n ＝ 1,3,5,7，… a n ＝ 2,4,6,8，… a n ＝ 1,2,4,8，… a n ＝ 1,4,9,16，… a n ＝ 1，12，13，1
4
，… a n ＝
【典型例题】
例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． （1）a n ＝cos
n π2
； （2）b n ＝11×2＋12×3＋1
3×4＋…＋
1
n
n ＋1
. 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考
虑运算化简后再求值．
跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．
（1）a n ＝2n ＋1；（2）b n ＝2
)
1(1n
-+
例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）1，－3,5，－7,9，…； （2）12，2，92，8，25
2
，…；
（3）9,99,999,9 999，…； （4）0,1,0,1，….
小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： （1）212，414，618，81
16，…；
（2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； （3）－12，16，－112，1
20，….
例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝
－1
n
n ＋1
2n －12n ＋1
.
（1）写出它的第10项；
（2）判断2
33
是不是该数列中的项．
小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项． 跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝
1n n ＋2
(n ∈N *)，那么1
120是这个数列的第______项．
【当堂检测】
1．下列叙述正确的是 ( )
A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }
C ．数列0,1,0,1，…是常数列
D ．数列{n
n ＋1}是递增数列
2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，…. 3．已知下列数列：
（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，12，2
3，…，n －1n
，…；
（3）1，12，14，…，12n －1，…； （4）1，－23，3
5，…，－1n －1
·n 2n －1，…；
（5）1,0，－1，…，sin n π
2
，…； （6）6,6,6,6,6,6.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上) 4．写出下列数列的一个通项公式： （1）a ，b ，a ，b ，…； （2）－1，85，－157，24
9
，….
【课堂小结】
1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数
列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．
3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．
【课后作业】
一、基础过关
1．数列23，45，67，8
9，…的第10项是
( )
A ．16
17
B ．1819
C ．2021
D ．2223
2．数列{n 2＋n }中的项不能是 ( )
A ．380
B ．342
C ．321
D ．306 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是
( )
A ．a n ＝n 2－n ＋1
B ．a n ＝n (n －1)
2
C ．a n ＝n (n ＋1)
2
D ．a n ＝n 2＋1
4．已知数列12，23，34，4
5，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．在数列2，2，x,22，10，23，…中，x ＝______. 6．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 ____________．
7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程) （1）3,5,9,17,33，…； （2）23，415，635，8
63
，…；
（3）1,0，－13，0，15，0，－1
7，0，….
8．已知数列{n (n ＋2)}：
（1）写出这个数列的第8项和第20项；
（2）323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
二、能力提升
9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于
( )
A ．1
9(10n －1)
B ．1
3(10n －1)
C ．13(1－1
10
n )
D ．3
10
(10n －1)
10．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3
＋…＋1
2n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于
( )
A ．12n ＋1
B ．12n ＋2
C ．12n ＋1＋12n ＋2
D ．
12n ＋1－1
2n ＋2
11．由花盆摆成以下图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为________．
12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．
（1）求{a n }的通项公式； （2）88是否是数列{a n }中的项？
三、探究与拓展
13．已知数列????
??
9n 2－9n ＋29n 2
－1： （1）求这个数列的第10项；
（2）98
101是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
（4）在区间????
13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
§2.1 数列的概念及简单表示（二）
【学习要求】
1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项． 2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．
【学法指导】
1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几
项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．
2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．
【知识要点】
1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式．
2．数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 ．
3．一般地，一个数列{a n }，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果数列{a n }的各项都 ，那么这个数列叫做常数列．
4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1，则a n ＝ ，从单调性来看，数列是单调 数列．
【问题探究】
公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{a n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，a n ＋1＝a n ＋a n －1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式． 探究点一 数列的函数特性
问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识． 探究1 数列的单调性
下面给出了一些数列的图象：
a n ＝2n －1
a n ＝1n
a n ＝(－1)n
观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．
因此，要证明数列{a n }是单调递增数列，只需证明a n ＋1－a n 0；要证明数列{a n }是单调递减数列，只需证明a n ＋1－a n 0.
探究2 数列的周期性
已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 012项是多少？
探究点二 由简单的递推公式求通项公式
问题 递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟有什么不同呢？
探究1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试根据这一结论，求解下列问题．
已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，试求通项a n .
探究2 若数列{a n }中各项均不为零，则有：a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n
a n －1＝a n 成立．试根据这一结论求解下列问题．
已知数列{a n }满足：a 1＝1，
a n a n －1
＝n －1
n (n ≥2)，试求通项a n .
【典型例题】
例1 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项． 小结 已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n 的值代入即可．
跟踪训练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2
a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.
例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
n 2＋1
.求证：数列{a n }为递增数列．
小结 数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性．
跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝an
bn ＋1，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是 ( )
A ．a n >a n ＋1
B ．a n C ．a n ＝a n ＋1 D ．与n 的取值相关 例3 已知a n ＝ 9n n ＋1 10 n (n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由． 小结 数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n ，n 的值可通过解不 等式组????? a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1来确定；若求最小项a n ，n 的值可通过解不等式组? ???? a n ≤a n －1 a n ≤a n ＋1来确定． 跟踪训练3 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围． 【当堂检测】 1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 ( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N * B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是( ) A ．107 B ．108 C ．1081 8 D ．109 4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于 ( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n 【课堂小结】 1．同数列的通项公式一样，数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一．递推公式法与通项公式法统称为公式法． 2．函数与数列的联系与区别 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题． 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的有限子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增?a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减?a n ＋1 【课后作业】 一、基础过关 1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋1 2n ，则此数列的第4项是 ( ) A ．1 B ．1 2 C ．3 4 D ．58 2．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 ( ) A ．25 9 B ．2516 C ．6116 D ．3115 3．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项是 ( ) A ．1 16 B ．117 C ．119 D ．125 4．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是 ( ) A ．9 B ．17 C ．33 D ．65 5．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，n ∈N *，则使a n >100的n 的最小值是________． 6．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1 n (n ＋1)，n ∈N *，则通项公式a n ＝________. 7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点． 8．已知函数f (x )＝2x －2－ x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . （1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：数列{a n }是递减数列． 二、能力提升 9．已知数列{a n }满足a n ＋1 ＝?? ? 2a n ? ???0≤a n <12，2a n －1 ??? ?12≤a n <1.若a 1＝6 7，则a 2 012的值为 ( ) A ．67 B ．5 7 C ．3 7 D ．17 10．已知a n ＝n －98 n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是 ( ) A ．a 1，a 30 B ．a 1，a 9 C ．a 10，a 9 D ．a 10，a 30 11．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________． 12．已知数列{a n }满足a 1＝1 2，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式． 三、探究与拓展 13．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求{a n }的通项公式． §2.2 等差数列（一） 【学习要求】 1．理解等差数列的意义． 2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题． 3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用． 【学法指导】 1．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式． 2．利用a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列． 【知识要点】 1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d 表示． 2．若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的_________，并且A ＝ . 3．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝ ________. 4．等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为 数列；若公差d <0，则数列{a n }为 数列． 【问题探究】 1．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和1531年、1607年的彗星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间． 哈雷彗星的回归时间表(单位：年)1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061，…. 预测它在本世纪回归的时间是2061年． 2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？ 这个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列叫做等差数列．等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式． 探究点一 等差数列的概念 问题1 我们先看下面几组数列： （1）3,4,5,6,7，…； （2）6,3,0，－3，－6，…； （3）1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…； （4）－1，－1，－1，－1，－1，…. 观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是 问题2 判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a 1和公差d ；如果不是，请说明理由： （1）4,7,10,13,16，…； （2）31,25,19,13,7，…； （3）0,0,0,0,0，…； （4）a ，a －b ，a －2b ，…； （5）1,2,5,8,11，…. 探究 如何准确把握等差数列的概念？谈谈你的理解． 探究点二 等差数列的通项公式 问题 如果等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，你能用两种方法求其通项吗？ 探究1 根据等差数列的定义：a n ＋1＝a n ＋d ，可以依次得到a 1，a 2，a 3，a 4，…，然后观察规律，归纳概括出通项公式a n . 探究2 由等差数列的定义知：a n －a n －1＝d (n ≥2)，可以采用叠加法得到通项公式a n . 探究点三 等差中项 问题1 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A . 探究 若数列{a n }满足：a n ＋1＝ a n ＋a n ＋2 2 ，求证：{a n }是等差数列． 【典型例题】 例1 已知{a n }为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式． （1）a 3＝5，a 7＝13； （2）前三项为：a,2a －1,3－a . 小结 在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． 跟踪训练1 若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75. 例2 已知1a ，1b ，1 c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列． 跟踪训练2 已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列？ 例3 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各 级的宽度． 跟踪训练3 在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值.如果1 km 高度的气温是8.5℃,5 km 高度的气温是-17.5℃，求2 km ，4 km ，8 km 高度的气温. 【当堂检测】 1．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是 ( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为1 3的等差数列 C ．公差为－1 3的等差数列 D ．不是等差数列 2．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是 ( ) A ．b －a B ．b －a 2 C ．b －a 3 D ．b －a 4 3．在等差数列{a n }中， （1）已知a 1＝2，d ＝3，n ＝10，则a n ＝___； （2）已知a 1＝3，d ＝2，a n ＝21，则n ＝___； （3）已知a 1＝12，a 6＝27，则d ＝___； （4）已知d ＝－1 3 ，a 7＝8，则a 1＝___. 4 （1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ （2）利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？ 【课堂小结】 1．等差数列的判定关键要看a n ＋1－a n (n ∈N *)是否为一个与n 无关的常数．由于a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1?2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以也可以利用2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)来判定等差数列．注意数列的项中含有字母时是否需要分类讨论． 2．等差数列的通项公式及其变形a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d 的应用极其灵活，公式中的四个量a 1，a n ，n ，d 中知三可求一．充分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷． 3．数列的应用题在数列中占有很重要的地位． 【课后作业】 一、基础过关 1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于 ( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n 2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是 ( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项 3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为 ( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 4．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，若a n ＝2 011，则n 等于 ( ) A ．671 B ．670 C ．669 D ．668 5．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 ( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 6．已知a ＝ 13＋2，b ＝1 3－2 ，则a 、b 的等差中项是________． 7．等差数列{a n }中，已知a 1＝1 3 ，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值． 8．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ 二、能力提升 9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是 ( ) A ．－2 B ．－3 C ．－4 D ．－6 10．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1 d 2的值为________． 11．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，那么项数n 的取值有____种可能． 12．若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． 三、探究与拓展 13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，…. （1）135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由． （2）若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由． §2.2 等差数列（二） 【学习要求】 1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质． 2．能运用等差数列的性质解决有关问题． 【学法指导】 1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有关性质． 2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的内涵和本质． 【知识要点】 1．等差数列的通项公式：a n ＝ . 2．等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：a 1＋a n ＝a 2＋ ＝…＝a k ＋ . 3．等差数列的性质 （1）若{a n }是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k 、l 、m 、n ∈N *)，则 . （2）若{a n }是等差数列，且公差为d ，则{a 2n －1}和{a 2n }都是等差数列，且公差为 . （3）若{a n }，{b n }分别是公差为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n ＋qb n }(p 、q 是常数)是公差为 的等差数列． 【问题探究】 探究点一 等差数列的常用性质 问题 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有下列 性质： （1）若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . （2）若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a k . 请你给出证明． 探究 已知等差数列{a n }、{b n }分别是公差为d 和d ′，则由{a n }及{b n }生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整． ①{a n }是等差数列，则a 1，a 3，a 5，…仍成等差数列(首项不一定选a 1)，公差为 ； ②下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)组成公差为 的等差数列； ③数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是公差为 的等差数列； ④数列{a n ＋b n }仍是等差数列，公差为 ； ⑤数列{λa n ＋μb n }(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为 . 探究点二 等差数列与一次函数的联系 探究 由于等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )，与一次函数对比可知，公差d 本质上是相应直线的斜率．如a m ，a n 是等差数列{a n }中的任意两项，由a n ＝a m ＋(n －m )d ，可知点(n ，a n )分布以 为斜率，以 为纵截距的直线上． 请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表. 【典型例题】 例1 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值． 小结 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． 跟踪训练1 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式． 例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数． 小结 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量． 跟踪训练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数． 例3 已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. （1）数列{1 a n }是否为等差数列？说明理由． （2）求a n . 小结 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，也可以用a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式． 跟踪训练3 正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n . （1）数列{a n }是否为等差数列？说明理由． （2）求a n . 【当堂检测】 1．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3 2 D ．－32 2．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d ＝____ 3．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，求a 5＋a 8 4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 【课堂小结】 1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数． 2．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d . 3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． 【课后作业】 一、基础过关 1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于 ( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．300 2．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 3．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是 ( ) A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *) B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *) 4．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2 5．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于 ( ) A ．120 B ．105 C ．90 D ．75 6．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3＝________. 7．在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，求a m ＋n 的值． 8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 二、能力提升 9．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．不确定 10．等差数列{a n }中，公差为1 2，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝______. 11．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为1 4的等差数列，则|m －n |＝______. 12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n ≥2)，令b n ＝1 a n －2 . （1）求证：数列{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式． 三、探究与拓展 13．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1 a n ，n ∈N *. （1）求证：数列{b n }为等差数列． （2）试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由． §2.3等差数列前n 项和（一） 【学习要求】 1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程． 2．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个． 3．掌握等差数列前n 项和公式及性质的应用． 【学法指导】 1．运用等差数列的前n 项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当的公式解决问题． 2．要善于从推导等差数列的前n 项和公式中，归纳总结出一般的求和方法——倒序相加法． 【知识要点】 1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做 .例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记做 ；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝ (n ≥2)． 2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝ ；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝ 3．写出下列常见等差数列的前n 项和 （1）1＋2＋3＋…＋n ＝ ． （2）1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝ . （3）2＋4＋6＋…＋2n ＝ . 4．等差数列{a n }中 （1）已知d ＝2，n ＝15，a n ＝－10，则S n ＝________； （2）已知a 1＝20，a n ＝54，S n ＝999，则d ＝________； （3）已知a 1＝56，d ＝－1 6 ，S n ＝－5，则n ＝_______ 【问题探究】 “数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、 牛顿并列，同享盛名．高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后 一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，…共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050，这种算法是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？ 这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这一节我们就来学习等差数列的求和方法． 探究点一 等差数列前n 项和公式的推导 问题 求和：1＋2＋3＋…＋100＝？ 对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1. 所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S ＝50×101＝5 050. 请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋…＋n ＝？ 探究 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，你能利用“倒序相加法”求等差数列{a n }的前n 项和S n 吗？ 探究点二 等差数列前n 项和的性质 探究1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，易知a 1＋a 2＋…＋a m ，a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ，a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m 也成等差数列，公差为 .上述性质可以用前n 项和符号S n 表述为：若{a n }成等差数列，则S m ， ，_________也成等差数列． 探究2 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，求证：数列{S n n }也是等差数列． 探究3 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，证明：a n b n ＝S 2n －1 T 2n －1 . 【典型例题】 例1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n . 小结 在解决等差数列问题时，如已知a 1，a n ，n ，d ，S n 中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型． 跟踪训练1 已知等差数列{a n }中， （1）a 1＝32，d ＝－1 2 ，S n ＝－15，求n 及a n ； （2）a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 例2 （1）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； （2）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5 b 5 的值． 小结 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功 倍的效果． 跟踪训练2 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列???? ?? S n n 的前n 项和， 求T n . 例3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. （1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？ （2）如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n 项和． 跟踪训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29 【当堂检测】 1．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于 ( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，则S 6＝________. 4．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 【课堂小结】 1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量． 在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n a 1＋a n 2 较好，若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋ n n －1 2 d 较好． 3．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用． 【拓展提高】 一、基础过关 1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于 ( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 3．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) A ．2n ＋1n B ．n ＋1n C ．n －1n D ．n ＋12n 4．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为 ( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－15 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于 ( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 7．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 8．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 二、能力提升 9．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是 ( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－1 10．在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则该数列有____项． 11．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值时的正整 数n 的值是________． 12．有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别是24和30，若最后一项与第一项之差为212， 试求此数列的首项、公差和项数． 三、探究与拓展 13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22. （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求非零常数c . §2.3等差数列前n 项和（二） 【学习要求】 1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n . 【学法指导】 1．任何一个数列{a n }与它的前n 项和S n 之间都有一个等量关系式，此公式为：a n ＝? ?? ?? S 1 n ＝1， S n －S n －1 n ≥2， 题中已知一个数列的前n 项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要分类讨论． 2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用． 3．等差数列的前n 项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高境界处理等差数列的前n 项和问题． 【知识要点】 1．前n 项和S n 与a n 之间的关系 对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝? ??? ? n ＝1， n ≥2. 2．等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ . 3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝___，B ＝ ，C ＝ 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 【问题探究】 1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？ 2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？ 3．如果{a n }是一个等差数列，那么{|a n |}还是等差数列吗？如果不再是等差数列，如何求{|a n |}的前n 项和？ 这一节课我们就来解答上面的问题． 探究点一 数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系 问题 我们已经知道，如果通项公式a n 已知，就能求出S n ；反过来，如果已知数列{a n }的前n 项和S n ，能否求出它的通项公式a n? 探究 如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，求通项公式a n ，并判断这个数列一定是等差数列吗？ 探究点二 等差数列前n 项和的最值 问题 由于S n ＝na 1＋ n n －12d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2 )n ，当d ＝0时，S n ＝na 1；当d ≠0时，此解析式可以看作二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 的二次函数，其图象为抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x 上的点集， 坐标为(n ，S n )(n ∈N *)． 因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d ＞0时，S n 有最 值；当d ＜0时，S n 有最 值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值． 探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n 项和S 序号 等差数列 基本量 前n 项和S n S n 的最值 1 1,3,5,7,9，…， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝ (S n )min ＝1， 此时n ＝ . 2 －5,－3，－1,1,3， …， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝ (S n )min ＝ ， 此时n ＝ 3 4,2,0,－2， －4，…， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝ (S n )max ＝ ， 此时n ＝ 4 －1,－2，－3,－4，－5，…， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝ (S n )max ＝ ， 此时n ＝ （1）若a 1＞0，d ＜0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值． （2）若a 1＜0，d ＞0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值； 特别地，若a 1＞0，d ＞0，则S 1是{S n }的最 值;若a 1＜0，d ＜0，则S 1是{S n }的最 值． 【典型例题】 例 1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－3n ，求通项公式a n . 小结 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示． 跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n . 例2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值． 小结 在等差数列中，求S n 的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n 为关于n 的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解． 跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值． 例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 小结 等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和． 跟踪训练3 已知等差数列{a n }中，记S n 是它的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 【当堂检测】 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于 ( ) A ．n B ．n 2 C ．2n ＋1 D ．2n －1 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是 ( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 3．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________. 4．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值． 【课堂小结】 1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N *都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．求等差数列前n 项和的最值 （1）二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观． （2）通项法：当a 1>0，d <0，????? a n ≥0， a n ＋1 ≤0时，S n 取得最大值； 当a 1<0，d >0，? ???? a n ≤0， a n ＋1≥0时，S n 取得最小值． 3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点． 【拓展提高】 一、基础过关 1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．17 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为 ( ) A ．91 B ．152 C ．218 D ．279 3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9 S 5 等于 ( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．1 2 4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6 S 12 等于 ( ) A ．3 10 B ．1 3 C ．1 8 D ．19 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n (n ∈N *)，则通项a n ＝________. 6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________． 7．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n . （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）求S n 的最小值及对应的n 值． 8．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. （1）求{a n }的通项公式； （2）求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 二、能力提升