小学数学竞赛辅导讲义 使用班级：100211、12、13、14
2012年9月
第一讲分析、综合、假设、递推——应用题
一、分析法与综合法
已知(条件)->.....->需知->未知(问题) 从右到左是一种分析的方法
已知(条件)->.....->可知->未知(问题) 从左到右是一种综合的方法
例1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，t小时后相遇于途中的C地，然后甲用8小时从C地走到B地，乙用2小时从C地走到A地，求t.
例2.一批商品，按50%的利润定价，销售掉70%以后，为了尽快售完剩下的商品，决定按定价打折，这样，全部商品售完后所获得的利润只有41%，问打了多少折扣？
例3.快中慢三汽车从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上了骑车人，现在已知快车、中车速度分别为每小时24千米、20千米，那么慢车每小时行多少千米？
例4.如图甲、乙、丙是三个车站，乙站到甲、丙站的距离相等，小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进，小明走到丙站后立即返回，经过乙站300米又追上小强，求甲、丙距离？（第一届华杯赛决赛一试第13题）
二、假设法与递推法
假设法分条件假设、问题假设、单位假设等。
例5.幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给每个小孩子分枣。甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个，结果甲班比乙班共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣，问三个班总共分了多少个枣？（第一届华杯赛决赛二试第3题）
例6.甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的一半时，丙是38岁，当丙的岁数是乙的2倍时，甲是17岁，问：甲、乙、丙三人现在各多少岁？
递推法：采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题方法
例7. 甲、乙两人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个或2个数，谁先报到30谁获胜，研究这个游戏，有没有必胜的策略。如果每人每次能报1个、2个或3个数呢？
例8.在电脑中先输入一个数，它会按给定的指令进行如下计算：如果输入的是偶数，就把它除以2；如果输入的是奇数，就把它加上3.同样的运算进行了3次，得出结果为27，则原来输入的数是多少？（第七届小数报数学竞赛填空第6题）
例9.有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克，先将甲桶的油倒入乙、丙两桶，使它们各自增加原有油的一倍，再将乙桶的油倒入甲、丙两桶，使它们各自增加原有油的一倍，最后，按同样的方法将丙桶倒入甲、乙两桶，这样三桶内的油都是16千克，问：甲、乙、丙三个油桶原有油多少千克？
例8. A车从大本营出发，要越过450千米的无人区，但车所带的油只能行驶300千米，每完成这一计划，需要再动用几辆同样的车帮助供给燃油，然后供油的车返回大本营，如何安排？
习题
1、五位老人的年龄各不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大6岁，已知他们的平均年龄是85岁，问其中年龄最大的是几岁？
2、狗追兔子，开始追时狗与兔子相距20米，狗跑了45米后，与兔子还相距8米，问狗还要跑多少才能追上兔子？
3、公共汽车每隔一定时间发车一次，有人在路上匀速行走，发现每隔6分钟从背后开
过一辆汽车，每隔
2
4
7
分钟对面有一辆驶来，问汽车每隔多少时间发车一次？
4、有黑白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍，现在从堆内每次取出黑子4个，白子3个，取若干次后，白子取尽，而黑子还剩16个，求原来黑白子各有多少个？
5、有一堆火柴共100根，两人轮流去取，每人每次取的火柴不能多于10根，也不能不取，谁取到最后一根谁胜，问先取火柴的人第一次取几根，才能保证取胜？
答案：1、88；2、30；3、5；4、48,24；5、略
第二讲演绎法和逻辑推理题
演绎法：从真实的前提出发，运用正确的推理形式，必然得到真实的结论。
排中律：两个互相矛盾的判断不可能同假，必有一真。?p∨p?T
矛盾律：两个互相矛盾的判断不可能同真，至少有一假。?p p?F
∧
三段论：(P→Q)∧(Q→R)?P→R
（一）比赛胜负场次问题
例1.甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场?（第一届华杯赛初赛第10题）
例2. 10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局。其中有两队并列第一，两队并列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况。请计算出各队得分. （第八届华杯赛决赛二试第5题）
例3.德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球比赛，每一队与另外两队各赛一场，现在知道：（1）意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局：（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且它恰好胜了一场。按规则，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分，那么，德国队共得_________ 分。（1993年小学奥数决赛第5题）
练习1. 设8人参加一个象棋循环赛（即每两人都比赛一场），并且他们的得分都不相同，比赛记分规则是：胜者得1分，失败的得0分，平局的双方各得0.5分。已知第2名的得分是最后四名得分的和，则第2名的得分是分？（2005年南京市少年数学智力冬令营试题）
练习2. 2004年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支球队分在一个小组，在小组赛中，每支队都要与其他3支队比赛一场。比赛规定：每场比赛胜者得3分，失败者得0分，比赛踢平者双方各得1分。已知
（1）这4支队3场比赛的总得分为4个连续的奇数；
（2）乙队总得分排在第一；
（3）丁队恰有两场踢平，其中一场是与丙队踢平。
问：总分排在第4的是哪个队？
（二）试卷答案问题
例4. 一场考试的试卷有10道判断题，每题10分，甲、乙、丙、丁四人的答案如下：（“○”表示“对”，“×”表示“错”）
题号
12345678910得分考生
甲○×○×○○×××○70
乙○○×××○○○××70
丙×××○○×○×○×60
丁○○××○×××××
问：丁得了多少分？
例5：有A,B,C三人参考一次考试，试卷有10道判断题，每题10分，三人的答案如下：（“○”表示“对”，“×”表示“错”）
题号
12345678910得分
考生
A×○○○×○××○×70
B××○○○×○○××70
C○×○×○○○×○○70
问：这10题的正确答案是什么？（南京市第二届兴趣杯预赛第9题）
（三）真假话
例6.有红，黄，蓝三个盒子，两个盒子是空的，有一个盒子里放了一个乒乓球，每个盒子盖上都写了一句话：
红盒子上写着“乒乓球不在这里”
黄盒子上写着“乒乓球不在这里”
蓝盒子上写着“乒乓球在红盒子里”.
已知这三句话中只有一句是真的，问乒乓球究竟放在哪个盒子里？
例7. A,B,C,D四人对某个两位数的性质各作出如下判断：
A：2除余1，3除余2；B：4除余3，5除余4；
C：6除余5，7除余6；D：8除余7，9除余8.
已知四人中，每人只说对了一半，求这个数。（书P26）
（四）反证法
例8.将1，2，3，……，21分成7组，每组3个数，证明：无论怎么分组，都不能保证每组中都有一个数是其余两数之和。
例9. 要将36个代表名额分配到12个学校，每校至少分到1个名额，求证：不管怎么分组，至少有3个学校名额相同。
习题
1、A、B、C、D、E五人参加乒乓球赛，每两个人之间要赛一场，并且只赛一场，比赛规定：胜者得2分，负者得0分，最后按照积分排名次。结果如下：
（1）A与B并列第一名；（2）C得第三名；（3）D与E并列第四名
求C的得分？
2、10名选手参加象棋比赛，每两名选手都要比赛1场，记分方法为：胜一场得1分，平一场得0.5分，负一场得0分。比赛结果是选手们所得分数各不相同。第一名和第二名一场都没有输，前两名的总分比第三名多10分，第四名与最后四名得分总和相等，那么第三名得分是多少？
3、甲、乙、丙三人参加一次考试，试题共7题，都是判断题。回答结果发现这三个人都只答对了5题，答错了2题，他们答案如下：
求正确答案。
4、智慧老人来到一座岛上，岛上住着两个民族，一个是说谎族，一个是诚实族。说谎族永远说谎话，诚实族永远说真话。一天，老人遇到一个高个子和矮个子。老人先问高个子：“你是诚实族的吗？”，高个子回答了一句但老人没有听清楚，这时，矮个子说：“他回答的是‘是’，不过你不要相信他，他是说谎族的。”那么你能推断出这两个人分别是什么族的吗？
5、 小赵的车牌号码是一个五位数，它由五个不同的数字组成。小王说：“它是93715”；小张说：“它是79538”；小李说：“它是15239”。小赵说“你们三人猜对的数字个数都一样，并且号码上的每一个位置的数字都有人猜对，而每个人猜对的数字的数位都不相邻”。问这个号码是多少？（1998年小学数学奥林匹克决赛试题）
答案：1， 4； 2，6.5分； 3，√×√××√√ ； 4，高个子是说谎族的，矮个子是诚实族的； 5,19735
第三讲 归纳、类比、化归、递推法
一、归纳与类比法
由特殊性前提引出一般性结论的推理叫做归纳推理。以归纳推理为主的科学研究方法叫做归纳法。
根据两类事物的某些属性相同，推测他们的其他属性，也可能相同的推理，叫做类比推理，以类比推理为主的科学研究方法叫做类比法
例1、的末两位数是什么？ 200720072576+例2、 计算2003
2003
2003
3333331999×+KK K K KK 142431424314243
例3、 的个位数字是什么？
20082008例4、 把 8，88，888，……，1992
888K K 14243
这1992个数相加，所得和的末三位数字是什么？（第五届小数报初赛第11题）
思考题：设1991
222n =×××K K 144424443
，那么n 的末两位数字是什么？（第七届迎春杯第38题）
二、化归、递推法
化归是指转化和归结的意思，就是将当前有待解决的问题，经过转化，归结为已经解决或容易解决的问题。
递推法是指为了解决一个问题，先考虑与它有关的另一个比较简单 的问题，并加以解决，然后以此为基础，寻求规律，一步一步递推出原题的解答。
例5、 在数字中间加上合适的运算符号（或括号），使下面等式成立。
4 4 4 4=0
例6、 由数字7和8组成的，能被6整除的四位数有哪些？
例7、 （1）同一个平面内7条直线最多有多少个交点？21
（2）同一个平面内7条直线最多能将平面分成多少个部分？
例8 有一段楼梯有10个台阶，规定每一步只能跨一级或二级，问：要登上第10级台阶有多少种不同的走法？（斐波那锲数列）
例9 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果分成不少于50个小纸片，至少要画多少直线？请说明。（第三届华杯赛决赛一试第4题）
例10 现有如下一系列图形：
n=1 时，长方形ABCD 分为2个直角三角形，总计数出5条边； 出多少条边？（第读材料：
列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo ……
式：
当 当n=2 时，长方形ABCD 分为8个直角三角形，总计数出16条边；当n=3 时，长方形ABCD 分为18个直角三角形，总计数出33条边；按以上规律，当n=100时，长方形ABCD 分为多少个直角三角形，总计数六届华杯赛决赛口试第20题）
阅“斐波那契数Fibonacci ，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公
或
F (n+2)F(n)+F(n+1)=
有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 例1、 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔兔子还没有繁殖能力，所以一共是三出下表：
---6---7---8---9---10---11---12
子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 分析：我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔民数共有两对；
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小对； ………
依次类推可以列 经过月数：---1---2---3---4---5 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144
A B C A B
C
D C
D
表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，兔子数，
每月的小兔子数为上月的大兔子数，例2、现有长为144cm 的铁丝，要截成n 小段（n>2），每段的长度不小于1cm ，如果其中任三边，因此不构成三角形的条，正是这个最小数1产生了的前n 项和，我们是把144超出143的习题
1.有80枚硬币，其中1枚假币（比标准重问一架天平最少几次可以找出假币？有一幅8×8的方格图，用8张1×2的长方形纸片去覆盖，有多少种方法？
那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的即上上月的兔子数，相加。
意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为多少？ 分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n 最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n 达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。
），
2.
5个车站，如果一辆公共汽车除
终点一个长方形把平面分成两个部分，那么三个长方形最多可以把平面分成几部分？（第六届现有长度分别为1厘米，2厘米，3厘米，……，10厘米的木条一根（规定不能折断），从中案：1、4；2、34；3、56；4、26；5、19.
3.有一路公共汽车，包括起点站和终点站在内一共有1站外，
每一站上车的乘客中都恰好有一位乘客从这一站到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少要多少座位？
4.迎春杯决赛第一大题第13题）
5.任选若干根可以围成一个正方形，问共有几种不同的方法？（边长相同，选取木条不同的算不同的方法）
答
第四讲 试验法、列举法筛选
一、试验法
不同字母代表不同数字，问：A,B,C
各代表什么数字？例1、 如图，加法算式中每个字母代表一个数字， AA B B CC
BAC
+
例2、 把下面算式中字母换成数字，不同的字母换成不同的数字。
BDCE BDCE
ADCBE +
练习：p62,EX3
例3、 下式中“香港”“中国”均代表一个两位数，则香港= ，中国= 。
（1=(中国)2+1949 例4、 用1，3，5，6，7分别替换：欢欢×喜喜+过新年=1991。书p57
例5、 请在算式1□×1□=1□×1□中的方框中填入四个互不相同的数，使等号成立。 （第
二、列举筛选法
例67、 在下面残缺的算式中，只写出五个3，那么这个算式的商是 997小学奥数决赛A 卷第3题）
(香港)2+1997
五届华杯赛口试第10题）
、 在右图方框内填上合适的数，你能想出几种填法？p.60
例。 （19练习：p.62,4(1)
例8 一个四位数是一个平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同，求这
个四x 333
3 3
0xx
xxx xxx x
x x x x x xxx xxx 94小学奥数初赛A 卷第4题）
位数。
（书p.61）
例 9 在右边算式中，相同符号代表相同数字，根据算式推算出：
□＋○＋?＋※= 。（第八届《小数报》初赛第5题）+??
练习：p.63X7,12
习题
1.从1—9这九个自然数中选出互不相同的数填入下列八个○内，使得算式的结果尽可能大[○÷○×(○＋○)]- [○×○＋○－○]
2.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立 （1□
3.下面算式里相同的汉字代表同一个数字，不同的汉子代表不同的数字，如果以下三个等式春春=杯迎迎杯； 数数×学学=数赛赛数； 春春×春春=迎迎赛赛； 那么，
4.在右图中，只写出3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是多少？ （19,E 。
9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992
成立：
迎迎×迎+春+杯+数+学+赛=？（第四届迎春杯决赛第一大题第4题）
94年小学数学奥林匹克决赛第2题）
1 1 1×
5.在下面的算式中，只有四个4已知，则被除数是多少？（2002年小学数学奥林匹克
预赛）
答案：1、[9÷1×(8＋7)]- [2×3＋4－6]；2、（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2）=1992
；3、39；4、3816；5、38766
第五讲 代数法、几何法
一、代数法
主要应用于用字母表示数或量，列方程解或代数式，表示数量关系等。
例1 计算：(2 3.15 5.87)(3.15 5.877.32)-(2 3.15 5.877.32)(3.15 5.87)++×+++++×+
例2、 比较123456123455
, 987654987653
=
=A B 的大小。
二、几何法
（一）线丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。甲乙（二）关系图
丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，练习：甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛。每两人都要比赛一盘，每胜一盘段图
例3、甲、乙、两人从东镇、丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后2分钟再遇到甲，两镇距离的1/4是多少米？（第一届“迎春杯”决赛第31题）
例4、甲、乙、甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了l 盘。问小强已经赛了几盘?（第一届华杯赛复赛第9题）
得2分，和一盘得l分，输一盘得0分。到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了l分；丁赛了1盘，得了2分。那么小明现在已
赛了 盘，得了 分。
（第五届“祖冲之”杯数学邀请赛第12题）
例5、 今有七个人，已知下列事实：a 会讲英语；b 会讲英语和汉语;c 会讲英语、意大利语和俄语；d 会讲日语和汉语；e 会讲德语和意大利语；f 会讲法语、日（三）树形图
,B,C,D,E,F,G ,H,I,K 代表十个互不相同的大于0的自然数，要使下列等式成立， E+F=C ； G+H=D ； H+I=E ； I+K=F （书p.例7、 有8个硬币，已知恰好有一个硬币是假的且比其它的重，试用一架天平找出假币。思考：如果仅仅知道有一个硬币是假的，不知是重的还是轻的，如何用一架天平找出假币？,,,,,,a b c d e f g 语和俄语；g 会讲法语和德语。现在这七人坐在一个圆桌旁，试问这七个人应如何排座位，才能使每个人都能和他身边的两个人交谈？
例6、 已知A A 最小是什么数？
B+C=A ； D+E=B ；72）
（四）韦恩图
60的最简真分数有多少个？（书p.75）
(五)表格图
举行“普法”学习竞赛，有五个家庭进入决赛，规定每个家庭有2名成员参加例10、男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡顶为A ，坡底为B ）。两人习题
1.四名棋手每两名选手都要比赛一局，2分，平一局得1分，负一局得0
2.一件工作，甲每天工作8小时，30天完成，乙每天工作10小时，20天完成。现甲每工作
3.一次足球赛，有A、B、C、D4支球队参加，每两队都赛一场，规定胜一场得2分，平一场
4.（相识问题）任何6人中，必定有3人相互认识，或者相互不认识。
答案：1、3； 2、例8、 分母是例9、 某市，决赛时，进行了四次比赛，每次比赛结果各家出一名成员参赛。第一次参赛的是A ，B ，C ，D ，E ；第二次参赛的是F ，B ，A ，D ，G ；第三次参赛的是C ，H ，A ，I ，F ；第四次参赛的是G ，A ，B ，H ，E 。此外，有一人因故四次均未参加，问谁和谁是一家人？
同时从A 点出发，在A 、B 之间不停地往返奔跑。如果男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米；女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米，那么两人第二次迎面相遇的地点离A 点________米。
规则规定声一局得分，比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不一相同，那么至少有几个平局？
6天休息1天，乙每工作5天休息1天。两人合作13天且每天都工作8小时后（包括休息日在内），剩下由乙单独做，每天工作6小时，那么乙还要多少天才能完成？
得1分，负一场得0分。比赛结果，B 队得5分，C 队得3分，A 队得1分，所有场次共进球9个，B 队进球最多，进4个球，C 队失3个球，D 队1球未进。A 队与C 队比分是2：3，问A 队与B 队的比分是多少？（2002小学数学奥林匹克试题）
3
16F E D C B A ；3、0:3；4、略
第六讲 组合论方法
一、计数法
类办法，在第一类办法中有m 1种方法，在第二类办法中有m 2种方
法， 2、在下图中方格中，有多少个正方形？30
主要应用：数线段条数，数几何图形个数，利用排列组合方法求路径等。（一）加法原理
如果完成一件事有n ……，在第n 类办法中有m n 种方法,那么完成这件事共有N= m 1+ m 2……+m n 种不同的方法。
例1、 计算图中线段条数
44×例
表示，则
12(1)n n i i j i j k n i
i j
i j k
A A A A A A A A A A <<<=?+
++?∑12A A ∑∑
U LL L 。
当n=3时，即为U UL 123123121323123A A A A A A A A A A A A A A A =++???+U U 2
3
74
8121
少年宫
学校
。
3、 某班参加田径运动会各类项目的人数统计如下：参加径赛15人，参加跳类13人，习：p.95,EX8 例
4、在从1到1998的自然数中，能被37整除，但不能被2整除，也不能被3整除的数的练习：在1至100的自然数中，不能被2整除又不能被3整除，也不能被5整除，这样的数（三）乘法原理
n 个步骤，第一步有m 1种方法，做完第一步后做第二步有m 2种方法，例5、 图中共有多少个长方形，求这些长方形的面积之和。P.87例6、 从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路，李
楠从例参加投掷类14人，既参加径赛、跳类的有4人，既参加跳类、投掷类的有5人，既参加投掷类、径赛的有6人，三类都参加的有2人。求这个班参加运动会的总人数？（p.87,）
练
个数等于________。 （1998年小学奥数决赛B 卷第7题）
共有多少个？（第七届 “迎春杯”第23题）
如果完成一件事需要……，最后做第n 步有m n 种方法，那么按照这样的步骤完成这件事共有
N m m m =×××L 种方法。
12n
学校出发，
步行道少年宫（只允许向东或向南行驶），最多有 种练习：图一是由19个六边形组成的图形，在六边形内蚂蚁只可以选图二中箭头所指的方
不同的行驶路线。（第六届“迎春杯”第32题）
向之一爬到相邻的六边形内。一只蚂蚁从六边形A 出发，选择不经过六边形C 的路线到达六边形B ，那么这样的路线共有 条。 （2008年小学奥数决赛第11题） 解：
例7 有152个球，放入若干个同样的箱子中，一个箱子最少放l0个，最多放20个，且各二 抽屉法
果将n+1件物品放到n 个抽屉中去，那么至少有一个抽屉里放的物品不少于两： 如果将多于件物品任意放到n 个抽屉中去，那么至少有一个抽屉里放的物体屉
个箱子的球数均不相同。问：有多少种放法?(不计箱子的排列，即两种放法，若经过箱子的重新排列后，是一样的，就算一种放法)（第七届华杯赛决赛二试第3 题）
原理1： 如件。
原理2m n ×不少于m+1件。
※利用余数构造抽例8、 18个小朋友中，个小朋友在同一月出生。（第二届小数报初赛第4题） 例9、 任意取多少个子自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数，为什么？
例10、 求证：在任何3个整数中，必有这样的两个数，它们的和是2的倍数。
例11、求证：任意给出6个整数，至少有两个数之和或之差能被8整除。
※利用分组构造抽屉
1988，1989这些自然数中，最多可以取 ①恰好有2个 ②至少有2个 ③有7个 ④最多有7个
例12、 从1，2，3，……，个数，其中每两例13、从1,3,5,7，……，97,99中最多可选出多少个数，使它们当中的每个数都不是
另一例14、 某班组织全班45人参加比赛，项目有A,B,C 三项，规定每人至少参加一项，最多※ 利用数字排列构造抽屉
个数的差不等于4.（1989年小学奥数决赛第12题）
个数的倍数。
（2001年小学数学奥林匹克试题）
参加两项，至少有几人参加的项目完全相同。
例15、某校有20
个班级，平均每班46人，老师让每个同学用1991这4个数字中的1个或※利用几何图形构造抽屉
形中（包括边界上）任意放入5个点，求证：这5个点中，必有例17.如图，两条直线相交，四个交角中的一个锐角或直角称为这两条直线的“夹角”。现在三、图论方法 （题
笔画出
例,如图所示。 偶顶点，那么可以一笔画出，并且数顶点中奇数顶点大于2，则不能一笔画出。
上且不重复，问：出入口应设在哪例21、一个邮递员投递信件的街道如图所示,图上的数字表示各街
几个任意写出一个自然数，那么，至少有多少人写的数字相同？
例16、 在边长为1的正三角2个点，它们的距离不大于1/2.
平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30o，60o或90o，问：至多有多少条直线？
一）、一笔画问例18、
下列图形能否一19、
（柯尼斯堡七桥问题）柯尼斯堡河中有两岛。城市的各部分由7座桥接通古时城中居民热衷于一个问题:游人从任一地点出发,怎样才能做到穿过每座桥一次且仅一次后又返回原出发地。
定理：在连通图中
（1）如果图形只有可以任何点为起点和终点。 （2）如果图形中有且只有两个奇数顶点，那么可以一笔画出，但必须是以这两个奇为起点和终点
（3）如果图形例20、右图是一个公园的示意图，要使游客走遍每条路里？
道的千米数，他从邮局出发，走遍所有的街道，最后返回邮局，问：走怎样的路线最合理？书p.225
3
（二）染色问题
例22、 25个学生排成5×5的方阵，如果想让每一位学生与相邻的学生交换位置，能办到吗？
例23、 有一个6×6个房间的展厅，每个房间与相邻的房间想通。现有人想从进口入内，出口出来，每个展厅都走到且不重复，应该怎样走？
例24 把正方体分割成27个小正方体，在中心的那个小正方体中有一只蚂蚁，蚂蚁能从每个小正方体走到任意相邻的小正方体中去。问：如果要求蚂蚁只能到每个小正方体一次，那么它能走遍所有的小正方体吗？
例25、右图是由34块1×1的小方块拼成的图形，能不能用若干个2×1的矩形全部覆盖？
进口 出口
例26、 8×8棋盘能不能用15个 和1个覆盖。
习题
1、求证：任给7个不同的整数，其中必有两个整数的和或差是10的倍数。
2、现在有64个乒乓球和18个乒乓球盒，每个盒子最多可以放6个球，如果把这些球全部放入盒内，不许有空盒，那么至少有多少个乒乓球盒里的球数目相同。
3、 从1，2，3，……，49，50这50个数中任意取出26个数，那么这26个数中至少有两个数互质，问这是为什么？（第六二届小数报初赛简答题）
4、在8×8的方格纸中，每个方格纸内可以填上1—4四个自然数中的任意一个，对每个2×2的“田”字形内的4个自然数求和，在这些和中，相同的和至少有多少个？
5、求证：在任何5个整数中，总可以找到这样的3个数，它们的和是3的倍数。
6、右图是表示一所房子的示意图，数字表示房间号码，每个房间与隔壁相通，小王要从1号房间开始不重复地走遍这9间房子又回到1号房间能做到吗？
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7、能否用9个1×4的长方形拼成1个6×6的正方形？
8、 8×8的国际象棋棋盘能不能剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形？如果能，请给出一种剪法；如果不行，请说明原因。
9、试证：任意6个人中，一定有3个人或相互认识，或相互不认识。 10、 一个8×8的国际象棋棋盘，去掉对角上两格后，是否可以用31个2×2的“骨牌”把象棋棋盘上的62个小格完全覆盖。
答案：1、略；2、4个；3、略；4、4个；5、略；6、不能；7、不能；8、不能；9、略；10不能。
第七讲 数列 幻方和数阵
一、数列
两个问题：求某一项和求若干项的和
1、数列求和
等差数列：1()S 2n n n a a +=，等比数列：1(1)
1n n a q S q
?=?
方法：公式法，裂项法，错位相消法。
111(1)1n n n n =?++，
111()()()n a n b a b n a n b
=?++?++1
， 例1、求5791113151719
1612203042567290
?
+?+?+?+。
例2、计算111
12323499100101+++××××××KK 。
例3、计算10234511248162+++++KK 。
练习：计算1325791011193
457820212435
+
+++++++。 2、求数列的某一项
例4、（1）1，1，2，3，5，8，（ ），（ ）…….. （2）10，14，22，38，70，134，262，（ ）
例5、观察下列数的规律,第20行左起第一数是( ) 1 3, 5, 7 9, 11, 13, 15, 17 19,21,23, 25, 27, 29,31 ……………………………
例6、1123123451
,,,,,,,,,,1333555557
LL ,第2004项是( )
例7、(书p.119，例5) 将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向顺序排列(如图)，依次在2，3，5，7，10，…等数的位置处拐弯。(第十二届迎春杯决赛第三大题第3题) （1）如果2算作第一次拐弯，那么，第45次拐弯处的数是 。 （2）从1978到2010的自然数中，恰在拐弯处的数是 。
二、幻方
在n×n个方格中,不重复也不遗漏地填入n 2
个连续自然数,每个数占一格,并使每行,每列,每对角线上n个自然数相等,这样的数表称为n阶幻方.
幻方（Magic Square)起源于《易》，古 称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。易十数为体，八九为用，八九不离十。《易》九宫算动态组合模型（河图、洛书、八卦）是幻方的最简模型。
幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来
谈何容易。
世界上第一个幻方来自于中国，中国的洛书就是一个三阶幻方。但我国的幻方后来传到了国外，幻方多彩的变幻特征吸引了许多国外的数学家们。在16、17世纪，西方构造幻方就非常盛行。在19世纪末，幻方的研究发生了巨大的变化，在构造的难度上和奥妙的深度上都已大大超过以往。1890年左右一个叫G. Pfeffermann 的法国人，首先发明了第一个八阶和九阶“平方幻方”，在1901年，法国数学家里利的专著中创作了200余幅平方幻方，从而展开了高次幻方研究的新开端，因为平方幻方的各行各列及两条对角线诸数的和、平方和均相等，表现出更高级的美妙，立即引起幻方迷们的重视。平方幻方的发展历史，就应该从法国人G. Pfeffermann 谈起
1、三阶幻方的制作
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2
注：杨辉方法：“九子排列，上下对易，左右相更，四维
挺出”。
《射雕英雄传》：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，戴九履一，五居中央”。
2、四阶幻方的制作方法—对称变换法
c3 方法：以十六字依次排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15
16
1 15 14 4 1
2 6 7 9 8 10 11 5 13
3
2
16
五阶幻方 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18
25
2
9
3、例题讲解
例8、右图3×3的正方形每一方格内的字母都代表某个数，已知每行、每列以及两个对角线上的三个数字之和都相等，若a=4,d=19,l=22,那么b= ,h= .
(第四届“祖冲之杯”数学邀请赛第9题)
a b c
d e f
g h l
练习：如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行每列及两条对角线上的三个整数的和相等，那么X=。（第十一届“迎春杯”决赛第二题第7题）
22
X
26
例9、右图3×3的方格中，要求每一方格填入不同的数，使得每行、每列以及两个对角线上的三个数字之和都相等，问：图中左上角的数字是多少？
x
x x1 X2
19 X3 19
13
13 X4
例10、在右图中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使得每行每列每条对角线上的三个数之和等于21.
8
思考：在图中方格填入不同的整数，使得每行每列每条对角线上的三个数之和等于30.
第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质： 1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法． 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形： 注：设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)2 c b a r -+=； (2)c b a ab r ++= ． 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、
BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可． 【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·P C为定值； ④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键． 【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D 三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．
初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ E 解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。 乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。
丁图中共有等边三角形48个： 边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15 顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10 边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10 顶点在下▼的个数有 1＋2＝3 边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同 一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不 出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。 （1989年全国初中数学联赛题） 解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1，A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2（因重复计算）。 要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线， 共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A 1A 4，A 2A 5， A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速 前进，当甲在O 点时，乙离点O 为500米，2分钟后，甲、乙离点O 相 等；又过8分钟，甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y 米，根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3
初中数学竞赛辅导资料（12） 用交集解题 甲内容提要 1． 某种对象的全体组成一个集合．组成集合的各个对象叫这个集合的元素．例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个． 2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集． 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集． 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集． 例如 不等式组? ??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是（ ） 不等式（1）的解集x >3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x >3． 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答．把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案． 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案．（如例2） 乙例题 例1． 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值． 解：除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝ 除以5余3的自然数集B ＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数． 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数． 解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝； 其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组． 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组． 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人，订阅B 种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们
假设法（答案） 1．买15只板羽球应付多少元？ 0.20×15＝3.00（元）。 买15只乒乓球应付多少元？ 0.16×15＝2.40（元）。 一共应付多少元？ 3.00＋2.40＝5.40（元）。 综合式： 0.20×15＋0.16×15＝5.40（元） 或（0.20＋0.16）×15＝5.40（元） 答：一共应付5.40元。 2．四分邮票有多少张？ （0.08×100-4.80）÷（0.08-0.04） ＝3.20÷0.04 ＝80（张）。 八分邮票有多少张？ （4.80-0.04×100）÷（0.08－0.04） ＝0.80÷0.04 ＝20（张） 答：四分邮票有80张，八分邮票有20张。 3．买来杯子有多少只？ （0.55×30－13.8）÷0.15 ＝2.7÷0.15 ＝18（只）。
买来碗有多少只？ 30－18＝12（只） 答：买来碗有12只，杯子有18只。 4．8小时比原计划多生产多少个？ 15×8=120（个）。 比原计划提前几小时？ 10-8=2（小时）。 按原计划2小时能生产多少个？ 120-72=48（个）。 李师傅原来每小时生产多少个零件？ 48÷2＝24（个）。 综合式： （15×8-72）÷（10-8） ＝48÷2 ＝24（个） 答：李师傅原来每小时生产24个零件。5．设这批机床的总台数为“1”。 甲每天完成总台数的几分之几？ 乙每天完成总台数的几分之几？ 甲车间比乙车间每天多做总台数的几分之几？
这批机床共有多少台？ 综合式： 答：这批机床共有60台。 6．设梨树的棵数为“1”。 梨树有多少棵？ ＝120（棵）。 桃树有多少棵？ 李树有多少棵？ 答：梨树有120棵，桃树有150棵，李树有100棵。7．教师有多少人？ 100÷（6-1）＝20（人）。 学生有多少人？ 100-20＝80（人）。
第十四讲图表信息问题 21世纪是一个信息化的社会，从纷繁的信息中，捕捉搜集、处理、加工所需的信息，是新世纪对一个合格公民提出的基本要求． 图表信息问题是近年中考涌现的新问题，即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题情境的一类试题． 图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来，解题时要通过对图象的解读、分析和判断，确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系，然后运用数形结合、待定系数法等方法解决问题． 表格信息题是运用二维表格提供数据关系信息，解题中需通过对表中的数据信息的分析、比较、判断和归纳，弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，然后运用所学的方程(组)、不等式(组)及函数知识等解决问题． 【例题求解】 【例1】一慢车和一快车沿相同的路线从A到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题： (1)慢车比快车早出发小时，快车追上慢车时行驶了千米，快车比慢车 早小时到达6地； (2)快车追上慢车需小时，慢车、快车的速度分别为千米／时； (3)A、B两地间的路程是． 思路点拨对于(2)，设快车追上慢车需t小时，利用快车、慢车所走的路程相等，建立t的方程． 注：股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波等，它们广泛出现在电视、报刊、广告中，渗透到现实生活的每一角落，这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息，我们应学会收集、整理与获取． 【例2】已知二次函数c + =2的图象如图，并设M=b y+ ax bx + + - + 2， +2 - - + a a- a c b b b c a 则( ) A．M>0 B．M＝0 C．M<0 D．不能确定M为正、为负或为0 思路点拨由抛物线的位置判定a、b、c的符号，并由1 x，推出相应y值的正负性． = ±
初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容 本次培训具体计划如下以供参考 第一讲实数一 第二讲实数二 第三讲平面直角坐标系函数 第四讲一次函数一 第五讲一次函数二 第六讲全等三角形 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发 第九讲竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法
第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试未装订在内另发 第十四讲试卷讲评 第1讲实数一 知识梳理 一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则 绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b ③对任意实数a则a≥a a≥－a ④a·b＝ab b≠0 ⑤a－b≤a±b≤a＋b 2实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 ＝ 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数
2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方 例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题 例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根 巩固 1已知则的值为______________ 2若 的值 拓展 设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用 例2已知xy是实数且 例3 已知适合关系式求的值 巩固 1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则
初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1．添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1 ①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里 16是完全平方数） ②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5) ③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1 =a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1) 2．运用因式定理和待定系数法 定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x3－5x2+9x－6②2x3－13x2+3
《小学数学竞赛辅导》教学大纲 课程编号：12307057 总学时： 14 课程学分：1 开课对象：小学教育专业本科学生 课程类别：专业任选课 课程英文译名：Tutorship of Mathematics Competition in Primary School 一、课程任务和目的 任务：使学生了解小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略，了解小学数学竞赛题型，掌握小学数学竞赛题的解题规律，培养学生研究小学数学的兴趣，提高学生的解题能力和数学思维能力。 目的：小学数学竞赛辅导是为将来从事小学数学教学打下坚实基础。 二、课程教学内容与要求 (一)绪论（2学时） 教学要求：明确开设小学数学竞赛辅导课程的意义，教学的方式和要求，了解小学数学竞赛的内容，发展趋势，以及小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略。 教学重点：小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略。 教学难点：数学竞赛的题型 教学内容： 1.课程的意义 2.小学数学竞赛的教学内容，发展趋势 3.小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略 4.小学数学竞赛的题型介绍 (二) 假设法问题（２学时） 教学要求：掌握假设法解题的方法、步骤，了解应用假设法解决的典型题型及基本解法。 教学重点：假设法解题的方法、步骤。 教学难点：假设法解题。 教学内容： 1.假设法解题的方法、步骤 2.鸡免同笼问题的解决方法及推广 3.分数应用题应用假设法解题举例 (三) 盈亏、还原问题（2学时）
教学要求：掌握盈亏、还原问题的类型，解法，介绍应用方程思想解决此类问题的方法及典型题的介绍。 教学重点：掌握盈亏、还原问题的类型，解法。 教学难点：确定类型 教学内容： 1.盈亏、还原问题的类型 2.盈亏、还原问题的解题思想、方法 3.典型题的介绍，应用方程思想解决的方法 (四)相遇和追及问题（2学时） 教学要求：掌握相遇和追及问题的类型，解法，以及变异问题。 教学难点：较难相遇与追及问题的解法。 教学重点：变异问题—追及问题在钟面上数学问题中的应用。 1.相遇和追及问题的类型，求解的方法 2.典型题的介绍 3.钟面上的数学问题 (五) 整除问题（2学时） 教学要求：深刻理解整除的概念、性质、数的整除特征，以及整除问题的具体应用实例。 教学重点：数的整除特征及其应用。 教学难点：数的整除特征。 教学内容： 1.整除的概念、性质 2.数的整除特征 3.整除问题的应用实例 4.典型题的介绍 (六) 工程问题（2学时） 教学要求：掌握工程问题的类型、计算公式，解法。 教学重点：工程问题的分数应用题。 教学难点：工程问题的分数应用题。 教学内容： 1.工程问题的类型 2.工程问题的计算公式、解法 3.工程问题的分数应用题 4.典型题的介绍 (七) 抽屉原理（2学时）
第十五讲 统计的思想方法 20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求． 统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学． 随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律． 【例题求解】 【例1】 现有A ，B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示． (1)由观察所得， 班的标准差较大； (2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获 分才可以及格． 思路点拨 对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案． 注： 平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的： (1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”； (2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势． 【例2】 已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ，1y 、2y 、3y 的平均数为b ，则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为( ) A ．2a+3b B ．b a +3 2 C ．6a+9b D ．2a+b 思路点拨 运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数．
一几种解题方法 1．28分。提示：按从多到少顺序枚举。如果小军是两个1角硬币，那么小红的三枚硬币不可能是18分；当小军是一个1角一个5分时，小红是一个1角，一个2分，一个1分。 2．5种。 3．495。解：因为93＞700，所以只有下面三种可能： 13+33+53=153 13+33+73=371， 33+53+73=495，其中只有495是11的倍数。 4．286。解：此数是13的偶数倍，必能被26整除。由260依次往小试验，260－26=234，234－26=208，都不符合题意。再由260往大试验，260+26=286符合题意。 5．15。解：1与不小于4的任何自然数都不满足题意，所以四个数中没有1。取2，3，4，a，前三个数满足条件，a=5不满足条件，a=6满足条件。所求数为2+3+4+6=15。 6．8种。解：将四个瓶子依次记为A，B，C，D，将四张标签依次记为a，b，c，d。假设A贴对了，其余的都贴错了，有两种情况： ①Aa，Bc，Cd，Db；②Aa，Bd，Cb，Dc。 同理B，C，D贴对了，其余的都贴错了，也各有两种情况。共8种。 7．10种。提示：有0，0，3；0，1，2；0，2，1；0，3，0；1，0，2；1，1，1；1，2，0；2，0，1；2，1，0；3，0，0十种方法。 8．7。解：不拆盒可买的节数有3，5，8，9，10，…因为超过10的数都可以由8，9，10中的某个数加3的倍数形成，而8，9，10都可以不拆盒，所以买7节以上（不含7）都不必拆盒。 9．11。提示：与第8题类似。 10．18支、10支、6支、4支。提示：因为总的铅笔数不多，故可依次假设丁有2支、3支、4支……铅笔。 11．21个。 提示：乙的红球、白球都是偶数。因为甲的红球数是乙的白球数的2倍，并且不超过10，所以乙的白球数只能是2或4。
第八讲由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期． 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法． 在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题． 【例题求解】 【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为． 思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x 的方程． 注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求； (3)解由解析式联立的方程组求． 【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后， 继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的 函数关系，大致是下列图象中的() 思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0 h． 注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．
专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：
小学数学竞赛活动方案 一、指导思想 为了激发小学生学习、钻研数学知识的兴趣，使学生逐步形成勇于实践、敢于创新的思维和良好品质，拓展学生的知识面，提高学生的数学素养，发展学生的个性特长。我校决定在2012年12月举行数学竞赛活动。 二、活动目的 通过数学竞赛，提高学生的分析问题和解决问题的能力、归纳推理的逻辑思维能力和探索实践的创新能力。进一步拓展学生的数学知识面，使学生在竞赛中体会到学习数学的成功喜悦，激发学生学习数学的兴趣;同时，通过竞赛了解小学数学教学中存在的问题和薄弱环节，为今后的数学教学收集一些参考依据。 三、参赛对象 一至六年级每班选派5名学生参加竞赛。 四、竞赛时间和地点 1. 竞赛时间:2012年12月15日星期四下午第一节 2. 竞赛地点:五(2)班、四(1)班教室 五、竞赛形式 笔试，40分钟内完成一张竞赛试卷。 六、竞赛标准 根据卷面分数评出各类奖项。 七、奖项设置 按年级评选出一、二、三等奖各一名。 数学教研组 2011-12-8 下面是赠送的保安部制度范本,不需要的可以编辑删除!!!!谢谢!
保安部工作制度 一、认真贯彻党的路线、方针政策和国家的法津法觃,按照####年度目标的要求,做好####的安全保卫工作,保护全体人员和公私财物的安全,保持####正常的经营秩序和工作秩序。 二、做好消防安全工作,认真贯彻“预防为主”的方针,教育提高全体人员的消防意识和防火知识,配备、配齐####各个楼层的消防器材,管好用好各种电器设备,确保####各通道畅通,严防各种灾害事故的发生。 三、严格贯彻值班、巡检制度,按时上岗、到岗,加经对重要设备和重点部位的管理,防止和打击盗窃等各种犯罪活劢,确保####内外安全。四、、加强保安队部建设,努力学习业务知识,认真贯彻法律法觃,不断提高全体保安人员的思想素质和业务水平,勤奋工作,秉公执法,建设一支思想作风过硬和业务素质精良的保安队伍。 11、保持监控室和值班室的清洁干净,天天打扫,窗明地净。 12、服从领导安排,完成领导交办任务。 5、积极扑救。火警初起阶段,要全力自救。防止蔓延,尽快扑灭,要正确使用灭火器,电器,应先切断电源。 6、一旦发生火灾,应积极维护火场秩序,保证进出道路畅通。看管抢救重要物资,疏散危险区域人员。 九、协同本部门或其他部门所进行的各项工作进行记录。 保安员值班操作及要求 一、交接岗 1、每日上午9时和下午 19时为交接岗。 2、交接岗时将当班所接纳物品清点清楚,以及夜班所发生的情况未得到解决的需>
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用
第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.
2020小学数学竞赛活动方案 一、指导思想 20xx版新课程标准指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，而且要培养人的理性思维和创新能力”。为此，我校特开展本次数学学科竞赛活动。目的在于丰富校园文化生活的同时，培养学生学习数学的兴趣，激发学生学数学、用数学的热情，培养学生思维的灵活性和敏捷性，提升学生应用数学知识解决生活问题的数学素养。 二、活动目的 通过数学竞赛，提高学生的逻辑思维能力、创新能力和计算能力以及应用数学知识解决、分析问题的能力，拓展学生的数学知识面，使学生在竞赛中体会到学习数学的成功喜悦，激发学生学习数学的兴趣，真正感受到数学来源于生活并服务于生活。同时，通过竞赛了解我校在数学教学中存在的问题和薄弱环节，为今后的数学教学收集一些参考依据。 三、竞赛年级 一、三、五年级 四、竞赛时间 1、一年级：__月__日（星期__）上午11：10-11：20进行计算大比拼。 2、三、五年级：__月__日（星期__）上午8：30-10：10进行应用意识，解决问题竞赛，其中五年级在__月__日（星期四）上午10：10-11：30进行数学史演讲比赛。 3、请各年级提醒学生提前10分钟进场。 五、竞赛形式 （一）一年级组 竞赛类型：计算大比拼。 1、规则：共100道题，用时10分钟，以班级为单位，各班选8名学生参赛，根据测试成绩决定竞赛名次，奖励年级前十五名（一等奖3名、二等奖5名、三等奖7名），团体奖一、二名。 2、竞赛地点：一（1）班和一（2）班教室。
（二）三、五年级组 1、竞赛类型。三年级：趣味数学；五年级：应用意识，解决问题。 2、规则： （1）题型分为计算题和填空题两大类，根据难易程度，试题数为20至25题之间，总分100分。题型分为计算题和填空题和能力提升题。计算题分值占20%，填空题分值占68%，能力提升题分值占12%。 （2）三、五年级各班推选8名选手参赛，按参赛学生总成绩÷参赛学生人数=班级均分（均分保留两位小数）计算各班成绩，根据测试成绩计算班级均分，按均分从高到低决定班级竞赛名次，并奖励年级前二十名（一等奖5名、二等奖6名、三等奖9名）。团体奖一、二、三名。 竞赛地点： 三年级：三（1）班、三（2）班教室。 五年级：五（1）班、五（2）班教室。 3、五年级数学史演讲比赛方式及规则： （1）各班推选一名选手代表本班参赛（演讲选手必须是应用意识，解决问题的八个选手之一），要求脱稿讲述。 （2）可适当布置场景、配置音乐；可根据内容准备相应的服饰和道具；讲述时间为4至6分钟，不足或超时者，视情况按规则扣分。 （3）数学史演讲比赛内容包括数学故事、数学历史，数学家等，应符合学生年龄特征及理解能力。 （4）选手最后得分为去掉一个最高分和去掉一个最低后的平均分，最后得分保留到小数点后两位。 （5）如果对背景音乐和PPT有特殊要求的，可自行播放。 一、活动目的 为了更好地展示我校素质教育成果，更好地推进我校课程改革向纵深发展，依据学校教学工作安排，经研究决定，本学期选择一、三年级数学开展数学竞赛活动。
初中数学竟赛辅导资料(1) 数的整除（一） 甲内容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 乙例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8
4能被4整除时，X＝0，4，8 当末两位X ∴X＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 丙练习 1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296 987能被3整除，那么a=_______________ 2若四位数a 12X能被11整除，那么X＝__________- 3若五位数34 35m能被25整除 4当m=_________时，5 9610能被7整除 5当n=__________时，n 6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152， ⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？ 1234能被15整除，试求A的值。 11己知五位数A 12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）
博望镇中心校小学数学竞赛 活动方案 一、指导思想 为了激发小学生学习、钻研数学知识的兴趣，使学生逐步形成勇于实践、敢于创新的思维和良好品质，拓展学生的知识面，提高学生的数学素养，发展学生的个性特长。根据县教体局有关精神，结合本学年业务工作历，经中心校研究决定在2017年11月下旬举行1---6年级数学学科竞赛活动。 二、活动目的 通过数学竞赛，提高学生的分析问题和解决问题的能力、归纳推理的逻辑思维能力和探索实践的创新能力。进一步拓展学生的数学知识面，使学生在竞赛中体会到学习数学的成功喜悦，激发学生学习数学的兴趣；同时，通过竞赛了解小学数学教学中存在的问题和薄弱环节，为今后的数学教学收集一些参考依据。 三、参赛对象 全镇一至六年级每个学片选派5名学生参加竞赛，其中镇区学校为独立参赛单位每个年级选派5名学生参加竟赛。 四、竞赛时间和地点 1. 竞赛时间：2017年11月23日星期四上午9：00---10:30 2. 竞赛地点：博望镇第二小学 五、竞赛形式 笔试，1---2年级60分钟，3年级80分钟，4---6年级90分钟内完成一张竞赛试卷。 六、竞赛标准
根据卷面分数评出各类奖项。 七、奖项设置 每个年级按成绩从高到低设一、二、三等奖。其中，一等奖六名，二等奖十名，优胜奖若干名。 八、出题、监考、阅卷教师 出题：李善东杨东坡崔朝生张强第冯菊赛梁建国 主考：杨松润 巡考：程海张付军姬建东赵保青 监考：吴永峰房柯见师春凤宋江华董巍张胜义张亚兵 阅卷：有中心校从一初中数学组抽调教师评卷。 博望镇中心校 2017-11-6
博望镇中心校小学数学竞赛 活动方案 主办：博望镇中心校 承办：博望镇第二小学 2017-11-6
第一篇 一元一次方程的讨论 第一部分 基本方法 1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。 2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =a b ； 当a =0且b ≠0时，无解； 当a =0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解； 当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析 例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？
例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？ 例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？ 例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？ 第三部分典题精练
1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解： ① (x +1)=0, ②x 2 =9, ③|x |=9， ④|x |=－3, ⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x 2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________ 3. 在方程a (a －3)x =a 中， 当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解； 当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。 4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？ ① x = k 4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？ 6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？ 7. 己知方程 2 2 1463+= +-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？
全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2) 三角形的边角性质 内容提要 三角形边角性质主要的有： 1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线 段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其 他两边和。用式子表示如下： a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-??? ????????>+>+>+?＜ 推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和 2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个 内角和。 推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180 六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 180 3. 边与角的关系 ① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边； 大边对大角，大角对大边。 ② 在直角三角形中， △ABC 中∠C=Rt ∠2 22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题 例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。 (1988年泉州市初二数 学双基赛题) 解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得?? ???<->>51135.1a a ∴1.5
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