全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2)
三角形的边角性质
内容提要
三角形边角性质主要的有：
1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线
段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其
他两边和。用式子表示如下：
a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-???
????????>+>+>+?＜
推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和
2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个
内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180
六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 180
3. 边与角的关系
① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；
大边对大角，大角对大边。
② 在直角三角形中，
△ABC 中∠C=Rt ∠2
22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中??
??=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中??
??=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题
例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。
(1988年泉州市初二数
学双基赛题)
解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得??
???<->>51135.1a a ∴1.5 答当1.5 例2.如图 A B C D AB=x ，AC=y, AD=z 若以AB 和CD 分别绕着点B 和点C 旋转，使点A 和D 重合组成三 角形，下列不等式哪些必须满足？ ① x<2z , ②y z 解由已知AB=x, BC=y －x, CD=z －x 要使AB ，BC ，CD 组成三角形，必须满足下列不等 式组： ?????>-+-->-+->-+x y z x y x y y z x y z x y x 即?????>>+>x z y z x z y 2222∴???? ?????<+<>222z x z x y z y 答y z 必须满足。 例3.已知△ABC 的三边都是正整数，a=5, b ≤a ≤c,符合条件的三角形共有几个？试写出它 们的边长。 解：由已知a=5，1≤b ≤5，∵c ∴符合条件的三角形共有15个，(按b,a,c 排列) 它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458； 555，556，557，558，559。 例4. 如图求角A ，B ，C ，D ，E ，F 的度数和 解：四边形EFMN 的内角和=360度 ∠1=∠A+∠B ，∠2=∠C+∠D ∠1＋∠2＋∠E ＋∠F ＝ 360度 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度 例5.△ABC 中，∠A ≤∠B ≤∠C ，2∠C=5∠A ，求∠B 的取值范围 (1989年泉州市初二数学双基赛题) 解：根据题意，得 ?? ???=∠+∠+∠∠=∠∠≤∠≤∠ 18052C B A A C C B A 得∠C=75(180 －∠B)，∠A ＝72(180 －∠B) ∴72(180 －∠B)≤∠B ≤7 5(180 －∠B) ∴ 40 ≤∠B ≤75 例6.在凸四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ，∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2求各内角的度数 解：作∠BCD 的平分线交AD 于E ， △BCE ≌△DCE （SAS ） ∴∠D ＝∠CBE △BCE ≌△BAE （SSS ） ∴∠CBE ＝∠ABE ＝∠D 设∠D ＝X 度，则2X ＋2X ＋4X ＋X ＝360 ∴X ＝40（度） 答∠DAB ＝∠ABC ＝80 ，∠B ∠D ＝160 ，∠D ＝40 C 1. △ABC 中，a=5,b=7,则第三边c 和第三边上的高h c 的取值范围是＿＿ 2. a,b,c 是△ABC 的三边长，化简22)()(c b a c b a --+-+得＿＿ 3. 已知△ABC 的两边长a 和b （a 是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4. 三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，按边长的数字写出这些 三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（按由小到大的顺序排列，可用省略号）（1987年全国初 中数学联赛题） 5. 各边都是整数且周长小于13，符合条件的 ① 不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ② 等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6.如果等腰三角形的周长为S ，那么腰长X 的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿＿ 7.四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，CD ＝7，边AD 的适合范围是＿＿＿ 8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角 （1986年泉州市初二数学双基 赛题） 9.△ABC 中，a>b>c,那么∠C 的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿ （1987年泉州市初二数学双基 赛题） 10.△ABC 中，∠C 、∠B 的平分线相交于O ，∠BOC ＝120 ，则∠A ＝＿＿ 11.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40 ，点D ，E ，F 分别在BC ，AC ，AB 上，CE ＝BD ，BF ＝DC ， 则∠EDF ＝＿＿ （1986年泉州市初二数学双基 赛题） 12.如图∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝＿＿＿＿＿度 （1986年泉州市初二数学双基 赛题） 13.如图∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠H ＝＿＿度 14.如图△ADE 中，∠ADE ＝140 且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，则∠A ＝＿＿ 15.如图∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠AED ＝＿＿＿＿度 （1988年泉州市初二数学双基赛 题） （这里∠AED 是指射线EA 绕端点E 按逆时针方向旋转到ED 所成的角） 16.△ABC 的AB ＝AC ＝CD ，AD ＝BD ，则∠BAC ＝＿＿＿度 （1988年泉州市初二数学双基赛 17.△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，∠B ＝60 ∠B 的平分线交AC 于D ，点D 到边BC 的距离为2cm, 则边AC 的长是＿＿cm (1988年泉州市初二数学双基赛题) C B A E B C D D A 18.△ABC 中，AB ＝AC ，M 是AC 的中点，则 BM AB 的值是（ ） （A ） 大于21（B ）大于32（C ）大于31（D ）大于43 19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大 边与最 小边的差大1，则这样的三角形共有＿＿个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。（1989 年泉州市初二数学双基赛题） 20.菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且△AEF 为等边三角形，求∠C 的度数。 初中数学竞赛辅导资料(29) 概念的定义 内容提要和例题 1. 概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。例如：水果， 人，上午，方程，直线，三角形 ，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。 2. 概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃， 李，苹果，…… 这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水 份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。 人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识， 同时运用概念进行工作，学习和生活， 3. 正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。 4. 理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面： ① 明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵； ② 明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。 例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的 外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。 又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三 角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。 就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。 一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。 5. 概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。 数学概念的基本定义方式是种属定义法。 在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫 A 种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形） 种属定义法可表示为：被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差） 例如：方程＝等式＋含未知数 又如：无理数＝小数＋无限不循环或 无理数＝无限小数＋不循环 再如等腰三角形＝三角形＋有两条边相等 6.基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概 念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是基本概念。 不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。 例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。 有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。 7.概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。 例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。 对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数”可定义为 ①有限小数和无限循环小数叫做有理数。②整数和分数统称有理数。 前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。 8.正确的概念定义，要遵守几条规则。 ①不能循环定义。例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义） ②定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如若用“无限小数叫做无理数”来 定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。 ③定义用语要简单明确，不要含混不清。 ④一般不用否定语句或比喻方法定义。 9.定义可以反叙。一般地，定义既是判定又是性质。 例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形“是被定义的概念，而“有两边相等的三角形”是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。 所以由定义可得 等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。 等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。 10.数学概念要尽可能地用数学符号表示。 例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在△ABC中，AB＝AC 直角三角形，要写出哪个是直角，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠ 又如 实数a 的绝对值是非负数，记作 a ≥0，“≥”读作大于或等于。 11. 运用定义解题是最本质的解题方法 例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示a ＝?? ???<-=>)0()0(0)0(a a a a a 含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。 如：化简：1-+x x 可等于?? ???≥-+<≤--<---)1)(1()10)(1()0)(1(x x x x x x x x x 解方程：1+x ＝2x+1可化为 当x<-1时， －（x+1）=2x+1； 当x ≥－1时， x+1=2x+1。 解不等式 x -1＜2 可解两个不等式组： ???<--<2)1(0-1x x ? ??<-≥-2101x x 练习29 1. 叙述下列各概念（名词）的定义，并画出图形，用数学符号表示： ①算术平方根 ②开平方 ③三角形的高 ④线段的中垂线 ⑤点到直线的距离 ⑥两点的距离 2. 叙述下列各概念（名词）的定义，并指出定义中的“种”概念和 “类征”（属差） ①锐角 ②直角三角形 ③平行四边形 ④分式方程 3. 叙述下列各概念（名词）的定义，并举列说明它的外延 ① 整式 ②有理方程 ③梯形 ④平行四边形 4. 试用外延法定义下列各概念 ① 实数 ②有理式 ③非负数 5. 写出下列各概念的定义，并结合图形，把它说成判定和性质。 ① 等边三角形定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ A 如果△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，那么 ＿＿＿＿＿＿＿＿ 如果△ABC 是等边三角形，那么 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ B C ② 互为余角的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 判定：如果＿＿＿＿＿＿＿＿那么 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ③ 三角形中线的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 判定：如果△ABC 中，＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿ 性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6. 运用定义解题： ① 当a 取值为＿＿＿＿时，代数式22)1(a a --是二次根式。 ② 当x____时，代数式x x -+-33有意义 ③ 若最简根式13 1+x 与315+y 是同类二次根式，则x=__,y=__. ④ 已知7x n-2m y 与－3x 5y 2m-1是同类项，那么 m=___,n=___ ⑤ 已知m 是整数，且 61+m 与47m 是同类二次根式，求m 的值。 ⑥ 已知???-=-=2 1y x 是方程a x －3y=5 的一个解，则a=____ ⑦ 已知2是方程5x 2＋kx-6=0的一个解,求k 值及另一个解 ⑧ 已知锐角△ABC 中，两条高AD 和BE 相交于O ，求证：∠CAD ＝∠CBE ⑨ 解方程 211--=+x x （1990年泉州市初二数学双基赛题） ⑩ 解不等式：12-x ＜3 2 1-x ≥5 7.已知方程x ＝ax+2有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是（ ） （A ）a>-1 (B) a=1 (C) a ≥1 （D ）非以上答案 （1987年全国初中数学 联赛题） 初中数学竞赛辅导资料(30) 概念的分类 内容提要 1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一 个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类 概念之间的区别与联系。 2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形 可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也 可以按除以模m 的余数分类。 分别表示如下： 整数?????负整数零正整数整数???奇数偶数 整数?????23133余除以余除以整除能被 整数??? ????3424144余除以余除以余除以整除能被 3. 一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个 类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相 等。 例如 正整数按下列分类是正确的 正整数?? ???1合数质数 正整数???正偶数正奇数 如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总 和比正整数外延大，因此都不对。 又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 所以三角形按边的大小分类 应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形， 而不能是三类：（不等边，等腰，等边） 如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定 义有直接联系。 4. 二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。 例如三角形???等腰三角形不等边三角形平面内两条直线位置???不相交相交 实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。 5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念 与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。 例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形 又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其 关系可图示如下： 6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之 间的关系是并列关系的概念（同位概念）。 例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之 间的关系都是并列关系的概念。可图示如下: 7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。 一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系 可能就有交叉关系的概念。 例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数； 等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角 形。 图示如下: 例题30 例1.把一元一次不等式ax>b (a,b 是实数，x 是未知数)的解的集合分类。 解：把实数a,b 按正，负，零分类，得不等式解的集合如下： ax>b 的解集????? ?????????<≥=<<>>时，解集是全体实数b 时，解集是空集b a a b 时，b不论何值x a a b 时，b不论何值x a 00000且 例2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm ，求这个三角形的各边长。 解：设底边长为xcm,则腰长是2 -15x cm 当腰比底大时是 2-15x －x=3 ∴x=3 2 -15x ＝6 当腰比底小时是 x －2-15x =3 ∴x=7 2-15x =4 答（略） 例3.化简① （22)1()1(++-x x －2 ②y x +1 解：①∵要使1+x 有意义，必须且只需x+1≥0，即x ≥－1 （22)1()1(++-x x －2 ＝1-x ＋x+1－2＝1-x ＋x －1 当－1≤x<1时，原式＝－（x －1）+x －1＝0 当x ≥1时， 原式＝x －1＋x －1＝2x －2 ②化去分母根式时，要乘以y x - ，当x=y 时，不能进行。故 当x=y 时 y x +1＝x 21＝x x 2 当x ≠y 时 y x +1＝y x y x -- 例4.设a,b,c 是三个互不相等的正整数 求证：a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,ca 3－ca 3三个数中，至少有一个能被10整除 （1986年全国初中数学联赛题） 分析：∵10＝2×5，只要证明三个数中，至少有一个含2和5质因数即可， 含2，可把a,b,c 分为奇数和偶数两类；含5，则要按除以5的余数分类。 解：∵ a 3b －ab 3=ab(a+b)(a-b) , b 3c －bc 3=bc(b+c)(b-c), ca 3－ca 3=ca(c+a)(c-a) ① 不论a,b,c 三个数中有1个是偶数，或3个都是奇数（奇±奇＝偶），三个代数式所 表示的数都是偶数，即含有质因数2； ② ∵a,b,c 除以5的余数只有0，1，2，3，4五种。 若有1个余数是0，则三个代数式所表示的数中必有1个含质数5； 若有2个余数相同，则它们的差的个位数字是0，也含有质因数5； 若既没有同余数又没有余数0，那么在4个余数1，2，3，4中任取3个，必有2 个的和是5，即a+b,b+c,c+a 中有1个含质因数5。 综上所述 a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,ca 3－ca 3三个数中，至少有一个能被10整除。 练习30 1. 把下列概念分类（一种或几种） ① 实数 ②有理式 ③小于平角的角 ④平面内点与直线位置 2. 把一元一次方程ax=b (a,b 是实数)的解分类。 3. 用二分法把下列概念分类（任举一例） ① 整数 ②方程 ③角 ④直角三角形 ⑤四边形 4. 指出下列概念分类的错误 平面内两直线的位置关系?? ???垂直相交平行 有理数?????0负数正数 一元方程?? ???一元三次一元二次一元一次 5. 解方程和不等式 ①2-+x x ＝4 ②2-x ＞1－2x 6. 化简：①121-++x x ②11 +a 7. 已知等腰三角形的一个外角等于150 ，求各内角的度数。 8. 已知方程0221=++-x a x 无解，求a 的值。 （1987年泉州市初二数学 双基赛题） 9. 第一组5人，第二组m 人，从第一组调几人到第二组，使第二组人数等于第一组人数的 2倍？ （1987年泉州市 初二数学双基赛题） 10. x 取什么值时，x 2 –3x 的值是正数？ 11. 有n 个整数其积为n,其和是0。即???=++++=0321 321n n a a a a n a a a a 求证：n 是4的倍数 12. 对任意两个整数a 和b.，试证明：a+b,a-b,ab 三个数中至少有1个能被3整除 13. 关于x 的方程x ＝ax+2有根且只有负根，则a 的取值范围是＿（1988年泉州市初二数 学双基赛题） 14 试证每个大于6的自然数n 都可以表示为两个大于1且互质的自然数的 和 提示：按 奇数和偶数分类 （1995 年全国初中数学联赛题） 初中数学竞赛辅导资料（31） 勾股定理 内容提要 1. 勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠?a 2＋b 2=c 2 2. 勾股定理及逆定理的应用 ① 作已知线段a 的2，3， 5……倍 ② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。 3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做 一组勾股数. 4. 勾股数的推算公式 ① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。 ② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,2 12+k 是一组勾股数。 ③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-??? ??K ,122+?? ? ??K 是一组勾股数。 ④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。 5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5， 12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。 例题 例1.已知线段a a 5a 2a 3a 5 a 求作线段5a a 分析一：5a ＝25a ＝224a a + 2a ∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。 分析二：5a ＝2492a a - ∴5a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图（略） 例2.四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2 求对角线AC 的长 解：延长BC 和AD 相交于E ，则∠E ＝30 ∴CE ＝2CD ＝4， 在Rt △ABE 中 设AB 为x,则AE ＝2x 根据勾股定理x 2+52=(2x)2, x 2=3 25 在Rt △ABC 中，AC ＝221+x ＝1325+＝213 2 例3.已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A 求证：AB 2－BC 2＝AB ×BC 证明：作∠B 的平分线交AC 于D ， 则∠A ＝∠ABD ， ∠BDC ＝2∠A ＝∠C ∴AD ＝BD ＝BC 作BM ⊥AC 于M ，则CM ＝DM AB 2－BC 2＝（BM 2＋AM 2）－（BM 2＋CM 2） ＝AM 2－CM 2＝（AM ＋CM ）（AM －CM ） ＝AC ×AD ＝AB ×BC 例4.如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD 求证：AB ＝AC 证明：设AB ，AC ，BD ，CD 分别为b,c,m,n 则c+n=b+m, c-b=m-n ∵AD ⊥BC ，根据勾股定理，得 AD 2＝c 2-m 2=b 2-n 2 ∴c 2-b 2=m 2-n 2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) (c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0 (c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0 ∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b ∴AB ＝AC 例5.已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＞BC 求证：AC ＞BD 证明：作DE ∥AC ，DF ∥BC ，交BA 或延长线于点E 、F ACDE 和BCDF 都是平行四边形 ∴DE ＝AC ，DF ＝BC ，AE ＝CD ＝BF 作DH ⊥AB 于H ，根据勾股定理 AH ＝22-DH AD ，FH ＝22-DH DF ∵AD ＞BC ，AD ＞DF ∴AH ＞FH ，EH ＞BH DE ＝22EH DH +，BD ＝2BH DH + ∴DE ＞BD 即AC ＞BD 例6.已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝32 求：a b -的值 （2001年希望杯数学邀请赛，初二） 解：根据勾股定理 a 2+b 2=EF 2＝S EFGH ＝3 2 ; ① ∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab=31 ② H G ① －②得 （a-b ）2=3 1 ∴a b -＝33 练习31 1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数： ① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿ ④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿ 2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值： ① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿， ② ③22158+＝＿＿＿，④2215-25＝＿＿＿ 3. △ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。那么S △ABC ＝＿ ＿， CH ＝＿＿，MH ＝＿＿＿ 4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S 梯形＝＿＿＿ 5.已知：△ABC 中，AD 是高，BE ⊥AB ，BE ＝CD ，CF ⊥AC ，CF ＝BD 求证：AE ＝AF 6.已知：M 是△ABC 内的一点，MD ⊥BC ，ME ⊥AC ，MF ⊥AB ， 且BD ＝BF ，CD ＝CE 求证：AE ＝AF 7.在△ABC 中，∠C 是钝角，a 2-b 2=bc 求证∠A ＝2∠B 8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法） 9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长 10等腰直角三角形ABC 斜边上一点P ，求证：AP 2＋BP 2＝2CP 2 11.已知△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC ME ⊥MF 求证：EF 2＝BE 2＋CF 2 12.Rt △ABC 中，∠ABC ＝90 ，∠C ＝600 ，BC ＝2，D 是AC 的中点，从D 作DE ⊥AC 与 CB 的延长线交于点E ，以AB 、BE 为邻边作矩形ABEF ，连结DF ，则DF 的长是＿＿＿＿。 （2002年希望杯数学邀请赛，初二试题） C D 13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3， (100) 记m i=AP i2+BP i×P i C (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____ (1990年全国初中数学联赛题) 初中数学竞赛辅导资料（32） 中位线 内容提要 1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度， 确定线段的和、差、倍关系。 3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。 4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理 及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 例题 例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是 BC 的中点。求证：PM ＝PN （1991年泉州市 初二数学双基赛题） 证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 ∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质 PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝ME PE ∥AC ，PF ∥AB ∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN ∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN 例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中 点。求MN 的长。 分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。 辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略） 例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。 已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点 P N 求证：MN ∥AB ∥CD ，MN ＝ 2 1（AB －CD ） 分析一：∵M 是AC 中点，构造一个三角形，使N 为另一边中点，以便运用中位线的性质。 ∴连结CN 并延长交AB 于E （如图1）证△BNE ≌△DNC 可得N 是CE 的中点。（证明略） 分析二：图2与图1思路一样。 分析三：直接选择△ABC ，取BC 中点P 连结MP 和NP ，证明M ，N ，P 三点在同一直线 上，方法也是运用中位线的性质。 例4. 如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN MP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝2 1AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP ∴∠3=∠4=2 MPN -180∠ ∠MPN ＋∠BAC ＝180 （两边分平行的两个角相等或互补） ∴∠1=∠2=2 MPN -180∠ ， ∠2=∠3 ∴NP ∥AC ∴MN ∥AD 证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG 则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG ∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180 ∠CAD ＝2 1（180 －∠FCG ） ∠CFG ＝21（180 －∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 例5. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE 交CB 的延长线于G 求证：FD ＝4 1CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点 过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ， C 则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝ 2 1GC 由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝41GC 练习32 1.已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点 则①四边形EFGH 是＿＿＿＿＿形 ②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是＿＿＿形 ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是＿＿形 ④当AC 和BD ＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH 是正方形形。 2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。 3.已知AD 是锐角三角形ABC 的高，E ，F ，G 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，证明顺次连 结E ，F ，G ，H 所成的四边形是等腰梯形。 4. 已知：经过△ABC 顶点A 任作一直线a,过B ，C 两点作直线a 的垂线段 BB ，和 CC ，，设M 是BC 的中点， 求证：MB ，＝MC ， 5.如图已知△ABC 中，AD ＝BE ，DM ∥EN ∥BC 求证BC ＝DM ＋EN 6.如图已知：从平行四边形ABCD 的各顶点向形外任一直线a 作垂线段AE ，BF ，CG ，DH 。 求证AE ＋CG ＝BF ＋DH 7.如图已知D 是AB 的中点，F 是DE 的中点， 求证BC ＝2CE 8.平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC 、CD 的中点，求证AC 平分MN 9.已知△ABC 中，D 是边BC 上的任一点，M ，N ，P ，Q 分别是BC ，AD ，AC ，MN 的中 点，求证直线PQ 平分BD 。 10.等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，点O 是AC 和BD 的交点，∠AOB ＝60 ，P ， Q ，R 分别是AO ，BC B C D a C E B 11.已知：△ABC中，AD是高，AE是中线，且AD，AE三等分∠BAC，求证：△ABC是Rt△。 12.已知：在锐角三角形ABC中，高AD和中线BE相交于O， ∠BOD＝60 ，求证AD＝BE 13.如图已知：四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F分别是AB、CD的中点，MN⊥EF 求证：∠DMN＝∠CNM E N 初中数学竞赛辅导资料（33） 同一法 内容提要 1. “同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效 的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。 2. 同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命 题同时有效。这称为同一法则。 互逆两个命题一般是不等价的。例如 原命题：福建是中国的一个省 （真命题） 逆命题：中国的一个省是福建 （假命题） 但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如 原命题：中国的首都是北京 （真命题） 逆命题：北京是中国的首都 （真命题） 因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如 原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题） 逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题） 因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命 题是等效的。 3. 釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则， 则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是： ① 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） ② 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设） 例题 例1. 求证三角形的三条中线相交于一点 已知：△ABC 中，AD ，BE ，CF 都是中线 求证：AD ，BE ，CF 相交于同一点 分析：在证明AD 和BE 相交于点G 之后，本应再证明CF 经过点G ，这要证明三点共线， 直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG 交AB 于F ，，证明CF ，就是第三条中线 （即证明AF ，＝F ，B ） 证明：∵∠DAB ＋∠EBA ＜180 ∴AD 和BE 相交，设交点为G 连结并延长CG 交AB 于F ， 连结DE 交CF ，于M ∵DE ∥AB ∴F A ME '＝F B MD '＝F C CM '， 即F A F B ''＝ME MD F B ME '＝F A MD '＝F G MG '， 即F B F A ''＝ME MD ∴F A F B ''＝F B F A ' '， ∴AF ，＝BF ，，AF ，是BC 边上的中线， ∵BC 边上的中线只有一条， ∴AF ，和AD 是同一条中线 ∴AD ，BE ，CF 相交于一点G 。 例2.已知：△ABC 中，D 在BC 上，AB 2－AC 2＝BD 2－DC 2 专题10 最优化 例1. 4 提示：原式=1 12 - 62 -+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上，对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a +?）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则?? ? ??=--=413 172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-， 4 13 ） 例4. （1） 121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（ x .当=4 3时，y 2 取得最大值1，a =1； 当21= x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时，=3 8. (3)如图， 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（ 九年级讲义目录 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题） （3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】 若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式. 专题07 整式的加减 阅读与思考 整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点： 1．透彻理解“三式”和“四数”的概念 “三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数． 2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则” “两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则． 物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项． 例题与求解 [例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______． (江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手． [例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( ) A．a＋b B．a－b C．a＋b2D．a2＋b (“希望杯”初赛试题) 解题思路：采用赋值法，令a＝1 2 ，b＝－ 1 2 ，计算四个式子的值，从中找出值最大的 式子． [例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋1 2 by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－ 1 2 时， 代数式3ax－24by3＋4986的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式． [例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？ 专题16 不等式（组） 阅读与思考 客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在： 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”. 例题与求解 【例1】已知关于x 的不等式组?????<-+->-+x t x x x 2 35 35 2恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ） A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2 116-≤≤-t (2013 年全国初中数学竞赛广东省试题） 解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式7 10 05)2(< >---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 . （黑龙江省哈尔滨市竞赛试题） 解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组?? ?=+=-6 2y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值. （天津市竞赛试题） 解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围. 【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大 值和最小值. （江苏省竞赛试题） 解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值. 初中数学竞赛专题1——整数的基本性质 1.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题） 【标准答案】1#0#1#4#A 三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 ( ) A. 28 B. 27 C. 26 D. 25 【分析】设三个人的年龄分别为X1，X2，X3，根据题意，则 +X2+2X3=47×2 ① X X2+X3+2X1=61×2 ② X3+X1+2X2=60×2 ③ 由①+②+③得X1+X2+X3=84，分别代入①②③得X1=38，X2=36，X3=10. 所以X1-X3=28. 【答案】A 【技巧】设未知数列方程（组）来解应用题是常用的方法. 2.（2，3）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题） 【标准答案】2#0#1#4#B 三角形的三边长a、b、c都是整数，且[a，b，c]=60，（a，b) =4，(b，c)=3则a+b+c的最小值是 ( ) {注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数} A．30 B．31 C．32 D. 33 【分析】因为（a，b）=4，所以a，b都是4的倍数.因为(b，c)=3，所以b，c都是3的倍数.从而a=4a1，b=12b1，c=3c1，a1、b1、c1都是正整数；又因为[a，b，c]=60，所以a，b，c中至少有一个被5整除，即a1、b1、c1中至少有一个被5整除.因为abc三个数的系数中，c的系数最小为3，所以只有当a1、b1 取最小时，三个数之和才最小，那么当a1= b1=1，c1=5时，a+b+c=4+1+15=31最小. 【答案】B 【技巧】根据最大公约数和最小公倍数的性质，用解析式表示未知数. 【易错点】若不注意三角形三边的关系（两边之和大于第三边）就容易出错. 全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2) 三角形的边角性质 内容提要 三角形边角性质主要的有： 1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线 段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其 他两边和。用式子表示如下： a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-??? ????????>+>+>+?＜ 推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和 2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个 内角和。 推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180 六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 180 3. 边与角的关系 ① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边； 大边对大角，大角对大边。 ② 在直角三角形中， △ABC 中∠C=Rt ∠2 22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题 例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。 (1988年泉州市初二数 学双基赛题) 解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得?? ???<->>51135.1a a ∴1.5 初中几何学霸内部秘籍系列1（学而思培优 竞赛） 模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。 模型证明： ∵OP平分∠MON， ∴∠AOP=∠BOP； 又 PA⊥OM ，PB⊥ON， ∴∠OAP=∠OBP=90°； OP=OP； ∴RT△OAP≌RT△OBP, ∴PB=PA。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型， 为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的 突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是_____； （2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC。 解析：（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2 （2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等， ∴AP 平分∠BAC 模型练习 1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 证明：如图延长BA， 过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点， ∵BD 平分∠ABC ∴DE=DF, 又AD=DC ∴RT△DEA≌RT△DFC ∴∠DAE=∠BCD ∴∠BAD+∠BCD=180° 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。 专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题） 图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1 专题10 最优化 阅读与思考 数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有： 1．配方法 由非负数性质得()02 ≥±b a ． 2．不等分析法 通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质 对二次函数()02 ≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为： （1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ； （2）当0 【例3】()2 13 22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论． 【例4】（1）已知2 11- + -=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求2 2b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题） （2）求使()168422 +-+ +x x 取得最小值的实数x 的值． （全国初中数学联赛试题） （3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题） 解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等． 【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？ （河南省竞赛试题） 解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费( ) ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理 为关于y 的方程． 培优辅导 反证法和构造法 一、选择题: 1．若假设“整数a,b,c 中恰有一个偶数”不成立，则有（ ） A 、a,b,c 都是奇数 B 、a,b,c 都是偶数 C 、a,b,c 中至少有两个偶数 D 、a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 2．已知△ABC 的周长为18，c b a 、、三边的关系为c b a ≤≤,则( ) A 、a <6 B 、a >6 C 、a >7 D 、6≤a 3．A 、B 、C 、D 、E 、F 、六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是（ ） A 、C 队 B 、D 队 C 、E 队 D 、F 队 4．设等式在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的 实数，则 的值是( ) A 、3 B 、 31 C 、2 D 、3 5 5．关于x 的一元二次方程2a x 2 -2x-3a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a 的取值范围 是 （ ） A 、a ＞0或a ＜-4． B 、a ＜-4． C 、a ＞0． D 、－4＜a ＜0． 二、填空题 6．用反证法证明：“三角形中最多有一个角是直角或钝角。”时，第一步应反设: ________________________________________________. 7．不查表可求得=?5.22cot _________. 8．321-+-++x x x 的最小值是______________. 9．若28,142 2=++=++x xy y y xy x ，则=+y x _________. 10．已知))((4)2a c b a c b --=-（且0≠a ,则a c b +=______________. 三、解答题 第1讲 与有理数有关的概念 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京 时间l 5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、 分数分类，有理数????????????????? 正整数 整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数 0.033. 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－1 8，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数 为 ，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 第1讲二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）. 经典·考题·赏板 【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（） 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（） 次根式是（） A．①,② B．③,④C．①,③D．①,④ 【例２】(黔东南)方程 x-=，当y＞0 480 时，m的取值范围是（） A．0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m ＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C. 【变式题组】 2．（宁波）若实数x、y 2 y-=，则xy (0 的值是__________. 3．（荆门）若 2 =+，则x－y的值为 x y () （） A．－ 1 B．1C．2 D．3 有意义的x的取值范围是4．（鄂州）使代数式 4 x- （） A．x＞3 B．x≥3C．x＞4 D．x≥3且x≠4 5.（怀化） 2 --=，则a－b－c＝ a c 2(4)0 ________. 【例３】下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ） A D 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A ． =； B ．不能化简； C.=；D = =.故本题应选 D. 【变式题组】 6 ．如果最简二次根式 与是同类二次根式，则a ＝________． 7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A ． 8 ．已知最简二次根式b 和 是同类二次根 式，则a ＝_______，b ＝______. 【例４】下列计算正确的是（ ） A = 4= C = D ．(11+= 【解法指导】正确运用二次根式的性质 ①2(0)a a =≥； ②(0)0(0) (0)a a a a a a ??===??-?＞＜；③ 配方法 把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。 运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。熟悉以下基本等式： 1.222)(2b a b ab a ±=+± 2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[] 2222 2 2 )()()(2 1 a c c b b a ca b c ab c b a ±+±+±= ±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 44222 2 -+ ??? ? ?+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为 （镇江市中考题） 思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。 【例2】已知c b a 、、，满足722 =+b a ，122 -=-c b ， 1762 -=-a c ，则c b a ++的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 （河北省竞赛题） 思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手 【例3】已知a 是正整数，且a a 2004 2 +是一个正整数的平方，求a 的最大值。 （北京市竞赛题） 思路点拨 设2 2 2004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。 【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422 =-+=-c ab b a ，求c b a ++的值 （浙江省竞赛题） 第十八讲 乘法公式 乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式； 3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式； 4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题 【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题) (2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形． 注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式． 从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有： (1)ab b a b a 2)(2 22 ±=+，2 )()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(2 2=--+； （4）4 )()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M 专题27数形结合 例1 5提示作出B 点关于轴的对称点B '(2,-3)，连结AB '交轴于C ，则AB '=AC 十CB ' 为所要求的最小值. 例 2 D 提示设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当???>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当???<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法若b =5时，a =12(或b = 12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8). 例3设AB =，则BC =2,AC =x 3, BE = x 21,DF =DA=.32,31x BD x =.在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可. 例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出当a =0时，y =0与 x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250< a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点. 例5由L c s c b s b a s a =+=+=+222 ①,知正数 c b a ,,适合方程.2L x s x =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac s a c s c a -=??? ??-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证. 例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ????=++Θ 数的整除（一） 【知识精读】 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 【分类解析】 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 1234能被12整除，求X。 例2己知五位数x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8 4能被4整除时，X＝0，4，8 当末两位X ∴X＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 【实战模拟】 1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296 987能被3整除，那么a=_______________ 2若四位数a 12X能被11整除，那么X＝__________- 3若五位数34 35m能被25整除 4当m=_________时，5 9610能被7整除 5当n=__________时，n 6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？ 专题11 双曲线 阅读与思考 形如(0)k y k x = ≠的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中. 反比例函数的基本性质有： 1. 反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交； 2. k 的正负性，决定双曲线大致位置及y 随x 的变化情况； 3. 双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y x =及y x =-. 反比例函数与一次函数有着内在的联系. 如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同. 反比例函数k y x =中k 的几何意义是：k 等于双曲线上任意一点作x 轴、 y 轴的垂线所得的矩形的面积，如图： （1）1 2 AOB S k = △； （2）ACOB S k =矩形. 求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到. 求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标. 解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性. 反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识. 例题与求解 【例1】（1）如图，已知双曲线(0)k y x x =>经过矩形OABC 边AB 的中 点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = . 专题 27 数形结合 阅读与思考 数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度研究，也可以从“形”的角度探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系研究图形性质，或由图形的性质探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想. 数形结合有下列若干途径： 1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题； 3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题. 现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能. 代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步． 例题与求解 【例l 】设1342222+-+++= x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题） 解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++= x x y ＝ ()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点 A （－1，1）和 B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小. 【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化_答案[精品]
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