一、选择题（每小题5分，共20分） 1． 设A 为n 阶方阵且0A =，则 （ ）
（A ） 矩阵A 必有两行（列）的元素对应成比例。
（B ） 矩阵A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。 （C ） 矩阵A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。 （D ） 矩阵A 中至少有一行（列）的元素全为零。
2． 设A 是m n ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B AC =的秩为1r ，则（ ）
（A ） 1r r =。 （B ） 1r r >。 （C ） 1r r <。 （D ） 1r r 与的关系依C 而定。 3．设12,x x 是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同解，则也是方程组Ax b =的解是（ ）。
（A ） 12x x +。 （B ） 12x x -。 （C ）
12
22
x x +。 （D ） 212x x -。
4．若三阶矩阵A 的特征值为2, 3, 4, 则该矩阵的伴随矩阵A * 的特征值为（ ）
（A ） 12, 8, 4 （B ） 12, 8, 6 （C ） 8, 6, 3 （D ） 6, 3, 2。
二、填空题：（每小题5分，共20分）
1．设121201101A t t t ??
??=??
????
，且线性方程组0Ax =的基础解系含有两个线性无关的解向量，则参
数t 等于 。
2．设α1 = (1，2，1)T ，α2 = (2，3，4)T ，α3 = (3，4，3)T 是R 3的一组基，R 3的向量
α = (1, 1, 1)T 关于这组基的坐标为 。
3．将 1234??
??
??
写成初等矩阵的乘积是 。 4. 若二次型 22212312
31223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++ 是正定的，则a 的取值范围
是 。
《线性代数》课程试卷
＿＿＿＿＿＿学院(系)＿＿＿＿年级＿＿＿＿＿专业
主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A 卷）
三、计算证明题：（共60分）
1．（8分）假设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，求矩阵B 。其中
423110123A ?? ?
= ? ?-??
2．（10分）已知向量()1,,1T k α=是矩阵211121112A ?? ?
= ? ???的逆矩阵的特征向量，试求常数k 的值。
3.（12）求齐次线性方程组13524
1251450
0,0,0
x x x x x x x x x x x -+=??-=??-+=??-+=?的解空间的一组标准正交基。
4．（10分）设A 为二阶方阵，有二个不同的特征值12,λλ，对应特征向量依次为12,αα，
令12βαα=+, 证明：,A ββ 线性无关。
5．（15分）求正交变换x Py =，把二次型222
12312
31323(,,)44f x x x x x x x x x x =+-++ 化为标准形。
6．（5分）齐次线性方程组0Ax =，其中()
ij n n
A a ?=且1
0,1,2,
,,n
ij j a i n ===∑
证明：矩阵A 第一行元素的代数余子式相等。
一、选择题（每小题5分，共20分）
1. (C ) 矩阵A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。
2.（A ） 1r r = 3．(D) 212x x -。 4．(B) 12, 8, 6 二、填空题：（每小题5分，共20分）
1．……, 则参数t 等于 1 . 2．……, 关于这组基的坐标为 1
1(,0,)22
T
-
3．……, 初等矩阵的乘积是101012310201???????
?????-??????或101110310102-??????
??????
-??????
或…… 4．……, 则a 三、计算证明题：（共60分）
1.（8分）解 由于2AB A B =+知(2)A E B A -= ------------------------------------------- 2
由于 1
1
223143(2)110153121164A E ----????
? ?-=-=-- ? ? ? ?--????
----------------------- 4
1143423386(2)153110296.1641232129B A E A -----?????? ??? ?
=-=--=-- ??? ? ??? ?---??????
----- 2
2．（10分）解 设λ是矩阵1
A -对应于特征向量α的特征向量，则 A -1α = λα
两边同时左乘矩阵A ，得 α = λA α ------------------------------------ 2
即 12111312122.111213k k k k k λλ+????????
? ??? ?
==+ ? ??? ? ? ??? ?+????????
由此得线性方程组
()(
)31,
21.k k k λλ+=???
+=?? 解得
11,
2.
k λ=??=-? 或
2
1,41.
k λ?
=???=? 因此当21k =-或时，向量α是1
A -的特征向量。 --------------- 8
3.（12）解 对该方程组的系数矩阵作初等行变换
1010110011010100101011001001101001100000A --????
? ?
-- ? ?
=
→ ? ?
-- ? ?
? ?-????
于是化为同解的阶梯形方程组为
14524340,
0,0,x x x x x x x -+=??
-=??-=? 即 145243
4,,,
x x x x x x x =-??
=??=? 因()3R A =，故解空间的维数为5-3=2，即基础解系含2个线性无关的向量，由上式易得齐次线性方程组的一个基础解系
()()121,1,1,1,0,1,0,0,0,1.T T
αα==- ------------------------------------------------ 6
将12,αα正交化，取
()111,1,1,1,0T
βα==
()()
()()
2122111,11,0,0,0,11,1,1,1,0,4T T
αββαβββ=-=-+3111,,,,14444T
??
=- ???
故 -------
4 1112221111,,,,0,
2222T
T
βηββηβ??
== ???=
=
即为所求得一个标准正交基。 -------------------- ------------------------- 2
4．（10分）证明 因为()1,2,i i A i αλα==则()12121122A A A A βααααλαλα=+=+=+ ----- 3
设存在两个参数12,k k ，使得 120,k k A ββ+= ------- ----------------------------- 1 即()()11221122k k ααλαλα+++()()121112220k k k k λαλα=+++= 又对应于不同特征值的特征向量线性无关，故12,αα线性无关，于是
121122
00k k k k λλ+=??+=? -------------------------------------------------- 2
由于行列式
()1212
101λλλλ=-≠， ---------------------------------------------- 3
故 k 1 = k 2 = 0
因此,A ββ线性无关。 - --------------------------------------------- 1
5．（15分）解 二次型对应的对称矩阵 102012221A ?? ?
= ? ?-??
。 ------------------------------------------------ 1 .
A 的特征方程为()()()1
02
01
231302
2
1
E A λλλλλλλ---=
--=--+=--+
故A 的特征值为1233,1, 3.λλλ===--------------------------------------------------------------------- 6 （i ）A 的属于特征值为13λ=的特征向量
()12021010
22011,224000E A λ--????
? ?
-=-→- ? ? ? ?
--????
α1=(1, 1, 1)T , 单位化η1
= T
----- 2 （ii ）A 的属于特征值为21λ=的特征向量
()20021100
02001,222000E A λ-????
? ?
-=-→ ? ? ? ?
--????
α2 = (-1, 1, 0)T , 单位化η2
=0T
?
??
----- 2 （iii ）A 的属于特征值为33λ=-的特征向量
()1402201042021,222000E A λ--????
? ?
-=--→ ? ? ? ?
---????
α3 = (1, 1, -2)T , 单位化 η3
= T
------- 2 故正交变换矩阵为
P
?= ?。令x = py, 则f(x) = 3y 12 + y 22 – 3y 32
--------------- 2 6．（5分）证明 因为
1
0,1,2,
,,n
ij
j a
i n ===∑故|A| = 0。当R(A) < n-1时，A * = 0，结论显然成立；
当R(A) = n-1时, AA * = |A|E = 0, A * 的列向量是0Ax =的解向量，而ξ = (1, 1, …,1)T 是0Ax =的解向量,且
是基础解系,故存在常数k ，使得(A 11, A 12,…,A 1n ) = k ξ = k (1, 1, …,1)T ，故A 的第一列的代数余子式全相等。