线性代数（A 卷）
一﹑选择题(每小题3分,共15分)
1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+
2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )
(A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--
4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ??
??= ? ?-????
的矩阵为A ,那么( )
(A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ?
-??
(D) 1001A ??
= ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分)
1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；
2. 设100210341A -??
?
=- ? ?-??
，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ；
3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ；
4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；
5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式2
2
2
111
a
b c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为 ； 9. 若二次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围为 ；
10. 设A 为n 阶方阵,且满足2240A A I +-=,这里I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题（每小题9分，共27分）
1. 已知210121012A ??
?
= ? ?
??
，100100B ?? ?= ? ???，求矩阵X 使之满足AX X B =+.
2. 求行列式
1234
2341
34124123
的值.
3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的一个最大无关组和秩.
四﹑(10分)设有齐次线性方程组
12312312
3(1)0,(1)0,(1)0.
x x x x x x x x x λλλ+-+=??
-++=??++-=? 问当λ取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求一个正交变换X PY =,把下列二次型化成标准形:
222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.
六﹑(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为
123: 230,: 230,: 230.
l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.
线性代数（A 卷）答案
一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A
二﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-1
6. ()()()c a c b b a ---
7. 0
8. 111,,23---
9. 405t -<< 10. 11
42A I +
三﹑1. 解 由AX X B =+得1()X A I B -=-. (2分) 下面求1()A I --. 由于
110111011A I ??
?
-= ? ???
(4分)
而
1()A I --=011111110-?? ?
- ? ?-??
. (7分)
所以
10111001()11101111100011X A I B --?????? ??? ?
=-=-=- ??? ? ??? ?--??????
. (9分)
2. 解
1
2342
34134124123=
1023410341104121012312
341341
1014121123
= (4分) 12340113
10
00440
004
-=-- (8分) 160= (9分) .
3. 解 由于
31
12341234011301131301053307330733r r --????
? ?---- ? ?- ? ?-- ? ?
----????
324212345011300212700424r r r r -??
?--- ? ?
+ ?--?? 43
123401132002120000r r -??
?-- ?+ ? ???
(6分) 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的一个最大无关组。(9分) 四﹑解 方程组的系数行列式
111111111
A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- (2分)
①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠,即1λ≠-且2λ≠时,方程组有唯一的零解; (4分) ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为
12 1 21 1 11 2 A -??
?=- ? ?-??
,
它有一个二阶子式
12
3021
-=-≠-,因此秩(A )2n =<(这里3n =),故方程组有无穷多个解.对A 施行初
等行变换,可得到方程组的一般解为
13233
3,,,
x x x x x x =??
=??=? 其中3x 可取任意数; (7分) ③当2λ=时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为
11 1 11 1 11 1 A ??
?= ? ???
,
显然,秩(A )1n =<(这里3n =),所以方程组也有无穷多个解.对A 施行初等行变换
可得方程组的一般解为
123223
3,,
,
x x x x x x x =--??
=??=? 其中23,x x 可取任意数. (10分)
五﹑ 解 二次型的矩阵为
12 2 21 2 22 1 A ?? ?
= ? ???
, (2分)
因为特征多项式为
21
2 2
2
1 2 (1)(5)22 1
I A λλλλλλ----=---=+----, 所以特征值是1-(二重)和5. (4分)
把特征值1λ=-代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得
1231231
232220,2220,2220,
x x x x x x x x x ---=??
---=??---=? 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值1λ=-的特征向量为
12(1,0,1),(0,1,1)T T αα=-=-.
利用施密特正交化方法将12,αα正交化:
11(1,0,1)T βα==-, 211
(,1,)22
T β=--,
再将12,ββ单位化得
1(
22T η=
,2(T η=, (8分) 把特征值5λ=代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得
1231231
234220,
2420,2240,
x x x x x x x x x --=??
-+-=??--+=? 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值5λ=的特征向量为
3(1,1,1)T α=.
再将3α单位化得
3T
η=. (10分) 令
123(,,)0
P ηηη?? ? ?
?== ? ? ? ? ??
?
则P 是一个正交矩阵,且满足
1100010005T P AP P AP --??
?
==- ? ???
.
所以,正交变换X PY =为所求,它把二次型化成标准形
222123123(,,)5f x x x y y y =--+. (12分)
六﹑证明:必要性
由123,,l l l 交于一点得方程组
230
230230ax by c bx cy a cx ay b ++=??
++=??++=?
有解,可知
231()()230()10231a b c
b c R A R A b
c a a b c c a c a b
a b
=?=?++= (2分)
由于222
1211[()()()]01b c
c
a b a c b a c a b
=--+-+-≠,所以0a b c ++= (3分)
充分性：0()a b c b a c ++=?=-+
2222222()2[()][()]022312366()10231a b
ac b ac a c a c a c b c a b c a b c b c b c a b c a a b c c a c a b c a b a b ??
=-=-+=-++-≠??
?
??==++=???又因为
()()2R A R A ?==, (5分) 因此方程组
230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=??
++=??++=?
有唯一解，即123,,l l l 交于一点. (6分)
线性代数习题和答案
第一部分 选择题 (共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是
符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 111221
22=m ，a
a a a 131123
21=n ，则行列式a
a a a a a 111213
21
2223
++等于（ ）
A. m+n
B. -(m+n)
C. n -m
D. m -n
2.设矩阵A =100020003?? ??
?
??，则A -1等于（ ）
A. 13000
12000
1??
??
??????
B. 1000
12000
13??
??
??????