2012年全国各地中考数学压轴题精选
（解析版11－－20）
11．（2012?重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
解题思路：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；
（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后
分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；
（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即
可求得答案．
解答：解：（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB﹣BG=3﹣x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=2，
即BE=2；
（2）存在满足条件的t，
理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
∵EF∥AB，
∴△MEC∽△ABC，
∴，即，
∴ME=2﹣t，
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，
在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，
过点M作MN⊥DH于N，
则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，
∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），
解得：t=，
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），
解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），
∴t=﹣3+；
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），
此方程无解，
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，
∴CE=，
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，
∵ME=2﹣t，
∴FM=t，
当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，
②当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC?tan∠DCB=EC?=（4﹣t）=3﹣t，
∴FK=2﹣EK=t﹣1，
∵NL=AD=，
∴FL=t﹣，
∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，
解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，
∴t=，
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，
∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，
∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t﹣，
④如图⑥，当＜t≤4时，
∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），
S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．
综上所述：
当0≤t≤时，S=t2，
当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；
当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，
当＜t≤4时，S=﹣t+．
12．（2012?泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．
解题思路：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；
（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，
OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB
面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求
得△MAB面积的最大值．
解答：解：（1）如答图1，连接OB．
∵BC=2，OC=1
∴OB==
∴B（0，）
将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式
得，解得，
∴y=﹣x2+x+．
（2）存在．
如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．
∵B（0，），O（0，0），
∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，
得﹣x2+x+=；
解得x=1±，
∴P（1±，）．
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．
设M（x m，y m），
则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）?OH+HA?MH﹣OA?OB =（y m+）x m+（3﹣x m）y m﹣×3×
=x m+y m﹣
∵y m=﹣x m2+x m+，
∴S△MAB=x m+（﹣x m2+x m+）﹣
=x m2+x m
=（x m﹣）2+
∴当x m=时，S△MAB取得最大值，最大值为．
13．（2012?铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线
y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
解题思路：（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所
示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；
（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的
表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一
元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同
位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E
点均不存在．
解答：解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c，得方程组…3分
解得：
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3 …5分
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，
若△ABO∽△AP1D，则
∴DP1=AD=4，
∴P1（﹣1，4）…7分
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4，
∵△ABO为等腰三角形，
∴△ADP2是等腰三角形，
由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，
∴P2（1，2）…10分
（3）如答图2，设点E（x，y），则
S△ADE=
①当P1（﹣1，4）时，
S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|…11分
∴2|y|=4+|y|，
∴|y|=4
∵点E在x轴下方，
∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，
∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0
∴此方程无解…12分
②当P2（1，2）时，
S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，
∴2|y|=2+|y|，
∴|y|=2
∵点E在x轴下方，
∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，
∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．…14分
14．（2012?温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．
（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？
（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．
解题思路：（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知
条件证明△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表
示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；
（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1和当0＜m＜1
时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m
值和相对应的点E坐标．
解答：解：（1）当m=3时，y=﹣x2+6x
令y=0得﹣x2+6x=0
∴x1=0，x2=6，
∴A（6，0）
当x=1时，y=5
∴B（1，5）
∵抛物线y=﹣x2+6x的对称轴为直线x=3
又∵B，C关于对称轴对称
∴BC=4．
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°
∴△AGH∽△PCB，
∴，
∵抛物线y=﹣x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，
又∵B，C关于对称轴对称，
∴BC=2（m﹣1），
∵B（1，2m﹣1），P（1，m），
∴BP=m﹣1，
又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），
∴H（2m﹣1，0），
∴AH=1，CH=2m﹣1，
∴，
∴m=．
（3）∵B，C不重合，∴m≠1，
（I）当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1，
（i）若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，
∴△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（m﹣1）=m，
∴m=2，此时点E的坐标是（2，0）；
（ii）若点E在y轴上（如图2），
过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴m﹣1=1，
∴m=2，
此时点E的坐标是（0，4）；
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，（i）若点E在x轴上（如图3），
易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（1﹣m）=m，
∴m=，此时点E的坐标是（，0）；
（ii）若点E在y轴上（如图4），
过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴1﹣m=1，∴m=0（舍去），
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点E的坐标是（，0）．
15．（2012?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图
象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c
（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在
这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标
及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不
平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，
并写出探究过程．
解题思路：（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得物线的解析式；
（2）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点E作EG⊥x轴于点
构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积．注意：符合要求
点有两个，如答图1所示，不要漏解；
（3）本问较为复杂，如答图2所示，分几个步骤解决：
第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；
第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3﹣k；
第3步：利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．这一步是为
续的复杂计算做准备；
第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：
为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．
解答：
解：（1）∵经过点（﹣3，0），
∴0=+m，解得m=，
∴直线解析式为，C（0，）．
∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），
∵抛物线经过C（0，），
∴=a?3（﹣5），解得a=，
∴抛物线解析式为y=x2+x+；
（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则AC∥EF且AC=EF．如答图1，
（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，
又∵，∴△CAO≌△EFG，
∴EG=CO=，即y E=，
∴=x E2+x E+，解得x E=2（x E=0与C点重合，舍去），
∴E（2，），S?ACEF=；
（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，
同理可求得E′（+1，），S?ACE′F′=．
（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可
时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，
∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，
∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，
联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，
∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．
∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．
根据两点间距离公式得到：
M1M2===
∴M1M2===4（1+k2）．
又M1P===
同理M2P=
∴M1P?M2P=（1+k2）?=（1+k2）?=（1+k2）?=4（1+k2）．
∴M1P?M2P=M1M2，
∴=1为定值．
16．（2012?梅州）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l 过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是（6，2）；②∠CAO=30度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为（3，3）；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
解题思路：（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案；
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可
求得答案．
解答：解：（1）①∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），
∴点B的坐标为：（6，2）；