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中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及答案解析

中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及答案解析

一、二次函数

1.如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .

中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及答案解析

(1)若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标;

(3)设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ?为直角三角形的点P 的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为223y x x =--+,直线的解析式为3y x =+.(2)

(1,2)M -;(3)P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】

分析:(1)先把点A ,C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ,c 的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a ,b ,c 的值即可得到抛物线解析式;把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ,解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式;

(2)设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ,此时MA+MC 的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y 的值,即可求出点M 坐标;

(3)设P (-1,t ),又因为B (-3,0),C (0,3),所以可得BC 2=18,PB 2=(-1+3)2+t 2=4+t 2,PC 2=(-1)2+(t-3)2=t 2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标.

详解:(1)依题意得:1203b a a b c c ?-=-??++=??=??

,解得:123a b c =-??=-??=?,

∴抛物线的解析式为223y x x =--+.

∵对称轴为1x =-,且抛物线经过()1,0A ,

∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+,

得303m n n -+=??=?,解之得:13m n =??=?

, ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.

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(2)直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ,则此时MA MC +的值最小,把1x =-代入直线3y x =+得2y =,

∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. (注:本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小,所以答案未证明MA MC +的值最小的原因).

(3)设()1,P t -,又()3,0B -,()0,3C ,

∴218BC =,()2222134PB t t =-++=+,()()222213610PC t t t =-+-=-+, ①若点B 为直角顶点,则222BC PB PC +=,即:22184610t t t ++=-+解得:2t =-,

②若点C 为直角顶点,则222BC PC PB +=,即:22186104t t t +-+=+解得:4t =,

③若点P 为直角顶点,则222PB PC BC +=,即:22461018t t t ++-+=解得: 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2?+- ??或3171,2?- ??

. 点睛:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题.

2.(6分)(2015?牡丹江)如图,抛物线y=x 2+bx+c 经过点A (﹣1,0),B (3,0).请解答下列问题:

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(1)求抛物线的解析式;

(2)点E(2,m)在抛物线上,抛物线的对称轴与x轴交于点H,点F是AE中点,连接FH,求线段FH的长.

注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=﹣.

【答案】(1)y=-2x-3;(2).

【解析】

试题分析:(1)把A,B两点坐标代入,求待定系数b,c,进而确定抛物线的解析式;(2)连接BE,点F是AE中点,H是AB中点,则FH为三角形ABE的中位线,求出BE的长,FH就知道了,先由抛物线解析式求出点E坐标,根据勾股定理可求BE,再根据三角形中位线定理求线段HF的长.

试题解析:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(3,0),∴把A,B两点坐标代入得:,解得:,∴抛物线的解析式是:y=-2x-3;(2)∵点E(2,m)在抛物线上,∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得:m=4﹣4﹣3=﹣3,∴E(2,﹣3),∴BE==.∵点F是AE中点,点H是抛物线的对称轴与

x轴交点,即H为AB的中点,∴FH是三角形ABE的中位线,∴FH=BE=×=.∴

线段FH的长.

考点:1.待定系数法求抛物线的解析式;2.勾股定理;3.三角形中位线定理.3.(10分)(2015?佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.

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(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;

(2)小球的落点是A,求点A的坐标;

(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;

(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.

【答案】(1)(2,4);(2)(,);(3);(4)(,).

【解析】

试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标;

(2)联立两解析式,可求出交点A的坐标;

(3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入数值计算即可求解;

(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直

线PM的解析式为y=x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛

物线的解析式联立,得到方程组,解方程组即可求出点M的坐标.

试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,

故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4);

(2)联立两解析式可得:,解得:,或.

故可得点A的坐标为(,);

(3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.

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